www.wikidata.id-id.nina.az

Sifat komutatif Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dari Commutative property di en wikipedia o

Sifat komutatif

Dalam matematika, suatu operasi biner memiliki sifat komutatif jika mengubah urutan operan tidak mengubah hasilnya. Ini adalah sifat fundamental dari banyak operasi biner, dan banyak pembuktian matematika bergantung pada sifat ini. Sifat ini paling dikenal sebagai nama sifat yang mengatakan "3 + 4 = 4 + 3" atau "2 × 5 = 5 × 2". Sifat ini juga dapat digunakan dalam situasi yang lebih rumit. Nama ini diperlukan karena ada operasi, seperti pembagian dan pengurangan, yang tidak memilikinya (misalnya, "3 − 5 ≠ 5 − 3"); operasi semacam itu tidak bersifat komutatif, dan demikian disebut sebagai operasi nonkomutatif. Gagasan bahwa operasi sederhana, seperti perkalian dan penjumlahan bilangan, bersifat komutatif telah diasumsikan secara implisit selama bertahun-tahun. Dengan demikian, properti ini tidak dinamai sampai abad ke-19, ketika matematika mulai menjadi formal. Sifat yang terkait ada untuk relasi biner; suatu relasi biner dikatakan simetris jika relasi berlaku terlepas dari urutan operannya; misalnya, kesamaan bersifat simetris karena dua objek matematika yang sama adalah sama terlepas dari urutannya.

Sebuah operasi adalah komutatif jika dan hanya jika untuk setiap dan . Gambar ini mengilustrasikan sifat ini dengan konsep dari sebuah operasi sebagai suatu "mesin kalkulasi". Hasil dari atau tidak dipengaruhi oleh urutan dari argumen dan – hasil akhirnya sama.

Penggunaan umum Sunting

Properti komutatif (atau hukum komutatif ) adalah properti yang umumnya terkait dengan operasi biner dan fungsi. Jika properti komutatif berlaku untuk sepasang elemen di bawah operasi biner tertentu, maka kedua elemen tersebut dikatakan ngelaju di bawah operasi.

Definisi Matematika Sunting

Informasi lebih lanjut: Fungsi simetris

Istilah "komutatif" digunakan dalam beberapa pengertian terkait.

  1. Operasi biner pada himpunan S disebut komutatif jika: Operasi yang tidak memenuhi properti di atas disebut non-komutatif.
  2. Seseorang mengatakan bahwa x perjalanan dengan y di bawah jika:
  3. Fungsi biner disebut komutatif jika:

Contoh Sunting

Operasi komutatif Sunting

Penambahan vektor bersifat komutatif, karena .

Dua contoh operasi biner komutatif yang terkenal:

Misalnya 4 + 5 = 5 + 4, karena ekspresi sama dengan 9.
Misalnya, 3 × 5 = 5 × 3, karena kedua ekspresi sama dengan 15.
  • Beberapa biner fungsi kebenaran juga komutatif, karena tabel kebenaran untuk fungsi-fungsinya sama ketika seseorang mengubah urutan operan.

Operasi nonkomutatif Sunting

Beberapa operasi biner nonkomutatif:

Pembagian dan pengurangan Sunting

Pembagian adalah nonkomutatif, sejak .

Pengurangan bersifat nonkomutatif, karena . Namun itu diklasifikasikan lebih tepatnya sebagai anti-komutatif, karena .

Fungsi kebenaran Sunting

Beberapa fungsi kebenaran adalah nonkomutatif, karena tabel kebenaran untuk fungsi berbeda ketika seseorang mengubah urutan operan. Misalnya, tabel kebenaran untuk (A ⇒ B) = (¬A ∨ B) dan (B ⇒ A) = (A ∨ ¬B) adalah

Komposisi fungsi fungsi linier Sunting

Komposisi fungsi dari fungsi linier dari bilangan real ke bilangan real hampir selalu nonkomutatif. Misalnya, misalkan dan . Kemudian

dan

Ini juga berlaku lebih umum untuk linier dan transformasi affine dari ruang vektor ke dirinya sendiri (lihat di bawah untuk representasi Matriks).

Perkalian matriks Sunting

Matriks perkalian matriks kuadrat hampir selalu nonkomutatif, misalnya:

Produk vektor Sunting

Produk vektor (atau perkalian silang) dari dua vektor dalam tiga dimensi adalah anti-komutatif; yaitu, b × a = −(a × b).

Sejarah dan etimologi Sunting

Penggunaan istilah pertama yang diketahui dalam Jurnal Prancis yang diterbitkan pada tahun 1814

Rekaman penggunaan implisit dari properti komutatif kembali ke zaman kuno. Para Mesir ian menggunakan properti komutatif dari perkalian untuk menyederhanakan komputasi produk. Euklides diketahui telah mengasumsikan properti komutatif perkalian dalam bukunya Elemen . Penggunaan formal properti komutatif muncul pada akhir abad ke-18 dan awal abad ke-19, ketika ahli matematika mulai mengerjakan teori fungsi. Saat ini properti komutatif adalah properti terkenal dan dasar yang digunakan di sebagian besar cabang matematika.

Penggunaan istilah komutatif yang tercatat pertama kali dalam sebuah memoar oleh François Servois pada tahun 1814, yang menggunakan kata komutatif saat mendeskripsikan fungsi yang memiliki apa yang sekarang disebut properti komutatif. Kata tersebut merupakan kombinasi dari kata Perancis commuter yang berarti "mengganti atau mengganti" dan sufiks -ative yang berarti "cenderung ke" sehingga kata tersebut secara harfiah berarti "cenderung mengganti atau beralih". Istilah tersebut kemudian muncul dalam bahasa Inggris pada tahun 1838 dalam artikel Duncan Farquharson Gregory berjudul "Tentang sifat sebenarnya dari aljabar simbolik" yang diterbitkan pada tahun 1840 di Transaksi Royal Society of Edinburgh.

Logika proposisional Sunting

Templat:Kaidah transformasi

Kaidah penggantian Sunting

Dalam logika proposisional riil-fungsional, pergantian, atau komutatif mengacu pada dua valid kaidah penggantian. Kaidah memungkinkan untuk mengubah urutan variabel proposisional dalam ekspresi logika dalam bukti logis. Rumusnya adalah:

and

dimana "" adalah metalogika dari simbol yang menggunakan "bukti dengan formal".

Konektor fungsional riil Sunting

Komutatifita adalah sifat dari beberapa koneksi logika fungsi riil logika proposisional. Persamaan logika berikut menunjukkan bahwa komutativitas adalah sifat dari penghubung tertentu. Berikut ini adalah riil-fungsional tautologi.

Teori himpunan Sunting

Dalam grup dan teori himpunan, struktur aljabar disebut sebagai komutatif ketika operan tertentu memenuhi sifat komutatif. Dalam cabang matematika yang lebih tinggi, yaitu analisis dan aljabar linear komutatifitas operasi terkenal (yaitu penambahan dan perkalian pada bilangan riil dan kompleks) sering digunakan (atau diasumsikan secara implisit) dalam pembuktian.

Struktur matematika dan komutatif Sunting

Sifat terkait Sunting

Asosiatif Sunting

Artikel utama: Sifat asosiatif

Sifat asosiatif terkait erat dengan sifat komutatif. Sifat asosiatif dari ekspresi yang berisi dua atau lebih dari operasi yang sama; bahwa operasi urutan dilakukan tidak dipengaruhi hasil akhir, sebagai urutan persyaratan yang tidak dapat diubah. Sebaliknya, sifat komutatif; bahwa urutan suku tidak mempengaruhi hasil akhir.

Sebagian besar operasi komutatif yang ditemukan dalam praktik bersifat asosiatif. Namun, komutativitas tidak menyiratkan asosiatif. Sebuah contoh luar adalah fungsi

yang jelas sifat komutatif (mengganti x dan y tidak mempengaruhi hasil), tetapi tidak asosiatif (misalnya, but ). Contoh lainnya dapat ditemukan di magma non-asosiatif komutatif.

Distributif Sunting

Artikel utama: Sifat distributif

Simetri Sunting

Grafik yang menunjukkan kesimetrian fungsi penjumlahan
Artikel utama: Simetri dalam matematika

Beberapa bentuk simetri dapat langsung dikaitkan dengan komutatifitas. Ketika operasi komutatif ditulis sebagai fungsi biner maka fungsi yang dihasilkan adalah simetris dengan melintasi garis y = x. Sebagai contoh, jika fungsi f menggunakan penjumlahan (operasi komutatif) sehingga f(x,y) = x + y, maka f adalah fungsi simetris yang dapat dilihat pada gambar di sebelahnya.

Untuk relasi, relasi simetri adalah analogi dengan operasi komutatif, dimana jika relasi R simetris, maka .

Operator non-komuter dalam mekanika kuantum Sunting

Artikel utama: Hubungan pergantian kanonis

Dalam mekanika kuantum seperti yang dirumuskan oleh Schrödinger, variabel fisik diwakili oleh operator linier seperti x (artinya dikalikan dengan x), dan . Kedua operator ini tidak bolak-balik seperti yang terlihat dengan mempertimbangkan efek komposisi mereka dan (juga disebut produk operator) pada fungsi gelombang satu dimensi :

Menurut prinsip ketidakpastian dari Heisenberg, jika dua operator yang mewakili sepasang variabel tidak bolak-balik, maka pasangan variabel itu saling komplementer, yang artinya tidak dapat diukur atau diketahui secara bersamaan. Misalnya, posisi dan momentum linier dalam arah x sebuah partikel diwakili oleh operator and , masing-masing (di mana adalah konstanta Planck tereduksi). Ini adalah contoh yang sama kecuali konstanta , jadi sekali lagi operator tidak bolak-balik dan arti fisiknya adalah bahwa posisi dan momentum linear dalam arah tertentu saling melengkapi.

Lihat pula Sunting

Lihat informasi mengenai sifat komutatif di Wiktionary.
  • Properti antikomutatif
  • Pemusat dan penormal (juga disebut komutan)
  • Diagram komutatif
  • Komutatif (neurofisiologi)
  • Pembalik
  • Hukum genjang
  • Statistik partikel (untuk komutatifitas dalam fisika)
  • Properti kuasi-komutatif
  • Jejak monoid
  • Kemungkinan perjalanan

Catatan Sunting

  1. ^ Cabillón and Miller, Commutative and Distributive
  2. ^ Flood, Raymond; Rice, Adrian; Wilson, Robin, ed. (2011). Mathematics in Victorian Britain. Oxford University Press. hlm. 4. 
  3. (Inggris) Weisstein, Eric W. "Symmetric Relation". MathWorld. 
  4. ^ Krowne, p.1
  5. Weisstein, Commute, p.1
  6. . Diarsipkan dari versi asli tanggal 2020-07-14. Diakses tanggal 2020-07-17. 
  7. Yark, p.1.
  8. Lumpkin, p.11
  9. Gay and Shute, p.?
  10. O'Conner and Robertson, Real Numbers
  11. O'Conner and Robertson, Servois
  12. D. F. Gregory (1840). "On the real nature of symbolical algebra". Transactions of the Royal Society of Edinburgh. 14: 208–216. 
  13. Moore and Parker
  14. Copi, Irving M.; Cohen, Carl (2005). Introduction to Logic. Prentice Hall. 
  15. Hurley, Patrick (1991). A Concise Introduction to Logic 4th edition. Wadsworth Publishing. 
  16. Axler, p.2
  17. ^ Gallian, p.34
  18. p. 26,87
  19. Gallian p.236
  20. Gallian p.250

Referensi Sunting

Buku Sunting

  • Axler, Sheldon (1997). Linear Algebra Done Right, 2e. Springer. ISBN 0-387-98258-2. 
  • Goodman, Frederick (2003). Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry, 2e. Prentice Hall. ISBN 0-13-067342-0. 

Artikel Sunting

  • Lumpkin, B. (1997). The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt - A Response To Robert Palter. Unpublished manuscript.
  • Robins, R. Gay, and Charles C. D. Shute. 1987. The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. London: British Museum Publications Limited. ISBN 0-7141-0944-4

Sumber berbasis online Sunting

wikipedia, wiki, buku, buku, perpustakaan, artikel, baca, unduh, gratis, unduh gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, gambar, musik, lagu, film, buku, permainan, permainan.
Tanggal penerbitan:
Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dari Commutative property di en wikipedia org Isinya masih belum akurat karena bagian yang diterjemahkan masih perlu diperhalus dan disempurnakan Jika Anda menguasai bahasa aslinya harap pertimbangkan untuk menelusuri referensinya dan menyempurnakan terjemahan ini Anda juga dapat ikut bergotong royong pada ProyekWiki Perbaikan Terjemahan Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat Lihat pula panduan penerjemahan artikel Dalam matematika suatu operasi biner memiliki sifat komutatif jika mengubah urutan operan tidak mengubah hasilnya Ini adalah sifat fundamental dari banyak operasi biner dan banyak pembuktian matematika bergantung pada sifat ini Sifat ini paling dikenal sebagai nama sifat yang mengatakan 3 4 4 3 atau 2 5 5 2 Sifat ini juga dapat digunakan dalam situasi yang lebih rumit Nama ini diperlukan karena ada operasi seperti pembagian dan pengurangan yang tidak memilikinya misalnya 3 5 5 3 operasi semacam itu tidak bersifat komutatif dan demikian disebut sebagai operasi nonkomutatif Gagasan bahwa operasi sederhana seperti perkalian dan penjumlahan bilangan bersifat komutatif telah diasumsikan secara implisit selama bertahun tahun Dengan demikian properti ini tidak dinamai sampai abad ke 19 ketika matematika mulai menjadi formal 1 2 Sifat yang terkait ada untuk relasi biner suatu relasi biner dikatakan simetris jika relasi berlaku terlepas dari urutan operannya misalnya kesamaan bersifat simetris karena dua objek matematika yang sama adalah sama terlepas dari urutannya 3 Sebuah operasi displaystyle circ adalah komutatif jika dan hanya jika x y y x displaystyle x circ y y circ x untuk setiap x displaystyle x dan y displaystyle y Gambar ini mengilustrasikan sifat ini dengan konsep dari sebuah operasi sebagai suatu mesin kalkulasi Hasil dari x y displaystyle x circ y atau y x displaystyle y circ x tidak dipengaruhi oleh urutan dari argumen x displaystyle x dan y displaystyle y hasil akhirnya sama Daftar isi 1 Penggunaan umum 2 Definisi Matematika 3 Contoh 3 1 Operasi komutatif 3 2 Operasi nonkomutatif 3 2 1 Pembagian dan pengurangan 3 2 2 Fungsi kebenaran 3 2 3 Komposisi fungsi fungsi linier 3 2 4 Perkalian matriks 3 2 5 Produk vektor 4 Sejarah dan etimologi 5 Logika proposisional 5 1 Kaidah penggantian 5 2 Konektor fungsional riil 6 Teori himpunan 7 Struktur matematika dan komutatif 8 Sifat terkait 8 1 Asosiatif 8 2 Distributif 8 3 Simetri 9 Operator non komuter dalam mekanika kuantum 10 Lihat pula 11 Catatan 12 Referensi 12 1 Buku 12 2 Artikel 12 3 Sumber berbasis onlinePenggunaan umum SuntingProperti komutatif atau hukum komutatif adalah properti yang umumnya terkait dengan operasi biner dan fungsi Jika properti komutatif berlaku untuk sepasang elemen di bawah operasi biner tertentu maka kedua elemen tersebut dikatakan ngelaju di bawah operasi Definisi Matematika SuntingInformasi lebih lanjut Fungsi simetris Istilah komutatif digunakan dalam beberapa pengertian terkait 4 5 Operasi biner displaystyle nbsp pada himpunan S disebut komutatif jika x y y x for all x y S displaystyle x y y x qquad mbox for all x y in S nbsp Operasi yang tidak memenuhi properti di atas disebut non komutatif Seseorang mengatakan bahwa x perjalanan dengan y di bawah displaystyle nbsp jika x y y x displaystyle x y y x nbsp Fungsi biner f A A B displaystyle f colon A times A to B nbsp disebut komutatif jika f x y f y x for all x y A displaystyle f x y f y x qquad mbox for all x y in A nbsp Contoh SuntingOperasi komutatif Sunting nbsp Penambahan vektor bersifat komutatif karena a b b a displaystyle vec a vec b vec b vec a nbsp Dua contoh operasi biner komutatif yang terkenal 4 Penambahan dari bilangan real bersifat komutatif karenay z z y for all y z R displaystyle y z z y qquad mbox for all y z in mathbb R nbsp dd Misalnya 4 5 5 4 karena ekspresi sama dengan 9 Perkalian dari bilangan real adalah komutatif karenay z z y dari semua y z R displaystyle yz zy qquad mbox dari semua y z in mathbb R nbsp dd Misalnya 3 5 5 3 karena kedua ekspresi sama dengan 15 Sebagai konsekuensi langsung dari ini itu juga berlaku bahwa ekspresi pada bentuk y dari z dan y dari z adalah komutatif untuk semua bilangan real y dan z 6 Misalnya 64 dari 50 50 dari 64 karena kedua ekspresi sama dengan 32 dan 30 dari 50 50 dari 30 karena kedua ekspresi tersebut sama dengan 15 Beberapa biner fungsi kebenaran juga komutatif karena tabel kebenaran untuk fungsi fungsinya sama ketika seseorang mengubah urutan operan Misalnya fungsi biconditional logis p q ekivalen dengan q p Fungsi ini juga ditulis sebagai p IFF q atau sebagai p q atau sebagai Epq Bentuk terakhir adalah contoh notasi paling ringkas dalam artikel tentang fungsi kebenaran yang mencantumkan enam belas kemungkinan fungsi kebenaran biner yang delapan diantaranya adalah komutatif Vpq Vqp Apq ATAU Aqp Dpq NAND Dqp Epq IFF Eqp Jpq Jqp Kpq DAN Kqp Xpq MAUPUN Xqp Opq Oqp Contoh lebih lanjut dari operasi biner komutatif termasuk penambahan dan perkalian bilangan kompleks penjumlahan dan perkalian skalar dari vektor dan persimpangan dan persatuan dari himpunan Operasi nonkomutatif Sunting Beberapa operasi biner nonkomutatif 7 Pembagian dan pengurangan Sunting Pembagian adalah nonkomutatif sejak 1 2 2 1 displaystyle 1 div 2 neq 2 div 1 nbsp Pengurangan bersifat nonkomutatif karena 0 1 1 0 displaystyle 0 1 neq 1 0 nbsp Namun itu diklasifikasikan lebih tepatnya sebagai anti komutatif karena 0 1 1 0 displaystyle 0 1 1 0 nbsp Fungsi kebenaran Sunting Beberapa fungsi kebenaran adalah nonkomutatif karena tabel kebenaran untuk fungsi berbeda ketika seseorang mengubah urutan operan Misalnya tabel kebenaran untuk A B A B dan B A A B adalah ABA BB AFFTTFTTFTFFTTTTTKomposisi fungsi fungsi linier Sunting Komposisi fungsi dari fungsi linier dari bilangan real ke bilangan real hampir selalu nonkomutatif Misalnya misalkan f x 2 x 1 displaystyle f x 2x 1 nbsp dan g x 3 x 7 displaystyle g x 3x 7 nbsp Kemudian f g x f g x 2 3 x 7 1 6 x 15 displaystyle f circ g x f g x 2 3x 7 1 6x 15 nbsp dan g f x g f x 3 2 x 1 7 6 x 10 displaystyle g circ f x g f x 3 2x 1 7 6x 10 nbsp Ini juga berlaku lebih umum untuk linier dan transformasi affine dari ruang vektor ke dirinya sendiri lihat di bawah untuk representasi Matriks Perkalian matriks Sunting Matriks perkalian matriks kuadrat hampir selalu nonkomutatif misalnya 0 2 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 displaystyle begin bmatrix 0 amp 2 0 amp 1 end bmatrix begin bmatrix 1 amp 1 0 amp 1 end bmatrix cdot begin bmatrix 0 amp 1 0 amp 1 end bmatrix neq begin bmatrix 0 amp 1 0 amp 1 end bmatrix cdot begin bmatrix 1 amp 1 0 amp 1 end bmatrix begin bmatrix 0 amp 1 0 amp 1 end bmatrix nbsp Produk vektor Sunting Produk vektor atau perkalian silang dari dua vektor dalam tiga dimensi adalah anti komutatif yaitu b a a b Sejarah dan etimologi Sunting nbsp Penggunaan istilah pertama yang diketahui dalam Jurnal Prancis yang diterbitkan pada tahun 1814Rekaman penggunaan implisit dari properti komutatif kembali ke zaman kuno Para Mesir ian menggunakan properti komutatif dari perkalian untuk menyederhanakan komputasi produk 8 9 Euklides diketahui telah mengasumsikan properti komutatif perkalian dalam bukunya Elemen 10 Penggunaan formal properti komutatif muncul pada akhir abad ke 18 dan awal abad ke 19 ketika ahli matematika mulai mengerjakan teori fungsi Saat ini properti komutatif adalah properti terkenal dan dasar yang digunakan di sebagian besar cabang matematika Penggunaan istilah komutatif yang tercatat pertama kali dalam sebuah memoar oleh Francois Servois pada tahun 1814 1 11 yang menggunakan kata komutatif saat mendeskripsikan fungsi yang memiliki apa yang sekarang disebut properti komutatif Kata tersebut merupakan kombinasi dari kata Perancis commuter yang berarti mengganti atau mengganti dan sufiks ative yang berarti cenderung ke sehingga kata tersebut secara harfiah berarti cenderung mengganti atau beralih Istilah tersebut kemudian muncul dalam bahasa Inggris pada tahun 1838 2 dalam artikel Duncan Farquharson Gregory berjudul Tentang sifat sebenarnya dari aljabar simbolik yang diterbitkan pada tahun 1840 di Transaksi Royal Society of Edinburgh 12 Logika proposisional SuntingTemplat Kaidah transformasi Kaidah penggantian Sunting Dalam logika proposisional riil fungsional pergantian 13 14 atau komutatif 15 mengacu pada dua valid kaidah penggantian Kaidah memungkinkan untuk mengubah urutan variabel proposisional dalam ekspresi logika dalam bukti logis Rumusnya adalah P Q Q P displaystyle P lor Q Leftrightarrow Q lor P nbsp and P Q Q P displaystyle P land Q Leftrightarrow Q land P nbsp dimana displaystyle Leftrightarrow nbsp adalah metalogika dari simbol yang menggunakan bukti dengan formal Konektor fungsional riil Sunting Komutatifita adalah sifat dari beberapa koneksi logika fungsi riil logika proposisional Persamaan logika berikut menunjukkan bahwa komutativitas adalah sifat dari penghubung tertentu Berikut ini adalah riil fungsional tautologi Komutatifitas konjungsi P Q Q P displaystyle P land Q leftrightarrow Q land P nbsp Komutatifitas disjungsi P Q Q P displaystyle P lor Q leftrightarrow Q lor P nbsp Komutatifitas implikasi disebut juga hukum permutasi P Q R Q P R displaystyle P to Q to R leftrightarrow Q to P to R nbsp Komutatifitas kesetaraan disebut juga hukum ekuivalen komutatif kompleks P Q Q P displaystyle P leftrightarrow Q leftrightarrow Q leftrightarrow P nbsp Teori himpunan SuntingDalam grup dan teori himpunan struktur aljabar disebut sebagai komutatif ketika operan tertentu memenuhi sifat komutatif Dalam cabang matematika yang lebih tinggi yaitu analisis dan aljabar linear komutatifitas operasi terkenal yaitu penambahan dan perkalian pada bilangan riil dan kompleks sering digunakan atau diasumsikan secara implisit dalam pembuktian 16 17 18 Struktur matematika dan komutatif SuntingSemigrup komutatif adalah himpunan dengan operasi total dari asosiatif dan komutatif Jika operasi menggunakan elemen identitas maka elemen tersebut adalah monoid komutatif Grup abelian atau grup komutatif adalah grup dimana operasi grupnya adalah sifat komutatif 17 Gelanggang komutatif adalah gelanggang dimana perkalian adalah komutatif 19 Dalam bidang penjumlahan dan perkalian adalah sifat komutatif 20 Sifat terkait SuntingAsosiatif Sunting Artikel utama Sifat asosiatif Sifat asosiatif terkait erat dengan sifat komutatif Sifat asosiatif dari ekspresi yang berisi dua atau lebih dari operasi yang sama bahwa operasi urutan dilakukan tidak dipengaruhi hasil akhir sebagai urutan persyaratan yang tidak dapat diubah Sebaliknya sifat komutatif bahwa urutan suku tidak mempengaruhi hasil akhir Sebagian besar operasi komutatif yang ditemukan dalam praktik bersifat asosiatif Namun komutativitas tidak menyiratkan asosiatif Sebuah contoh luar adalah fungsi f x y x y 2 displaystyle f x y frac x y 2 nbsp yang jelas sifat komutatif mengganti x dan y tidak mempengaruhi hasil tetapi tidak asosiatif misalnya f 4 f 0 4 1 displaystyle f 4 f 0 4 1 nbsp but f f 4 0 4 1 displaystyle f f 4 0 4 1 nbsp Contoh lainnya dapat ditemukan di magma non asosiatif komutatif Distributif Sunting Artikel utama Sifat distributif Simetri Sunting nbsp Grafik yang menunjukkan kesimetrian fungsi penjumlahanArtikel utama Simetri dalam matematika Beberapa bentuk simetri dapat langsung dikaitkan dengan komutatifitas Ketika operasi komutatif ditulis sebagai fungsi biner maka fungsi yang dihasilkan adalah simetris dengan melintasi garis y x Sebagai contoh jika fungsi f menggunakan penjumlahan operasi komutatif sehingga f x y x y maka f adalah fungsi simetris yang dapat dilihat pada gambar di sebelahnya Untuk relasi relasi simetri adalah analogi dengan operasi komutatif dimana jika relasi R simetris maka a R b b R a displaystyle aRb Leftrightarrow bRa nbsp Operator non komuter dalam mekanika kuantum SuntingArtikel utama Hubungan pergantian kanonis Dalam mekanika kuantum seperti yang dirumuskan oleh Schrodinger variabel fisik diwakili oleh operator linier seperti x artinya dikalikan dengan x dan d d x displaystyle frac d dx nbsp Kedua operator ini tidak bolak balik seperti yang terlihat dengan mempertimbangkan efek komposisi mereka x d d x displaystyle x frac d dx nbsp dan d d x x displaystyle frac d dx x nbsp juga disebut produk operator pada fungsi gelombang satu dimensi ps x displaystyle psi x nbsp x d d x ps x ps ps x ps d d x x ps displaystyle x cdot mathrm d over mathrm d x psi x cdot psi neq psi x cdot psi mathrm d over mathrm d x left x cdot psi right nbsp dd Menurut prinsip ketidakpastian dari Heisenberg jika dua operator yang mewakili sepasang variabel tidak bolak balik maka pasangan variabel itu saling komplementer yang artinya tidak dapat diukur atau diketahui secara bersamaan Misalnya posisi dan momentum linier dalam arah x sebuah partikel diwakili oleh operator x displaystyle x nbsp and i ℏ x displaystyle i hbar frac partial partial x nbsp masing masing di mana ℏ displaystyle hbar nbsp adalah konstanta Planck tereduksi Ini adalah contoh yang sama kecuali konstanta i ℏ displaystyle i hbar nbsp jadi sekali lagi operator tidak bolak balik dan arti fisiknya adalah bahwa posisi dan momentum linear dalam arah tertentu saling melengkapi Lihat pula Sunting nbsp Lihat informasi mengenai sifat komutatif di Wiktionary Properti antikomutatif Pemusat dan penormal juga disebut komutan Diagram komutatif Komutatif neurofisiologi Pembalik Hukum genjang Statistik partikel untuk komutatifitas dalam fisika Properti kuasi komutatif Jejak monoid Kemungkinan perjalananCatatan Sunting a b Cabillon and Miller Commutative and Distributive a b Flood Raymond Rice Adrian Wilson Robin ed 2011 Mathematics in Victorian Britain Oxford University Press hlm 4 Inggris Weisstein Eric W Symmetric Relation MathWorld a b Krowne p 1 Weisstein Commute p 1 Compatible Numbers to Simplify Percent Problems Diarsipkan dari versi asli tanggal 2020 07 14 Diakses tanggal 2020 07 17 Yark p 1 Lumpkin p 11 Gay and Shute p O Conner and Robertson Real Numbers O Conner and Robertson Servois D F Gregory 1840 On the real nature of symbolical algebra Transactions of the Royal Society of Edinburgh 14 208 216 Moore and Parker Copi Irving M Cohen Carl 2005 Introduction to Logic Prentice Hall Hurley Patrick 1991 A Concise Introduction to Logic 4th edition nbsp Wadsworth Publishing Axler p 2 a b Gallian p 34 p 26 87 Gallian p 236 Gallian p 250Referensi SuntingBuku Sunting Axler Sheldon 1997 Linear Algebra Done Right 2e Springer ISBN 0 387 98258 2 Abstract algebra theory Covers commutativity in that context Uses property throughout book Copi Irving M Cohen Carl 2005 Introduction to Logic Prentice Hall Gallian Joseph 2006 Contemporary Abstract Algebra 6e Boston Mass Houghton Mifflin ISBN 0 618 51471 6 Linear algebra theory Explains commutativity in chapter 1 uses it throughout Goodman Frederick 2003 Algebra Abstract and Concrete Stressing Symmetry 2e Prentice Hall ISBN 0 13 067342 0 Abstract algebra theory Uses commutativity property throughout book Hurley Patrick 1991 A Concise Introduction to Logic 4th edition Wadsworth Publishing Artikel Sunting https web archive org web 20070713072942 http www ethnomath org resources lumpkin1997 pdf Lumpkin B 1997 The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt A Response To Robert Palter Unpublished manuscript Article describing the mathematical ability of ancient civilizations Robins R Gay and Charles C D Shute 1987 The Rhind Mathematical Papyrus An Ancient Egyptian Text London British Museum Publications Limited ISBN 0 7141 0944 4Translation and interpretation of the Rhind Mathematical Papyrus Sumber berbasis online Sunting Hazewinkel Michiel ed 2001 1994 Commutativity Encyclopedia of Mathematics Springer Science Business Media B V Kluwer Academic Publishers ISBN 978 1 55608 010 4 Krowne Aaron Commutative di PlanetMath org Accessed 8 August 2007 Definition of commutativity and examples of commutative operations Inggris Weisstein Eric W Commute MathWorld Accessed 8 August 2007 Explanation of the term commuteYark Examples of non commutative operations di PlanetMath org Accessed 8 August 2007Examples proving some noncommutative operationsO Conner J J and Robertson E F MacTutor history of real numbers Accessed 8 August 2007Article giving the history of the real numbersCabillon Julio and Miller Jeff Earliest Known Uses Of Mathematical Terms Accessed 22 November 2008Page covering the earliest uses of mathematical termsO Conner J J and Robertson E F MacTutor biography of Francois Servois Diarsipkan 2009 09 02 di Wayback Machine Accessed 8 August 2007Biography of Francois Servois who first used the term Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Sifat komutatif amp oldid 22324918