www.wikidata.id-id.nina.az

Unsur identitas Dalam matematika unsur identitas bahasa Inggris identity element atau unsur netral bahasa Inggris neutra

Unsur identitas

Dalam matematika, unsur identitas (bahasa Inggris: identity element), atau unsur netral (bahasa Inggris: neutral element) dari operasi biner yang mengoperasi di himpunan adalah unsur hmpunan yang meninggalkan setiap elemen dari himpunan yang tidak berubah saat diterapkan dengannya. Konsep ini digunakan dalam struktur aljabar seperti grup dan gelanggang. Istilah unsur identitas sering disingkat menjadi identitas (seperti pada kasus identitas penambahan dan identitas perkalian), ketika tidak ada kemungkinan yang membingungkan, namun secara implisit, identitas bergantung pada operasi biner yang terkait dengannya.

Definisi Sunting

Misalkan ( S , ∗) adalah himpunan S yang dilengkapi dengan operasi biner ∗. Maka unsur e dari S disebut identitas kiri jika e ∗ a = a untuk semua a di S, dan unsur e dari S disebut identitas kanan jika a ∗ e = a untuk semua a di S. Jika e adalah identitas kiri dan juga identitas kanan, maka e disebut identitas dwipihak (bahasa Inggris: two-sided identity), atau cukup disebut identitas.

Identitas terhadap penjumlahan disebut identitas aditif (seringkali dilambangkan sebagai 0) dan identitas terhadap perkalian disebut identitas perkalian (seringkali dilambangkan sebagai 1). Kedua identitas tersebut tidak harus berupa penjumlahan dan perkalian biasa, karena operasi yang mendasarinya dapat menjadi agak sembarangan. Pada kasus, sebagai contoh, di grup, unsur identitas terkadang dilambangkan dengan simbol . Perbedaan antara identitas aditif dan perkalian paling sering digunakan untuk himpunan yang mendukung kedua operasi biner, seperti gelanggang, domain integral, and lapangan. Identitas multiplikatif sering disebut kesatuan dalam konteks terakhir (gelanggang dengan persatuan). Hal ini tidak boleh disamakan dengan unit dalam teori gelanggang, yang merupakan setiap unsur yang memiliki invers perkalian. Karena menurut definisinya sendiri, kesatuannya tersendiri merupakan satu kesatuan.

Contoh Sunting

Himpunan Operasi Identitas
Bilangan real + (penambahan) 0
Bilangan real · (perkalian) 1
Bilangan bulat positif kelipatan persekutuan terkecil 1
Bilangan bulat taknegatif faktor persekutuan terbesar 0 (terhadap sebagian besar definisi faktor persekutuan terbesar)
Matriks penambahan matriks
Matriks persegi perkalian matriks In (matriks identitas)
Matriks ○ (hasil kali Hadamard) Jm, n (matriks satuan)
Semua fungsi dari himpunan, M, ke dirinya. ∘ (komposisi fungsi) fungsi identitas
Semua distribusi di grup, G ∗ (konvolusi) δ (Dirac delta)
Bilangan real diperluas Minimum/infimum +∞
Bilangan real diperluas Maksimum/supremum −∞
Subhimpunan dari himpunan M ∩ (irisan) M
Himpunan ∪ (union) ∅ (himpunan kosong)
String, daftar Konkatenansi string kosong, daftar kosong
Aljabar Boole ∧ (logika dan) ⊤ (kebenaran)
Aljabar Boole ∨ (logika atau) ⊥ (kepalsuan)
Aljabar Boole ⊕ (disjungsi eksklusif) ⊥ (kepalsuan)
Buhul jumlah buhul takbuhul
Permukaan kompak # (jumlah terhubung) S2
Grup darab langsung grup trivial
Dua anggota{e, f}  ∗ didefinisikan dengan
e ∗ e = f ∗ e = e dan
f ∗ f = e ∗ f = f 		e dan f adalah identitas kiri. Namun pada operasi tersebut, tidak ada identitas kanan dan tidak ada identitas dwipihak.
Relasi homogen di himpunan darab relatif relasi identitas

Properti Sunting

Pada contoh S = {e, f}, dengan persamaan yang dinyatakan (lihat tabel sebelumnya), S merupakan semigrup. Contoh tersebut memperlihatkan kemungkinan untuk ( S , ∗) yang mempunyai beberapa identitas kiri. Bahkan, setiap elemen bisa dapat identitas kiri. Dengan cara yang sama, kemungkinan untuk ( S , ∗) yang juga mempunyai beberapa identitas kanan. Namun, jika ada identitas kanan dan identitas kiri, maka kedua identitas tersebut harus ekuivalen, yang menghasilkan identitas dwipihak.

Untuk memperlihatkannya, perhatikan bahwa jika l adalah identitas kiri dan r adalah identitas kanan, maka l = l ∗ r = r. Secara khusus, persamaan tersebut tidak akan pernah ada lebih dari satu identitas dwipihak: jika ada dua unsur, katakanlah e dan f, maka e ∗ f harus sama dengan e dan f.

Hal ini mungkin juga ( S , ∗) tidak mempunyai elemen identitas, seperti kasus bilangan bulat genap terhadap operasi perkalian. Contoh umum lainnya adalah perkalian silang dari vektor, dengan ketiadaan elemen identitas terkait dengan fakta bahwa arah dari setiap perkalian silang taknol selalu ortogonal terhadap setiap unsur yang dikalikan. Artinya, perkalian tersebut tidak dapat memperoleh vektor taknol searah dengan aslinya. Namun, contoh lain dari grup tanpa unsur identitas melibatkan semigrup aditif dari bilangan asli positif.

Catatan dan referensi Sunting

  1. "The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Identity". Math Vault (dalam bahasa Inggris). 2019-08-01. Diakses tanggal 2019-12-01. 
  2. Weisstein, Eric W. "Identity Element". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2019-12-01. 
  3. (Fraleigh 1976, hlm. 21)
  4. (Beauregard & Fraleigh 1973, hlm. 96)
  5. (Fraleigh 1976, hlm. 18)
  6. (Herstein 1964, hlm. 26)
  7. (McCoy 1973, hlm. 17)
  8. "Identity Element | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2019-12-01. 
  9. (Beauregard & Fraleigh 1973, hlm. 135)
  10. (Fraleigh 1976, hlm. 198)
  11. (McCoy 1973, hlm. 22)
  12. (Fraleigh 1976, hlm. 198,266)
  13. (Herstein 1964, hlm. 106)
  14. (McCoy 1973, hlm. 22)
  15. "Identity Element". www.encyclopedia.com. Diakses tanggal 2019-12-01. 

Daftar pustaka Sunting

Bacaan lebih lanjut Sunting

  • M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7, p. 14–15
wikipedia, wiki, buku, buku, perpustakaan, artikel, baca, unduh, gratis, unduh gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, gambar, musik, lagu, film, buku, permainan, permainan.
Tanggal penerbitan:
Dalam matematika unsur identitas bahasa Inggris identity element atau unsur netral bahasa Inggris neutral element dari operasi biner yang mengoperasi di himpunan adalah unsur hmpunan yang meninggalkan setiap elemen dari himpunan yang tidak berubah saat diterapkan dengannya 1 2 Konsep ini digunakan dalam struktur aljabar seperti grup dan gelanggang Istilah unsur identitas sering disingkat menjadi identitas seperti pada kasus identitas penambahan dan identitas perkalian ketika tidak ada kemungkinan yang membingungkan namun secara implisit identitas bergantung pada operasi biner yang terkait dengannya Daftar isi 1 Definisi 2 Contoh 3 Properti 4 Catatan dan referensi 5 Daftar pustaka 6 Bacaan lebih lanjutDefinisi SuntingMisalkan S adalah himpunan S yang dilengkapi dengan operasi biner Maka unsure dariS disebut identitas kiri jikae a a untuk semuaa diS dan unsure dariS disebut identitas kanan jikaa e a untuk semuaa diS 3 Jikae adalah identitas kiri dan juga identitas kanan makae disebut identitas dwipihak bahasa Inggris two sided identity atau cukup disebut identitas 4 5 6 7 8 Identitas terhadap penjumlahan disebut identitas aditif seringkali dilambangkan sebagai 0 dan identitas terhadap perkalian disebut identitas perkalian seringkali dilambangkan sebagai 1 Kedua identitas tersebut tidak harus berupa penjumlahan dan perkalian biasa karena operasi yang mendasarinya dapat menjadi agak sembarangan Pada kasus sebagai contoh digrup unsur identitas terkadang dilambangkan dengan simbol e displaystyle e nbsp Perbedaan antara identitas aditif dan perkalian paling sering digunakan untuk himpunan yang mendukung kedua operasi biner seperti gelanggang domain integral and lapangan Identitas multiplikatif sering disebut kesatuan dalam konteks terakhir gelanggang dengan persatuan 9 10 11 Hal ini tidak boleh disamakan dengan unit dalam teori gelanggang yang merupakan setiap unsur yang memiliki invers perkalian Karena menurut definisinya sendiri kesatuannya tersendiri merupakan satu kesatuan 12 13 Contoh SuntingHimpunan Operasi IdentitasBilangan real penambahan 0Bilangan real perkalian 1Bilangan bulat positif kelipatan persekutuan terkecil 1Bilangan bulat taknegatif faktor persekutuan terbesar 0 terhadap sebagian besar definisi faktor persekutuan terbesar Matriks m n displaystyle m times n nbsp penambahan matriksMatriks persegi n n displaystyle n times n nbsp perkalian matriks In matriks identitas Matriks m n displaystyle m times n nbsp hasil kali Hadamard Jm n matriks satuan Semua fungsi dari himpunan M ke dirinya komposisi fungsi fungsi identitasSemua distribusi di grup G konvolusi d Dirac delta Bilangan real diperluas Minimum infimum Bilangan real diperluas Maksimum supremum Subhimpunan dari himpunan M irisan MHimpunan union himpunan kosong String daftar Konkatenansi string kosong daftar kosongAljabar Boole logika dan kebenaran Aljabar Boole logika atau kepalsuan Aljabar Boole disjungsi eksklusif kepalsuan Buhul jumlah buhul takbuhulPermukaan kompak jumlah terhubung S2Grup darab langsung grup trivialDua anggota e f didefinisikan dengan e e f e e dan f f e f f e dan f adalah identitas kiri Namun pada operasi tersebut tidak ada identitas kanan dan tidak ada identitas dwipihak Relasi homogen di himpunan X displaystyle X nbsp darab relatif relasi identitasProperti SuntingPada contoh S e f dengan persamaan yang dinyatakan lihat tabel sebelumnya S merupakan semigrup Contoh tersebut memperlihatkan kemungkinan untuk S yang mempunyai beberapa identitas kiri Bahkan setiap elemen bisa dapat identitas kiri Dengan cara yang sama kemungkinan untuk S yang juga mempunyai beberapa identitas kanan Namun jika ada identitas kanan dan identitas kiri maka kedua identitas tersebut harus ekuivalen yang menghasilkan identitas dwipihak Untuk memperlihatkannya perhatikan bahwa jikal adalah identitas kiri danr adalah identitas kanan maka l l r r Secara khusus persamaan tersebut tidak akan pernah ada lebih dari satu identitas dwipihak jika ada dua unsur katakanlahe dan f maka e f harus sama dengane dan f Hal ini mungkin juga S tidak mempunyai elemen identitas 14 seperti kasus bilangan bulat genap terhadap operasi perkalian 15 Contoh umum lainnya adalah perkalian silang dari vektor dengan ketiadaan elemen identitas terkait dengan fakta bahwa arah dari setiap perkalian silang taknol selalu ortogonal terhadap setiap unsur yang dikalikan Artinya perkalian tersebut tidak dapat memperoleh vektor taknol searah dengan aslinya Namun contoh lain dari grup tanpa unsur identitas melibatkan semigrup aditif dari bilangan asli positif Catatan dan referensi Sunting The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon Identity Math Vault dalam bahasa Inggris 2019 08 01 Diakses tanggal 2019 12 01 Parameter url status yang tidak diketahui akan diabaikan bantuan Weisstein Eric W Identity Element mathworld wolfram com dalam bahasa Inggris Diakses tanggal 2019 12 01 Fraleigh 1976 hlm 21 Beauregard amp Fraleigh 1973 hlm 96 Fraleigh 1976 hlm 18 Herstein 1964 hlm 26 McCoy 1973 hlm 17 Identity Element Brilliant Math amp Science Wiki brilliant org dalam bahasa Inggris Diakses tanggal 2019 12 01 Beauregard amp Fraleigh 1973 hlm 135 Fraleigh 1976 hlm 198 McCoy 1973 hlm 22 Fraleigh 1976 hlm 198 266 Herstein 1964 hlm 106 McCoy 1973 hlm 22 Identity Element www encyclopedia com Diakses tanggal 2019 12 01 Daftar pustaka SuntingBeauregard Raymond A Fraleigh John B 1973 A First Course In Linear Algebra with Optional Introduction to Groups Rings and Fields nbsp Boston Houghton Mifflin Company ISBN 0 395 14017 X Fraleigh John B 1976 A First Course In Abstract Algebra edisi ke 2nd Reading Addison Wesley ISBN 0 201 01984 1 Herstein I N 1964 Topics In Algebra Waltham Blaisdell Publishing Company ISBN 978 1114541016 McCoy Neal H 1973 Introduction To Modern Algebra Revised Edition Boston Allyn and Bacon LCCN 68015225 Bacaan lebih lanjut SuntingM Kilp U Knauer A V Mikhalev Monoids Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs De Gruyter Expositions in Mathematics vol 29 Walter de Gruyter 2000 ISBN 3 11 015248 7 p 14 15 Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Unsur identitas amp oldid 21265665