www.wikidata.id-id.nina.az

Faktor persekutuan terbesar Dalam matematika khususnya teori bilangan faktor persekutuan terbesar atau dikenal juga seba

Faktor persekutuan terbesar

Dalam matematika, khususnya teori bilangan, faktor persekutuan terbesar atau dikenal juga sebagai persekutuan bilangan terbesar (dilambangkan atau dalam bahasa Indonesia, dan dalam bahasa Inggris, abreviasi dari kata greatest common divisor) terhadap bilangan adalah bilangan bulat terbesar yang membagi setiap bilangan bulat. Sebagai contoh, diberikan bilangan bulat dan . Maka, . Mengenai cara-cara dan metode akan dijelaskan di bawah.

Gagasan faktor persekutuan terbesar dapat diperluas melalui polinomial, lihat faktor persekutuan terbesar polinomial atau persekutuan bilangan terbesar polinomial untuk melihat lebih lanjut.

Notasi Sunting

Untuk dan bilangan bulat sembarang, notasi faktor persekutuan terbesar dinotasikan sebagai atau . Dalam versi bahasa Inggris, dinotasikan sebagai atau . Ada beberapa penulisan notasi faktor persekutuan terbesar, yaitu atau .

Definisi Sunting

Misalkan dan adalah dua bilangan bulat yang diberikan. Misalkan membagi dan dan bilangan asli terbesar, maka faktor persekutuan terbesar terhadap bilangan bulat dan adalah

Lebih umumnya lagi, untuk sebarang bilangan bulat dan bilangan asli terbesar yang membagi , maka faktor persekutuan terbesarnya adalah

Sifat Sunting

Berikut adalah sifat-sifat faktor persekutuan terbesar, antara lain:

  • Untuk sebarang bilangan bulat positif , bila membagi dan , maka .
  • Untuk sebarang bilangan bulat positif , jika dan hanya jika .
  • Untuk sebarang bilangan bulat positif , .
  • , sifat ini sangat penting dalam kalkulasi algoritme Euklides

Contoh Sunting

Terdapat cara sederhana mengenai pencarian suatu faktor persekutuan terbesar terhadap dua bilangan. Sebagai contoh, kita ambil contoh bilangan bulat di atas sebelumnya, yakni dan . Untuk mengetahui mengapa , kita perhatikan faktor-faktor dari kedua bilangan di bawah ini.

  • Faktor dari adalah
  • Faktor dari adalah

Karena faktor persekutuan terbesar dua bilangan adalah bilangan bulat terbesar yang membagi setiap bilangan bulat, maka kita simpulkan . Terdapat cara lain untuk mengerjakan ini.

Pohon faktor Sunting

Sebagai contoh, tinjau kedua bilangan di atas. Kita buatkan pohon faktor dari masing-masing bilangan: 

 12 20 /\ /\ 3 4 2 10 /\ /\ 2 2 2 5

Kita memperoleh dan , maka, , di mana hasilnya adalah .

Sebuah ubin dengan ukuran 24 kali 60, masing-masing dibagi menjadi ukuran yang sama, yang terbesar adalah 12 kali 12.

Visualisasi geometri Sunting

Ada cara lain untuk mengetahui faktor persekutuan terbesar, yaitu melalui visualisasi geometri. Sebagai contoh, pada gambar di samping kanan, kita memperoleh ubin dengan ukuran 24 kali 60. Ubin tersebut kita bagi lagi menjadi 1 kali 1, 2 kali 2, 3 kali 3, 4 kali 4, 6 kali 6, dan terbesarnya adalah 12 kali 12. Jadi, 12 merupakan faktor persekutuan terbesar dari 24 dan 60, karena dan .

Koprima Sunting

Artikel utama: Koprima (bilangan)

Dua buah bilangan dikatakan koprima, atau relatif prima, atau saling prima jika dan hanya jika faktor persekutuan terbesar dari kedua bilangan tersebut bernilai 1.

Penerapan Sunting

Menyederhanakan pecahan Sunting

Salah satu penerapan terhadap faktor persekutuan terbesar adalah menyederhanakan pecahan. Sebagai contoh, tinjau pecahan . Kita dapat sederhanakan pecahan ini dengan menggunakan faktor persekutuan terbesar. Faktor persekutuan terbesar dari dan adalah . Kita tuliskan sebagai

Kelipatan persekutuan terkecil Sunting

Artikel utama: Kelipatan persekutuan terkecil

Selain digunakan untuk menyederhanakan sebuah pecahan, faktor persekutuan terbesar juga dapat diterapkan dalam kelipatan persekutuan terkecil, di mana hubungan keduanya berkaitan dengan rumus berikut.

Algoritme Euklidean Sunting

Cara lain untuk mencari FPB adalah dengan menggunakan algoritme Euklidean. Misalkan a dan b adalah 2 bilangan bulat yang tidak sama, maka algoritme Euklidean adalah sebagai berikut:

Algoritme tersebut berhenti hingga diperoleh ai = bi.

FPB dari a dan b adalah ai = bi.

Algoritme ini dapat lebih jauh disederhanakan lagi dengan pembagian Euklidean, yang dideskripsikan sebagai berikut:

dengan adalah operasi modulus.

Pencarian algoritme Euklid dengan pembagian memerlukan sekitar pembagian.

Lihat pula Sunting

Rujukan Sunting

  1. Itsnaini, Faqihah Muharroroh. "Apa Perbedaan KPK dan FPB? Ini Penjelasannya". detikcom. dari versi asli tanggal 2022-09-28. Diakses tanggal 2021-11-14. 
  2. Suci Yuniati, MENENTUKAN KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL (KPK) DAN FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR (FPB) DENGAN MENGGUNAKAN METODE “PEBI” 2022-05-27 di Wayback Machine., hlm. 158
  3. "Definition of greatest common divisor | Dictionary.com". www.dictionary.com (dalam bahasa Inggris). dari versi asli tanggal 2023-03-24. Diakses tanggal 2021-11-14. 
  4. ^ Weisstein, Eric W. "Greatest Common Divisor". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). dari versi asli tanggal 2023-04-06. Diakses tanggal 2021-11-20. 
  5. "8.1: The Greatest Common Divisor". Mathematics LibreTexts (dalam bahasa Inggris). 2017-09-20. dari versi asli tanggal 2021-11-21. Diakses tanggal 2021-11-21. 
  6. "Greatest Common Factor". www.mathsisfun.com. dari versi asli tanggal 2005-10-29. Diakses tanggal 2021-11-21. 
  7. Weisstein, Eric W. "Least Common Multiple". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). dari versi asli tanggal 2023-05-16. Diakses tanggal 2021-11-21. 
wikipedia, wiki, buku, buku, perpustakaan, artikel, baca, unduh, gratis, unduh gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, gambar, musik, lagu, film, buku, permainan, permainan.
Tanggal penerbitan:
Dalam matematika khususnya teori bilangan faktor persekutuan terbesar atau dikenal juga sebagai persekutuan bilangan terbesar dilambangkan FPB displaystyle operatorname FPB 1 atau PBT displaystyle operatorname PBT 2 dalam bahasa Indonesia dan gcd displaystyle gcd dalam bahasa Inggris abreviasi dari kata greatest common divisor 3 terhadap bilangan adalah bilangan bulat terbesar yang membagi setiap bilangan bulat Sebagai contoh diberikan bilangan bulat 12 displaystyle 12 dan 20 displaystyle 20 Maka FPB 12 20 4 displaystyle operatorname FPB 12 20 4 Mengenai cara cara dan metode akan dijelaskan di bawah Gagasan faktor persekutuan terbesar dapat diperluas melalui polinomial lihat faktor persekutuan terbesar polinomial atau persekutuan bilangan terbesar polinomial untuk melihat lebih lanjut Daftar isi 1 Notasi 2 Definisi 3 Sifat 4 Contoh 4 1 Pohon faktor 4 2 Visualisasi geometri 5 Koprima 6 Penerapan 6 1 Menyederhanakan pecahan 6 2 Kelipatan persekutuan terkecil 7 Algoritme Euklidean 8 Lihat pula 9 RujukanNotasi SuntingUntuk a displaystyle a nbsp dan b displaystyle b nbsp bilangan bulat sembarang notasi faktor persekutuan terbesar dinotasikan sebagai FPB a b displaystyle operatorname FPB a b nbsp atau PBT a b displaystyle operatorname PBT a b nbsp Dalam versi bahasa Inggris dinotasikan sebagai gcd a b displaystyle gcd a b nbsp atau GCD a b displaystyle operatorname GCD a b nbsp Ada beberapa penulisan notasi faktor persekutuan terbesar yaitu g c d a b displaystyle operatorname g c d a b nbsp atau a b displaystyle a b nbsp 4 Definisi SuntingMisalkan a displaystyle a nbsp dan b displaystyle b nbsp adalah dua bilangan bulat yang diberikan Misalkan d displaystyle d nbsp membagi a displaystyle a nbsp dan b displaystyle b nbsp dan d displaystyle d nbsp bilangan asli terbesar maka faktor persekutuan terbesar terhadap bilangan bulat a displaystyle a nbsp dan b displaystyle b nbsp adalah 5 FPB a b d displaystyle operatorname FPB a b d nbsp Lebih umumnya lagi untuk sebarang bilangan bulat a 1 a n displaystyle a 1 dots a n nbsp dan d displaystyle d nbsp bilangan asli terbesar yang membagi a 1 a n displaystyle a 1 dots a n nbsp maka faktor persekutuan terbesarnya adalah 4 FPB a 1 a n d displaystyle operatorname FPB a 1 dots a n d nbsp Sifat SuntingBagian ini memerlukan pengembangan Anda dapat membantu dengan mengembangkannya Berikut adalah sifat sifat faktor persekutuan terbesar antara lain Untuk sebarang bilangan bulat positif a b d displaystyle a b d nbsp bila d displaystyle d nbsp membagi a displaystyle a nbsp dan b displaystyle b nbsp maka d FPB a b displaystyle d mid operatorname FPB a b nbsp Untuk sebarang bilangan bulat positif a b displaystyle a b nbsp FPB a b b displaystyle operatorname FPB a b b nbsp jika dan hanya jika b a displaystyle b mid a nbsp Untuk sebarang bilangan bulat positif a b d displaystyle a b d nbsp FPB a d b d d FPB a b displaystyle operatorname FPB ad bd d cdot operatorname FPB a b nbsp FPB a 0 FPB 0 a a displaystyle operatorname FPB a 0 operatorname FPB 0 a a nbsp sifat ini sangat penting dalam kalkulasi algoritme EuklidesContoh SuntingTerdapat cara sederhana mengenai pencarian suatu faktor persekutuan terbesar terhadap dua bilangan Sebagai contoh kita ambil contoh bilangan bulat di atas sebelumnya yakni 12 displaystyle 12 nbsp dan 20 displaystyle 20 nbsp Untuk mengetahui mengapa FPB 12 20 4 displaystyle operatorname FPB 12 20 4 nbsp kita perhatikan faktor faktor dari kedua bilangan di bawah ini Faktor dari 12 displaystyle 12 nbsp adalah 1 2 3 4 6 12 displaystyle 1 2 3 color red 4 6 12 nbsp Faktor dari 20 displaystyle 20 nbsp adalah 1 2 4 5 10 20 displaystyle 1 2 color red 4 5 10 20 nbsp Karena faktor persekutuan terbesar dua bilangan adalah bilangan bulat terbesar yang membagi setiap bilangan bulat maka kita simpulkan FPB 12 20 4 displaystyle operatorname FPB 12 20 4 nbsp Terdapat cara lain untuk mengerjakan ini Pohon faktor Sunting Sebagai contoh tinjau kedua bilangan di atas Kita buatkan pohon faktor dari masing masing bilangan 12 20 3 4 2 10 2 2 2 5 Kita memperoleh 12 2 2 3 displaystyle 12 color red 2 2 times 3 nbsp dan 20 2 2 5 displaystyle 20 color red 2 2 times 5 nbsp maka FPB 12 20 2 2 displaystyle operatorname FPB 12 20 2 2 nbsp di mana hasilnya adalah 4 displaystyle 4 nbsp nbsp Sebuah ubin dengan ukuran 24 kali 60 masing masing dibagi menjadi ukuran yang sama yang terbesar adalah 12 kali 12 Visualisasi geometri Sunting Ada cara lain untuk mengetahui faktor persekutuan terbesar yaitu melalui visualisasi geometri Sebagai contoh pada gambar di samping kanan kita memperoleh ubin dengan ukuran 24 kali 60 Ubin tersebut kita bagi lagi menjadi 1 kali 1 2 kali 2 3 kali 3 4 kali 4 6 kali 6 dan terbesarnya adalah 12 kali 12 Jadi 12 merupakan faktor persekutuan terbesar dari 24 dan 60 karena 24 12 2 displaystyle tfrac 24 12 2 nbsp dan 60 12 5 displaystyle tfrac 60 12 5 nbsp Koprima SuntingArtikel utama Koprima bilangan Dua buah bilangan dikatakan koprima atau relatif prima atau saling prima jika dan hanya jika faktor persekutuan terbesar dari kedua bilangan tersebut bernilai 1 4 Penerapan SuntingMenyederhanakan pecahan Sunting Salah satu penerapan terhadap faktor persekutuan terbesar adalah menyederhanakan pecahan 6 Sebagai contoh tinjau pecahan 4 8 displaystyle frac 4 8 nbsp Kita dapat sederhanakan pecahan ini dengan menggunakan faktor persekutuan terbesar Faktor persekutuan terbesar dari 4 displaystyle 4 nbsp dan 8 displaystyle 8 nbsp adalah FPB 4 8 2 displaystyle operatorname FPB 4 8 2 nbsp Kita tuliskan sebagai 4 8 2 2 2 4 1 2 displaystyle frac 4 8 frac 2 times 2 2 times 4 frac 1 2 nbsp Kelipatan persekutuan terkecil Sunting Artikel utama Kelipatan persekutuan terkecil Selain digunakan untuk menyederhanakan sebuah pecahan faktor persekutuan terbesar juga dapat diterapkan dalam kelipatan persekutuan terkecil di mana hubungan keduanya berkaitan dengan rumus berikut KPK a b a b FPB a b displaystyle operatorname KPK a b frac ab operatorname FPB a b nbsp 7 Algoritme Euklidean SuntingBab atau bagian ini tidak memiliki referensi atau sumber tepercaya sehingga isinya tidak bisa dipastikan Tolong bantu perbaiki artikel ini dengan menambahkan referensi yang layak Bab atau bagian ini akan dihapus bila tidak tersedia referensi ke sumber tepercaya dalam bentuk catatan kaki atau pranala luar Cara lain untuk mencari FPB adalah dengan menggunakan algoritme Euklidean Misalkan a dan b adalah 2 bilangan bulat yang tidak sama maka algoritme Euklidean adalah sebagai berikut a1 maximum a b minimum a b b1 minimum a b dd a2 maximum a1 b1 minimum a1 b1 b2 minimum a1 b1 dd dd dd ai maximum ai 1 bi 1 minimum ai 1 bi 1 bi minimum ai 1 bi 1 dd Algoritme tersebut berhenti hingga diperoleh ai bi FPB dari a dan b adalah ai bi Algoritme ini dapat lebih jauh disederhanakan lagi dengan pembagian Euklidean yang dideskripsikan sebagai berikut gcd a 0 0 displaystyle gcd a 0 0 nbsp gcd a b gcd b a m o d b displaystyle gcd a b gcd b a mathrm mod b nbsp dengan a m o d b displaystyle a mathrm mod b nbsp adalah operasi modulus Pencarian algoritme Euklid dengan pembagian memerlukan sekitar O log min a b displaystyle O log min a b nbsp pembagian Lihat pula SuntingKelipatan persekutuan terkecil KPK Rujukan Sunting Itsnaini Faqihah Muharroroh Apa Perbedaan KPK dan FPB Ini Penjelasannya detikcom Diarsipkan dari versi asli tanggal 2022 09 28 Diakses tanggal 2021 11 14 Suci Yuniati MENENTUKAN KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL KPK DAN FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR FPB DENGAN MENGGUNAKAN METODE PEBI Diarsipkan 2022 05 27 di Wayback Machine hlm 158 Definition of greatest common divisor Dictionary com www dictionary com dalam bahasa Inggris Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023 03 24 Diakses tanggal 2021 11 14 a b c Weisstein Eric W Greatest Common Divisor mathworld wolfram com dalam bahasa Inggris Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023 04 06 Diakses tanggal 2021 11 20 8 1 The Greatest Common Divisor Mathematics LibreTexts dalam bahasa Inggris 2017 09 20 Diarsipkan dari versi asli tanggal 2021 11 21 Diakses tanggal 2021 11 21 Greatest Common Factor www mathsisfun com Diarsipkan dari versi asli tanggal 2005 10 29 Diakses tanggal 2021 11 21 Weisstein Eric W Least Common Multiple mathworld wolfram com dalam bahasa Inggris Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023 05 16 Diakses tanggal 2021 11 21 Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Faktor persekutuan terbesar amp oldid 23865255