Penambahan

"Penjumlahan" beralih ke halaman ini. Untuk kegunaan lain, lihat Penjumlahan (disambiguasi).

Penambahan, sering ditandai dengan tanda plus "+", adalah salah satu dari empat operasi aritmetika dasar. Penjumlahan merupakan penambahan sekelompok bilangan atau lebih menjadi suatu bilangan yang disebut jumlah. Misalnya di gambar di samping, terdapat tiga apel di sisi kiri dan dua apel di sisi kanan, menghasilkan jumlah lima apel. Dalam simbol matematika, ini dilambangkan "3 + 2 = 5", disebut "3 ditambah 2 sama dengan 5".

3 + 2 = 5 dengan apel pilihan paling populer dalam buku cetak

Selain untuk menghitung jumlah benda, penambahan bisa didefinisikan dan digunakan untuk menghitung objek abstrak berupa bilangan, di antaranya bilangan bulat, bilangan real, dan bilangan kompleks. Dalam cabang matematika lain yang disebut aljabar, penambahan bisa digunakan untuk objek-objek abstrak lainnya seperti vektor dan matriks.

Penambahan memiliki beberapa sifat penting. Penambahan bersifat komutatif, yang berarti urutan bilangan yang ditambahkan tidak berpengaruh, dan bersifat asosiatif, yang berarti jika terdapat beberapa operasi penambahan maka urutan penambahan yang dikerjakan terlebih dahulu tidak berpengaruh. Menambahkan 0 tidak mengubah bilangan yang ditambah. Penambahan juga memiliki aturan-aturan yang terkait dengan operasi pengurangan dan perkalian.

Notasi dan terminologi

Tanda plus

Penjumlahan ditulis menggunakan tanda plus "+" di antara suku-suku tersebut; yaitu, dalam notasi infix. Hasilnya diekspresikan dengan tanda sama dengan. Sebagai contoh,

Penjumlahan kolom bilangan pada kolom akan ditambahkan, dengan penjumlahan ditulis di bawah garis bawah bilangan.

Ada pula situasi di mana penambahan "dipahami", meskipun tidak ada simbol yang muncul:

• Bilangan bulat dengan pecahan menunjukkan jumlah keduanya, yang disebut bilangan campuran. Sebagai contoh,
        .
  Notasi ini dapat membingungkan, karena sebagian besar konteks lain, jukstaposisi seperti ini menunjukkan perkalian sebagai gantinya.

Jumlah dari sebuah deret dari bilangan terkait dapat diekspresikan melalui notasi Sigma yang secara kompak menunjukkan iterasi. Sebagai contoh,

Bilangan atau objek yang akan ditambahkan dalam penjumlahan umum secara kolektif disebut sebagai suku, tinambah atau penjumlahan; terminologi ini dibawa ke penjumlahan beberapa istilah. Dibedakan dari faktor, yaitu perkalian. Beberapa penulis menyebut tambahan pertama sebagai augend. Faktanya, selama Renaisans, banyak penulis tidak menganggap tambahan pertama sebagai "tambahan" sama sekali. Saat ini, karena sifat komutatif penjumlahan, "augend" jarang digunakan, dan kedua istilah tersebut umumnya disebut adend.

Ilustrasi yang digambar ulang oleh The Art of Nombryng, salah satu teks aritmetika dalam bahasa Inggris pertama, pada abad ke-15.

Tanda plus "+" (Unicode:U+002B; ASCII: +) adalah singkatan dari kata Latin et, yang berarti "dan". Muncul dalam karya matematika yang berasal dari setidaknya 1489.

Interpretasi

Penambahan digunakan untuk memodelkan banyak proses fisik. Bahkan untuk kasus sederhana penambahan bilangan asli, banyak kemungkinan interpretasi dan bahkan lebih banyak lagi representasi visual.

Himpunan gabungan

Interpretasi paling mendasar dari penjumlahan terletak pada himpunan gabungan:

• Ketika dua atau lebih koleksi terputus digabungkan menjadi satu koleksi, jumlah objek dalam satu koleksi adalah jumlah dari jumlah objek dalam koleksi asli.

Interpretasi ini mudah untuk divisualisasikan, dengan sedikit bahaya ambiguitas. Dalam matematika tingkat tinggi (untuk definisi ketat yang diilhaminya, lihat § Bilangan asli di bawah ini). Namun, tidak jelas bagaimana seseorang harus memperluas versi penjumlahan ini untuk memasukkan bilangan pecahan atau bilangan negatif.

Salah satu perbaikan yang mungkin dilakukan adalah dengan mempertimbangkan koleksi objek dengan mudah dibagi, seperti pai atau lebih baik lagi, batang tersegmentasi. Menggabungkan himpunan segmen, batang dapat digabungkan dari ujung ke ujung, yang menggambarkan konsep tambahan lainnya: menambahkan bukan batang tetapi panjang batang.

Ekstensi panjang

Visualisasi garis bilangan dari penjumlahan aljabar 2 + 4 = 6. Translasi oleh 2 diikuti dengan translasi oleh 4 sama dengan translasi oleh 6.

Visualisasi garis bilangan dari penjumlahan uner 2 + 4 = 6. Translasi oleh 4 ekuivalen dengan empat translasi oleh 1.

Interpretasi kedua tentang penjumlahan berawal dari panjang awal dengan panjang tertentu:

• Jika panjang asli panjang dengan jumlah tertentu, panjang akhirnya adalah jumlah dari panjang asli dan panjang.

Jumlah a + b dapat diartikan sebagai operasi biner yang menggabungkan a dan b, dalam arti aljabar, dapat diartikan sebagai penambahan b lebih banyak unit ke a. Dibawah interpretasi terakhir, bagian dari penjumlahan a + b memainkan peran asimetri, dan operasi a + b sebagai operasi uner +b ke a. Alih kedua adendemen a dan b, lebih tepat untuk a dari augend dalam kasus ini, karena a memainkan peran pasif. Tampilan uner berguna saat mendiskusikan pengurangan, karena setiap operasi penjumlahan uner memiliki operasi pengurangan uner terbalik, dan sebaliknya.

Sifat-sifat

Sifat komutatif

4 + 2 = 2 + 4 digambarkan dengan kotak

Penambahan bersifat komutatif, berarti urutan di mana dua bilangan ditambahkan tidak menjadi masalah, hasilnya akan tetap sama. Secara simbolis, jika x dan y adalah sembarang bilangan, maka

Sifat asosiatif

2 + (1 + 3) = (2 + 1) + 3 digambarkan dengan tabung

Penambahan bersifat asosiatif, yang berarti dalam pernyataan yang hanya melibatkan penambahan tidak terpengaruh dengan urutan operasi. Misalkan untuk pernyataan , jika pernyataan tersebut diartikan sebagai maupun , hasilnya akan sama.

Akan tetapi, jika penambahan berada di dalam pernyataan yang melibatkan operasi lain, urutan operasi akan berpengaruh. Misalnya, jika suatu pernyataan berisi operasi penambahan dan perkalian, maka operasi perkalian harus dilakukan terlebih dahulu.

Sifat distributif

Elemen identitas

5 + 0 = 5 digambarkan dengan sekarung titik

Ketika menambahkan nol dengan suatu bilangan apapun, hasilnya akan sama dengan bilangan tersebut; nol adalah elemen identitas dari penambahan. Dalam simbol matematika, untuk x apapun,

Hukum ini pertama dikenali dalam Brahmasphutasiddhanta dari Brahmagupta pada tahun 628, meskipun dia menulisnya sebagai tiga hukum terpisah, bergantung pada apakah a adalah bilangan negatif, positif, atau nol, dan dia menggunakan kata-kata bukannya simbol aljabar. Matematikawan India kemudian memperhalus konsepnya; pada sekitar tahun 830, Mahavira menulis, "nol menjadi nilai yang sama dengan nilai yang ditambahkan dengannya", sesuai dengan pernyataan unary 0 + x = x.

Elemen invers

Penerus

Dalam konteks bilangan bulat, penambahan satu juga memainkan peran khusus: untuk sembarang bilangan bulat a, bilangan bulat (a + 1) adalah bilangan bulat terkecil dari a, juga dikenal sebagai penerus dari a. Misalnya, 3 adalah penerus 2 dan 7 adalah penerus 6. Karena suksesi ini, nilai a + b juga dapat dilihat sebagai penerus ke-b dari a, membuat penambahan suksesi iterasi. Misalnya, 6 + 2 adalah 8, karena 8 adalah penerus 7, yang merupakan penerus 6, menjadikan 8 penerus ke-2 dari 6.

Satuan

Untuk menambahkan kuantitas-kuantitas fisik dengan satuan, kuantitas-kuantitas tersebut harus memiliki satuan yang sama. Contohnya, 24 meter ditambah 1 meter sama dengan 25 meter. Akan tetapi, jika air bervolume 500 mililiter ditambahkan air bervolume 3 liter, maka jumlah volume airnya adalah 3500 mililiter, karena 3 liter sama dengan 3000 mililiter. Sedangkan menambahkan 3 meter dengan 4 meter persegi tidaklah bermakna, karena kedua satuan tersebut tidak bisa dibandingkan. Pertimbangan-pertimbangan ini merupakan dasar dari analisis dimensi.

Cara penambahan

Kemampuan bawaan

Studi perkembangan matematika yang dimulai sekitar tahun 1980-an telah mengeksploitasi fenomena pembiasaan: bayi melihat lebih lama pada situasi yang tidak terduga. Percobaan tersebut dimulai oleh Karen Wynn pada tahun 1992 yang melibatkan boneka Mickey Mouse yang dimanipulasi di belakang layar menunjukkan bahwa bayi berusia lima bulan 'berharap' 1 + 1 menjadi 2, dan mereka relatif terkejut ketika situasi fisik tampaknya menyiratkan bahwa 1 + 1 bernilai 1 atau 3. Penemuan ini telah ditegaskan oleh berbagai laboratorium dengan menggunakan metodologi yang berbeda. Eksperimen tahun 1992 lainnya dengan balita yang lebih tua, antara 18 dan 35 bulan, mengeksploitasi perkembangan kontrol motorik mereka dengan memungkinkan mereka mengambil bola ping-pong dari kotak; yang termuda merespons dengan baik untuk jumlah kecil, sementara subjek yang lebih tua mampu menghitung jumlah hingga 5.

Bahkan beberapa hewan bukan manusia menunjukkan kemampuan terbatas untuk menambah, terutama primata. Dalam percobaan tahun 1995 meniru hasil Wynn tahun 1992 (tetapi menggunakan terong sebagai pengganti boneka), monyet rhesus dan tamarin berkepala kapas memiliki penampilan yang mirip dengan bayi manusia. Lebih dramatis, diajari arti dari angka Arab 0 hingga 4, satu simpanse dapat menghitung jumlah dua angka tanpa pelatihan lebih lanjut. Baru-baru ini, Gajah Asia telah mendemonstrasikan kemampuan melakukan aritmetika dasar.

Pembelajaran masa kecil

Biasanya, anak pertama menguasai menghitung. Ketika diberikan masalah yang mengharuskan dua item dan tiga item digabungkan, anak kecil mencontohkan situasi dengan objek fisik, jari atau gambar dan kemudian hitung totalnya. Saat mereka memperoleh pengalaman, mereka mempelajari atau menemukan strategi "mengandalkan": diminta untuk menemukan dua tambah tiga, anak-anak menghitung tiga lewat dua, mengatakan "tiga, empat, lima" (biasanya berdetak dengan jari), dan tiba pukul lima. Strategi ini tampaknya hampir universal; anak-anak dengan mudah memahaminya dari teman atau guru. Sebagian besar menemukannya secara mandiri. Dengan pengalaman tambahan, anak-anak belajar menambah lebih cepat dengan memanfaatkan komutatifitas penjumlahan dengan menghitung dari bilangan yang lebih besar, dalam hal ini, dimulai dengan tiga dan menghitung "empat, lima." Akhirnya anak-anak mulai mengingat fakta penjumlahan tertentu ("bilangan ikatan"), baik melalui pengalaman atau hafalan. Begitu beberapa fakta dimasukkan ke dalam ingatan, anak-anak mulai memperoleh fakta yang tidak diketahui dari yang diketahui. Misalnya, seorang anak yang diminta untuk menjumlahkan enam dan tujuh mungkin tahu itu 6 + 6 = 12 dan kemudian beralasan bahwa 6 + 7 adalah 13. Fakta yang diturunkan dapat ditemukan dengan sangat cepat dan sebagian besar siswa sekolah dasar pada akhirnya mengandalkan campuran dari fakta yang dihafal dan diturunkan untuk menambahkan dengan lancar.

Negara yang berbeda memperkenalkan bilangan bulat dan aritmetika pada usia yang berbeda, dengan banyak negara mengajar tambahan di prasekolah. Namun, di seluruh dunia, penjumlahan diajarkan pada akhir tahun pertama sekolah dasar.

Tabel

Anak-anak sering diberikan tabel penjumlahan pasangan angka dari 0 hingga 9 untuk dihafal. Mengetahui hal ini, anak-anak dapat melakukan penjumlahan apapun.

+	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
3	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
4	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
5	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
6	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
7	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
8	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
9	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18

Sistem desimal

Prasyarat untuk penjumlahan dalam sistem desimal adalah penarikan atau penurunan yang lancar dari "fakta penjumlahan" 100 digit tunggal. Seseorang bisa menghafal semua fakta dengan hafalan, tetapi strategi berbasis pola lebih mencerahkan dan, bagi kebanyakan orang, lebih efisien:

• Sifat komutatif: Disebutkan diatas, menggunakan pola a + b = b + a mengurangi jumlah "fakta penjumlahan" dari 100 menjadi 55.
• Satu atau dua: Menambahkan 1 atau 2 adalah tugas dasar, dan dapat dilakukan dengan mengandalkan atau, pada akhirnya, intuisi.
• Nol: Karena nol adalah identitas aditif, menambahkan nol adalah trivial. Meskipun demikian, dalam pembelajaran berhitung, beberapa siswa diperkenalkan penjumlahan sebagai proses yang selalu meningkatkan penjumlahan; masalah kata dapat membantu merasionalisasi "pengecualian" dari nol.
• Ganda: Menambahkan bilangan terkait dengan menghitung dua dan perkalian. Fakta ganda membentuk tulang punggung untuk banyak fakta terkait, dan siswa menemukannya relatif mudah untuk dipahami.
• Hampir ganda: Jumlah seperti 6 + 7 = 13 dapat dengan cepat diturunkan dari fakta ganda 6 + 6 = 12 dengan menambahkan satu, atau dari 7 + 7 = 14 dengan menguranginya.
• Lima dan sepuluh: Jumlah dari bentuk 5 + x dan 10 + x biasanya dihafal lebih awal dan dapat digunakan untuk mendapatkan fakta lain. Sebagai contoh, 6 + 7 = 13 dapat diturunkan dari 5 + 7 = 12 dengan menambahkan satu.
• Membuat sepuluh: Strategi tingkat lanjut menggunakan 10 sebagai perantara untuk jumlah yang melibatkan 8 atau 9; sebagai contoh, 8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14.

Seiring bertambahnya usia siswa, mereka mengingat lebih banyak fakta, dan belajar memperoleh fakta lain dengan cepat dan lancar. Banyak siswa tidak pernah mengingat semua fakta, tetapi masih dapat menemukan fakta dasar dengan cepat.

Simpan

Artikel utama: Simpan (aritmetika)

Algoritma standar untuk menambahkan bilangan banyak digit adalah dengan meratakan penjumlahan secara vertikal dan menambahkan kolom, dimulai dari kolom satuan di sebelah kanan. Jika sebuah kolom melebihi sembilan, digit tambahannya adalah "simpan" ke kolom berikutnya. Misalnya, sebagai tambahan 27 + 59

 ¹ 27 + 59 ———— 86 

7 + 9 = 16, dan bilangan 1 adalah simpan. Strategi alternatif mulai menambahkan dari digit paling signifikan di sebelah kiri; rute ini membawa sedikit canggung, tetapi lebih cepat untuk mendapatkan perkiraan kasar jumlahnya. Ada banyak metode alternatif.

Pecahan desimal

Pecahan desimal dapat ditambahkan dengan modifikasi sederhana dari proses di atas. Satu meratakan dua pecahan desimal di atas satu sama lain, dengan titik desimal di lokasi yang sama. Jika perlu, menambahkan bilangan nol di belakang ke desimal yang lebih pendek untuk sama panjang dengan desimal yang lebih panjang. Akhirnya, melakukan proses penjumlahan yang sama seperti diatas, kecuali koma desimal ditempatkan di jawaban, persis ditempat itu ditempatkan di penjumlahan.

Sebagai contoh, 45.1 + 4.34 dapat diselesaikan sebagai berikut:

 4 5 . 1 0 + 0 4 . 3 4 ———————————— 4 9 . 4 4 

Notasi ilmiah

Artikel utama: Notasi ilmiah § Operasi dasar

Pada notasi ilmiah, bilangan ditulis dalam bentuk , dimana adalah signifikan dan adalah bagian eksponensial. Penambahan membutuhkan dua angka dalam notasi ilmiah untuk direpresentasikan menggunakan bagian eksponensial yang sama, sehingga dua signifikansi dapat dengan mudah ditambahkan.

Sebagai contoh:

Bukan desimal

Artikel utama: Penambahan biner

Penjumlahan pada basis lain sangat mirip dengan penjumlahan desimal. Sebagai contoh, apabila mempertimbangkan penjumlahan dalam biner. Menambahkan dua angka biner satu digit relatif sederhana, menggunakan bentuk pembawa:

Menambahkan dua digit "1" menghasilkan digit "0", sedangkan 1 harus ditambahkan ke kolom berikutnya. Ini mirip dengan apa yang terjadi dalam desimal ketika angka satu digit tertentu dijumlahkan; jika hasilnya sama atau melebihi nilai akar (10), digit ke kiri bertambah:

Ini dikenal sebagai simpan. Ketika hasil penjumlahan melebihi nilai sebuah digit, prosedurnya adalah "simpan" kelebihan jumlah dibagi dengan radix (yaitu, 10/10) ke kiri, menambahkannya ke nilai posisi berikutnya. Ini benar karena posisi berikutnya memiliki bobot yang lebih tinggi dengan faktor yang sama dengan akar. Simpan kerja dengan cara yang sama dalam biner:

 1 1 1 1 1 (angka simpan) 0 1 1 0 1 + 1 0 1 1 1 ————————————— 1 0 0 1 0 0 = 36 

Dalam contoh ini, dua angka ditambahkan dengan: 01101₂ (13₁₀) dan 10111₂ (23₁₀). Baris atas menunjukkan bit simpan yang digunakan. Mulai dari kolom paling kanan, 1 + 1 = 10₂. 1 dibawa ke kiri, dan 0 ditulis dibagian bawah kolom paling kanan. Kolom kedua dari kanan ditambahkan: 1 + 0 + 1 = 10₂; 1 dilakukan, dan 0 ditulis dibagian bawah. Kolom ketiga: 1 + 1 + 1 = 11₂. Kali ini, 1 dilakukan, dan 1 ditulis di baris bawah. Melanjutkan seperti ini memberikan jawaban akhir 100100₂ (36₁₀).

Komputer

Penambahan dengan op-amp. Lihat Penguat penjumlahan untuk detailnya.

Komputer analog bekerja secara langsung dengan besaran fisis, sehingga mekanisme penjumlahannya bergantung pada bentuk penjumlahan. Sebuah penambah mekanis mungkin mewakili dua tambahan sebagai posisi blok geser, dalam hal ini mereka dapat ditambahkan dengan tuas perata-rata. Jika penjumlahan adalah kecepatan rotasi dari dua poros, maka ia ditambahkan dengan diferensial. Sebuah penambah hidrolik dapat menambahkan tekanan dalam dua ruang dengan memanfaatkan hukum kedua Newton untuk menyeimbangkan gaya pada rakitan piston. Situasi yang umum untuk menggunakan komputer analog adalah ketika menambahkan dua voltase (direferensikan ke tanah); ini dapat dicapai secara kasar dengan resistor jaringan, tetapi desain yang lebih baik memanfaatkan penguat operasional.

Penjumlahan juga merupakan dasar pengoperasian komputer digital, dimana efisiensi penjumlahan, khususnya mekanisme penerus, merupakan batasan penting untuk kinerja keseluruhan.

Bagian dari perbedaan mesin Charles Babbage termasuk mekanisme penambahan dan pengangkutan

Swipoa, juga disebut bingkai penghitungan, adalah alat hitung yang digunakan berabad-abad sebelum penerapan sistem angka modern tertulis dan masih banyak digunakan oleh pedagang, pedagang, dan juru tulis di Asia, Afrika, dan di tempat lain; ia ditemukan setidaknya 2700–2300 SM, ketika digunakan di Sumer.

Blaise Pascal menemukan kalkulator mekanik pada tahun 1642; ia adalah mesin penambah pertama yang bisa beroperasi. Yang digunakan untuk mekanisme pembawa yang dibantu gravitasi. Ia adalah satu-satunya kalkulator mekanis yang beroperasi di abad ke-17 dan komputer digital otomatis paling awal. Kalkulator Pascal dibatasi oleh mekanisme penerus-nya, yang memaksa rodanya hanya berputar satu arah sehingga bisa menambah. Untuk mengurangi, operator harus menggunakan komplekmen kalkulator Pascal, yang membutuhkan langkah sebanyak penjumlahan. Giovanni Poleni mengikuti Pascal, membangun kalkulator mekanik fungsional kedua pada tahun 1709, sebuah jam hitung yang terbuat dari kayu yang, setelah diatur, apabila mengalikan dua angka secara otomatis.

"Penambahan penuh" rangkaian logika yang menambahkan dua digit biner, A dan B, bersama dengan input penerus C_dalam, menghasilkan jumlah bit, S, dan hasil penerus, C_keluar.

Penambah biner melakukan penambahan bilangan bulat pada komputer digital elektronik, biasanya menggunakan aritmetika biner. Arsitektur paling sederhana adalah penambah dengan simpan yang beriak, yang mengikuti algoritma multi-digit standar. Satu sedikit perbaikan adalah desain yang bisa melewati simpan; sesuai intuisi manusia, tidak perlu mengitung semua simpan dalam komputasi 999 + 1, tetapi bisa melewati sekumpulan 9 dan melompat ke jawabannya.

// Algoritme iteratif int tambah(int x, int y) {  int simpan = 0;  while (y != 0) {   simpan = AND(x, y); // AND logis  x = XOR(x, y); // XOR logis  y = simpan << 1; // bitshift simpan ke kiri satu kali  }  return x;  } // Algoritme rekursif int tambah(int x, int y) {  return x if (y == 0) else tambah(XOR(x, y), AND(x, y) << 1); } 

Di komputer, jika hasil penjumlahan terlalu besar untuk disimpan, maka terjadi luapan aritmetika, menghasilkan jawaban yang salah. Luapan aritmetika yang tidak terduga adalah penyebab yang cukup umum dari kutu program. Kutu luapan seperti ini bisa jadi sulit ditemukan dan didiagnosis karena ia hanya muncul untuk himpunan data input besar, yang cenderung tidak digunakan dalam tes validasi. Masalah tahun 2000 adalah serangkaian kutu di mana kesalahan luapan terjadi karena penggunaan format 2 digit selama bertahun-tahun.

Penambahan bilangan

Untuk membuktikan sifat-sifat penambahan, penambahan harus didefinisikan pada suatu konteks terlebih dahulu. Penambahan awalnya didefinisikan untuk bilangan asli. Dalam teori himpunan, operasi penambahan lalu diperluas untuk himpunan bilangan lain yang mengandung bilangan asli, yaitu bilangan bulat, bilangan rasional, dan bilangan real.

Bilangan asli

Informasi lebih lanjut: Bilangan asli

Ada dua cara populer untuk mendefinisikan jumlah dari dua bilangan asli a dan b. Jika bilangan asli didefinisikan sebagai kardinalitas dari himpunan hingga, (kardinalitas suatu himpunan adalah banyak unsur dalam himpunan tersebut), maka jumlah dua bilangan asli bisa didefinisikan sebagai berikut:

• Misalkan N(S) adalah lambang untuk kardinalitas himpunan S. Misalkan terdapat dua himpunan saling lepas A dan B, dengan N(A) = a dan N(B) = b. Maka a + b didefinisikan sebagai .

Di sini, A ∪ B adalah gabungan dari A dan B. Versi alternatif dari definisi ini memungkinkan A dan B bertindih dan kemudian mengambil satuan disjoin, mekanisme yang memungkinkan unsur-unsur umum untuk dipisahkan dan karena itu dihitung dua kali.

Definisi populer lainnya bersifat rekursif:

• Misalkan n⁺ adalah lambang untuk penerus dari n, yaitu bilangan setelah n dalam himpunan bilangan asli, jadi 0⁺=1, 1⁺=2. Definisikan a + 0 = a. Definisikan jumlah secara umum menggunakan rekursi a + (b⁺) = (a + b)⁺. Jadi misalnya 1 + 1 = 1 + 0⁺ = (1 + 0)⁺ = 1⁺ = 2.

Sekali lagi, variasi kecil pada definisi ini dalam literatur. Secara harfiah, definisi di atas adalah aplikasi dari teorema rekursi pada himpunan terurut parsial N². Di sisi lain, beberapa sumber lebih sering menggunakan teorema rekursi hingga yang hanya berlaku untuk himpunan bilangan asli. Salah satu a untuk sementara "diperbaiki", menerapkan rekursi pada b untuk mendefinisikan fungsi "a +", dan menempelkan operasi uner ini untuk semua a dengan membentuk operasi biner penuh.

Perumusan penambahan rekursif ini telah dikembangkan oleh Dedekind pada tahun 1854, dan dia kemudian mengembangkannya selama dekade-dekade berikutnya. Dia membuktikan sifat asosiatif dan komutatifnya menggunakan induksi matematika.

Bilangan bulat

Informasi lebih lanjut: Bilangan bulat

Konsepsi bilangan bulat yang sederhana adalah ia terdiri dari nilai absolut (yang merupakan bilangan asli) dan tanda (umumnya positif atau negatif). Bilangan bulat nol adalah kasus ketiga khusus, yang bukan positif atau negatif. Definisi yang sesuai dari penambahan harus dilanjutkan dengan kasus:

• Untuk bilangan bulat n, maka |n| menjadi nilai mutlaknya. Misalkan a dan b adalah bilangan bulat. Jika a atau b adalah nol, perlukan sebagai identitas. Jika a dan b keduanya positif, tentukan a + b = |a| + |b|. Jika a dan b keduanya negatif, tentukan a + b = −(|a| + |b|). Jika a dan b memiliki tanda yang berbeda, tentukan a + b sebagai selisih antara |a| dan |b|, dengan tanda suku yang nilai absolutnya lebih besar. Sebagai contoh, −6 + 4 = 2; karena –6 dan 4 memiliki tanda yang berbeda, nilai absolutnya dikurangi, dan karena nilai absolut suku negatif lebih besar, jawabannya adalah negatif.

Meskipun definisi ini berguna untuk masalah konkret, jumlah kasus yang perlu dipertimbangkan memperumit pembuktian yang tidak perlu. Jadi metode berikut ini biasa digunakan untuk mendefinisikan bilangan bulat. Hal ini didasarkan pada pernyataan bahwa setiap bilangan bulat adalah selisih dari dua bilangan bulat asli dan bahwa dua selisih tersebut, a – b sama dengan c – d jika dan hanya jika a + d = b + c. Jadi, apabila mendefinisikan secara formal bilangan bulat sebagai kelas ekuivalensi dari pasangan terurut bilangan asli di bawah relasi ekuivalensi

Kelas ekuivalensi dari (a, b) berisi (a – b, 0) jika a ≥ b, atau (0, b – a). Jika n adalah bilangan asli, yang menyatakan +n kelas ekuivalen dari (n, 0), dan dengan –n kelas ekuivalen dari (0, n). Hal ini memungkinkan mengidentifikasi bilangan asli n dengan kelas ekivalen +n.

Penambahan pasangan terurut dilakukan berdasarkan komponen:

Perhitungan langsung menunjukkan bahwa kelas ekuivalen dari hasil hanya bergantung pada kelas ekuivalen dari penyebut, dan dengan demikian ini mendefinisikan penambahan kelas ekuivalen, yaitu bilangan bulat. Perhitungan langsung lainnya menunjukkan bahwa penambahan ini sama dengan definisi kasus di atas.

Cara mendefinisikan bilangan bulat sebagai kelas ekuivalen dari pasangan bilangan asli, dapat digunakan untuk menyematkan ke dalam grup komutatif semigrup dengan sifat pembatalan. Di sini, semigrup dibentuk oleh bilangan asli dan grup adalah grup aditif bilangan bulat. Bilangan rasional dibangun dengan cara yang sama, dengan mengambil sebagai semigrup bilangan bulat bukan nol dengan perkalian.

Konstruksi ini juga telah digeneralisasikan dengan nama grup Grothendieck untuk kasus setiap semigrup komutatif. Tanpa sifat pembatalan homomorfisme semigrup dari semigrup ke grup ini adalah non-injektif. Awalnya, "grup Grothendieck", hasil konstruksi ini diterapkan pada kelas ekivalensi di bawah isomorfisme objek dari kategori Abelian, dengan jumlah langsung sebagai operasi semigrup.

Bilangan rasional (pecahan)

Penambahan bilangan rasional didefinisikan menggunakan penambahan dan perkalian bilangan asli.

• Definisikan

Sebagai contoh, jumlah .

Penambahan pecahan lebih sederhana ketika penyebutnya sama; untuk kasus ini, tinggal dijumlahkan pembilangnya tanpa mengubah penyebutnya: , jadi .

Komutatifitas dan asosiatifitas penjumlahan rasional adalah konsekuensi mudah dari hukum aritmetika bilangan bulat. Untuk diskusi yang lebih ketat dan umum, lihat medan pecahan.

Bilangan riil

Menambahkan π²/6 dan e menggunakan potongan rasional Dedekind.

Informasi lebih lanjut: Konstruksi bilangan riil

Konstruksi umum dari himpunan bilangan riil adalah penyelesaian Dedekind dari himpunan bilangan rasional. Bilangan riil didefinisikan sebagai potongan Dedekind dari rasional: himpunan tak kosong dari rasional tertutup bawah dan tidak memiliki elemen terbesar. Jumlah bilangan riil a dan b didefinisikan elemen demi elemen:

• Tentukan

Definisi ini pertama kali diterbitkan, dalam bentuk yang sedikit dimodifikasi, oleh Richard Dedekind pada tahun 1872. Komutatifitas dan asosiatifitas dari penjumlahan riil bersifat langsung; mendefinisikan bilangan riil 0 sebagai himpunan rasional negatif, itu mudah dilihat sebagai identitas tambahan. Mungkin bagian tersulit dari konstruksi yang berkaitan dengan penjumlahan ini adalah definisi invers aditif.

Menjumlahkan π²/6 dan e menggunakan deret rasional Cauchy.

Sayangnya, menangani perkalian potongan Dedekind adalah proses kasus per kasus yang memakan waktu yang mirip dengan penambahan bilangan bulat bertanda. Pendekatan lain adalah penyelesaian metrik dari bilangan rasional. Bilangan riil pada dasarnya didefinisikan sebagai limit dari urutan Cauchy dari rasional, lim a_n. Penambahan didefinisikan istilah demi istilah:

• Define

Definisi ini pertama kali diterbitkan oleh Georg Cantor, juga pada tahun 1872, meskipun formalismenya sedikit berbeda. Apabila membuktikan bahwa operasi ini terdefinisi dengan baik, berurusan dengan urutan ko-Cauchy. Setelah tugas itu selesai, semua sifat-sifat penjumlahan riil segera mengikuti sifat-sifat bilangan rasional. Selanjutnya, operasi aritmetika lainnya, termasuk perkalian, memiliki definisi analog yang langsung.

Bilangan kompleks

Penjumlahan dua bilangan kompleks apabila dilakukan secara geometris dengan membangun jajar genjang.

Bilangan kompleks ditambahkan dengan menambahkan bagian riil dan imajiner dari penjumlahan. Artinya:

Menggunakan visualisasi bilangan kompleks pada bidang kompleks, penambahan memiliki interpretasi geometris berikut: jumlah dua bilangan kompleks A dan B, ditafsirkan sebagai titik dari bidang kompleks, adalah titik X yang diperoleh dengan membangun jajar genjang tiga di antaranya adalah O, A dan B. Secara ekuivalen, X adalah titik sedemikian rupa segitiga dengan simpul O, A, B, dan X, B, A adalah kongruen.

Generalisasi

Ada banyak operasi biner yang bisa dianggap sebagai generalisasi dari penambahan. Bidang aljabar abstrak utamanya membahas mengenai operasi-operasi yang digeneralisasi, dan operasi-operasi seperti itu juga ada dalam teori himpunan dan teori kategori.

Aljabar abstrak

Vektor

Artikel utama: Penjumlahan vektor

Dalam aljabar linear, ruang vektor adalah struktur aljabar yang mengandung operasi penambahan antara dua vektor dan perkalian skalar suatu vektor. Contoh ruang vektor adalah himpunan semua pasangan terurut bilangan real; suatu pasangan terurut bilangan real (a,b) dianggap sebagai sebuah vektor dari titik nol ke titik (a,b). Jumlah dua vektor diperoleh dari menambahkan masing-masing koordinatnya:

Operasi penambahan ini penting sekali bagi mekanika klasik, di mana gaya ditafsirkan sebagai vektor.

Matriks

Artikel utama: Penjumlahan matriks

Penjumlahan matriks didefinisikan untuk dua matriks yang dimensinya sama. Jumlah dari dua matriks berukuran m × n A dan B, dilambangkan dengan A + B, adalah sebuah matriks m × n yang dihitung dengan menambahkan elemen-elemen yang bersesuaian:

Contohnya:

Aritmetika modular

Artikel utama: Aritmetika modular

Dalam aritmetika modular, penambahan dua bilangan bulat hasilnya sama dengan bilangan bulat yang kongruen dengan jumlah kedua bilangan bulat tersebut.

Teori umum

Teori umum dari aljabar abstrak membolehkan "penambahan" diartikan sebagai operasi apapun pada himpunan yang bersifat asosiatif dan komutatif. Struktur aljabar dengan operasi penambahan seperti itu di antaranya adalah monoid komutatif dan grup abelian.

Teori himpunan dan teori kategori

Generalisasi luas dari penjumlahan bilangan asli adalah penambahan bilangan urut dan bilangan kardinal dalam teori himpunan. Ini memberikan dua generalisasi yang berbeda dari penambahan bilangan asli ke lintas-hingga. Tidak seperti kebanyakan operasi penjumlahan, penambahan bilangan urut bukan komutatif. Penjumlahan bilangan kardinal, bagaimanapun, adalah operasi komutatif yang berkaitan erat dengan operasi satuan disjoin.

Dalam teori kategori, satuan disjoin dilihat sebagai kasus khusus dari operasi koproduk, dan produk bersama umum memungkinkan abstrak dari semua generalisasi penjumlahan. Beberapa produk sampingan, seperti jumlah langsung dan jumlah irisan, diberi nama untuk membangkitkan hubungannya dengan penjumlahan.

Operasi terkait

Penambahan, bersama dengan pengurangan, perkalian dan pembagian, dianggap sebagai salah satu operasi dasar dan digunakan dalam aritmatika dasar.

Aritmetika

Pengurangan dianggap sebagai semacam penambahan—yaitu, penambahan aditif invers. Pengurangan-diri adalah inversi dari penjumlahan, karena penjumlahan x dan pengurangan x adalah fungsi invers.

Diberikan himpunan dengan operasi penambahan, tidak selalu dapat mendefinisikan operasi pengurangan yang sesuai pada himpunan tersebut; himpunan bilangan asli adalah contoh sederhana. Di sisi lain, operasi pengurangan secara unik menentukan operasi penambahan, operasi kebalikan aditif, dan identitas aditif; untuk alasan ini, grup aditif digambarkan sebagai himpunan yang tertutup dalam pengurangan.

Perkalian dianggap sebagai penjumlahan berulang. Jika satu suku x muncul dalam jumlah n kali, maka jumlah tersebut adalah hasil kali n dan x. Jika n bukan bilangan asli, produk mungkin masih masuk akal; misalnya, perkalian dengan −1 menghasilkan invers aditif dari suatu bilangan.

Mistar geser melingkar

Dalam bilangan riil dan kompleks, penjumlahan dan perkalian dapat dipertukarkan dengan fungsi eksponensial:

Identitas ini memungkinkan perkalian dilakukan dengan melihat tabel dari logaritma dan menghitung penjumlahan dengan tangan; itu juga memungkinkan perkalian pada mistar hitung. Rumusnya masih merupakan pendekatan urutan pertama yang baik dalam konteks luas grup Lie, dimana ia menghubungkan perkalian elemen grup yang sangat kecil dengan penambahan vektor-vektor dalam aljabar Lie yang terkait.

Bahkan ada lebih banyak generalisasi perkalian daripada penambahan. Secara umum, operasi perkalian selalu distributif melebihi penjumlahan; persyaratan ini diformalkan dalam definisi gelanggang. Dalam beberapa konteks, seperti bilangan bulat, distribusi pada penjumlahan dan keberadaan identitas perkalian cukup untuk menentukan operasi perkalian secara unik. Sifat distributif juga memberikan informasi tentang penjumlahan; dengan memperluas produk (1 + 1)(a + b) dalam kedua cara, orang menyimpulkan bahwa penambahan dipaksa menjadi komutatif. Oleh karena itu, penjumlahan gelanggang pada umumnya bersifat komutatif.

Pembagian adalah operasi aritmatika jarak jauh yang berhubungan dengan penjumlahan. Karena a/b = a(b⁻¹), pembagian adalah distributif kanan atas penjumlahan: (a + b) / c = a/c + b/c. Namun, pembagian tidak dibiarkan distributif atas penambahan; 1 / (2 + 2) tidak sama dengan 1/2 + 1/2.

Urutan

Log-log petak dari x + 1 dan maks (x, 1) dari x = 0,001 sampai 1000

Operasi maksimum "maks (a, b)" adalah operasi biner yang mirip dengan penjumlahan. Faktanya, jika dua bilangan nonnegatif a dan b berbeda tingkat besaran, maka jumlah mereka kira-kira sama dengan maksimumnya. Pendekatan ini sangat berguna dalam aplikasi matematika, misalnya dalam potongan deret Taylor. Namun, ini menghadirkan kesulitan terus-menerus dalam analisis numerik, pada dasarnya karena "maks" bukanlah invers. Jika b jauh lebih besar dari a, maka perhitungan langsung (a + b) b mengakumulasi nilai yang tidak dapat diterima galat pembulatan, bahkan mungkin mengembalikan nol. Lihat pula Kehilangan signifikans.

Perkiraan menjadi tepat dalam seperti batas tak hingga; jika a atau b adalah bilangan kardinal tak hingga, jumlah kardinal mereka persis sama dengan yang besar dari keduanya. Dengan demikian, tidak ada operasi pengurangan untuk kardinal tak hingga.

Maksimisasi bersifat komutatif dan asosiatif, seperti penjumlahan. Selanjutnya, karena penambahan mempertahankan urutan bilangan riil, penambahan mendistribusikan lebih dari "maks" dengan cara yang sama seperti perkalian mendistribusikan lebih dari penambahan:

Untuk alasan ini, dalam geometri tropis mengganti perkalian dengan penjumlahan dan penjumlahan dengan maksimalisasi. Dalam konteks ini, penjumlahan disebut "perkalian tropis", maksimisasi disebut "penjumlahan tropis", dan "identitas aditif" tropis adalah tak hingga negatif. Beberapa penulis lebih suka mengganti penambahan dengan minimalisasi; maka identitas aditifnya adalah tak terhingga positif.

Mengikat pengamatan ini bersama-sama, penambahan tropis kira-kira terkait dengan penambahan reguler melalui logaritma:

yang menjadi lebih akurat dengan bertambahnya basis logaritma. Perkiraan dapat dibuat eksak dengan mengekstraksi konstanta h, dinamai dengan analogi dengan konstanta Planck dari mekanika kuantum, dan mengambil "batas klasik" sebagai h cenderung nol:

Dalam hal ini, operasi maksimum adalah versi penambahan yang terdekuantisasi.

Cara lain untuk penambahan

Kenaikan, juga dikenal sebagai operasi penerus, adalah penambahan 1 ke suatu bilangan.

Penjumlahan menjelaskan penambahan banyak angka secara arbitrer, biasanya lebih dari dua. Ini mencakup gagasan tentang jumlah satu bilangan, yaitu bilangan itu sendiri, dan jumlah kosong, yaitu nol. Penjumlahan tak hingga adalah prosedur rumit yang dikenal sebagai deret].

Mencacah himpunan hingga setara dengan menjumlahkan 1 atas himpunan.

Integrasi adalah semacam "penjumlahan" pada kontinum, atau lebih tepatnya dan secara umum, pada manifold terdiferensiasi. Integrasi pada lipatan nol-dimensi direduksi menjadi penjumlahan.

Kombinasi linear menggabungkan perkalian dan penjumlahan; ia adalah jumlah di mana setiap istilah memiliki pengali, biasanya riil atau kompleks. Kombinasi linear sangat berguna dalam konteks di mana penambahan langsung akan melanggar beberapa aturan normalisasi, seperti campuran dari strategi dalam teori permainan atau superposisi dari keadaan dalam mekanika kuantum.

Konvolusi digunakan untuk menambahkan dua variabel acak independen yang ditentukan oleh fungsi distribusi. Definisi yang biasa menggabungkan integrasi, pengurangan, dan perkalian. Secara umum, konvolusi berguna sebagai semacam penambahan sisi domain; sebaliknya, penambahan vektor adalah semacam penambahan sisi jangkauan.

Lihat pula

• Aritmetika mental
• Penjumlahan paralel (matematika)
• Aritmetika verbal (juga dikenal sebagai kriptoaritma), teka-teki yang melibatkan penjumlahan

Catatan

1. "Addend" bukan kata Latin; dalam bahasa Latin itu harus dikonjugasikan lebih lanjut, seperti dalam numerus aaddendus "angka yang akan ditambahkan".
2. Beberapa penulis berpikir bahwa "simpan" mungkin tidak sesuai untuk pendidikan; Van de Walle (p. 211) menyebutnya "usang dan menyesatkan secara konseptual", lebih memilih kata "perdagangan". Namun, "simpan" tetap menjadi istilah standar.

Catatan kaki

1. From Enderton (p.138): "...select two sets K and L with card K = 2 and card L = 3. Sets of fingers are handy; sets of apples are preferred by textbooks."
2. Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama :0
3. "Addition". www.mathsisfun.com. Diakses tanggal 2020-08-25. 
4. Devine et al. p. 263
5. Mazur, Joseph. Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers. Princeton University Press, 2014. p. 161
6. Department of the Army (1961) Army Technical Manual TM 11-684: Principles and Applications of Mathematics for Communications-Electronics. Bagian 5.1
7. Shmerko, V.P.; Yanushkevich [Ânuškevič], Svetlana N. [Svitlana N.]; Lyshevski, S.E. (2009). Computer arithmetics for nanoelectronics. CRC Press. hlm. 80. 
8. Schmid, Hermann (1974). Decimal Computation (edisi ke-1st). Binghamton, NY: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-76180-X.  and Schmid, Hermann (1983) [1974]. Decimal Computation (edisi ke-reprint of 1st). Malabar, FL: Robert E. Krieger Publishing Company. ISBN 978-0-89874-318-0. 
9. Weisstein, Eric W. "Addition". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-25. 
10. Hosch, W.L. (Ed.). (2010). The Britannica Guide to Numbers and Measurement. The Rosen Publishing Group. p. 38
11. Schwartzman p. 19
12. Karpinski pp. 56–57, reproduced on p. 104
13. Cajori, Florian (1928). "Asal dan arti dari tanda + dan -". A History of Mathematical Notations, Vol. 1. The Open Court Company, Publishers. 
14. "plus". Oxford English Dictionary (edisi ke-Online). Oxford University Press.  Templat:OEDsub
15. Lihat Viro 2001 untuk contoh kecanggihan yang terlibat dalam penjumlahan dengan himpunan "kardinalitas pecahan".
16. Menambahkannya (p. 73) membandingkan menambahkan batang pengukur dengan menambahkan himpunan kucing: "Misalnya, inci dapat dibagi lagi menjadi beberapa bagian, yang sulit dibedakan dari keseluruhan, kecuali bahwa inci lebih pendek; sedangkan bagi kucing untuk membaginya menjadi beberapa bagian, dan itu sangat mengubah sifat mereka."
17. Mosley, F. (2001). Using number lines with 5–8 year olds. Nelson Thornes. p. 8
18. Li, Y., & Lappan, G. (2014). Mathematics curriculum in school education. Springer. p. 204
19. Kaplan pp. 69–71
20. Hempel, C.G. (2001). Filosofi Carl G. Hempel: studi dalam sains, penjelasan, dan rasionalitas. hal. 7
21. R. Fierro (2012) Mathematics for Elementary School Teachers. Cengage Learning. Sec 2.3
22. Wynn p. 5
23. Wynn p. 15
24. Wynn p. 17
25. Wynn p. 19
26. Randerson, James (21 August 2008). . The Guardian. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2 April 2015. Diakses tanggal 29 March 2015.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
27. F. Smith p. 130
28. Carpenter, Thomas; Fennema, Elizabeth; Franke, Megan Loef; Levi, Linda; Empson, Susan (1999). Children's mathematics: Cognitively guided instruction. Portsmouth, NH: Heinemann. ISBN 978-0-325-00137-1. 
29. Henry, Valerie J.; Brown, Richard S. (2008). "First-grade basic facts: An investigation into teaching and learning of an accelerated, high-demand memorization standard". Journal for Research in Mathematics Education. 39 (2): 153–183. doi:10.2307/30034895. JSTOR 30034895. 
30. Beckmann, S. (2014). Studi ICMI dua puluh tiga: studi matematika dasar pada bilangan bulat. Jurnal Internasional Pendidikan STEM, 1(1), 1-8. Chicago
31. Schmidt, W., Houang, R., & Cogan, L. (2002). "A coherent curriculum". American Educator, 26(2), 1–18.
32. Fosnot dan Dolk p. 99
33. Rebecca Wingard-Nelson (2014) Decimals and Fractions: It's Easy Enslow Publishers, Inc.
34. Dale R. Patrick, Stephen W. Fardo, Vigyan Chandra (2008) Dasar-Dasar Sistem Digital Elektronik The Fairmont Press, Inc. p. 155
35. P.E. Bates Bothman (1837) Aritmatika sekolah umum. Henry Benton. hal. 31
36. Truitt and Rogers hlm. 1;44–49 dan hlm. 2;77–78
37. Ifrah, Georges (2001). The Universal History of Computing: From the Abacus to the Quantum Computer. New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-39671-0.  hal. 11
38. Jean Marguin, hal. 48 (1994); Mengutip René Taton (1963)
39. Lihat Desain bersaing di artikel kalkulator Pascal
40. Flynn and Overman hlm. 2, 8
41. Joshua Bloch, "Ekstra, Ekstra – Baca Semua Tentang Ini: Hampir Semua Pencarian Biner dan Penggabungan Rusak" 2016-04-01 di Wayback Machine.. Blog Riset Google Resmi, 2 Juni 2006.
42. Neumann, Peter G. . The Risks Digest. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2014-12-28. Diakses tanggal 2015-03-30.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
43. Enderton chapters 4 and 5, sebagai contoh, mengikuti pengembangan ini.
44. Begle p. 49, Johnson p. 120, Devine et al. p. 75
45. Enderton hal. 79
46. Untuk versi yang berlaku untuk pohimpunan apa pun dengan kondisi rantai turunan, lihat Bergman hal. 100.
47. Enderton (p. 79) observes, "But we want one binary operation +, not all these little one-place functions."
48. Ferreirós p. 223
49. K.Smith hal. 234, Sparks dan Rees hal. 66
50. Enderton p. 92
51. Schyrlet Cameron, dan Carolyn Craig (2013)Menjumlahkan dan Mengurangi Pecahan, Nilai 5–8 Mark Twain, Inc.
52. Verifikasi dilakukan di Enderton hal. 104 dan membuat sketsa untuk bidang umum pecahan di atas ring komutatif di Dummit and Foote hal. 263.
53. Enderton hal. 114
54. Ferreirós hal. 135; lihat bagian 6 dari Stetigkeit und irrationale Zahlen 2005-10-31 di Wayback Machine..
55. Pendekatan intuitif, membalikkan setiap elemen potongan dan mengambil komplemen, hanya berfungsi untuk bilangan irasional; lihat Enderton hal. 117 untuk detailnya.
56. Schubert, E. Thomas, Phillip J. Windley, dan James Alves-Foss. "Higher Order Logic Theorem Proving and Its Applications: Proceedings of the 8th International Workshop, volume 971 dari." Catatan Kuliah di Ilmu Komputer (1995).
57. Konstruksi buku teks biasanya tidak begitu angkuh dengan simbol "lim"; lihat Burrill (p. 138) untuk pengembangan penjumlahan yang lebih cermat dan berlarut-larut dengan barisan Cauchy.
58. Ferreirós hal. 128
59. Burrill hal. 140
60. Conway, John B. (1986), Functions of One Complex Variable I, Springer, ISBN 978-0-387-90328-6 
61. Joshi, Kapil D (1989), Foundations of Discrete Mathematics, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-470-21152-6 
62. Lipschutz, S., & Lipson, M. (2001). Schaum's outline of theory and problems of linear algebra. Erlangga.
63. Riley, K.F.; Hobson, M.P.; Bence, S.J. (2010). Mathematical methods for physics and engineering. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3. 
64. Himpunan tetap harus kosong. Dummit and Foote (hal. 48) mendiskusikan kriteria ini yang ditulis secara berganda.
65. Rudin hal. 178
66. Lee hal. 526, Proposisi 20.9
67. Linderholm (hal. 49) mengamati, "Dengan perkalian, berbicara dengan benar, seorang matematikawan dapat berarti apa saja. Dengan penambahan dia mungkin berarti banyak hal, tetapi tidak begitu beragam seperti yang dia maksud dengan 'perkalian'."
68. Dummit dan Foote hal. 224. Agar argumen ini berhasil, kita masih harus berasumsi bahwa penjumlahan adalah operasi grup dan perkalian itu memiliki identitas.
69. Untuk contoh distribusi kiri dan kanan, lihat Loday, khususnya hal. 15.
70. Bandingkan Viro Gambar 1 (hal. 2)
71. Enderton menyebut pernyataan ini sebagai "Hukum Penyerapan Aritmatika Kardinal"; itu tergantung pada komparabilitas kardinal dan oleh karena itu pada Aksioma Pilihan.
72. Enderton hal. 164
73. Mikhalkin hal. 1
74. Akian et al. hal. 4
75. Mikhalkin hal. 2
76. Litvinov et al. hal. 3
77. Viro hal. 4
78. Martin hal. 49
79. Stewart hal. 8

Referensi

Sejarah

• Ferreirós, José (1999). Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics. Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-5749-9. 
• Karpinski, Louis (1925). The History of Arithmetic. Rand McNally. LCC QA21.K3. 
• Schwartzman, Steven (1994). The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English. MAA. ISBN 978-0-88385-511-9. 
• Williams, Michael (1985). A History of Computing Technology. Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-389917-7. 

Matematika elementer

• Sparks, F.; Rees C. (1979). A Survey of Basic Mathematics. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-059902-4. 

Pendidikan

• Begle, Edward (1975). The Mathematics of the Elementary School. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-004325-1. 
• Adopted December 1997, accessed December 2005.
• Devine, D.; Olson, J.; Olson, M. (1991). Elementary Mathematics for Teachers (edisi ke-2e). Wiley. ISBN 978-0-471-85947-5. 
• National Research Council (2001). . National Academy Press. doi:10.17226/9822. ISBN 978-0-309-06995-3. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2007-06-08. Diakses tanggal 2021-03-14. 
• Van de Walle, John (2004). Elementary and Middle School Mathematics: Teaching developmentally (edisi ke-5e). Pearson. ISBN 978-0-205-38689-5. 

Ilmu kognitif

• Fosnot, Catherine T.; Dolk, Maarten (2001). Young Mathematicians at Work: Constructing Number Sense, Addition, and Subtraction. Heinemann. ISBN 978-0-325-00353-5. 
• Wynn, Karen (1998). "Numerical competence in infants". The Development of Mathematical Skills. Taylor & Francis. ISBN 0-86377-816-X. 

Eksposisi matematika

• Bogomolny, Alexander (1996). . Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles (cut-the-knot.org). Diarsipkan dari versi asli tanggal April 26, 2006. Diakses tanggal 3 February 2006.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Dunham, William (1994). The Mathematical Universe. Wiley. ISBN 978-0-471-53656-7. 
• Johnson, Paul (1975). From Sticks and Stones: Personal Adventures in Mathematics. Science Research Associates. ISBN 978-0-574-19115-1. 
• Linderholm, Carl (1971). Mathematics Made Difficult. Wolfe. ISBN 978-0-7234-0415-6. 
• Smith, Frank (2002). The Glass Wall: Why Mathematics Can Seem Difficult. Teachers College Press. ISBN 978-0-8077-4242-6. 
• Smith, Karl (1980). The Nature of Modern Mathematics (edisi ke-3rd). Wadsworth. ISBN 978-0-8185-0352-8. 

Matematika tingkat lanjut

• Bergman, George (2005). An Invitation to General Algebra and Universal Constructions (edisi ke-2.3). General Printing. ISBN 978-0-9655211-4-7. 
• Burrill, Claude (1967). Foundations of Real Numbers. McGraw-Hill. LCC QA248.B95. 
• Dummit, D.; Foote, R. (1999). Abstract Algebra (edisi ke-2). Wiley. ISBN 978-0-471-36857-1. 
• Enderton, Herbert (1977). Elements of Set Theory. Academic Press. ISBN 978-0-12-238440-0. 
• Lee, John (2003). Introduction to Smooth Manifolds. Springer. ISBN 978-0-387-95448-6. 
• Martin, John (2003). Introduction to Languages and the Theory of Computation (edisi ke-3). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-232200-2. 
• Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis (edisi ke-3). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054235-8. 
• Stewart, James (1999). Calculus: Early Transcendentals (edisi ke-4). Brooks/Cole. ISBN 978-0-534-36298-0. 

Penelitian matematika

• Akian, Marianne; Bapat, Ravindra; Gaubert, Stephane (2005). "Min-plus methods in eigenvalue perturbation theory and generalised Lidskii-Vishik-Ljusternik theorem". INRIA Reports. arXiv:math.SP/0402090 . Bibcode:2004math......2090A. 
• Baez, J.; Dolan, J. (2001). Mathematics Unlimited – 2001 and Beyond. From Finite Sets to Feynman Diagrams. hlm. 29. arXiv:math.QA/0004133 . ISBN 3-540-66913-2. 
• Litvinov, Grigory; Maslov, Victor; Sobolevskii, Andreii (1999). Idempotent mathematics and interval analysis. Reliable Computing, Kluwer.
• Loday, Jean-Louis (2002). "Arithmetree". Journal of Algebra. 258: 275. arXiv:math/0112034 . doi:10.1016/S0021-8693(02)00510-0. 
• Mikhalkin, Grigory (2006). Sanz-Solé, Marta, ed. Proceedings of the International Congress of Mathematicians (ICM), Madrid, Spain, August 22–30, 2006. Volume II: Invited lectures. Tropical Geometry and its Applications. Zürich: European Mathematical Society. hlm. 827–852. arXiv:math.AG/0601041 . ISBN 978-3-03719-022-7. Zbl 1103.14034. 
• Viro, Oleg (2001). Cascuberta, Carles; Miró-Roig, Rosa Maria; Verdera, Joan; Xambó-Descamps, Sebastià, ed. European Congress of Mathematics: Barcelona, July 10–14, 2000, Volume I. Dequantization of Real Algebraic Geometry on Logarithmic Paper. Progress in Mathematics. 201. Basel: Birkhäuser. hlm. 135–146. arXiv:math/0005163 . Bibcode:2000math......5163V. ISBN 978-3-7643-6417-5. Zbl 1024.14026. 

Komputasi

• Flynn, M.; Oberman, S. (2001). Advanced Computer Arithmetic Design. Wiley. ISBN 978-0-471-41209-0. 
• Horowitz, P.; Hill, W. (2001). The Art of Electronics (edisi ke-2). Cambridge UP. ISBN 978-0-521-37095-0. 
• Jackson, Albert (1960). Analog Computation. McGraw-Hill. LCC QA76.4 J3. 
• Truitt, T.; Rogers, A. (1960). Basics of Analog Computers. John F. Rider. LCC QA76.4 T7. 
• Marguin, Jean (1994). Histoire des Instruments et Machines à Calculer, Trois Siècles de Mécanique Pensante 1642–1942 (dalam bahasa Prancis). Hermann. ISBN 978-2-7056-6166-3. 
• Taton, René (1963). Le Calcul Mécanique. Que Sais-Je ? n° 367 (dalam bahasa Prancis). Presses universitaires de France. hlm. 20–28. 

Bacaan lebih lanjut

• Baroody, Arthur; Tiilikainen, Sirpa (2003). The Development of Arithmetic Concepts and Skills. Two perspectives on addition development. Routledge. hlm. 75. ISBN 0-8058-3155-X. 
• Davison, David M.; Landau, Marsha S.; McCracken, Leah; Thompson, Linda (1999). Mathematics: Explorations & Applications (edisi ke-TE). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-435817-8. 
• Bunt, Lucas N.H.; Jones, Phillip S.; Bedient, Jack D. (1976). The Historical roots of Elementary Mathematics. Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-389015-0. 
• Poonen, Bjorn (2010). "Addition". Girls' Angle Bulletin. 3 (3–5). ISSN 2151-5743. 
• Weaver, J. Fred (1982). Addition and Subtraction: A Cognitive Perspective. Interpretations of Number Operations and Symbolic Representations of Addition and Subtraction. Taylor & Francis. hlm. 60. ISBN 0-89859-171-6. 

Templat:Operasi-hiper