www.wikidata.id-id.nina.az

Sifat asosiatif Templat Kaidah transformasiDalam matematika sifat asosiatif 1 adalah sifat dari beberapa operasi biner y

Sifat asosiatif

Templat:Kaidah transformasi

Dalam matematika, sifat asosiatif adalah sifat dari beberapa operasi biner, yang berarti bahwa mengatur ulang tanda kurung dalam ekspresi yang tidak mengubah hasilnya. Dalam logika proposisional, asosiativitas adalah valid kaidah penggantian untuk ekspresi dalam bukti logika.

Dalam ekspresi dengan dua atau lebih dari satu baris dari operasi asosiatif, urutan operasi untuk urutan operand yang tidak berubah. Artinya, menata ulang tanda kurung dalam ekspresi tersebut tidak akan mengubah nilainya. Perhatikan persamaan berikut:

Meskipun tanda kurung diatur ulang pada setiap baris, nilai ekspresi tersebut tidak diubah. Karena penjumlahan dan perkalian terdapat pada bilangan riil, maka dikatakan bahwa "penjumlahan dan perkalian bilangan riil adalah operasi asosiatif".

Asosiatif berbeda dengan komutativitas, dengan urutan dua operan memengaruhi hasil. Misalnya, urutan tidak menjadi masalah dalam perkalian bilangan riil, yaitu a × b = b × a, jadi perkalian bilangan riil adalah operasi komutatif.

Operasi asosiatif dalam matematika; pada kenyataannya, banyak struktur aljabar (yaitu semigrup dan kategori) secara eksplisit membutuhkan operasi biner untuk menjadi asosiatif.

Namun, terdapat operasi yang bukan asosiatif yaitu non-asosiatif; beberapa contoh termasuk pengurangan, eksponen, dan perkalian silang vektor. Berbeda dengan sifat teoritis bilangan riil, penambahan bilangan titik pengambangan dalam ilmu komputer yang tidak bersifat asosiatif, dan pilihan cara mengaitkan ekspresi dapat berpengaruh signifikan pada kesalahan pembulatan.

Definisi Sunting

Sebuah operasi biner ∗ pada himpunan asosiatif ketika diagram ini komutatif. Artinya, ketika dua jalur dari ke komposisi menadi fungsi yang sama dari ke .

Secara formal, sebuah operasi biner pada sebuah himpunan disebut asosiatif jika memenuhi hukum asosiatif.

, untuk semua dalam

Disini digunakan untuk menggantikan simbol operasi, yang mungkin merupakan simbol apapun, dan meskipun ketiadaan dari simbol (penjajaran) sebagai untuk perkalian.

, untuk semua dalam .

Hukum asosiatif bisa juga diekspresikan dalam notasi fungsional jadiː .

Hukum asosiatif yang digeneralisasikan Sunting

Dalam ketiadaan dari sifat asosiatif, kelima faktor menghasilkan sebuah kisi Tamari urutan keempat, produk yang mungkin berbeda.

Jika sebuah operasi biner adalah asosiatif, penerapan berulang dari operasi menghasilkan hasil yang sama terlepas dan bagaimana pasangan tanda kurung yang sah disisipkan dalam ekspresi. Ini disebut hukum asosiatif yang digeneralisasi. Misalnya, sebuah porduk fari empat anggota bisa ditulis bisa ditulis, tanpa menggantikan urutan dari faktor-faktor, dalam lima kemungkinanː

Jika operasi produk adalah asosiatif, hukum asosiatif yang digeneralisasi mengatakan bahwa semua rumus-rumus ini akan menghasilkan hasil yang sama. Jadi kecuali rumus dengan tanda kurung yang dihilangkan sudah memiliki sebuah arti yang berbeda (lihat bawah), tanda kurung bisa dianggap tidak perlu dan produk"nya" bisa ditulis dengan jelas sebagaiː

Sebagai bilangan dari anggota-anggota meningkat, bilangan dari kemungkinan cara untuk memasukkan tanda kurung tumbuh dengan cepat, tetapi tidak perlu untuk disambiguasi.

Sebuah contoh di mana tidak bekerja adalah bikondisional logis . Ini adalah asosiatif, demikian ekuivalen dengan , namun paling umum mengartikan ( dan ), yang tidak ekuivalen

Contoh Sunting

Dalam operasi-operasi asosiatif adalah .
Penjumlahan dari bilangan real adalah asosiatif.

Beberapa contoh dari operasi-operasi asosiatif termasuk yang berikut ini.

  • Penggabungan dari tiga rangkaian "hello", " ", "world" bisa dihitung oleh penggabungan dua rangkaian pertama (diberikan "hello ") dan menambhakan rangkaian ketiga ("world"), atau dengan menggabungkan rangkaian kedua atau ketiga (diberikan " world") dan menggabungkan rangkaian pertama ("hello") dengan hasilnya. Keuda metodenya menghasilkan hasil yang sama, penggabungan rangkaian adalah asosiatig (tetapi bukan komutatif).
  • Dalam aritmetika, penjumlahan dan perkalian dari bilangan real adalah asosiatif, yaitu,
Karena asosiatif, pengelompokan tanda kurung bisa dihilangkan tanpa kemenduaan.
  • Operasi biasa (artinya, hasilnya adalah argumen pertama, tidak peduli apa argumen keduanya) adalah asosiatif, tetapi bukan komutatif. Demikian juga, operasi trivial (artinya, hasilnya adalah argumen kedua, tidak peduli apa argumen kepertamanya) adalah asosiatif, tetapi bukan komutatif.
  • Penjumlahan dan peralian dari bilangan kompleks dan kuaternion adalah asosiatif. Penjumlahan dari oktonion juga asosiatif, tetapi perkalian dari oktonion adalah tidak asosiatif.
  • Fungsi faktor persekutuan terbesar dan kelipatan persekutuan terkecil bersifat secara asosiatif.
  • Jika adalah beberapa himpunan dan melambangkan himpunan dari semua fungsi dari ke , maka operasi dari komposisi fungsi pada adalah asosiatifː
  • Sedikit lebih umum, diberikan empat himpunan , , , dan , dengan ː ke ,ː ke , dan ː ke , makaː
  • Tinjaulah sebuah himpunan dengan tiga anggota, , , dan . Operasi berikut iniː
× A B C
A A A A
B A B C
C A A A

Logika proposisional Sunting

Aturan penggantian Sunting

Dalam logika proposisional kebenaran fungsional standar, asosiasi, atau asosiatif adalah dua aturan penggantian yang sah. Peraturannya memungkinkan salah satunya untuk memindahkan tanda kurung dalam ekspresi logis dalam bukti logis. Aturan (menggunakan notasi penghubung logis adalahː

dan

dimana "" adalah simbol metalogis mewakili "bisa menggantikan dalam sebuah bukti dengan."

Penghubung fungsional kebenaran Sunting

Asosiatif adalah sebuah sifat dari beberapa penghubung logis. Kesetaraan logis berikut mendemonstrasikan bahwa asosiatif adalah sebuah sifat dari penghubung tertentu. Berikut ini adalah tautologi fungsional kebenaran.

Asosiatif dari disjungsi

Asosatif dari konjungsi

Asosatif dari kesetaraan

Penolakan bersama adalah sebuah contoh dari sebuah penghubung fungsional kebenaran yang bukan asosiatif.

Operasi non-asosiatif Sunting

Sebuah operasi biner pada sebuah himpunan yang tidak memenuhi hukum asosiatif disebut non-asosiatif. Secara simbolis,

Untuk sebuah operasi, urutan dari evaluasi itu penting. Sebagai contohː

Studi tentang struktur-struktur non-asosiatif muncul dari alasan-alasan agak berbeda dari arus utama dari aljabar klasik. Satu area dalam aljabar non-asosiatif yang tumbuh sangat besar adalah aljabar Lie. Disana hukum asosiatif dignatikan oleh identitas Jacobi. Aljabar Lie meringkaskan alami esensial dari transformasi infinitesimal, dan telah menjadi di mana-mana dalam matematika.

Terdapat jenis-jenis tertentu lainnya yang telah dipelajari secara mendalam; ini cenderung berasal dari beberapa penerapan yang spesifik atau bidang-bidang seperti matematika kombinatorial. Contoh lainnya adalah kuasigrup, kuasibidang, gelanggang non-asosiatif, aljabar non-asosiatif dan magma non-asosiatif komutatif.

Nonasosiatif dari perhitungan titik mengambang Sunting

Dalam matematika, penjumlahan dan perkalian dari bilangan real adalah asosiatif. Sebaliknya, dalam ilmu komputer, penjumlahan dan perkalian dari bilangan titik mengambang tidak asosiatif, sebagai galat pembulatan diperkenalkan ketika nilai-nilai berukuran berbeda digabungkan berbeda.

Untuk mengilustrasikan ini, tinjaulah sebuah representasi titik mengambang dengan sebuah mantissa 4-bit.

(1.0002×20 + 1.0002×20) + 1.0002×24 = 1.0002×21 + 1.0002×24 = 1.0012×24

1.0002×20 + (1.0002×20 + 1.0002×24) = 1.0002×20 + 1.0002×24 = 1.0002×24

Meskipun sebagian besar komputer-komputer menghitung dengan 24 atau 53 bit mantissa, ini adalah sumber yang penting dari galat pembulatan, dan mendekati seperti algoritma penjumlahan Kahan adalah cara untuk memperkecil galat-galatnya. Itu bisa sangat berpengalaman dlam komputer paralel.

Notasi untuk operasi-operasi non-asosiastif Sunting

Secara umum, tanda kurung pasti digunakan untuk menunjukkan urutan evaluasi jika sebuah operasi non-asosiatif muncul lebih dari satu dalam sebuah ekspresi (kecuali notasinya menentukan urutannya dengan cara lain, seperti ). Namun, matematikawan setuju pada sebuah urutan evaluasi tertentu untuk beberapa umum operasi non-asosiatif. Ini meyederhanakan sebuah konvensi notasi untuk menghindari tanda kurung.

Sebuah operasi asosiatif kiri adalah operasi non-asosiatif yang secara konvensional dievaluasikan dari kiri ke kanan, yaitu,

sedangkan sebuah operasi asosiatif kanan secara konvensional dievaluasikan dari kanan ke kiri.

Kedua operasi asosiatif kiri dan asosiatif kanan terjadi. Operasi asosiatif kiri termasuk yang berikut ini.

  • Pengurangan dan pembagian dari bilangan realː
  • Penerapanː fungsi
Notasi ini bisa dimotivasi dengan currying isomorfisme.

Operasi asosiatif kanan termasuk yang berikut ini.

Operasi non-asosiatif untuk yang urutan evaluasi yang tidak konvensional didefinisikan termasuk sebagai berikut.

  • Eksponensiasi dari bilangan real dalam notasi infiks.
  • Mengambil komplemen relatif dari himpunan tidak sama dengan . (Membandingkan nonimplikasi material dalam logika.)

Lihat pula Sunting

  • Uji asosiatif Light
  • Deret teleskopik, penggunaan dari asosatif penjumlahan untuk membatalkan istilah dalam sebuah deret tak terhingga
  • Sebuah semigrup adalah sebuah himpunan dengan operasi biner asosiatif.
  • Komutatif dan distributif adalah dua lainnya yang sering dibahas sifat-sifat dari operasi-operasi biner.
  • Asosiatif pangkat, alternatif, fleksibilitas, dan asosiatif N-ari adalah bentuk-bentuk yang lemah dari asosiatif.
  • Identitas Moufang juga memberikan bentuk yang lemah dari asosiatif.

Referensi Sunting

  1. Hungerford, Thomas W. (1974). Algebra (edisi ke-1st). Springer. hlm. 24. ISBN 978-0387905181. Definisi 1.1 (i)a (bc) = (ab) c untuk semua a, b, c dalam G. 
  2. Durbin, John R. (1992). Modern Algebra: an Introduction (edisi ke-3rd). New York: Wiley. hlm. 78. ISBN 978-0-471-51001-7. If are elements of a set with an associative operation, then the product is unambiguous; this is, the same element will be obtained regardless of how parentheses are inserted in the product 
  3. "Matrix product associativity". Khan Academy. Diakses tanggal 5 June 2016. 
  4. Moore, Brooke Noel; Parker, Richard (2017). Critical Thinking (12th edition). New York: McGraw-Hill Education. hlm. 321. ISBN 9781259690877. 
  5. Copi, Irving M.; Cohen, Carl; McMahon, Kenneth (2014). Introduction to Logic (14th edition). Essex: Pearson Education. hlm. 387. ISBN 9781292024820. 
  6. Hurley, Patrick J.; Watson, Lori (2016). A Concise Introduction to Logic (13th edition). Boston: Cengage Learning. hlm. 427. ISBN 9781305958098. 
  7. "Symbolic Logic Proof of Associativity". Math.stackexchange.com. 22 March 2017. 
  8. Knuth, Donald, The Art of Computer Programming, Volume 3, section 4.2.2
  9. IEEE Computer Society (29 August 2008). IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic. doi:10.1109/IEEESTD.2008.4610935. ISBN 978-0-7381-5753-5. IEEE Std 754-2008. 
  10. Villa, Oreste; Chavarría-mir, Daniel; Gurumoorthi, Vidhya; Márquez, Andrés; Krishnamoorthy, Sriram, (PDF), diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 15 February 2013, diakses tanggal 8 April 2014 
  11. Goldberg, David (March 1991). . ACM Computing Surveys. 23 (1): 5–48. doi:10.1145/103162.103163. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2016-04-06. Diakses tanggal 20 January 2016. (,)
  12. George Mark Bergman: Order of arithmetic operations
  13. Education Place: The Order of Operations 2017-06-08 di Wayback Machine.
  14. Khan Academy: The Order of Operations, timestamp 5m40s
  15. Virginia Department of Education: Using Order of Operations and Exploring Properties 2022-07-16 di Wayback Machine., section 9
  16. Bronstein: de:Taschenbuch der Mathematik, pages 115-120, chapter: 2.4.1.1, ISBN 978-3-8085-5673-3
  17. Exponentiation Associativity and Standard Math Notation Codeplea. 23 August 2016. Retrieved 20 September 2016.
wikipedia, wiki, buku, buku, perpustakaan, artikel, baca, unduh, gratis, unduh gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, gambar, musik, lagu, film, buku, permainan, permainan.
Tanggal penerbitan:
Templat Kaidah transformasiDalam matematika sifat asosiatif 1 adalah sifat dari beberapa operasi biner yang berarti bahwa mengatur ulang tanda kurung dalam ekspresi yang tidak mengubah hasilnya Dalam logika proposisional asosiativitas adalah valid kaidah penggantian untuk ekspresi dalam bukti logika Dalam ekspresi dengan dua atau lebih dari satu baris dari operasi asosiatif urutan operasi untuk urutan operand yang tidak berubah Artinya menata ulang tanda kurung dalam ekspresi tersebut tidak akan mengubah nilainya Perhatikan persamaan berikut 2 3 4 2 3 4 9 displaystyle 2 3 4 2 3 4 9 2 3 4 2 3 4 24 displaystyle 2 times 3 times 4 2 times 3 times 4 24 Meskipun tanda kurung diatur ulang pada setiap baris nilai ekspresi tersebut tidak diubah Karena penjumlahan dan perkalian terdapat pada bilangan riil maka dikatakan bahwa penjumlahan dan perkalian bilangan riil adalah operasi asosiatif Asosiatif berbeda dengan komutativitas dengan urutan dua operan memengaruhi hasil Misalnya urutan tidak menjadi masalah dalam perkalian bilangan riil yaitu a b b a jadi perkalian bilangan riil adalah operasi komutatif Operasi asosiatif dalam matematika pada kenyataannya banyak struktur aljabar yaitu semigrup dan kategori secara eksplisit membutuhkan operasi biner untuk menjadi asosiatif Namun terdapat operasi yang bukan asosiatif yaitu non asosiatif beberapa contoh termasuk pengurangan eksponen dan perkalian silang vektor Berbeda dengan sifat teoritis bilangan riil penambahan bilangan titik pengambangan dalam ilmu komputer yang tidak bersifat asosiatif dan pilihan cara mengaitkan ekspresi dapat berpengaruh signifikan pada kesalahan pembulatan Daftar isi 1 Definisi 2 Hukum asosiatif yang digeneralisasikan 3 Contoh 4 Logika proposisional 4 1 Aturan penggantian 4 2 Penghubung fungsional kebenaran 5 Operasi non asosiatif 5 1 Nonasosiatif dari perhitungan titik mengambang 5 2 Notasi untuk operasi operasi non asosiastif 6 Lihat pula 7 ReferensiDefinisi Sunting nbsp Sebuah operasi biner pada himpunan S displaystyle S nbsp asosiatif ketika diagram ini komutatif Artinya ketika dua jalur dari S S S displaystyle S times S times S nbsp ke komposisi S displaystyle S nbsp menadi fungsi yang sama dari S S S displaystyle S times S times S nbsp ke S displaystyle S nbsp Secara formal sebuah operasi biner displaystyle nbsp pada sebuah himpunan S displaystyle S nbsp disebut asosiatif jika memenuhi hukum asosiatif x y z x y z displaystyle x y z x y z nbsp untuk semua x y z displaystyle x y z nbsp dalam S displaystyle S nbsp Disini displaystyle nbsp digunakan untuk menggantikan simbol operasi yang mungkin merupakan simbol apapun dan meskipun ketiadaan dari simbol penjajaran sebagai untuk perkalian x y z x y z x y z displaystyle xy z x yz xyz nbsp untuk semua x y z displaystyle x y z nbsp dalam S displaystyle S nbsp Hukum asosiatif bisa juga diekspresikan dalam notasi fungsional jadiː f f x y z f x f y z displaystyle f f x y z f x f y z nbsp Hukum asosiatif yang digeneralisasikan Sunting nbsp Dalam ketiadaan dari sifat asosiatif kelima faktor a b c d e displaystyle a b c d e nbsp menghasilkan sebuah kisi Tamari urutan keempat produk yang mungkin berbeda Jika sebuah operasi biner adalah asosiatif penerapan berulang dari operasi menghasilkan hasil yang sama terlepas dan bagaimana pasangan tanda kurung yang sah disisipkan dalam ekspresi 2 Ini disebut hukum asosiatif yang digeneralisasi Misalnya sebuah porduk fari empat anggota bisa ditulis bisa ditulis tanpa menggantikan urutan dari faktor faktor dalam lima kemungkinanː a b c d displaystyle ab c d nbsp a b c d displaystyle ab cd nbsp a b c d displaystyle a bc d nbsp a b c d displaystyle a bc d nbsp a b c d displaystyle a b cd nbsp Jika operasi produk adalah asosiatif hukum asosiatif yang digeneralisasi mengatakan bahwa semua rumus rumus ini akan menghasilkan hasil yang sama Jadi kecuali rumus dengan tanda kurung yang dihilangkan sudah memiliki sebuah arti yang berbeda lihat bawah tanda kurung bisa dianggap tidak perlu dan produk nya bisa ditulis dengan jelas sebagaiː a b c d displaystyle abcd nbsp Sebagai bilangan dari anggota anggota meningkat bilangan dari kemungkinan cara untuk memasukkan tanda kurung tumbuh dengan cepat tetapi tidak perlu untuk disambiguasi Sebuah contoh di mana tidak bekerja adalah bikondisional logis displaystyle leftrightarrow nbsp Ini adalah asosiatif demikian A B C displaystyle A leftrightarrow B leftrightarrow C nbsp ekuivalen dengan A B C displaystyle A leftrightarrow B leftrightarrow C nbsp namun A B C displaystyle A leftrightarrow B leftrightarrow C nbsp paling umum mengartikan A B displaystyle A leftrightarrow B nbsp dan B C displaystyle B leftrightarrow C nbsp yang tidak ekuivalenContoh Sunting nbsp Dalam operasi operasi asosiatif adalah x y z x y z displaystyle x circ y circ z x circ y circ z nbsp nbsp Penjumlahan dari bilangan real adalah asosiatif Beberapa contoh dari operasi operasi asosiatif termasuk yang berikut ini Penggabungan dari tiga rangkaian hello world bisa dihitung oleh penggabungan dua rangkaian pertama diberikan hello dan menambhakan rangkaian ketiga world atau dengan menggabungkan rangkaian kedua atau ketiga diberikan world dan menggabungkan rangkaian pertama hello dengan hasilnya Keuda metodenya menghasilkan hasil yang sama penggabungan rangkaian adalah asosiatig tetapi bukan komutatif Dalam aritmetika penjumlahan dan perkalian dari bilangan real adalah asosiatif yaitu x y z x y z x y z x y z x y z x y z untuk semua x y z R displaystyle left begin matrix x y z x y z x y z quad x y z x y z x y z qquad qquad qquad quad end matrix right mbox untuk semua x y z in mathbb R nbsp dd Karena asosiatif pengelompokan tanda kurung bisa dihilangkan tanpa kemenduaan Operasi biasa x y x displaystyle x y x nbsp artinya hasilnya adalah argumen pertama tidak peduli apa argumen keduanya adalah asosiatif tetapi bukan komutatif Demikian juga operasi trivial x y y displaystyle x circ y y nbsp artinya hasilnya adalah argumen kedua tidak peduli apa argumen kepertamanya adalah asosiatif tetapi bukan komutatif Penjumlahan dan peralian dari bilangan kompleks dan kuaternion adalah asosiatif Penjumlahan dari oktonion juga asosiatif tetapi perkalian dari oktonion adalah tidak asosiatif Fungsi faktor persekutuan terbesar dan kelipatan persekutuan terkecil bersifat secara asosiatif gcd gcd x y z gcd x gcd y z gcd x y z lcm lcm x y z lcm x lcm y z lcm x y z for all x y z Z displaystyle left begin matrix operatorname gcd operatorname gcd x y z operatorname gcd x operatorname gcd y z operatorname gcd x y z quad operatorname lcm operatorname lcm x y z operatorname lcm x operatorname lcm y z operatorname lcm x y z quad end matrix right mbox for all x y z in mathbb Z nbsp dd Mengambil irisan atau gabungan dari himpunan himpunanː A B C A B C A B C A B C A B C A B C for all sets A B C displaystyle left begin matrix A cap B cap C A cap B cap C A cap B cap C quad A cup B cup C A cup B cup C A cup B cup C quad end matrix right mbox for all sets A B C nbsp dd Jika M displaystyle M nbsp adalah beberapa himpunan dan S displaystyle S nbsp melambangkan himpunan dari semua fungsi dari M displaystyle M nbsp ke M displaystyle M nbsp maka operasi dari komposisi fungsi pada S displaystyle S nbsp adalah asosiatifː f g h f g h f g h for all f g h S displaystyle f circ g circ h f circ g circ h f circ g circ h qquad mbox for all f g h in S nbsp dd Sedikit lebih umum diberikan empat himpunan M displaystyle M nbsp N displaystyle N nbsp P displaystyle P nbsp dan Q displaystyle Q nbsp dengan h displaystyle h nbsp ː M displaystyle M nbsp ke N displaystyle N nbsp g displaystyle g nbsp ː N displaystyle N nbsp ke P displaystyle P nbsp dan f displaystyle f nbsp ː P displaystyle P nbsp ke Q displaystyle Q nbsp makaː f g h f g h f g h displaystyle f circ g circ h f circ g circ h f circ g circ h nbsp dd seperti sebelumnya Pendeknya komposisi dari peta selalu asosiatif Tinjaulah sebuah himpunan dengan tiga anggota A displaystyle A nbsp B displaystyle B nbsp dan C displaystyle C nbsp Operasi berikut iniː A B CA A A AB A B CC A A Aasosiatif Demikian sebagai contoh A B C A B C A displaystyle A BC AB C A nbsp Operasi ini tidak komutatif Karena matriks mewakili fungsi linear dan perkalian matriks mewakili komposisi fungsi salah satunya bisa secepatnya menyimpulkan bahwa perkalian matriks adalah asosiatif 3 Logika proposisional SuntingAturan penggantian Sunting Dalam logika proposisional kebenaran fungsional standar asosiasi 4 5 atau asosiatif 6 adalah dua aturan penggantian yang sah Peraturannya memungkinkan salah satunya untuk memindahkan tanda kurung dalam ekspresi logis dalam bukti logis Aturan menggunakan notasi penghubung logis adalahː P Q R P Q R displaystyle P lor Q lor R Leftrightarrow P lor Q lor R nbsp dan P Q R P Q R displaystyle P land Q land R Leftrightarrow P land Q land R nbsp dimana displaystyle Leftrightarrow nbsp adalah simbol metalogis mewakili bisa menggantikan dalam sebuah bukti dengan Penghubung fungsional kebenaran Sunting Asosiatif adalah sebuah sifat dari beberapa penghubung logis Kesetaraan logis berikut mendemonstrasikan bahwa asosiatif adalah sebuah sifat dari penghubung tertentu Berikut ini adalah tautologi fungsional kebenaran 7 Asosiatif dari disjungsi P Q R P Q R displaystyle P lor Q lor R leftrightarrow P lor Q lor R nbsp P Q R P Q R displaystyle P lor Q lor R leftrightarrow P lor Q lor R nbsp Asosatif dari konjungsi P Q R P Q R displaystyle P land Q land R leftrightarrow P land Q land R nbsp P Q R P Q R displaystyle P land Q land R leftrightarrow P land Q land R nbsp Asosatif dari kesetaraan P Q R P Q R displaystyle P leftrightarrow Q leftrightarrow R leftrightarrow P leftrightarrow Q leftrightarrow R nbsp P Q R P Q R displaystyle P leftrightarrow Q leftrightarrow R leftrightarrow P leftrightarrow Q leftrightarrow R nbsp Penolakan bersama adalah sebuah contoh dari sebuah penghubung fungsional kebenaran yang bukan asosiatif Operasi non asosiatif SuntingSebuah operasi biner displaystyle nbsp pada sebuah himpunan S displaystyle S nbsp yang tidak memenuhi hukum asosiatif disebut non asosiatif Secara simbolis Untuk sebuah operasi urutan dari evaluasi itu penting Sebagai contohː Pengurangan 5 3 2 5 3 2 displaystyle 5 3 2 neq 5 3 2 nbsp Pembagian4 2 2 4 2 2 displaystyle 4 div 2 div 2 neq 4 div 2 div 2 nbsp Eksponensiasi Eksponen2 1 2 2 1 2 displaystyle 2 1 2 neq 2 1 2 nbsp Studi tentang struktur struktur non asosiatif muncul dari alasan alasan agak berbeda dari arus utama dari aljabar klasik Satu area dalam aljabar non asosiatif yang tumbuh sangat besar adalah aljabar Lie Disana hukum asosiatif dignatikan oleh identitas Jacobi Aljabar Lie meringkaskan alami esensial dari transformasi infinitesimal dan telah menjadi di mana mana dalam matematika Terdapat jenis jenis tertentu lainnya yang telah dipelajari secara mendalam ini cenderung berasal dari beberapa penerapan yang spesifik atau bidang bidang seperti matematika kombinatorial Contoh lainnya adalah kuasigrup kuasibidang gelanggang non asosiatif aljabar non asosiatif dan magma non asosiatif komutatif Nonasosiatif dari perhitungan titik mengambang Sunting Dalam matematika penjumlahan dan perkalian dari bilangan real adalah asosiatif Sebaliknya dalam ilmu komputer penjumlahan dan perkalian dari bilangan titik mengambang tidak asosiatif sebagai galat pembulatan diperkenalkan ketika nilai nilai berukuran berbeda digabungkan berbeda 8 Untuk mengilustrasikan ini tinjaulah sebuah representasi titik mengambang dengan sebuah mantissa 4 bit 1 0002 20 1 0002 20 1 0002 24 1 0002 21 1 0002 24 1 001 2 241 0002 20 1 0002 20 1 0002 24 1 0002 20 1 000 2 24 1 000 2 24Meskipun sebagian besar komputer komputer menghitung dengan 24 atau 53 bit mantissa 9 ini adalah sumber yang penting dari galat pembulatan dan mendekati seperti algoritma penjumlahan Kahan adalah cara untuk memperkecil galat galatnya Itu bisa sangat berpengalaman dlam komputer paralel 10 11 Notasi untuk operasi operasi non asosiastif Sunting Secara umum tanda kurung pasti digunakan untuk menunjukkan urutan evaluasi jika sebuah operasi non asosiatif muncul lebih dari satu dalam sebuah ekspresi kecuali notasinya menentukan urutannya dengan cara lain seperti 2 3 4 displaystyle frac 2 3 4 nbsp Namun matematikawan setuju pada sebuah urutan evaluasi tertentu untuk beberapa umum operasi non asosiatif Ini meyederhanakan sebuah konvensi notasi untuk menghindari tanda kurung Sebuah operasi asosiatif kiri adalah operasi non asosiatif yang secara konvensional dievaluasikan dari kiri ke kanan yaitu x y z x y z w x y z w x y z etc for all w x y z S displaystyle left begin matrix x y z x y z qquad qquad quad w x y z w x y z quad mbox etc qquad qquad qquad qquad qquad qquad end matrix right mbox for all w x y z in S nbsp sedangkan sebuah operasi asosiatif kanan secara konvensional dievaluasikan dari kanan ke kiri x y z x y z w x y z w x y z etc for all w x y z S displaystyle left begin matrix x y z x y z qquad qquad quad w x y z w x y z quad mbox etc qquad qquad qquad qquad qquad qquad end matrix right mbox for all w x y z in S nbsp Kedua operasi asosiatif kiri dan asosiatif kanan terjadi Operasi asosiatif kiri termasuk yang berikut ini Pengurangan dan pembagian dari bilangan realː 12 13 14 15 16 Penerapanː fungsi f x y f x y displaystyle f x y f x y nbsp dd Notasi ini bisa dimotivasi dengan currying isomorfisme Operasi asosiatif kanan termasuk yang berikut ini Eksponensiasi atau bilangan real dalam notasi superskripːx y z x y z displaystyle x y z x y z nbsp dd Eksponensiasi biasanya digunakan dengan tanda kurung atau asosatif kanan karena sebuah operasi eksponensiasi asosiatif kiri yang berulang tidak banyak digunakan Pangkat berulang sering ditulis ulang dengan perkalian x y z x y z displaystyle x y z x yz nbsp dd Diformat dengan benar supeskrip secara inheren berperilaku sebagai sebuah himpunan dari tanda kurung misalnya dalam ekspresi 2 x 3 displaystyle 2 x 3 nbsp penjumlahan dilkaukan sebelum eksponensiasi meskipun tidak ada tanda kurung eksplisit 2 x 3 displaystyle 2 x 3 nbsp melilitnya Demikian diberikan sebuah ekspresi seperti x y z displaystyle x y z nbsp eksponen penuh y z displaystyle y z nbsp dari dasar x displaystyle x nbsp dievaluasikan pertama Namun dalam beberapa konteks termasuk tulis tangan perbedaan antara x y z x y z displaystyle x y z x y z nbsp x y z x y z displaystyle x yz x yz nbsp dan x y z x y z displaystyle x y z x y z nbsp bisa jadi sulit untuk dilihat Dalam kasus seperti itu asosiatif kanan biasanya tersirat Definisi fungsiMenggunakan notasi asosiatif kanan untuk operasi operasi ini bisa dimotivasi oleh korespondensi Curry Howard dan dengan currying isomorfisme Operasi non asosiatif untuk yang urutan evaluasi yang tidak konvensional didefinisikan termasuk sebagai berikut Eksponensiasi dari bilangan real dalam notasi infiks 17 x y z x y z displaystyle x wedge y wedge z neq x wedge y wedge z nbsp dd Operator panah atas Knutha b c a b c displaystyle a uparrow uparrow b uparrow uparrow c neq a uparrow uparrow b uparrow uparrow c nbsp a b c a b c displaystyle a uparrow uparrow uparrow b uparrow uparrow uparrow c neq a uparrow uparrow uparrow b uparrow uparrow uparrow c nbsp dd Mengambil produk silang Mengambil rata rata berpasangan dari bilangan realː x y 2 z 2 x y z 2 2 for all x y z R with x z displaystyle x y 2 z over 2 neq x y z 2 over 2 qquad mbox for all x y z in mathbb R mbox with x neq z nbsp dd Mengambil komplemen relatif dari himpunan A B C displaystyle A backslash B backslash C nbsp tidak sama dengan A B C displaystyle A backslash B backslash C nbsp Membandingkan nonimplikasi material dalam logika Lihat pula SuntingUji asosiatif Light Deret teleskopik penggunaan dari asosatif penjumlahan untuk membatalkan istilah dalam sebuah deret tak terhingga Sebuah semigrup adalah sebuah himpunan dengan operasi biner asosiatif Komutatif dan distributif adalah dua lainnya yang sering dibahas sifat sifat dari operasi operasi biner Asosiatif pangkat alternatif fleksibilitas dan asosiatif N ari adalah bentuk bentuk yang lemah dari asosiatif Identitas Moufang juga memberikan bentuk yang lemah dari asosiatif Referensi Sunting Hungerford Thomas W 1974 Algebra edisi ke 1st Springer hlm 24 ISBN 978 0387905181 Definisi 1 1 i a bc ab c untuk semua a b c dalam G Durbin John R 1992 Modern Algebra an Introduction edisi ke 3rd New York Wiley hlm 78 ISBN 978 0 471 51001 7 If a 1 a 2 a n n 2 displaystyle a 1 a 2 dots a n n geq 2 nbsp are elements of a set with an associative operation then the product a 1 a 2 a n displaystyle a 1 a 2 dots a n nbsp is unambiguous this is the same element will be obtained regardless of how parentheses are inserted in the product Matrix product associativity Khan Academy Diakses tanggal 5 June 2016 Moore Brooke Noel Parker Richard 2017 Critical Thinking 12th edition New York McGraw Hill Education hlm 321 ISBN 9781259690877 Copi Irving M Cohen Carl McMahon Kenneth 2014 Introduction to Logic 14th edition Essex Pearson Education hlm 387 ISBN 9781292024820 Hurley Patrick J Watson Lori 2016 A Concise Introduction to Logic 13th edition Boston Cengage Learning hlm 427 ISBN 9781305958098 Symbolic Logic Proof of Associativity Math stackexchange com 22 March 2017 Knuth Donald The Art of Computer Programming Volume 3 section 4 2 2 IEEE Computer Society 29 August 2008 IEEE Standard for Floating Point Arithmetic doi 10 1109 IEEESTD 2008 4610935 ISBN 978 0 7381 5753 5 IEEE Std 754 2008 Villa Oreste Chavarria mir Daniel Gurumoorthi Vidhya Marquez Andres Krishnamoorthy Sriram Effects of Floating Point non Associativity on Numerical Computations on Massively Multithreaded Systems PDF diarsipkan dari versi asli PDF tanggal 15 February 2013 diakses tanggal 8 April 2014 Parameter url status yang tidak diketahui akan diabaikan bantuan Goldberg David March 1991 What Every Computer Scientist Should Know About Floating Point Arithmetic ACM Computing Surveys 23 1 5 48 doi 10 1145 103162 103163 Diarsipkan dari versi asli PDF tanggal 2016 04 06 Diakses tanggal 20 January 2016 George Mark Bergman Order of arithmetic operations Education Place The Order of Operations Diarsipkan 2017 06 08 di Wayback Machine Khan Academy The Order of Operations timestamp 5m40s Virginia Department of Education Using Order of Operations and Exploring Properties Diarsipkan 2022 07 16 di Wayback Machine section 9 Bronstein de Taschenbuch der Mathematik pages 115 120 chapter 2 4 1 1 ISBN 978 3 8085 5673 3 Exponentiation Associativity and Standard Math Notation Codeplea 23 August 2016 Retrieved 20 September 2016 Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Sifat asosiatif amp oldid 23813140