www.wikidata.id-id.nina.az

Magma aljabar Halaman ini berisi artikel tentang struktur aljabar Untuk grupoid dalam teori kategori lihat Grupoid Untuk

Magma (aljabar)

Halaman ini berisi artikel tentang struktur aljabar. Untuk grupoid dalam teori kategori, lihat Grupoid. Untuk kegunaan lain, lihat Magma (disambiguasi).

Dalam aljabar abstrak, magma, biner atau grupoid adalah jenis dasar dari struktur aljabar. Magma terdiri dari himpunan dengan operasi biner tunggal tertutup menurut definisi.

Struktur aljabar antara magma dan grup.

Sejarah dan istilah Sunting

Istilah groupoid ditemukan pada tahun 1927 oleh Heinrich Brandt yang menggambarkan Brandt groupoid (dari bahasa Jerman Gruppoid). Istilah ini kemudian digunakan oleh B. A. Hausmann dan Øystein Ore (1937). Dalam beberapa ulasan makalah Zentralblatt tidak setuju dengan istilah yang berlebihan ini. Groupoid Brandt adalah grupoid dalam arti yang digunakan dalam teori kategori dalam arti yang digunakan oleh Hausmann dan Ore. Namun, buku dalam teori semigrup, termasuk Clifford dan Preston (1961) dan Howie (1995) menggunakan grupoid. Hollings (2014) menulis bahwa istilah groupoid adalah "mungkin paling sering digunakan dalam matematika modern" dalam arti yang digunakan dalam teori kategori.

Menurut Bergman dan Hausknecht (1996):

"Tidak ada kata yang diterima secara umum untuk himpunan dengan operasi biner asosiatif yang tidak harus. Kata groupoid digunakan aljabar universal, tetapi para pekerja dalam teori kategori dan bidang terkait sangat menolak penggunaan ini karena mereka menggunakan kata yang sama untuk mengartikan 'kategori di mana semua morfisme invers'. Istilah magma digunakan oleh Serre [aljabar Lie dan grup Lie, 1965]."

Hal ini juga muncul dalam buku oleh Bourbaki Éléments de mathématique, Algèbre, chapitres 1 à 3, 1970.

Definisi Sunting

Magma adalah himpunan dengan operasi dimana elemen ke elemen . Simbol adalah placeholder umum untuk operasi yang ditentukan. Untuk magma, himpunan dan operasi menggunakan sebagai berikut (dikenal sebagai magma atau aksioma ketertutupan):

Dan dalam notasi matematika:

Jika operasi parsial, maka disebut magma parsial atau disebut juga grupoid parsial.

Morfisme magma Sunting

Sebuah morfisme magma adalah sebuah fungsi, , memetakan magma ke magma , yang dimana operasi biner:

dimana dan menunjukkan operasi biner pada dan .

Notasi dan kombinatorik Sunting

Operasi magma, dan takasosiatif, urutan dinotasikan dengan tanda kurung. Maka operasi dihilangkan dan dinotasikan dengan penjajaran:

Singkatan untuk mengurangi jumlah tanda kurung, di mana operasi paling dalam dan tanda kurung dihilangkan, diganti hanya dengan penjajaran, . Sebagai contoh, di atas menjadi ekspresi berikut:

Penggunaan tanda kurung adalah notasi prefiks, di mana ekspresi ditulis . Maka, notasi postfiks (Notasi Polandia invers) di mana ekspresi ditulis , di mana urutan dari kiri ke kanan (tanpa Currying).

Himpunan dari untai yang terdiri dari simbol yang menunjukkan elemen magma, dan himpunan tanda kurung disebut bahasa Dyck. Jumlah total berbeda untuk menulis aplikasi dari operator magma dari bilangan Catalan, . Jadi, , yang mana hanya pernyataan dan adalah dua untuk tiga elemen magma dengan dua operasi: : , , , , dan .

Terdapat magma dengan elemen adalah 1, 1, 16, 19683, 4294967296, ... (barisan A002489 pada OEIS) dan magma dengan elemen 0, 1, 2, 3, 4, .... Jumlah magma takisomorfik adalah 1, 1, 10, 3330, 178981952, ... (barisan A001329 pada OEIS) dan jumlah magma takisomorfik dan takantiisomorfik adalah 1, 1, 7, 1734, 89521056, ... (barisan A001424 pada OEIS).

Magma bebas Sunting

Magma bebas, , himpunan adalah magma yang digunakan untuk (yaitu, tidak memiliki hubungan atau aksioma pada pembangkit; lihat objek bebas). Hal ini dijelaskan sebagai himpunan takasosiatif pada dengan tanda kurung dan menjajarkannya dalam urutan yang sama. Contohnya:

dapat dijelaskan sebagai himpunan kata takasosiatif dengan tanda kurung dipertahankan.

Hal ini juga dapat dilihat dalam istilah yang dikenal di ilmu komputer, sebagai magma pohon biner dengan daun label elemen . Operasi menggabungkan pohon di akarnya, maka peran mendasar dalam sintaks.

Magma bebas memiliki sifat universal, jika adalah fungsi dari ke magma, , maka perluasan dari ke morfisme magma,

Lihat pula: Semigrup bebas, Grup bebas, Himpunan Hall, dan Bilangan Wedderburn–Etherington

Jenis magma Sunting

Magma kadang dipelajari; beberapa jenis magma, bergantung pada aksioma apa yang harus dipenuhi oleh operasi tersebut. Jenis magma yang umum dipelajari meliputi:

Perhatikan bahwa pembagian dan pembatalan adalah sifat pembatalan.

Penggolongan berdasarkan sifat Sunting

Struktur grup
Totalitasα Asosiatif Identitas Invers Komutativitas
Semigrupoid Tidak dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Kategori Kecil Tidak dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Grupoid Tidak dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Magma Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Kuasigrup Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Magma Unital Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Loop Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Semigrup Dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Semigrup invers Dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Monoid Dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Monoid komutatif Dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Dibutuhkan
Grup Dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Grup Abelian Dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan
^α Penutupan, yang digunakan dalam banyak sumber, merupakan aksioma yang setara dengan totalitas, meskipun didefinisikan secara berbeda.

Magma , dengan , disebut

Kategori magma Sunting

Kategori magma, dilambangkan Mag, adalah kategori objek dari magma, dan morfisme adalah homomorfisme magma. Kategori Mag memiliki produk langsung, dan funktor inklusi: Himpunan → Med ↪ Mag sebagai magma trivial, dengan operasi oleh projeksi: .

Sifat adalah injeksi endomorfisme yang digunakan automorfisme dari magma perluasan, kolimit dari (urutan tetapan) keendomorfan.

Karena himpunan satuan adalah objek nol dari Mag, dan karena Mag adalah aljabar Mag pada kompleks.

Perampatan Sunting

Lihat grup n-er.

Lihat pula Sunting

Referensi Sunting

  1. Bergman, Clifford, Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics 
  2. Hausmann, B. A.; Ore, Øystein (October 1937), "Theory of quasi-groups", American Journal of Mathematics, 59 (4): 983–1004, doi:10.2307/2371362, JSTOR 2371362 
  3. Hollings, Christopher (2014), Mathematics across the Iron Curtain: A History of the Algebraic Theory of Semigroups, American Mathematical Society, hlm. 142–3, ISBN 978-1-4704-1493-1 
  4. Bergman, George M.; Hausknecht, Adam O. (1996), Cogroups and Co-rings in Categories of Associative Rings, American Mathematical Society, hlm. 61, ISBN 978-0-8218-0495-7 
  5. Bourbaki, N. (1998) [1970], "Algebraic Structures: §1.1 Laws of Composition: Definition 1", Algebra I: Chapters 1–3, Springer, hlm. 1, ISBN 978-3-540-64243-5 
  6. ^ Müller-Hoissen, Folkert; Pallo, Jean Marcel; Stasheff, Jim, ed. (2012), Associahedra, Tamari Lattices and Related Structures: Tamari Memorial Festschrift, Springer, hlm. 11, ISBN 978-3-0348-0405-9 
  7. Evseev, A. E. (1988), "A survey of partial groupoids", dalam Silver, Ben, Nineteen Papers on Algebraic Semigroups, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3115-1 
  8. Weisstein, Eric W. "Groupoid". MathWorld. 
  9. Rowen, Louis Halle (2008), "Definition 21B.1.", Graduate Algebra: Noncommutative View, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, hlm. 321, ISBN 0-8218-8408-5 
  10. Kepka, T.; Němec, P. (1996), "Simple balanced groupoids" (PDF), Acta Universitatis Palackianae Olomucensis. Facultas Rerum Naturalium. Mathematica, 35 (1): 53–60 
  11. Borceux, Francis; Bourn, Dominique (2004). Mal'cev, protomodular, homological and semi-abelian categories. Springer. hlm. 7,19. ISBN 1-4020-1961-0. 

Bacaan lebih lanjut Sunting

  • Bruck, Richard Hubert (1971), A survey of binary systems (edisi ke-3rd), Springer, ISBN 978-0-387-03497-3 
wikipedia, wiki, buku, buku, perpustakaan, artikel, baca, unduh, gratis, unduh gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, gambar, musik, lagu, film, buku, permainan, permainan.
Tanggal penerbitan:
Halaman ini berisi artikel tentang struktur aljabar Untuk grupoid dalam teori kategori lihat Grupoid Untuk kegunaan lain lihat Magma disambiguasi Dalam aljabar abstrak magma biner 1 atau grupoid adalah jenis dasar dari struktur aljabar Magma terdiri dari himpunan dengan operasi biner tunggal tertutup menurut definisi Struktur aljabar antara magma dan grup Daftar isi 1 Sejarah dan istilah 2 Definisi 3 Morfisme magma 4 Notasi dan kombinatorik 5 Magma bebas 6 Jenis magma 7 Penggolongan berdasarkan sifat 8 Kategori magma 9 Perampatan 10 Lihat pula 11 Referensi 12 Bacaan lebih lanjutSejarah dan istilah SuntingIstilah groupoid ditemukan pada tahun 1927 oleh Heinrich Brandt yang menggambarkan Brandt groupoid dari bahasa Jerman Gruppoid Istilah ini kemudian digunakan oleh B A Hausmann dan Oystein Ore 1937 2 Dalam beberapa ulasan makalah Zentralblatt tidak setuju dengan istilah yang berlebihan ini Groupoid Brandt adalah grupoid dalam arti yang digunakan dalam teori kategori dalam arti yang digunakan oleh Hausmann dan Ore Namun buku dalam teori semigrup termasuk Clifford dan Preston 1961 dan Howie 1995 menggunakan grupoid Hollings 2014 menulis bahwa istilah groupoid adalah mungkin paling sering digunakan dalam matematika modern dalam arti yang digunakan dalam teori kategori 3 Menurut Bergman dan Hausknecht 1996 Tidak ada kata yang diterima secara umum untuk himpunan dengan operasi biner asosiatif yang tidak harus Kata groupoid digunakan aljabar universal tetapi para pekerja dalam teori kategori dan bidang terkait sangat menolak penggunaan ini karena mereka menggunakan kata yang sama untuk mengartikan kategori di mana semua morfisme invers Istilah magma digunakan oleh Serre aljabar Lie dan grup Lie 1965 4 Hal ini juga muncul dalam buku oleh Bourbaki Elements de mathematique Algebre chapitres 1 a 3 1970 5 Definisi SuntingMagma adalah himpunan M displaystyle M nbsp dengan operasi displaystyle bullet nbsp dimana elemen a b M displaystyle a b in M nbsp ke elemen a b displaystyle a bullet b nbsp Simbol displaystyle bullet nbsp adalah placeholder umum untuk operasi yang ditentukan Untuk magma himpunan dan operasi M displaystyle M bullet nbsp menggunakan sebagai berikut dikenal sebagai magmaatau aksioma ketertutupan Untuk a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp dan M displaystyle M nbsp hasil operasi a b displaystyle a bullet b nbsp adalah M displaystyle M nbsp Dan dalam notasi matematika a b M a b M displaystyle a b in M implies a cdot b in M nbsp Jika displaystyle bullet nbsp operasi parsial maka M displaystyle M bullet nbsp disebut magma parsial 6 atau disebut juga grupoid parsial 6 7 Morfisme magma SuntingSebuah morfisme magma adalah sebuah fungsi f M N displaystyle f colon M to N nbsp memetakan magma M displaystyle M nbsp ke magma N displaystyle N nbsp yang dimana operasi biner f x M y f x N f y displaystyle f x bullet M y f x bullet N f y nbsp dimana M displaystyle bullet M nbsp dan N displaystyle bullet N nbsp menunjukkan operasi biner pada M displaystyle M nbsp dan N displaystyle N nbsp Notasi dan kombinatorik SuntingOperasi magma dan takasosiatif urutan dinotasikan dengan tanda kurung Maka operasi displaystyle bullet nbsp dihilangkan dan dinotasikan dengan penjajaran a b c d a b c d displaystyle a bullet b bullet c bullet d a bc d nbsp Singkatan untuk mengurangi jumlah tanda kurung di mana operasi paling dalam dan tanda kurung dihilangkan diganti hanya dengan penjajaran x y z x y z displaystyle xy bullet z x bullet y bullet z nbsp Sebagai contoh di atas menjadi ekspresi berikut a b c d displaystyle a bullet bc d nbsp Penggunaan tanda kurung adalah notasi prefiks di mana ekspresi ditulis a b c d displaystyle bullet bullet a bullet bcd nbsp Maka notasi postfiks Notasi Polandia invers di mana ekspresi ditulis a b c d displaystyle abc bullet bullet d bullet nbsp di mana urutan dari kiri ke kanan tanpa Currying Himpunan dari untai yang terdiri dari simbol yang menunjukkan elemen magma dan himpunan tanda kurung disebut bahasa Dyck Jumlah total berbeda untuk menulis aplikasi n displaystyle n nbsp dari operator magma dari bilangan Catalan C n displaystyle C n nbsp Jadi C 2 2 displaystyle C 2 2 nbsp yang mana hanya pernyataan a b c displaystyle ab c nbsp dan a b c displaystyle a bc nbsp adalah dua untuk tiga elemen magma dengan dua operasi C 3 5 displaystyle C 3 5 nbsp a b c d displaystyle ab c d nbsp a b c d displaystyle a bc d nbsp a b c d displaystyle ab cd nbsp a b c d displaystyle a bc d nbsp dan a b c d displaystyle a b cd nbsp Terdapat n n 2 displaystyle n n 2 nbsp magma dengan elemen n displaystyle n nbsp adalah 1 1 16 19683 4294967296 barisan A002489 pada OEIS dan magma dengan elemen 0 1 2 3 4 Jumlah magma takisomorfik adalah 1 1 10 3330 178981952 barisan A001329 pada OEIS dan jumlah magma takisomorfik dan takantiisomorfik adalah 1 1 7 1734 89521056 barisan A001424 pada OEIS 8 Magma bebas SuntingMagma bebas M X displaystyle M X nbsp himpunan X displaystyle X nbsp adalah magma yang digunakan untuk X displaystyle X nbsp yaitu tidak memiliki hubungan atau aksioma pada pembangkit lihat objek bebas Hal ini dijelaskan sebagai himpunan takasosiatif pada X displaystyle X nbsp dengan tanda kurung dan menjajarkannya dalam urutan yang sama Contohnya a b a b displaystyle a bullet b a b nbsp a a b a a b displaystyle a bullet a bullet b a a b nbsp a a b a a b displaystyle a bullet a bullet b a a b nbsp M X displaystyle M X nbsp dapat dijelaskan sebagai himpunan kata takasosiatif X displaystyle X nbsp dengan tanda kurung dipertahankan 9 Hal ini juga dapat dilihat dalam istilah yang dikenal di ilmu komputer sebagai magma pohon biner dengan daun label elemen X displaystyle X nbsp Operasi menggabungkan pohon di akarnya maka peran mendasar dalam sintaks Magma bebas memiliki sifat universal jika f X N displaystyle f colon X to N nbsp adalah fungsi dari X displaystyle X nbsp ke magma N displaystyle N nbsp maka perluasan dari f displaystyle f nbsp ke morfisme magma f displaystyle f nbsp f M X N displaystyle f colon M X to N nbsp Lihat pula Semigrup bebas Grup bebas Himpunan Hall dan Bilangan Wedderburn EtheringtonJenis magma SuntingMagma kadang dipelajari beberapa jenis magma bergantung pada aksioma apa yang harus dipenuhi oleh operasi tersebut Jenis magma yang umum dipelajari meliputi Grup semu Magma di mana pembagian selalu mungkin Gelung Kuasigrup dengan elemen identitas Semigrup Magma yang dimana operasinya asosiatif Semigrup balikan Semigrup dengan balikan Semikisi Semigrup operasinya komutatif dan idempoten Monoid Semigrup dengan elemen identitas Grup Sebuah monoid dengan elemen invers atau ekuivalennya gelung asosiatif atau kuasigroup asosiatif yang tidak kosong Grup Abelian Grup yang operasinya bersifat komutatifPerhatikan bahwa pembagian dan pembatalan adalah sifat pembatalan Penggolongan berdasarkan sifat SuntingStruktur grupTotalitasa Asosiatif Identitas Invers KomutativitasSemigrupoid Tidak dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkanKategori Kecil Tidak dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkanGrupoid Tidak dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkanMagma Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkanKuasigrup Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkanMagma Unital Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkanLoop Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkanSemigrup Dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkanSemigrup invers Dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkanMonoid Dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkanMonoid komutatif Dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan DibutuhkanGrup Dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkanGrup Abelian Dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan a Penutupan yang digunakan dalam banyak sumber merupakan aksioma yang setara dengan totalitas meskipun didefinisikan secara berbeda Magma S displaystyle S bullet nbsp dengan x y u z S displaystyle x y u z in S nbsp disebut Medial Jika identitas x y u z x u y z displaystyle xy bullet uz equiv xu bullet yz nbsp Semimedial kiri Jika identitas x x y z x y x z displaystyle xx bullet yz equiv xy bullet xz nbsp Semimedial kanan Jika identitas y z x x y x z x displaystyle yz bullet xx equiv yx bullet zx nbsp Semimedial Jika keduanya semimedial kiri dan kanan Distributif kiri Jika memenuhi identitas x y z x y x z displaystyle x bullet yz equiv xy bullet xz nbsp Distributif kanan Jika memenuhi identitas y z x y x z x displaystyle yz bullet x equiv yx bullet zx nbsp Autodistributif Jika keduanya distributif kiri dan kanan Komutatif Jika memenuhi identitas x y y x displaystyle xy equiv yx nbsp Idempoten Jika identitas x x x displaystyle xx equiv x nbsp Unipoten Jika identitas x x y y displaystyle xx equiv yy nbsp Nolpoten Jika identitas x x y x x y x x displaystyle xx bullet y equiv xx equiv y bullet xx nbsp 10 Alternatif Jika identitas x x y x x y displaystyle xx bullet y equiv x bullet xy nbsp dan x y y x y y displaystyle x bullet yy equiv xy bullet y nbsp Daya asosiatif Jika submagma yang dihasilkan oleh suatu elemen bersifat asosiatif Fleksibel jika x y x x x y displaystyle xy bullet x equiv x bullet xy nbsp Semigrup atau asosiatif Jika identitas x y z x y z displaystyle x bullet yz equiv xy bullet z nbsp Uner kiri Jika identitas x y x z displaystyle xy equiv xz nbsp Uner kanan Jika identitas y x z x displaystyle yx equiv zx nbsp Semigrup dengan perkalian nol atau semigrup nol Jika identitas x y u v displaystyle xy equiv uv nbsp Unital Jika memiliki elemen identitasKategori magma SuntingKategori magma dilambangkan Mag adalah kategori objek dari magma dan morfisme adalah homomorfisme magma Kategori Mag memiliki produk langsung dan funktor inklusi Himpunan Med Mag sebagai magma trivial dengan operasi oleh projeksi x T y y displaystyle x mathrm T y y nbsp Sifat adalah injeksi endomorfisme yang digunakan automorfisme dari magma perluasan kolimit dari urutan tetapan keendomorfan Karena himpunan satuan displaystyle nbsp adalah objek nol dari Mag dan karena Mag adalah aljabar Mag pada kompleks 11 Perampatan SuntingLihat grup n er Lihat pula SuntingKategori magma Objek magma otomatis Aljabar universal Sistem aljabar komputer magma dinamai menurut objek artikel ini Magma takasosiatif komutatif Struktur aljabar yang semua aksioma adalah identitas Aljabar grupoid Himpunan HallReferensi Sunting Bergman Clifford Universal Algebra Fundamentals and Selected Topics Hausmann B A Ore Oystein October 1937 Theory of quasi groups American Journal of Mathematics 59 4 983 1004 doi 10 2307 2371362 JSTOR 2371362 Hollings Christopher 2014 Mathematics across the Iron Curtain A History of the Algebraic Theory of Semigroups American Mathematical Society hlm 142 3 ISBN 978 1 4704 1493 1 Bergman George M Hausknecht Adam O 1996 Cogroups and Co rings in Categories of Associative Rings American Mathematical Society hlm 61 ISBN 978 0 8218 0495 7 Bourbaki N 1998 1970 Algebraic Structures 1 1 Laws of Composition Definition 1 Algebra I Chapters 1 3 Springer hlm 1 ISBN 978 3 540 64243 5 a b Muller Hoissen Folkert Pallo Jean Marcel Stasheff Jim ed 2012 Associahedra Tamari Lattices and Related Structures Tamari Memorial Festschrift Springer hlm 11 ISBN 978 3 0348 0405 9 Evseev A E 1988 A survey of partial groupoids dalam Silver Ben Nineteen Papers on Algebraic Semigroups American Mathematical Society ISBN 0 8218 3115 1 Weisstein Eric W Groupoid MathWorld Rowen Louis Halle 2008 Definition 21B 1 Graduate Algebra Noncommutative View Graduate Studies in Mathematics American Mathematical Society hlm 321 ISBN 0 8218 8408 5 Kepka T Nemec P 1996 Simple balanced groupoids PDF Acta Universitatis Palackianae Olomucensis Facultas Rerum Naturalium Mathematica 35 1 53 60 Borceux Francis Bourn Dominique 2004 Mal cev protomodular homological and semi abelian categories Springer hlm 7 19 ISBN 1 4020 1961 0 M Hazewinkel 2001 1994 Magma dalam Hazewinkel Michiel Encyclopedia of Mathematics Springer Science Business Media B V Kluwer Academic Publishers ISBN 978 1 55608 010 4 M Hazewinkel 2001 1994 Groupoid dalam Hazewinkel Michiel Encyclopedia of Mathematics Springer Science Business Media B V Kluwer Academic Publishers ISBN 978 1 55608 010 4 M Hazewinkel 2001 1994 Free magma dalam Hazewinkel Michiel Encyclopedia of Mathematics Springer Science Business Media B V Kluwer Academic Publishers ISBN 978 1 55608 010 4 Weisstein Eric W Groupoid MathWorld Bacaan lebih lanjut SuntingBruck Richard Hubert 1971 A survey of binary systems edisi ke 3rd Springer ISBN 978 0 387 03497 3 Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Magma aljabar amp oldid 18503686