Grup Abelian

Untuk grup yang dijelaskan oleh penggunaan kuno dari istilah terkait "grup linear Abelian", lihat Grup simplektik.

Dalam matematika, grup Abelian, juga disebut grup komutatif, adalah grup dimana hasil penerapan grup operasi ke dua elemen grup tidak bergantung pada urutan penulisannya. Artinya, operasi grup adalah komutatif. Dengan tambahan sebagai operasi, bilangan bulat dan bilangan riil membentuk grup abelian, dan konsep grup abelian dapat dilihat sebagai generalisasi dari contoh ini. Grup Abelian dinamai matentikawan awal abad ke-19 Niels Henrik Abel.

Konsep grup abelian mendasari struktur aljabar fundamental, seperti bidang, gelanggang, ruang vektor, dan aljabar. Teori grup abelian umumnya lebih sederhana dari teori rekan non-abelian, dan grup abelian hingga sangat dipahami dan diklasifikasikan.

Definisi

Struktur grup
	Totalitas^α	Asosiatif	Identitas	Invers	Komutativitas
Semigrupoid	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Kategori Kecil	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Grupoid	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Magma	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Kuasigrup	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Magma Unital	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Loop	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Semigrup	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Semigrup invers	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Monoid	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Monoid komutatif	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan
Grup	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Grup Abelian	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan
^α Penutupan, yang digunakan dalam banyak sumber, merupakan aksioma yang setara dengan totalitas, meskipun didefinisikan secara berbeda.

Grup abelian adalah himpunan dengan operasi yang menggabungkan dua elemen dan dari untuk membentuk elemen lain dari dilambangkan . Simbol adalah placeholder umum untuk operasi diberikan secara konkret. Untuk memenuhi syarat sebagai grup abelian, himpunan dan operasi harus memenuhi lima persyaratan yang dikenal sebagai aksioma grup abelian:

Grup operasi merupakan grup tersebut tidak komutatif disebut "grup non-abelian" atau "grup non-komutatif".

Fakta

Notasi

Lihat pula: Grup aditif dan Grup perkalian

Ada dua ketentuan notasi utama untuk grup abelian pada aditif dan perkalian.

Konvensi	Operasi	Identitas	Pangkat	Invers
Penambahan		0
Perkalian	atau	1

Umumnya, notasi perkalian adalah notasi umum untuk grup, sedangkan notasi penjumlahan adalah notasi umum untuk modul dan gelanggang. Notasi aditif digunakan untuk menekankan bahwa grup tertentu adalah abelian, setiap kali grup abelian dan non-abelian beberapa pengecualian penting adalah dekat gelanggang dan grup terurut sebagian, dimana operasi ditulis secara aditif bahkan ketika non-abelian.

Tabel perkalian

Untuk memverifikasi bahwa grup hingga adalah abelian dengan tabel (matriks) yang dikenal sebagai tabel Cayley. Dengan cara menggunakan tabel perkalian. Jika grup di bawah operasi , ke entri tabel ini menggunakan produk .

Grup tersebut adalah abelian jika dan hanya jika tabel tersebut simetris dengan diagonal utama. Karena grup tersebut adalah abelian jika dan hanya jika untuk , jika di luar entri tabel sama dengan entri untuk , yaitu tabel simetris dengan diagonal utama.

Contoh

• Untuk bilangan bulat dan operasi penambahan dilambangkan , operasi + menggabungkan dua bilangan bulat untuk membentuk bilangan bulat ketiga, penambahan bersifat asosiatif, sedangkan nol adalah identitas aditif, setiap bilangan bulat dengan menggunakan aditif invers, dan operasi penambahan bersifat komutatif karena untuk dua bilangan bulat dan .
• Setiap grup siklik adalah abelian, karena jika , dengan , maka . Maka bilangan bulat, , membentuk grup abelian dengan penambahan, sebagai contoh bilangan bulat modulo dan .
• Setiap gelanggang adalah grup abelian dengan operasi penjumlahan. Dalam gelanggang komutatif elemen invers atau unit membentuk abelian grup perkalian. Secara khusus, bilangan riil adalah grup abelian di bawah penjumlahan, dan bilangan riil bukan nol adalah grup abelian dalam perkalian.
• Setiap subgrup dari grup abelian adalah normal, maka setiap subgrup adalah grup hasil bagi. Subgrup, hasil, dan jumlah langsung adalah grup abelian. Grup abelian sederhana hingga merupakan grup siklik dari urutan prima.
• Konsep grup abelian dan modul-. Lebih khusus, setiap modul- adalah grup abelian dengan operasi penjumlahan, dan setiap grup abelian adalah modul di atas gelanggang bilangan bulat dengan cara unik.

Secara umum, matriks bahkan matriks invers, tidak membentuk grup abelian dalam perkalian karena perkalian matriks umumnya tidak komutatif. Namun, beberapa grup matriks adalah grup abelian dalam perkalian matriks, salah satu contohnya adalah grup pada matriks rotasi.

Catatan sejarah

Camille Jordan menamai grup abelian setelah matematikawan asal norsk Niels Henrik Abel, karena Abel menemukan bahwa komutatifitas grup polinomial bahwa akar polinomial dapat dihitung dengan menggunakan akar.^:144–145

Sifat

Jika adalah bilangan asli dan adalah elemen dari grup abelian yang ditulis secara aditif, maka bisa didefinisikan sebagai () dan . Dengan cara ini, sebagai modul di atas gelanggang dari bilangan bulat. Maka, modul lebih dari diidentifikasikan dengan grup abelian.

Teorema tentang grup abelian (yaitu modul di atas domain ideal utama ) digeneralisasikan ke teorema tentang modul melalui domain ideal prinsipal arbitrer. Contoh tipikal adalah klasifikasi grup abelian yang dihasilkan secara hingga merupakan spesialisasi dari teorema struktur untuk modul yang dihasilkan secara hingga di atas domain ideal utama. Dalam kasus grup abelian yang dihasilkan secara hingga, teorema tersebut bahwa grup abelian terbagi sebagai jumlah langsung dari grup torsi dan grup abelian bebas. Yang pertama dapat ditulis sebagai jumlah langsung dari banyak grup bentuk tak hingga untuk prima , dan yang terakhir adalah jumlah langsung dari banyak salinan .

Jika adalah dua homomorfisme grup di antara grup abelian, kemudian jumlah semua , ditentukan oleh adalah homomorfisme (ini tidak tentu benar jika adalah grup non-abelian). Himpunan dari semua homomorfisme grup dari hingga merupakan grup abelian dalam itu sendiri.

Agak mirip dengan dimensi dari ruang vektor, setiap grup abelian memiliki peringkat. Ini didefinisikan sebagai kardinalitas maksimal dari satu himpunan elemen bebas linear (di atas bilangan bulat) grup.^:49–50 Grup abelian hingga dan grup torsi memiliki peringkat nol, dan setiap grup abelian dengan peringkat nol adalah grup torsi. Bilangan bulat dan bilangan rasional memiliki peringkat satu, serta setiap bukan nol subgrup aditif dari rasio. Di sisi lain, grup perkalian dari rasio bukan nol memiliki pangkat tak hingga, karena ini adalah grup abelian bebas dengan himpunan bilangan prima sebagai basis (dari hasil dari teorema fundamental aritmetika).

Pusat dari grup adalah himpunan elemen dengan setiap elemen . Grup adalah abelian jika dan hanya jika sama dengan pusatnya . Pusat dari grup merupakan karakteristik subgrup abelian dari . Jika grup hasil bagi grup dengan pusat siklik adalah abelian.

Grup abelian hingga

Grup siklik dari bilangan bulat modulo , termasuk di antara contoh pertama grup. Ternyata grup abelian hingga trivial adalah isomorfik dari sejumlah langsung grup siklik hingga dari tatanan pangkat utama, dan tatanan ini ditentukan secara unik, membentuk sistem invarian kompleks. Grup automorfisme dari grup abelian hingga dapat dijelaskan secara langsung dalam istilah invarian. Teori ini pertama kali dikembangkan pada makalah tahun 1879 oleh Georg Frobenius, Ludwig Stickelberger, dan kemudian disederhanakan dan digeneralisasikan untuk modul yang dihasilkan secara halus, membentuk bab penting dari aljabar linear.

Setiap grup tatanan utama isomorfik ke grup siklik dan adalah abelian. Setiap grup yang urutannya adalah kuadrat dari bilangan prima juga adalah abelian. Maka, untuk setiap bilangan prima (isomorfisme hingga) tepat dua grup tatanan , yaitu dan .

Klasifikasi

Teorema fundamental dari grup abelian hingga menyatakan bahwa setiap grup abelian hingga dapat diekspresikan sebagai jumlah langsung subgrup siklik dari prima dengan urutan pangkat; hal tersebut dikenal sebagai teorema dasar untuk grup abelian hingga. Digeneralisasikan dengan teorema fundamental dari grup abelian yang dihasilkan secara hingga, dengan grup hingga menjadi kasus khusus ketika G memiliki nol peringkat; merujuk banyak generalisasi lebih lanjut.

Klasifikasi ini dibuktikan oleh Leopold Kronecker pada tahun 1870, meskipun tidak disebutkan dalam istilah teori-grup modern sampai sekarang, dan didahului oleh klasifikasi serupa dari bentuk kuadrat oleh Carl Friedrich Gauss pada tahun 1801; lihat sejarah untuk detailnya.

Grup siklik dengan urutan isomorfik dengan jumlah langsung dari dan jika dan hanya jika dan adalah koprima. Oleh karena itu, setiap grup abelian hingga adalah isomorfik dengan jumlah langsung dari bentuk

dengan salah satu cara kanonik berikut:

• bilangan adalah pangkat bilangan prima (tidak harus berbeda),
• bilangan membagi , dimana dibagi .

Sebagai contoh, dapat dinyatakan sebagai jumlah langsung dari dua subgrup siklik tatanan 3 dan 5: . Hal yang sama dapat dikatakan untuk setiap grup abelian tatanan 15, yang mengarah pada kesimpulan bahwa semua grup abelian urutan 15 adalah isomorfis.

Untuk contoh lain, setiap grup abelian berorde 8 isomorfik untuk (bilangan bulat 0 hingga 7 di bawah tambahan modulo 8), (bilangan bulat ganjil 1 sampai 15 dalam perkalian modulo 16), atau .

Lihat pula daftar grup kecil untuk grup abelian hingga tatanan 30 atau kurang.

Automorfisme

Menerapkan teorema fundamental untuk menghitung (dan terkadang menentukan) automorfisme dari grup abelian terbatas yang diberikan . Untuk menggunakan fakta bahwa jika membagi sebagai jumlah langsung dari subgrup koprima urutan, maka .

Dengan ini, teorema fundamental menunjukkan bahwa untuk menghitung grup automorfisme dari itu cukup untuk menghitung grup automorfisme dari Sylow subgrup secara terpisah (yaitu, semua jumlah langsung subkelompok siklik, masing-masing dengan urutan pangkat ). Perbaiki bilangan prima dan anggaplah eksponen dari faktor siklik dari subgrup Sylow disusun dalam urutan yang meningkat:

untuk beberapa . Seseorang perlu menemukan automorfisme

Satu kasus khusus adalah ketika , maka hanya ada satu faktor daya utama siklik pada subgrup Sylow dengan . Dalam hal ini teori automorfisme grup siklik hingga digunakan. Kasus khusus lainnya adalah kapan trivial tetapi untuk . Mempertimbangkan menjadi bentuk

jadi elemen subgrup ini dapat dilihat sebagai terdiri dari ruang vektor berdimensi di atas bidang hingga elemen pada . Oleh karena itu, automorfisme subgrup ini diberikan oleh transformasi linear invers, maka

dimana adalah grup linear umum yang sesuai, dengan mudah terbukti memiliki tatanan

Dalam kasus umum, dimana dan berubah-ubah, grup automorfisme lebih sulit ditentukan. Diketahui, bagaimanapun, bahwa jika mendefinisikan

dan

maka seseorang memilikinya secara khusus , , dan

Hal itu dapat memeriksa bahwa ini menghasilkan tatanan dalam contoh sebelumnya sebagai kasus khusus (lihat Hillar, C., & Rhea, D.).

Grup abelian yang dihasilkan tak hingga

Artikel utama: Grup abelian yang dihasilkan tak hingga

Grup abelian A tanpa batas jika himpunan elemen hingga (disebut generator) sedemikian rupa maka setiap elemen grup adalah kombinasi linear dengan koefisien bilangan bulat elemen G.

Misalkan L menjadi grup abelian bebas dengan basis Homomorfisme grup unik sebagai

Homomorfisme ini adalah surjektif, dan kernel-nya dihasilkan secara halus (karena bilangan bulat membentuk gelanggang Noetherian). Pertimbangkan matriks M dengan entri bilangan bulat, sehingga entri dari kokernel ke j adalah koefisien dari generalisasi kernel j. Maka, grup abelian bersifat isomorfik terhadap kokernel dari peta linear yang ditentukan M. Sebaliknya, setiap matriks bilangan bulat mendefinisikan grup abelian yang dihasilkan secara hingga.

Oleh karena itu, studi tentang grup abelian yang dihasilkan hingga setara dengan studi tentang matriks bilangan bulat. Secara khusus, mengubah himpunan pembangkit A sama dengan mengalikan M sebelah kiri dengan matriks unimodular (yaitu, matriks bilangan bulat inversnya merupakan matriks bilangan bulat). Mengubah himpunan pembangkit kernel M sama dengan mengalikan M sebelah kanan dengan matriks unimodular.

Bentuk normal Smith dari M adalah sebuah matriks

dimana U dan V unimodular, dan S adalah matriks sehingga semua entri non-diagonal adalah nol, entri diagonal bukan-nol adalah yang pertama, dan adalah pembagi dari untuk i > j. Keberadaan dan bentuk normal Smith membuktikan bahwa grup abelian yang dihasilkan tak hingga A adalah jumlah langsung

dimana r adalah jumlah baris nol di bagian bawah r (dan peringkat grup). Ini adalah teorema fundamental dari grup abelian yang dihasilkan secara hingga.

Adanya algoritma untuk bentuk normal Smith menunjukkan bahwa dalil dasar grup abelian yang dihasilkan tak hingga bukan hanya dalil eksistensi abstrak, tetapi menyediakan cara untuk menghitung ekspresi grup abelian yang dihasilkan secara terbatas sebagai jumlah langsung.

Grup abelian tak hingga

Grup abelian tak hingga paling sederhana adalah grup siklik tak hingga . Grup abelian yang dihasilkan secara hingga isomorfik jumlah langsung salinan dari dan grup abelian hingga, diuraikan menjadi jumlah langsung dari banyak grup siklik dari tatanan pangkat utama. Meskipun dekomposisinya tidak unik, bilangan atau disebut peringkat dari , dan pangkat utama yang memberikan urutan puncak siklik hingga ditentukan secara unik.

Sebaliknya, klasifikasi grup abelian umum yang dihasilkan tanpa batas masih jauh dari lengkap. Grup divisibel yaitu grup abelian dimana persamaan sebagai solusi untuk bilangan asli dan elemen dari , merupakan satu kelas penting dari grup abelian tak hingga yang dapat sepenuhnya dicirikan. Setiap grup divisibel adalah isomorfik ke jumlah langsung, dengan penjumlahan isomorfik sebagai dan grup Prüfer untuk berbagai bilangan prima , dan kardinalitas penjumlahan dari setiap jenis ditentukan secara unik. Selain itu, jika grup yang dapat dibagi adalah subgrup dari grup abelian maka sebagai pelengkap langsung: subgrup dari sedemikian rupa maka . Dengan demikian, grup yang dapat dibagi adalah modul injeksi dalam kategori grup abelian, dan sebaliknya, setiap grup abelian injeksi dapat dibagi (kriteria Baer). Grup abelian tanpa subgrup yang dapat dibagi bukan nol disebut tereduksi.

Dua kelas khusus penting dari grup abelian tak hingga dengan sifat berlawanan secara diametris adalah grup torsi dan grup bebas torsi, dicontohkan oleh grup (periodik) dan (bebas torsi).

Grup torsi

Grup abelian disebut periodik atau torsi, jika setiap elemen memiliki terbatas tatanan. Jumlah langsung dari grup siklik hingga bersifat periodik. Meskipun pernyataan sebaliknya tidak benar secara umum, beberapa kasus khusus diketahui. Teorema Prüfer pertama dan kedua menyatakan bahwa jika adalah grup periodik, dan memiliki eksponen terbatas, yaitu untuk beberapa bilangan asli , atau dihitung dan tinggi- elemen terbatas untuk setiap , maka adalah isomorfik ke jumlah langsung dari grup siklik hingga. Kardinalitas himpunan sumsum langsung isomorfik ke dalam dekomposisi invarian dari .^:6 Teorema ini kemudian dimasukkan dalam kriteria Kulikov. Di arah yang berbeda, Helmut Ulm menemukan perluasan dari teorema Prüfer kedua menjadi abelian grup- yang dapat dihitung dengan elemen ketinggian tak hingga: grup itu sepenuhnya diklasifikasikan melalui invarian Ulm mereka.

Grup bebas torsi dan campuran

Grup abelian disebut bebas torsi jika setiap elemen bukan nol memiliki urutan tak hingga. Beberapa kelas dari grup abelian bebas torsi telah dipelajari secara ekstensif:

• Grup abelian bebas, yaitu jumlah langsung trivial
• Kotorsion dan kompak secara aljabar grup bebas torsi bilangan -adik
• Grup tipis

Grup abelian tidak periodik atau bebas torsi disebut campuran. Jika adalah grup abelian dan adalah subgrup torsi, maka grup faktor bebas torsi. Namun, secara umum subgrup torsi bukan merupakan penjumlahan langsung dari , jadi adalah bukan isomorfik ke . Jadi teori grup campuran melibatkan lebih dari sekedar menggabungkan hasil tentang grup periodik dan bebas torsi. Grup aditif bilangan bulat bebas torsi modul-.^:206

Invarian dan klasifikasi

Salah satu invarian dasar dari grup abelian tak hingga adalah peringkat: kardinalitas dari himpunan independen linear maksimal dari . Grup abelian dengan peringkat 0 merupakan grup periodik, sedangkan grup abelian bebas torsi peringkat 1 harus merupakan subgrup dari and can be completely described. Secara lebih umum, grup abelian bebas torsi dengan peringkat terbatas adalah subgrup dari . Di sisi lain, grup bilangan bulat -adik adalah grup abelian bebas torsi tanpa batas peringkat- dan grup dengan yang berbeda adalah non-isomorfik, jadi invarian bahkan tidak sepenuhnya sifat dari beberapa grup yang sudah dikenal.

Teorema klasifikasi untuk periodik yang dihasilkan tak hingga, habis dibagi, dapat dihitung, dan grup abelian bebas torsi peringkat 1 yang dijelaskan di atas semuanya diperoleh sebelum tahun 1950 dan membentuk dasar klasifikasi grup abelian tak hingga yang lebih umum. Alat teknis penting yang digunakan dalam klasifikasi grup abelian tak terbatas adalah subgrup murni dan dasar. Pengenalan berbagai invarian dari grup abelian bebas torsi telah menjadi salah satu jalan untuk kemajuan lebih lanjut. Lihat buku oleh Irving Kaplansky, László Fuchs, Phillip Griffith, dan David Arnold, serta prosiding konferensi tentang Teori Grup Abelian yang diterbitkan di Catatan Kuliah di Matematika untuk temuan yang lebih baru.

Grup aditif gelanggang

Grup aditif dari sebuah gelanggang adalah grup abelian, tetapi tidak semua kelompok abelian adalah grup aditif gelanggang (dengan perkalian nontrivial). Beberapa topik penting dalam bidang studi ini adalah:

• Produk Tensor
• Hasil sudut pada grup bebas torsi yang dihitung
• Selah bekerja untuk menghilangkan batasan kardinalitas.

Catatan tentang tipografi

Di antara kata sifat matematika yang diturunkan dari nama diri dari seorang matematikawan, Kata "abelian" jarang terjadi karena sering dieja dengan huruf kecil a, bukan huruf besar A, yang menunjukkan betapa konsep tersebut dalam matematika modern.

Lihat pula

• Subgrup komutator – subgrup normal terkecil di mana hasil bagi adalah komutatif
• Abelianisasi – grup yang hasil penerapan grup operasi ke dua elemen grup tidak bergantung pada urutan penulisannya
• Grup dihedral tatanan 6 – grup yang hasil penerapan grup operasi ke dua elemen grup tidak bergantung pada urutan penulisannya, grup non-abelian terkecil
• Grup abelian elementer – grup yang hasil penerapan grup operasi ke dua elemen grup tidak bergantung pada urutan penulisannya
• Dualitas pontriagin – grup yang hasil penerapan grup operasi ke dua elemen grup tidak bergantung pada urutan penulisannya

Catatan

1. Jacobson 2009, p. 41
2. 2012, p. 32 2023-08-09 di Wayback Machine..
3. D. A., Galois Theory (Hoboken: John Wiley & Sons, 2004), pp. 144–145 2023-08-09 di Wayback Machine..
4. Dixon, M. R., Kurdachenko, L. A., & Subbotin, I. Y., Linear Groups: The Accent on Infinite Dimensionality (Milton Park, Abingdon-on-Thames & Oxfordshire: Taylor & Francis, 2020), pp. 49–50 2023-08-09 di Wayback Machine..
5. Rose 2012, p. 48 2023-08-09 di Wayback Machine..
6. Rose 2012, p. 79.
7. Kurzweil, H., & Stellmacher, B., The Theory of Finite Groups: An Introduction (New York, Berlin, Heidelberg: Springer Verlag, 2004), pp. 43–54.
8. Sebagai contoh, .
9. Asumsi hitungan dalam teorema Prüfer kedua tidak dapat dihilangkan: subgrup torsi dari produk langsung dari grup siklik karena semua natural bukanlah penjumlahan langsung dari grup siklik.
10. Faith, C. C., Rings and Things and a Fine Array of Twentieth Century Associative Algebra (Providence: American Mathematical Society, 2004), p. 6 2023-08-09 di Wayback Machine..
11. Lal, R., Algebra 2: Linear Algebra, Galois Theory, Representation Theory, Group Extensions and Schur Multiplier (Berlin, Heidelberg: Springer, 2017), p. 206 2023-08-09 di Wayback Machine..
12. . Diarsipkan dari versi asli tanggal 31 December 2012. Diakses tanggal 3 July 2016.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)

Referensi

• Cox, David (2004). Galois Theory. Wiley-Interscience. ISBN 9781118031339. MR 2119052. 
• Fuchs, László (1970). Infinite Abelian Groups. Pure and Applied Mathematics. 36–I. Academic Press. MR 0255673. 
• Fuchs, László (1973). Infinite Abelian Groups. Pure and Applied Mathematics. 36-II. Academic Press. MR 0349869. 
• Griffith, Phillip A. (1970). Infinite Abelian group theory. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. ISBN 0-226-30870-7. 
• Herstein, I. N. (1975). Topics in Algebra (edisi ke-2nd). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-02371-X. 
• Hillar, Christopher; Rhea, Darren (2007). "Automorphisms of finite abelian groups". American Mathematical Monthly. 114 (10): 917–923. arXiv:math/0605185 . Bibcode:2006math......5185H. doi:10.1080/00029890.2007.11920485. JSTOR 27642365.  Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Jacobson, Nathan (2009). Basic Algebra I (edisi ke-2nd). Dover Publications. ISBN 978-0-486-47189-1. dari versi asli tanggal 2023-08-09. Diakses tanggal 2020-12-14. 
• Rose, John S. (2012). A Course on Group Theory. Dover Publications. ISBN 978-0-486-68194-8. dari versi asli tanggal 2023-08-09. Diakses tanggal 2020-12-14.  Unabridged and unaltered republication of a work first published by the Cambridge University Press, Cambridge, England, in 1978.
• Szmielew, Wanda (1955). "Elementary properties of abelian groups" (PDF). Fundamenta Mathematicae. 41 (2): 203–271. doi:10.4064/fm-41-2-203-271. MR 0072131. Zbl 0248.02049. (PDF) dari versi asli tanggal 2023-01-08. Diakses tanggal 2020-12-14. 

Pranala luar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Abelian group", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4