www.wikidata.id-id.nina.az

Induksi matematika merupakan salah satu kegiatan penalaran deduktif yang berkaitan dengan pembuktian matematika 1 Dalam

Induksi matematika

Induksi matematika merupakan salah satu kegiatan penalaran deduktif yang berkaitan dengan pembuktian matematika. Dalam matematika, induksi matematika merupakan sebuah dasar aksioma bagi beberapa teorema yang melibatkan bilangan asli. Pembuktian suatu pernyataan matematis dengan induksi matematika dilakukan pada objek matematika yang bersifat diskrit, misalnya teori bilangan, teori graf, dan kombinatorika. Matematikawan menggunakan induksi matematika untuk menjelaskan pernyataan matematika yang telah diketahui kebenarannya.

Sebuah deskripsi tidak formal dari induksi matematika dapat diilustrasikan dengan mengacu kepada efek sekuensial dari jatuhnya domino.

Prinsip induksi matematis dapat dijelaskan secara umum dalam dua tahap yaitu langkah awal atau asumsi induktif dan langkah induksi dasar. Penggunaan induksi matematika utamanya dilakukan pada tiga jenis masalah matematika yaitu seri umum, habis dibagi dan ketidaksetaraan. Kemampuan pembuktian induksi matematika secara benar ditentukan oleh tingkat pemahaman konsep. Setiap prosedur induksi matematika yang digunakan pada suatu konsep matematika dapat ditentukan melalui pemahaman relasional.

Sejarah penggunaan Sunting

Teorema matematika didasarkan pada sekumpulan aksioma dan definisi. Pembuktian semua jenis teorema dilakukan dengan menggunakan aksioma dan definisi, atau menggunakan teorema-teorema yang telah terbukti kebenarannya. Teorema dalam matematika tidak didasarkan kepada hasil-hasil eksperimen yang tidak dapat dibuktikan kebenarannya. Matematika tidak dapat menerima argumentasi bahwa suatu pernyataan matematis adalah benar hanya dengan eksperimen-eksperimen dan observasi-observasi. Pierre de Fermat (1601- 1665) membuktikan bahwa pada konjektur Fermat, persamaan tidak akan menghasilkan bilangan bulat berbentuk positif pada sebarang bilangan bulat yang bernilai lebih dari 2. Para matematikawan memerlukan waktu lebih dari tiga abad untuk menemukan pembuktian konjektur Fermat. Pada tahun 1994, konjektur Fermat dibuktikan oleh matematikawan berkebangsaan Inggris yaitu Andrew Wiles.

Demonstrasi pembuktian klaim bahwa "Jumlah dari n bilangan ganjil pertama adalah bilangan kuadrat, bukan n."

Sejarah penggunaan induksi matematika dijelaskan oleh Bussey dalam artikel yang ditulisnya pada tahun 1917. Dalam artikel tersebut dijelaskan bahwa proses induksi matematika telah digunakan untuk pertama kali oleh D. Franciscus Maurolycus (1494- 1575). Maurolycus adalah matewatikawan berkebangsaan Italia dan kenalan dari Blaise Pascal (1623-1662). Penggunaan induksi matematika dilakukan oleh Maurolycus dalam bukunya yang terbit pada tahun 1575. Maurolycus menggunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwa bilangan-bilangan ganjil terbentuk dengan cara berturut-turut menambahkan 2 terhadap bilangan ganjil pertama, yaitu 1. Pembuktikan lain yang diperolehnya dengan induksi yaitu jumlah n bilangan ganjil pertama adalah kuadrat n. Pembuktian matematika yang dilakukan oleh Pascal maupun Maurolycus tidak pernah menggunakan istilah induksi. Istilah induksi digunakan pertama kalinya pada tahun 1956 oleh John Wallis. Dalam bukunya yang berjudul Arithmetica Infinitorum, Wallis menggunakan isitlah per modum inductionis. Pada tahun 1838, Augustus de Morgan (1806-1871) memperkenalkan istilah induksi matematika ke publik melalui artikel induction yang ditulisnya untuk jurnal Penny Cyclopedia.

Pada tahun 1889, Giuseppe Peano (1858-1932) merumuskan prinsip induksi matematika ke dalam lima aksioma. Di dalam kelima aksioma ini, disajikan definisi lengkap tentang bilangan asli. Kelima aksioma tersebut adalah:

  1. 1 adalah bilangan asli.
  2. Terdapat satu bilang turutan yang unik dan bentuk bilangan asli pada setiap bilangan asli.
  3. Bilangan turutan yang sama mustahil ditemukan pada dua bilangan asli yang berbeda.
  4. 1 bukan merupakan turutan dari sebarang bilangan asli
  5. Sifat yang dimiliki oleh 1 dan turutan semua bilangan asli, pasti dimiliki juga oleh semua bilangan asli.

Proposisi Sunting

Dalam pembuktian tidak langsung, induksi matematika melibatkan dua proposisi, yaitu basis induksi dan hipotesis induksi. Pembuktian dilakukan dalam tiga langkah yaitu langkah basis, hipotesis induksi, dan langkah induksi.

Matematika umum Sunting

Pembuktian cara induksi matematika ingin membuktikan bahwa teori atau sifat itu benar untuk semua bilangan asli atau semua bilangan dalam himpunan bagiannya. Caranya ialah dengan menunjukkan bahwa sifat itu benar untuk n = 1 (atau S(1) adalah benar), kemudian ditunjukkan bahwa bila sifat itu benar untuk n = k (bila S(k) benar) menyebabkan sifat itu benar untuk n = k + 1 (atau S(k + 1) benar).

Bilangan (termasuk jumlah deret) Sunting

  • Buktikan bahwa untuk jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n2!

Persamaan yang perlu dibuktikan:

Langkah pembuktian pertama:
untuk , benar bahwa

Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk , yaitu

sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa sesuai dengan pengandaian awal

kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan

Kesimpulan:
Jadi, benar untuk jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n2 karena memenuhi kedua langkah pembuktian

  • Buktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat positif adalah n!

Persamaan yang perlu dibuktikan:

Langkah pembuktian pertama:
untuk , benar bahwa

Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk , yaitu

sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa sesuai dengan pengandaian awal

kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan

Kesimpulan:
Jadi, benar untuk setiap bilangan bulat positif adalah n karena memenuhi kedua langkah pembuktian

Pertidaksamaan Sunting

  • Buktikan bahwa untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 5!

Persamaan yang perlu dibuktikan:

Langkah pembuktian pertama:
untuk , benar bahwa

Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk , yaitu

sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa sesuai dengan pengandaian awal

kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan

Kesimpulan:
Jadi, benar untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 5 karena memenuhi kedua langkah pembuktian

Faktor (termasuk kali atau bagi) Sunting

  • Buktikan bahwa salah satu faktor dari adalah 3 untuk semua bilangan bulat positif n!

Persamaan yang perlu dibuktikan:

Langkah pembuktian pertama:
untuk , benar bahwa

Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk , yaitu

sekarang tunjukkan bahwa 3 adalah faktor dari

karena 3 adalah faktor dari dan 3 juga merupakan faktor , maka 3 adalah faktor dari . Dengan menggabungkan hasil pada langkah pembuktian 1 dan 2.

Kesimpulan:
Jadi, benar untuk 3 adalah faktor untuk semua bilangan bulat positif n karena memenuhi kedua langkah pembuktian

  • Buktikan bahwa 3 adalah faktor untuk semua bilangan bulat positif n!

Persamaan yang perlu dibuktikan:

Langkah pembuktian pertama:
untuk , benar bahwa

Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk , yaitu

sekarang tunjukkan bahwa 3 adalah faktor dari

karena 3 adalah faktor dari dan 3 juga merupakan faktor , maka 3 adalah faktor dari . Dengan menggabungkan hasil pada langkah pembuktian 1 dan 2.

Kesimpulan:
Jadi, benar untuk 3 adalah faktor untuk semua bilangan bulat positif n karena memenuhi kedua langkah pembuktian

  • Buktikan bahwa habis dibagi 4 untuk semua bilangan bulat positif n!

Persamaan yang perlu dibuktikan:

Langkah pembuktian pertama:
untuk , benar bahwa

Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk , yaitu

sekarang tunjukkan bahwa habis dibagi 4

karena dan habis dibagi 4, maka habis dibagi 4. Dengan menggabungkan hasil pada langkah pembuktian 1 dan 2.

Kesimpulan:
Jadi, benar untuk habis dibagi 4 untuk semua bilangan bulat positif n karena memenuhi kedua langkah pembuktian

Faktorisasi Sunting

  • Buktikan bahwa x - y adalah faktor untuk semua bilangan bulat positif n!

Persamaan yang perlu dibuktikan:

Langkah pembuktian pertama:
untuk , benar bahwa

Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk , yaitu

sekarang tunjukkan bahwa x - y adalah faktor dari

karena x - y adalah faktor dari dan x - y juga merupakan faktor , maka x - y adalah faktor dari . Dengan menggabungkan hasil pada langkah pembuktian 1 dan 2.

Kesimpulan:
Jadi, benar untuk x - y adalah faktor untuk semua bilangan bulat positif n karena memenuhi kedua langkah pembuktian

Barisan Sunting

Temukan hasil rumus untuk penjumlahan berhingga berikut kemudian buktikan hasil rumus tersebut dengan induksi matematika!


Persamaan yang perlu dibuktikan:

Langkah pembuktian pertama:
untuk beberapa penjumlahan dari pertama, benar bahwa

Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk , yaitu

sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa sesuai dengan pengandaian awal

kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan

Kesimpulan:
Jadi, benar untuk hipotesis induksi matematika karena memenuhi kedua langkah pembuktian

Matematika kuat Sunting

Misalkan S(n) adalah pernyataan yang didefinisikan untuk bilangan bulat n, dan misalkan a dan b adalah bilangan bulat sedemikian sehingga a ≤ b. Jika dua pernyataan berikut bernilai benar,

S(a), S(a + 1), ..., dan S(b) semuanya bernilai benar. (langkah dasar) Untuk sebarang bilangan bulat k ≥ b, jika S(i) benar untuk semua bilangan bulat i mulai a sampai k, maka S(k + 1) benar. (langkah induksi)

Maka untuk semua bilangan bulat n ≥ a, S(n) benar. (Asumsi bahwa S(i) benar untuk semua bilangan bulat i mulai dari a sampai k disebut sebagai hipotesis induksi. Cara lain untuk menyatakan hipotesis induksi adalah dengan menyatakan bahwa S(a), S(a + 1), ..., S(k) semuanya bernilai benar.)

Penerapan Sunting

Penalaran pada matematika formal Sunting

Induksi matematika digunakan untuk mengatasi kelemahan dari penalaran induktif. Penggunaan induksi matematika dapat memberikan kesimpulan yang berlaku umum. Sebaliknya, penalaran induktif yang dilakukan melalui pengalaman dan pengamatan, tidak menjamin adanya kesimpulan yang berlaku secara umum. Kesimpulan yang berlaku secara umum di dalam matematika formal hanya dapat diperoleh melalui induksi matematika.

Referensi Sunting

  1. Ilyas, dkk. (2015). Metodologi Penelitian Pendidikan Matematika (PDF). Bandung: Pustaka Ramadhan. hlm. 228. ISBN 979-604-153-7. 
  2. Utomo dan Huda 2020, hlm. 1.
  3. Utomo dan Huda 2020, hlm. 2.
  4. Utomo dan Huda 2020, hlm. 33-34.
  5. Utomo dan Huda 2020, hlm. 38-39.
  6. Lolang dan Tandiseru 2017, hlm. 23.
  7. Lolang dan Tandiseru 2017, hlm. 24.
  8. Lolang dan Tandiseru 2017, hlm. 24-25.
  9. Lolang dan Tandiseru 2017, hlm. 25.
  10. Lolang dan Tandiseru 2017, hlm. 11.
  11. Utoyo, Setiyo (2017). Metode Pengembangan Matematika Anak Usia Dini (PDF). Gorontalo: Ideas Publishing. hlm. 61. ISBN 978-602-6635-57-0. 

Daftar pustaka Sunting

  1. Lolang, E., dan Tandiseru, S. R. (2017). Dasar-Dasar Matematika Diskrit dengan Pendekatan Problem Solving (PDF). Tana Toraja: UKI Toraja Press. ISBN 978-602-18328-8-2. 
  2. Utomo, D. P., dan Huda, M. (2020). Pemahaman Relasional Analisis Proses Pembuktian Menggunakan Induksi Matematika (PDF). Yogyakarta: CV. Bildung Nusantara. ISBN 978-623-7148-42-5. 

Bacaan lanjutan Sunting

Analisis Sunting

  • Knuth, Donald E. (1997). The Art of Computer Programming, Volume 1: Fundamental Algorithms (edisi ke-3rd). Addison-Wesley. ISBN 0-201-89683-4.  (Section 1.2.1: Mathematical Induction, pp. 11-21.)
  • Kolmogorov, Andrey N. (1975). Introductory Real Analysis. Silverman, R. A. (trans., ed.). New York: Dover. ISBN 0-486-61226-0.  (Section 1.3.8: Transfinite induction, pp. 28-29.)
  • Franklin, J. (1996). Proof in Mathematics: An Introduction. Sydney: Quakers Hill Press. ISBN 1-876192-00-3.  (Ch. 8.)

Sejarah Sunting

  • Acerbi, F. (2000). "Plato: Parmenides 149a7-c3. A Proof by Complete Induction?". Archive for History of Exact Sciences. 55: 57–76. doi:10.1007/s004070000020. 
  • Bussey, W. H. (1917). "The Origin of Mathematical Induction". The American Mathematical Monthly. 24 (5): 199–207. 
  • Cajori, Florian (1918). "Origin of the Name "Mathematical Induction"". 25 (5): 197–201. 
  • "Could the Greeks Have Used Mathematical Induction? Did They Use It?". Physis. XXXI: 253–265. 1994. 
  • Freudenthal, Hans (1953). "Zur Geschichte der vollständigen Induction". Archives Internationales d'Histiore des Sciences. 6: 17–37. 
  • Rabinovitch, Nachum L. (1970). "Rabi Levi Ben Gershon and the Origins of Mathematical Induction". Archive for the History of Exact Science. 6: 237–248. doi:10.1007/BF00327237. 
  • Rashed, Roshdi (1972). "L'induction mathématique: al-Karajī, as-Samaw'al". Archive for History of Exact Sciences. 9: 1–12. doi:10.1007/BF00348537. 
  • Ungure, S. (1991). "Greek Mathematics and Mathematical Induction". Physis. XXVIII: 273–289. 
  • Ungure, S. (1994). "Fowling after Induction". Physis. XXXI: 267–272. 
  • Vacca, G. (1909). "Maurolycus, the First Discoverer of the Principle of Mathematical Induction". Bulletin of the American Mathematical Society. 16: 70–73. 
  • Yadegari, Mohammad (1978). "The Use of Mathematical Induction by Abū Kāmil Shujā' Ibn Aslam (850-930)". Isis. 69 (2): 259–262. 
  • Kuntarti, Sri Kurnianingsih (2007). Matematika SMA dan MA jilid 3B untuk Kelas XII Semester II Program IPA. Sulistiyono. Jakarta: Esis. ISBN 978-979-015-297-7. 
wikipedia, wiki, buku, buku, perpustakaan, artikel, baca, unduh, gratis, unduh gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, gambar, musik, lagu, film, buku, permainan, permainan.
Tanggal penerbitan:
Induksi matematika merupakan salah satu kegiatan penalaran deduktif yang berkaitan dengan pembuktian matematika 1 Dalam matematika induksi matematika merupakan sebuah dasar aksioma bagi beberapa teorema yang melibatkan bilangan asli 2 Pembuktian suatu pernyataan matematis dengan induksi matematika dilakukan pada objek matematika yang bersifat diskrit misalnya teori bilangan teori graf dan kombinatorika Matematikawan menggunakan induksi matematika untuk menjelaskan pernyataan matematika yang telah diketahui kebenarannya 3 Sebuah deskripsi tidak formal dari induksi matematika dapat diilustrasikan dengan mengacu kepada efek sekuensial dari jatuhnya domino Prinsip induksi matematis dapat dijelaskan secara umum dalam dua tahap yaitu langkah awal atau asumsi induktif dan langkah induksi dasar Penggunaan induksi matematika utamanya dilakukan pada tiga jenis masalah matematika yaitu seri umum habis dibagi dan ketidaksetaraan 4 Kemampuan pembuktian induksi matematika secara benar ditentukan oleh tingkat pemahaman konsep Setiap prosedur induksi matematika yang digunakan pada suatu konsep matematika dapat ditentukan melalui pemahaman relasional 5 Daftar isi 1 Sejarah penggunaan 2 Proposisi 3 Matematika umum 3 1 Bilangan termasuk jumlah deret 3 2 Pertidaksamaan 3 3 Faktor termasuk kali atau bagi 3 4 Faktorisasi 3 5 Barisan 4 Matematika kuat 5 Penerapan 5 1 Penalaran pada matematika formal 6 Referensi 7 Daftar pustaka 8 Bacaan lanjutan 8 1 Analisis 8 2 SejarahSejarah penggunaan SuntingTeorema matematika didasarkan pada sekumpulan aksioma dan definisi Pembuktian semua jenis teorema dilakukan dengan menggunakan aksioma dan definisi atau menggunakan teorema teorema yang telah terbukti kebenarannya Teorema dalam matematika tidak didasarkan kepada hasil hasil eksperimen yang tidak dapat dibuktikan kebenarannya 6 Matematika tidak dapat menerima argumentasi bahwa suatu pernyataan matematis adalah benar hanya dengan eksperimen eksperimen dan observasi observasi Pierre de Fermat 1601 1665 membuktikan bahwa pada konjektur Fermat persamaan tidak akan menghasilkan bilangan bulat berbentuk positif pada sebarang bilangan bulat yang bernilai lebih dari 2 Para matematikawan memerlukan waktu lebih dari tiga abad untuk menemukan pembuktian konjektur Fermat Pada tahun 1994 konjektur Fermat dibuktikan oleh matematikawan berkebangsaan Inggris yaitu Andrew Wiles 7 nbsp Demonstrasi pembuktian klaim bahwa Jumlah dari n bilangan ganjil pertama adalah bilangan kuadrat bukan n Sejarah penggunaan induksi matematika dijelaskan oleh Bussey dalam artikel yang ditulisnya pada tahun 1917 Dalam artikel tersebut dijelaskan bahwa proses induksi matematika telah digunakan untuk pertama kali oleh D Franciscus Maurolycus 1494 1575 Maurolycus adalah matewatikawan berkebangsaan Italia dan kenalan dari Blaise Pascal 1623 1662 Penggunaan induksi matematika dilakukan oleh Maurolycus dalam bukunya yang terbit pada tahun 1575 Maurolycus menggunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwa bilangan bilangan ganjil terbentuk dengan cara berturut turut menambahkan 2 terhadap bilangan ganjil pertama yaitu 1 Pembuktikan lain yang diperolehnya dengan induksi yaitu jumlah n bilangan ganjil pertama adalah kuadrat n Pembuktian matematika yang dilakukan oleh Pascal maupun Maurolycus tidak pernah menggunakan istilah induksi Istilah induksi digunakan pertama kalinya pada tahun 1956 oleh John Wallis Dalam bukunya yang berjudul Arithmetica Infinitorum Wallis menggunakan isitlah per modum inductionis Pada tahun 1838 Augustus de Morgan 1806 1871 memperkenalkan istilah induksi matematika ke publik melalui artikel induction yang ditulisnya untuk jurnal Penny Cyclopedia 8 Pada tahun 1889 Giuseppe Peano 1858 1932 merumuskan prinsip induksi matematika ke dalam lima aksioma Di dalam kelima aksioma ini disajikan definisi lengkap tentang bilangan asli Kelima aksioma tersebut adalah 9 1 adalah bilangan asli Terdapat satu bilang turutan yang unik dan bentuk bilangan asli pada setiap bilangan asli Bilangan turutan yang sama mustahil ditemukan pada dua bilangan asli yang berbeda 1 bukan merupakan turutan dari sebarang bilangan asli Sifat yang dimiliki oleh 1 dan turutan semua bilangan asli pasti dimiliki juga oleh semua bilangan asli Proposisi SuntingDalam pembuktian tidak langsung induksi matematika melibatkan dua proposisi yaitu basis induksi dan hipotesis induksi Pembuktian dilakukan dalam tiga langkah yaitu langkah basis hipotesis induksi dan langkah induksi 10 Matematika umum SuntingPembuktian cara induksi matematika ingin membuktikan bahwa teori atau sifat itu benar untuk semua bilangan asli atau semua bilangan dalam himpunan bagiannya Caranya ialah dengan menunjukkan bahwa sifat itu benar untuk n 1 atau S 1 adalah benar kemudian ditunjukkan bahwa bila sifat itu benar untuk n k bila S k benar menyebabkan sifat itu benar untuk n k 1 atau S k 1 benar Bilangan termasuk jumlah deret Sunting Buktikan bahwa 1 3 5 2 n 1 n 2 displaystyle 1 3 5 cdots 2n 1 n 2 nbsp untuk jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n2 Persamaan yang perlu dibuktikan S n 1 3 5 2 n 1 n 2 displaystyle S n 1 3 5 cdots 2n 1 n 2 nbsp Langkah pembuktian pertama untuk n 1 displaystyle n 1 nbsp benar bahwa S 1 1 2 1 displaystyle S 1 1 2 1 nbsp Langkah pembuktian kedua andaikan benar untuk n k displaystyle n k nbsp yaitu S k 1 3 5 2 k 1 k 2 displaystyle S k 1 3 5 cdots 2k 1 k 2 nbsp maka akan dibuktikan benar pula untuk n k 1 displaystyle n k 1 nbsp yaituS k 1 1 3 5 2 k 1 2 k 1 1 k 1 2 displaystyle S k 1 1 3 5 cdots 2k 1 2 k 1 1 k 1 2 nbsp sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa k 2 1 3 5 2 k 1 displaystyle k 2 1 3 5 2k 1 nbsp sesuai dengan pengandaian awal 1 3 5 2 k 1 2 k 1 1 k 2 2 k 1 1 displaystyle 1 3 5 cdots 2k 1 2 k 1 1 k 2 2 k 1 1 nbsp kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan k 2 2 k 1 1 k 1 2 displaystyle k 2 2 k 1 1 k 1 2 nbsp k 2 2 k 1 k 1 2 displaystyle k 2 2k 1 k 1 2 nbsp ingat bahwa k 1 2 k 2 2 k 1 displaystyle k 1 2 k 2 2k 1 nbsp k 1 2 k 1 2 displaystyle k 1 2 k 1 2 nbsp terbukti benar Kesimpulan Jadi S n displaystyle S n nbsp benar untuk jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n2 karena memenuhi kedua langkah pembuktian Buktikan bahwa 1 2 3 4 5 n n n 1 2 displaystyle 1 2 3 4 5 cdots n frac n n 1 2 nbsp untuk setiap bilangan bulat positif adalah n Persamaan yang perlu dibuktikan S n 1 2 3 4 5 n n n 1 2 displaystyle S n 1 2 3 4 5 cdots n frac n n 1 2 nbsp Langkah pembuktian pertama untuk n 1 displaystyle n 1 nbsp benar bahwa S 1 1 1 1 2 1 displaystyle S 1 frac 1 1 1 2 1 nbsp Langkah pembuktian kedua andaikan benar untuk n k displaystyle n k nbsp yaitu S k 1 2 3 4 5 k k k 1 2 displaystyle S k 1 2 3 4 5 cdots k frac k k 1 2 nbsp maka akan dibuktikan benar pula untuk n k 1 displaystyle n k 1 nbsp yaituS k 1 1 2 3 4 5 k k 1 k 1 k 1 1 2 displaystyle S k 1 1 2 3 4 5 cdots k k 1 frac k 1 k 1 1 2 nbsp sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa k k 1 2 1 2 3 4 5 k displaystyle frac k k 1 2 1 2 3 4 5 cdots k nbsp sesuai dengan pengandaian awal 1 2 3 4 5 k k 1 k k 1 2 k 1 displaystyle 1 2 3 4 5 cdots k k 1 frac k k 1 2 k 1 nbsp kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan k k 1 2 k 1 k 1 k 1 1 2 displaystyle frac k k 1 2 k 1 frac k 1 k 1 1 2 nbsp k 1 k 2 1 k 1 k 1 1 2 displaystyle k 1 frac k 2 1 frac k 1 k 1 1 2 nbsp k 1 k 2 2 k 1 k 1 1 2 displaystyle k 1 frac k 2 2 frac k 1 k 1 1 2 nbsp k 1 k 1 1 2 k 1 k 1 1 2 displaystyle frac k 1 k 1 1 2 frac k 1 k 1 1 2 nbsp k 1 k 1 1 2 k 1 k 1 1 2 displaystyle frac k 1 k 1 1 2 frac k 1 k 1 1 2 nbsp terbukti benar Kesimpulan Jadi S n displaystyle S n nbsp benar untuk setiap bilangan bulat positif adalah n karena memenuhi kedua langkah pembuktian Pertidaksamaan Sunting Buktikan bahwa 4 n lt 2 n displaystyle 4n lt 2 n nbsp untuk semua bilangan bulat positif n 5 Persamaan yang perlu dibuktikan S n 4 n lt 2 n displaystyle S n 4n lt 2 n nbsp Langkah pembuktian pertama untuk n 5 displaystyle n 5 nbsp benar bahwa 4 5 lt 2 5 displaystyle 4 5 lt 2 5 nbsp Langkah pembuktian kedua andaikan benar untuk n k displaystyle n k nbsp yaitu S k 4 k lt 2 k displaystyle S k 4k lt 2 k nbsp maka akan dibuktikan benar pula untuk n k 1 displaystyle n k 1 nbsp yaituS k 1 4 k 1 lt 2 k 1 displaystyle S k 1 4 k 1 lt 2 k 1 nbsp sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa 4 k displaystyle 4k nbsp sesuai dengan pengandaian awal 4 k 1 4 k 4 displaystyle 4 k 1 4k 4 nbsp karena 4 lt 4k 4 k 4 k displaystyle 4k 4k nbsp kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan 4 k 4 k lt 2 k 1 displaystyle 4k 4k lt 2 k 1 nbsp 2 4 k lt 2 k 1 displaystyle 2 4k lt 2 k 1 nbsp 2 2 k lt 2 k 1 displaystyle 2 2 k lt 2 k 1 nbsp ingat bahwa a m a n a m n displaystyle a m a n a m n nbsp 2 k 1 lt 2 k 1 displaystyle 2 k 1 lt 2 k 1 nbsp terbukti benar Kesimpulan Jadi S n displaystyle S n nbsp benar untuk semua bilangan bulat positif n 5 karena memenuhi kedua langkah pembuktian Faktor termasuk kali atau bagi Sunting Buktikan bahwa salah satu faktor dari n 3 3 n 2 2 n displaystyle n 3 3n 2 2n nbsp adalah 3 untuk semua bilangan bulat positif n Persamaan yang perlu dibuktikan S n n 3 3 n 2 2 n displaystyle S n n 3 3n 2 2n nbsp Langkah pembuktian pertama untuk n 1 displaystyle n 1 nbsp benar bahwa 1 3 3 1 2 2 1 6 displaystyle 1 3 3 1 2 2 1 6 nbsp Langkah pembuktian kedua andaikan benar untuk n k displaystyle n k nbsp yaitu k 3 3 k 2 2 k displaystyle k 3 3k 2 2k nbsp maka akan dibuktikan benar pula untuk n k 1 displaystyle n k 1 nbsp yaitu k 1 3 3 k 1 2 2 k 1 displaystyle k 1 3 3 k 1 2 2 k 1 nbsp sekarang tunjukkan bahwa 3 adalah faktor dari k 1 3 3 k 1 2 2 k 1 displaystyle k 1 3 3 k 1 2 2 k 1 nbsp k 1 3 3 k 1 2 2 k 1 k 3 3 k 2 3 k 1 3 k 2 6 k 3 2 k 2 displaystyle k 1 3 3 k 1 2 2 k 1 k 3 3k 2 3k 1 3k 2 6k 3 2k 2 nbsp k 3 3 k 2 2 k 3 k 2 9 k 6 displaystyle k 3 3k 2 2k 3k 2 9k 6 nbsp k 3 3 k 2 2 k 3 k 2 3 k 2 displaystyle k 3 3k 2 2k 3 cdot k 2 3k 2 nbsp karena 3 adalah faktor dari 3 k 2 3 k 2 displaystyle 3 cdot k 2 3k 2 nbsp dan 3 juga merupakan faktor k 3 3 k 2 2 k displaystyle k 3 3k 2 2k nbsp maka 3 adalah faktor dari k 1 3 3 k 1 2 2 k 1 displaystyle k 1 3 3 k 1 2 2 k 1 nbsp Dengan menggabungkan hasil pada langkah pembuktian 1 dan 2 Kesimpulan Jadi S n displaystyle S n nbsp benar untuk 3 adalah faktor n 3 3 n 2 2 n displaystyle n 3 3n 2 2n nbsp untuk semua bilangan bulat positif n karena memenuhi kedua langkah pembuktian Buktikan bahwa 3 adalah faktor 4 n 1 displaystyle 4 n 1 nbsp untuk semua bilangan bulat positif n Persamaan yang perlu dibuktikan S n 4 n 1 displaystyle S n 4 n 1 nbsp Langkah pembuktian pertama untuk n 1 displaystyle n 1 nbsp benar bahwa 4 1 1 3 displaystyle 4 1 1 3 nbsp Langkah pembuktian kedua andaikan benar untuk n k displaystyle n k nbsp yaitu 4 k 1 displaystyle 4 k 1 nbsp maka akan dibuktikan benar pula untuk n k 1 displaystyle n k 1 nbsp yaitu4 k 1 1 displaystyle 4 k 1 1 nbsp sekarang tunjukkan bahwa 3 adalah faktor dari 4 k 1 1 displaystyle 4 k 1 1 nbsp 4 k 1 1 4 k 1 4 k 4 k 1 displaystyle 4 k 1 1 4 k 1 4 k 4 k 1 nbsp 4 k 4 1 4 k 1 displaystyle 4 k 4 1 4 k 1 nbsp 4 k 3 4 k 1 displaystyle 4 k cdot 3 4 k 1 nbsp karena 3 adalah faktor dari 4 k 3 displaystyle 4k cdot 3 nbsp dan 3 juga merupakan faktor 4 k 1 displaystyle 4 k 1 nbsp maka 3 adalah faktor dari 4 k 1 1 displaystyle 4 k 1 1 nbsp Dengan menggabungkan hasil pada langkah pembuktian 1 dan 2 Kesimpulan Jadi S n displaystyle S n nbsp benar untuk 3 adalah faktor 4 n 1 displaystyle 4 n 1 nbsp untuk semua bilangan bulat positif n karena memenuhi kedua langkah pembuktian Buktikan bahwa 5 n 1 displaystyle 5 n 1 nbsp habis dibagi 4 untuk semua bilangan bulat positif n Persamaan yang perlu dibuktikan S n 5 n 1 displaystyle S n 5 n 1 nbsp Langkah pembuktian pertama untuk n 1 displaystyle n 1 nbsp benar bahwa 5 1 1 4 displaystyle 5 1 1 4 nbsp Langkah pembuktian kedua andaikan benar untuk n k displaystyle n k nbsp yaitu 5 k 1 displaystyle 5 k 1 nbsp maka akan dibuktikan benar pula untuk n k 1 displaystyle n k 1 nbsp yaitu5 k 1 1 displaystyle 5 k 1 1 nbsp sekarang tunjukkan bahwa 5 k 1 1 displaystyle 5 k 1 1 nbsp habis dibagi 4 5 k 1 1 5 k 1 5 k 5 k 1 displaystyle 5 k 1 1 5 k 1 5 k 5 k 1 nbsp 5 k 5 1 5 k 1 displaystyle 5 k 5 1 5 k 1 nbsp 5 k 4 5 k 1 displaystyle 5 k cdot 4 5 k 1 nbsp karena 5 k 4 displaystyle 5k cdot 4 nbsp dan 5 k 1 displaystyle 5 k 1 nbsp habis dibagi 4 maka 5 k 1 1 displaystyle 5 k 1 1 nbsp habis dibagi 4 Dengan menggabungkan hasil pada langkah pembuktian 1 dan 2 Kesimpulan Jadi S n displaystyle S n nbsp benar untuk 5 n 1 displaystyle 5 n 1 nbsp habis dibagi 4 untuk semua bilangan bulat positif n karena memenuhi kedua langkah pembuktian Faktorisasi Sunting Buktikan bahwa x y adalah faktor x n y n displaystyle x n y n nbsp untuk semua bilangan bulat positif n Persamaan yang perlu dibuktikan S n x n y n displaystyle S n x n y n nbsp Langkah pembuktian pertama untuk n 1 displaystyle n 1 nbsp benar bahwa x 1 y 1 x y displaystyle x 1 y 1 x y nbsp Langkah pembuktian kedua andaikan benar untuk n k displaystyle n k nbsp yaitu x k y k displaystyle x k y k nbsp maka akan dibuktikan benar pula untuk n k 1 displaystyle n k 1 nbsp yaitux k 1 y k 1 displaystyle x k 1 y k 1 nbsp sekarang tunjukkan bahwa x y adalah faktor dari x k 1 y k 1 displaystyle x k 1 y k 1 nbsp x k 1 y k 1 x k 1 x k y x k y y k 1 displaystyle x k 1 y k 1 x k 1 x k y x k y y k 1 nbsp x k x y x k y k y displaystyle x k x y x k y k y nbsp karena x y adalah faktor dari x k x y displaystyle x k cdot x y nbsp dan x y juga merupakan faktor x k y k y displaystyle x k y k cdot y nbsp maka x y adalah faktor dari x k 1 y k 1 displaystyle x k 1 y k 1 nbsp Dengan menggabungkan hasil pada langkah pembuktian 1 dan 2 Kesimpulan Jadi S n displaystyle S n nbsp benar untuk x y adalah faktor x n y n displaystyle x n y n nbsp untuk semua bilangan bulat positif n karena memenuhi kedua langkah pembuktian Barisan Sunting Temukan hasil rumus untuk penjumlahan berhingga berikut kemudian buktikan hasil rumus tersebut dengan induksi matematika 1 4 1 12 1 24 1 2 n n 1 displaystyle frac 1 4 frac 1 12 frac 1 24 cdots frac 1 2n n 1 nbsp Persamaan yang perlu dibuktikan S n 1 4 1 12 1 24 1 2 n n 1 displaystyle S n frac 1 4 frac 1 12 frac 1 24 cdots frac 1 2n n 1 nbsp Langkah pembuktian pertama untuk beberapa penjumlahan n displaystyle n nbsp dari pertama benar bahwa S 1 1 4 1 2 2 1 1 1 displaystyle S 1 frac 1 4 frac 1 2 2 1 1 1 nbsp S 2 1 4 1 12 4 12 2 2 2 2 2 1 displaystyle S 2 frac 1 4 frac 1 12 frac 4 12 frac 2 2 2 2 2 1 nbsp S 3 1 4 1 12 1 24 9 24 3 2 2 3 3 1 displaystyle S 3 frac 1 4 frac 1 12 frac 1 24 frac 9 24 frac 3 2 2 3 3 1 nbsp S 4 1 4 1 12 1 24 1 40 16 40 4 2 2 4 4 1 displaystyle S 4 frac 1 4 frac 1 12 frac 1 24 frac 1 40 frac 16 40 frac 4 2 2 4 4 1 nbsp Langkah pembuktian kedua andaikan benar untuk n k displaystyle n k nbsp yaitu S k 1 4 1 12 1 24 1 2 k k 1 k 2 2 k k 1 displaystyle S k frac 1 4 frac 1 12 frac 1 24 cdots frac 1 2k k 1 frac k 2 2k k 1 nbsp maka akan dibuktikan benar pula untuk n k 1 displaystyle n k 1 nbsp yaituS k 1 1 4 1 12 1 24 1 2 k k 1 1 2 k 1 k 1 1 k 1 2 2 k 1 k 1 1 displaystyle S k 1 frac 1 4 frac 1 12 frac 1 24 cdots frac 1 2k k 1 frac 1 2 k 1 k 1 1 frac k 1 2 2 k 1 k 1 1 nbsp sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa k 2 2 k k 1 1 4 1 12 1 24 1 2 k k 1 displaystyle frac k 2 2k k 1 frac 1 4 frac 1 12 frac 1 24 cdots frac 1 2k k 1 nbsp sesuai dengan pengandaian awal 1 4 1 12 1 24 1 2 k k 1 1 2 k 1 k 1 1 k 2 2 k k 1 1 2 k 1 k 1 1 displaystyle frac 1 4 frac 1 12 frac 1 24 cdots frac 1 2k k 1 frac 1 2 k 1 k 1 1 frac k 2 2k k 1 frac 1 2 k 1 k 1 1 nbsp kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan k 2 2 k k 1 1 2 k 1 k 1 1 k 1 2 2 k 1 k 1 1 displaystyle frac k 2 2k k 1 frac 1 2 k 1 k 1 1 frac k 1 2 2 k 1 k 1 1 nbsp k 2 2 k k 1 1 2 k 1 k 2 k 1 2 2 k 1 k 1 1 displaystyle frac k 2 2k k 1 frac 1 2 k 1 k 2 frac k 1 2 2 k 1 k 1 1 nbsp k 2 k 2 k 2 k k 1 k 2 k 1 2 2 k 1 k 1 1 displaystyle frac k 2 k 2 k 2k k 1 k 2 frac k 1 2 2 k 1 k 1 1 nbsp k k 2 2 k 1 2 k k 1 k 2 k 1 2 2 k 1 k 1 1 displaystyle frac k k 2 2k 1 2k k 1 k 2 frac k 1 2 2 k 1 k 1 1 nbsp k 1 2 2 k 1 k 1 1 k 1 2 2 k 1 k 1 1 displaystyle frac k 1 2 2 k 1 k 1 1 frac k 1 2 2 k 1 k 1 1 nbsp terbukti benar Kesimpulan Jadi S n displaystyle S n nbsp benar untuk hipotesis induksi matematika karena memenuhi kedua langkah pembuktianMatematika kuat SuntingMisalkan S n adalah pernyataan yang didefinisikan untuk bilangan bulat n dan misalkan a dan b adalah bilangan bulat sedemikian sehingga a b Jika dua pernyataan berikut bernilai benar S a S a 1 dan S b semuanya bernilai benar langkah dasar Untuk sebarang bilangan bulat k b jika S i benar untuk semua bilangan bulat i mulai a sampai k maka S k 1 benar langkah induksi Maka untuk semua bilangan bulat n a S n benar Asumsi bahwa S i benar untuk semua bilangan bulat i mulai dari a sampai k disebut sebagai hipotesis induksi Cara lain untuk menyatakan hipotesis induksi adalah dengan menyatakan bahwa S a S a 1 S k semuanya bernilai benar A Bilangan termasuk jumlah deret B BarisanC TeoriPenerapan SuntingPenalaran pada matematika formal Sunting Induksi matematika digunakan untuk mengatasi kelemahan dari penalaran induktif Penggunaan induksi matematika dapat memberikan kesimpulan yang berlaku umum Sebaliknya penalaran induktif yang dilakukan melalui pengalaman dan pengamatan tidak menjamin adanya kesimpulan yang berlaku secara umum Kesimpulan yang berlaku secara umum di dalam matematika formal hanya dapat diperoleh melalui induksi matematika 11 Referensi Sunting Ilyas dkk 2015 Metodologi Penelitian Pendidikan Matematika PDF Bandung Pustaka Ramadhan hlm 228 ISBN 979 604 153 7 Parameter url status yang tidak diketahui akan diabaikan bantuan Utomo dan Huda 2020 hlm 1 Utomo dan Huda 2020 hlm 2 Utomo dan Huda 2020 hlm 33 34 Utomo dan Huda 2020 hlm 38 39 Lolang dan Tandiseru 2017 hlm 23 Lolang dan Tandiseru 2017 hlm 24 Lolang dan Tandiseru 2017 hlm 24 25 Lolang dan Tandiseru 2017 hlm 25 Lolang dan Tandiseru 2017 hlm 11 Utoyo Setiyo 2017 Metode Pengembangan Matematika Anak Usia Dini PDF Gorontalo Ideas Publishing hlm 61 ISBN 978 602 6635 57 0 Parameter url status yang tidak diketahui akan diabaikan bantuan Daftar pustaka Sunting Lolang E dan Tandiseru S R 2017 Dasar Dasar Matematika Diskrit dengan Pendekatan Problem Solving PDF Tana Toraja UKI Toraja Press ISBN 978 602 18328 8 2 Parameter url status yang tidak diketahui akan diabaikan bantuan Pemeliharaan CS1 Banyak nama authors list link Utomo D P dan Huda M 2020 Pemahaman Relasional Analisis Proses Pembuktian Menggunakan Induksi Matematika PDF Yogyakarta CV Bildung Nusantara ISBN 978 623 7148 42 5 Parameter url status yang tidak diketahui akan diabaikan bantuan Pemeliharaan CS1 Banyak nama authors list link Bacaan lanjutan Sunting Analisis Sunting Knuth Donald E 1997 The Art of Computer Programming Volume 1 Fundamental Algorithms edisi ke 3rd Addison Wesley ISBN 0 201 89683 4 Section 1 2 1 Mathematical Induction pp 11 21 Kolmogorov Andrey N 1975 Introductory Real Analysis Silverman R A trans ed New York Dover ISBN 0 486 61226 0 Parameter couauthors yang tidak diketahui akan diabaikan bantuan Section 1 3 8 Transfinite induction pp 28 29 Franklin J 1996 Proof in Mathematics An Introduction Sydney Quakers Hill Press ISBN 1 876192 00 3 Parameter couauthors yang tidak diketahui akan diabaikan bantuan Ch 8 Sejarah Sunting Acerbi F 2000 Plato Parmenides 149a7 c3 A Proof by Complete Induction Archive for History of Exact Sciences 55 57 76 doi 10 1007 s004070000020 Bussey W H 1917 The Origin of Mathematical Induction The American Mathematical Monthly 24 5 199 207 Cajori Florian 1918 Origin of the Name Mathematical Induction 25 5 197 201 Parameter jounal yang tidak diketahui akan diabaikan bantuan Could the Greeks Have Used Mathematical Induction Did They Use It Physis XXXI 253 265 1994 Parameter first1 tanpa last1 di Authors list bantuan Freudenthal Hans 1953 Zur Geschichte der vollstandigen Induction Archives Internationales d Histiore des Sciences 6 17 37 Rabinovitch Nachum L 1970 Rabi Levi Ben Gershon and the Origins of Mathematical Induction Archive for the History of Exact Science 6 237 248 doi 10 1007 BF00327237 Rashed Roshdi 1972 L induction mathematique al Karaji as Samaw al Archive for History of Exact Sciences 9 1 12 doi 10 1007 BF00348537 Ungure S 1991 Greek Mathematics and Mathematical Induction Physis XXVIII 273 289 Ungure S 1994 Fowling after Induction Physis XXXI 267 272 Vacca G 1909 Maurolycus the First Discoverer of the Principle of Mathematical Induction Bulletin of the American Mathematical Society 16 70 73 Yadegari Mohammad 1978 The Use of Mathematical Induction by Abu Kamil Shuja Ibn Aslam 850 930 Isis 69 2 259 262 Kuntarti Sri Kurnianingsih 2007 Matematika SMA dan MA jilid 3B untuk Kelas XII Semester II Program IPA Sulistiyono Jakarta Esis ISBN 978 979 015 297 7 Parameter couauthors yang tidak diketahui akan diabaikan bantuan Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Induksi matematika amp oldid 23231455