www.wikidata.id-id.nina.az

Komplemen teori himpunan Dalam teori himpunan komplemen himpunan A displaystyle A sering kali dilambangkan oleh A c disp

Komplemen (teori himpunan)

Dalam teori himpunan, komplemen himpunan , sering kali dilambangkan oleh (atau ), adalah unsur yang bukan di .

Jika adalah luas berwarna merah dalam gambar ini...
… maka komplemen adalah segala sesuatu yang lain.

Ketika semua himpunan terhadap pertimbangan dianggap menjadi subhimpunan diberikan himpunan , komplemen mutlak adalah himpunan unsur di , tapi bukan di .

Komplemen relatif terhadap sebuah himpunan , juga disebut beda himpunan dan , ditulis , adalah himpunan unsur-unsur di tapi bukan di .

Komplemen mutlak Sunting

Komplemen mutlak (lingkaran sebelah kiri) di : .

Definisi Sunting

Jika adalah sebuah himpunan, maka komplemen mutlak ) adalah himpunan unsur-unsur yang bukan di (dalam sebuah himpunan lebih besar yang secara implisit didefinisikan). Dengan kata lain, misalkan menjadi sebuah himpunan yang berisi semua unsur-unsur terhadap kajian, jika tidak ada yang perlu untuk menyebutkan , baik karena ditentukan sebelumnya, atau dengan jelas dan unik, maka komplemen mutlak adalah komplemen relatif di :

Atau secara formal:

Komplemen mutlak biasanya dilambangkan oleh . Notasi lainnya termasuk , , , dan .

Contoh-contoh Sunting

  • Asumsi bahwa semesta adalah himpunan bilangan bulat. Jika adalah himpunan bilangan ganjil, maka komplemen adalah himpunan bilangan genap. Jika adlaah himpunan kelipatan 3, maka komplemen adalah himpunan bilangan kongruen dengan 1 atau 2 modulo 3 (atau, dalam istilah yang lebih sederhana, bilangan bulatnya yang bukan merupakan kelipatan 3).
  • Asumsi bahwa semesta adalah dek 52 kartu standar. Jika adalah kartu sekop, maka komplemen adalah gabungan dari kartu keriting, wajik, dan hati. Jika himpunan adalah gabungan dari kartu keriting dan wajik, maka komplemen adalah gabungan dari kartu hati dan sekop.

Sifat-sifat Sunting

Misalkan dan menjadi dua himpunan dalam sebuah semesta . Identitas berikut menangkap sifat-sifat komplemen mutlak yang penting:

Hukum de Morgan:

  • .
  • .
  • .
  • .
  • .
  • .
  • Jika , maka .

(ini diikuti dari kesetaraan syarat dengan kontrapositifnya).

Hukum komplemen involusi atau ganda:

  • .

Hubungan antara komplemen mutlak dan relatif:

  • .
  • .

Hubungan dengan sebuah beda himpunan:

  • .

Dua hukum komplemen pertama di atas menunjukkan bahwa jika adalah sebuah himpunan takkosong, subhimpunan wajar , maka adalah penyekatan .

Komplemen relatif Sunting

Definisi Sunting

Jika dan adalah himpunan, maka komplemen relatif dalam , juga disebut beda himpunan dan , adalah himpunan unsur-unsur di tapi bukan di .

Komplemen relatif (lingkaran sebelah kiri) di (lingkaran sebelah kanan): .

Komplemen relatif di dilambangkan menurut standar ISO 31-11. Ini terkadang ditulis , tapi notasi ini ambigu, karena dalam beberapa konteks, ini dapat diinterpretasikan sebagai himpunan semua unsur-unsur , dimana diambil dari dan diambil dari .

Secara formal:

Contoh-contoh Sunting

Sifat-sifat Sunting

Misalkan , , dan menjadi tiga himpunan. Identitas berikut menangkap sifat-sifat penting mengenai komplemen relatif:

  • .
  • .
  • , dengan kasus khusus yang penting menunjukkan bahwa irisan dapat diungkapkan hanya menggunakan operasi komplemen relatif.
  • .
  • .
  • .
  • .
  • .
  • .

Relasi komplementer Sunting

Sebuah relasi biner didefinisikan sebagai sebuah subhimpunan darab himpunan . Relasi komplementer merupakan komplemen himpunan di . Komplemen relasi dapat ditulis

Disini, sering kali dipandang sebagai sebuah matriks logis dengan baris mewakili unsur-unsur , dan unsur-unsur kolom . Kebenaran mengenai berpadanan dengan 1 dalam baris , kolom . Menghasilkan relasi komplementer ke , kemudian berpadanan dengan menukar semua 1 dan 0, dan 0 ke 1 untuk matriks logis dari komplemen.

Bersama dengan komplemen relasi dan relasi sebalik, relasi komplementer dan aljabar himpunan merupakan operasi-operasi elementer dari kalkulus relasi.

Notasi LaTeX Sunting

Dalam bahasa penyusunan huruf LaTeX, perintah \setminus biasanya digunakan untuk mengucapkan sebuah simbol beda himpunan, yang serupa dengan sebuah simbol garis miring terbalik. Ketika diucapkan, perintah \setminus terlihat identis dengan \backslash, kecuali bahwa ini memiliki sebuah ruang lebih sedikit di depan dan di belakang garis miring, sama dengan barisan LaTeX \mathbin{\backslash}. Sebuah varian \smallsetminus tersedia dalam pengepakan amssymb.

Dalam bahasa pemrograman Sunting

Beberapa bahasa pemrograman memiliki himpunan-himpunan di sekitar di bangun dalam struktur data. Seperti sebuah struktur data berperilaku sebagai sebuah himpunan hingga, yaitu, ini terdiri dari sebuah bilangan terhingga mengenai data yang bukan terurut secara khusus, dan dapat dengan demikian dianggap sebagai unsur-unsur himpunan. Dalam beberapa kasus, unsur-unsurnya tidak perlu beda, dan kode struktur data multihimpunan ketimbang himpunan. Bahasa pemrograman memiliki operator atau fungsi untuk menghitung komplemen dan beda himpunan.

Operator-operator ini dapat secara umum juga berlaku untuk struktur data yang bukan himpunan matematis sesungguhnya, seperti daftar terurut atau larik. Ini mengikuti bahwa beberapa bahasa pemrograman dapat memiliki sebuah fungsi disebut set_difference ,bahkan jika ini tidak memiliki suatu struktur data untuk himpunan.

Lihat pula Sunting

Catatan Sunting

  1. ^ "Compendium of Mathematical Symbols". Math Vault (dalam bahasa Inggris). 2020-03-01. Diakses tanggal 2020-09-04. 
  2. . web.mnstate.edu. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2021-01-23. Diakses tanggal 2020-09-04. 
  3. ^ "Complement (set) Definition (Illustrated Mathematics Dictionary)". www.mathsisfun.com. Diakses tanggal 2020-09-04. 
  4. Himpunan yang komplemennya dianggap dengan demikian secara implisit ditentukan dalam sebuah komplemen mutlak, dan secara eksplisit ditentukan dalam sebuah komplemen relatif.
  5. Bourbaki 1970, hlm. E II.6.
  6. ^ Halmos 1960, hlm. 17.
  7. Devlin 1979, hlm. 6.
  8. [1] 2022-03-05 di Wayback Machine. The Comprehensive LaTeX Symbol List

Referensi Sunting

  • Bourbaki, N. (1970). Théorie des ensembles (dalam bahasa Prancis). Paris: Hermann. ISBN 978-3-540-34034-8. 
  • Devlin, Keith J. (1979). Fundamentals of contemporary set theory. Universitext. Springer. ISBN 0-387-90441-7. Zbl 0407.04003. 
  • Halmos, Paul R. (1960). Naive set theory. The University Series in Undergraduate Mathematics. van Nostrand Company. Zbl 0087.04403. 

Pranala luar Sunting

wikipedia, wiki, buku, buku, perpustakaan, artikel, baca, unduh, gratis, unduh gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, gambar, musik, lagu, film, buku, permainan, permainan.
Tanggal penerbitan:
Dalam teori himpunan komplemen himpunan A displaystyle A sering kali dilambangkan oleh A c displaystyle A c atau A displaystyle A 1 2 adalah unsur yang bukan di A displaystyle A 3 Jika A displaystyle A adalah luas berwarna merah dalam gambar ini maka komplemen A displaystyle A adalah segala sesuatu yang lain Ketika semua himpunan terhadap pertimbangan dianggap menjadi subhimpunan diberikan himpunan U displaystyle U komplemen mutlak A displaystyle A adalah himpunan unsur di U displaystyle U tapi bukan di A displaystyle A Komplemen relatif A displaystyle A terhadap sebuah himpunan B displaystyle B juga disebut beda himpunan B displaystyle B dan A displaystyle A ditulis B A displaystyle B setminus A adalah himpunan unsur unsur di B displaystyle B tapi bukan di A displaystyle A 1 Daftar isi 1 Komplemen mutlak 1 1 Definisi 1 2 Contoh contoh 1 3 Sifat sifat 2 Komplemen relatif 2 1 Definisi 2 2 Contoh contoh 2 3 Sifat sifat 3 Relasi komplementer 4 Notasi LaTeX 5 Dalam bahasa pemrograman 6 Lihat pula 7 Catatan 8 Referensi 9 Pranala luarKomplemen mutlak Sunting nbsp Komplemen mutlak A displaystyle A nbsp lingkaran sebelah kiri di U displaystyle U nbsp A c U A displaystyle A c U setminus A nbsp Definisi Sunting Jika A displaystyle A nbsp adalah sebuah himpunan maka komplemen mutlak A displaystyle A nbsp adalah himpunan unsur unsur yang bukan di A displaystyle A nbsp dalam sebuah himpunan lebih besar yang secara implisit didefinisikan Dengan kata lain misalkan U displaystyle U nbsp menjadi sebuah himpunan yang berisi semua unsur unsur terhadap kajian jika tidak ada yang perlu untuk menyebutkan U displaystyle U nbsp baik karena ditentukan sebelumnya atau dengan jelas dan unik maka komplemen mutlak A displaystyle A nbsp adalah komplemen relatif A displaystyle A nbsp di U displaystyle U nbsp 4 A c U A displaystyle A c U A nbsp Atau secara formal A c x U x A displaystyle A c x in U mid x notin A nbsp Komplemen mutlak A displaystyle A nbsp biasanya dilambangkan oleh A c displaystyle A c nbsp 1 Notasi lainnya termasuk A displaystyle overline A nbsp A displaystyle A nbsp 3 U A displaystyle complement U A nbsp dan A displaystyle complement A nbsp 5 Contoh contoh Sunting Asumsi bahwa semesta adalah himpunan bilangan bulat Jika A displaystyle A nbsp adalah himpunan bilangan ganjil maka komplemen A displaystyle A nbsp adalah himpunan bilangan genap Jika B displaystyle B nbsp adlaah himpunan kelipatan 3 maka komplemen B displaystyle B nbsp adalah himpunan bilangan kongruen dengan 1 atau 2 modulo 3 atau dalam istilah yang lebih sederhana bilangan bulatnya yang bukan merupakan kelipatan 3 Asumsi bahwa semesta adalah dek 52 kartu standar Jika A displaystyle A nbsp adalah kartu sekop maka komplemen A displaystyle A nbsp adalah gabungan dari kartu keriting wajik dan hati Jika himpunan B displaystyle B nbsp adalah gabungan dari kartu keriting dan wajik maka komplemen B displaystyle B nbsp adalah gabungan dari kartu hati dan sekop Sifat sifat Sunting Misalkan A displaystyle A nbsp dan B displaystyle B nbsp menjadi dua himpunan dalam sebuah semesta U displaystyle U nbsp Identitas berikut menangkap sifat sifat komplemen mutlak yang penting Hukum de Morgan 6 A B c A c B c displaystyle left A cup B right c A c cap B c nbsp A B c A c B c displaystyle left A cap B right c A c cup B c nbsp A A c U displaystyle A cup A c U nbsp A A c displaystyle A cap A c varnothing nbsp c U displaystyle varnothing c U nbsp U c displaystyle U c varnothing nbsp Jika A B displaystyle A subseteq B nbsp maka B c A c displaystyle B c subseteq A c nbsp ini diikuti dari kesetaraan syarat dengan kontrapositifnya Hukum komplemen involusi atau ganda A c c A displaystyle A c c A nbsp Hubungan antara komplemen mutlak dan relatif A B A B c displaystyle A setminus B A cap B c nbsp A B c A c B A c B A displaystyle A setminus B c A c cup B A c cup B cap A nbsp Hubungan dengan sebuah beda himpunan A c B c B A displaystyle A c setminus B c B setminus A nbsp Dua hukum komplemen pertama di atas menunjukkan bahwa jika A displaystyle A nbsp adalah sebuah himpunan takkosong subhimpunan wajar U displaystyle U nbsp maka A A c displaystyle A A c nbsp adalah penyekatan U displaystyle U nbsp Komplemen relatif SuntingDefinisi Sunting Jika A displaystyle A nbsp dan B displaystyle B nbsp adalah himpunan maka komplemen relatif A displaystyle A nbsp dalam B displaystyle B nbsp 6 juga disebut beda himpunan B displaystyle B nbsp dan A displaystyle A nbsp 7 adalah himpunan unsur unsur di B displaystyle B nbsp tapi bukan di A displaystyle A nbsp nbsp Komplemen relatif A displaystyle A nbsp lingkaran sebelah kiri di B displaystyle B nbsp lingkaran sebelah kanan B A c B A displaystyle B cap A c B setminus A nbsp Komplemen relatif A displaystyle A nbsp di B displaystyle B nbsp dilambangkan B A displaystyle B setminus A nbsp menurut standar ISO 31 11 Ini terkadang ditulis B A displaystyle B A nbsp 1 tapi notasi ini ambigu karena dalam beberapa konteks ini dapat diinterpretasikan sebagai himpunan semua unsur unsur b a displaystyle b a nbsp dimana b displaystyle b nbsp diambil dari B displaystyle B nbsp dan a displaystyle a nbsp diambil dari A displaystyle A nbsp Secara formal B A x B x A displaystyle B setminus A x in B mid x notin A nbsp Contoh contoh Sunting 1 2 3 2 3 4 1 displaystyle 1 2 3 setminus 2 3 4 1 nbsp 2 3 4 1 2 3 4 displaystyle 2 3 4 setminus 1 2 3 4 nbsp Jika R displaystyle mathbb R nbsp adalah himpunan bilangan real dan Q displaystyle mathbb Q nbsp adalah himpunan bilangan rasional maka R Q displaystyle mathbb R setminus mathbb Q nbsp adalah himpunan bilangan irasional Sifat sifat Sunting Misalkan A displaystyle A nbsp B displaystyle B nbsp dan C displaystyle C nbsp menjadi tiga himpunan Identitas berikut menangkap sifat sifat penting mengenai komplemen relatif C A B C A C B displaystyle C setminus A cap B C setminus A cup C setminus B nbsp C A B C A C B displaystyle C setminus A cup B C setminus A cap C setminus B nbsp C B A C A C B displaystyle C setminus B setminus A C cap A cup C setminus B nbsp dengan kasus khusus yang penting C C A C A displaystyle C setminus C setminus A C cap A nbsp menunjukkan bahwa irisan dapat diungkapkan hanya menggunakan operasi komplemen relatif B A C B C A B C A displaystyle B setminus A cap C B cap C setminus A B cap C setminus A nbsp B A C B C A C displaystyle B setminus A cup C B cup C setminus A setminus C nbsp A A displaystyle A setminus A emptyset nbsp A displaystyle emptyset setminus A emptyset nbsp A A displaystyle A setminus emptyset A nbsp A U displaystyle A setminus U emptyset nbsp Relasi komplementer SuntingSebuah relasi biner R displaystyle R nbsp didefinisikan sebagai sebuah subhimpunan darab himpunan X Y displaystyle X times Y nbsp Relasi komplementer R displaystyle bar R nbsp merupakan komplemen himpunan R displaystyle R nbsp di X Y displaystyle X times Y nbsp Komplemen relasi R displaystyle R nbsp dapat ditulis R X Y R displaystyle bar R X times Y setminus R nbsp Disini R displaystyle R nbsp sering kali dipandang sebagai sebuah matriks logis dengan baris mewakili unsur unsur X displaystyle X nbsp dan unsur unsur kolom Y displaystyle Y nbsp Kebenaran mengenai a R b displaystyle aRb nbsp berpadanan dengan 1 dalam baris a displaystyle a nbsp kolom b displaystyle b nbsp Menghasilkan relasi komplementer ke R displaystyle R nbsp kemudian berpadanan dengan menukar semua 1 dan 0 dan 0 ke 1 untuk matriks logis dari komplemen Bersama dengan komplemen relasi dan relasi sebalik relasi komplementer dan aljabar himpunan merupakan operasi operasi elementer dari kalkulus relasi Notasi LaTeX SuntingDalam bahasa penyusunan huruf LaTeX perintah setminus 8 biasanya digunakan untuk mengucapkan sebuah simbol beda himpunan yang serupa dengan sebuah simbol garis miring terbalik Ketika diucapkan perintah setminus terlihat identis dengan backslash kecuali bahwa ini memiliki sebuah ruang lebih sedikit di depan dan di belakang garis miring sama dengan barisan LaTeX mathbin backslash Sebuah varian smallsetminus tersedia dalam pengepakan amssymb Dalam bahasa pemrograman SuntingBeberapa bahasa pemrograman memiliki himpunan himpunan di sekitar di bangun dalam struktur data Seperti sebuah struktur data berperilaku sebagai sebuah himpunan hingga yaitu ini terdiri dari sebuah bilangan terhingga mengenai data yang bukan terurut secara khusus dan dapat dengan demikian dianggap sebagai unsur unsur himpunan Dalam beberapa kasus unsur unsurnya tidak perlu beda dan kode struktur data multihimpunan ketimbang himpunan Bahasa pemrograman memiliki operator atau fungsi untuk menghitung komplemen dan beda himpunan Operator operator ini dapat secara umum juga berlaku untuk struktur data yang bukan himpunan matematis sesungguhnya seperti daftar terurut atau larik Ini mengikuti bahwa beberapa bahasa pemrograman dapat memiliki sebuah fungsi disebut set difference bahkan jika ini tidak memiliki suatu struktur data untuk himpunan Lihat pula SuntingAljabar himpunan Irisan teori himpunan Daftar identitas himpunan dan relasi Teori himpunan naif Beda simetrik Gabungan teori himpunan Catatan Sunting a b c d Compendium of Mathematical Symbols Math Vault dalam bahasa Inggris 2020 03 01 Diakses tanggal 2020 09 04 Complement and Set Difference web mnstate edu Diarsipkan dari versi asli tanggal 2021 01 23 Diakses tanggal 2020 09 04 a b Complement set Definition Illustrated Mathematics Dictionary www mathsisfun com Diakses tanggal 2020 09 04 Himpunan yang komplemennya dianggap dengan demikian secara implisit ditentukan dalam sebuah komplemen mutlak dan secara eksplisit ditentukan dalam sebuah komplemen relatif Bourbaki 1970 hlm E II 6 a b Halmos 1960 hlm 17 Devlin 1979 hlm 6 1 Diarsipkan 2022 03 05 di Wayback Machine The Comprehensive LaTeX Symbol ListReferensi SuntingBourbaki N 1970 Theorie des ensembles dalam bahasa Prancis Paris Hermann ISBN 978 3 540 34034 8 Devlin Keith J 1979 Fundamentals of contemporary set theory Universitext Springer ISBN 0 387 90441 7 Zbl 0407 04003 Halmos Paul R 1960 Naive set theory nbsp The University Series in Undergraduate Mathematics van Nostrand Company Zbl 0087 04403 Pranala luar Sunting Inggris Weisstein Eric W Complement MathWorld Inggris Weisstein Eric W Complement Set MathWorld Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Komplemen teori himpunan amp oldid 23709633