Teorema Sylow

Dalam matematika, khususnya di bidang teori grup hingga, Teorema Sylow adalah kumpulan teorema yang dinamai menurut matematikawan Norwegia Peter Ludwig Sylow (1872) yang memberikan informasi rinci tentang jumlah subgrup dari urutan yang berisi grup hingga tertentu. Teorema Sylow membentuk bagian fundamental dari teori grup hingga dan memiliki aplikasi yang sangat penting dalam klasifikasi grup sederhana hingga.

Untuk bilangan prima p, Sylow subgrup p (terkadang Sylow subgrup p dari grup G adalah maksimal subgrup p dari G , yaitu, subgrup dari G yaitu grup p (sehingga urutan dari setiap elemen grup adalah kekuatan dari p) itu bukan subgrup yang tepat dari p lainnya, subgrup dari G . Himpunan dari semua Sylow subgrup p untuk prima tertentu p terkadang ditulis Syl_p(G).

Teorema Sylow menyatakan kebalikan parsial Teorema Lagrange. Teorema Lagrange menyatakan bahwa untuk setiap grup hingga G urutan (jumlah elemen) dari setiap subgrup G membagi urutan G . Teorema Sylow menyatakan bahwa untuk setiap faktor prima p dari urutan grup hingga G , terdapat Sylow subgrup p order G pⁿ, pangkat tertinggi p yang membagi urutan G . Selain itu, setiap subgrup order pⁿ adalah Sylow subgrup p dari G , dan Sylow p - subgrup dari grup (untuk prime p tertentu) adalah konjugasi satu sama lain. Selanjutnya, jumlah Sylow subgrup p dari grup untuk prima p yang diberikan kongruen dengan 1 mod p.

Teorema

Kumpulan subgrup yang masing-masing maksimal dalam satu hal atau lainnya adalah hal biasa dalam teori grup. Hasil yang mengejutkan di sini adalah dalam kasus Syl_p(G), semua anggota sebenarnya isomorphic satu sama lain dan memiliki urutan terbesar: jika |G| = pⁿm dengan n > 0 dimana p tidak membagi m , maka setiap Sylow subgrup p , P memiliki urutan |P| = pⁿ. Artinya, P adalah grup p dan gcd(|G : P|, p) = 1. Sifat ini dapat dimanfaatkan untuk menganalisis lebih lanjut struktur G .

Teorema berikut pertama kali diajukan dan dibuktikan oleh Ludwig Sylow pada tahun 1872, dan diterbitkan pada Mathematische Annalen.

Teorema 1: Untuk setiap faktor prima p dengan kelipatan n dari urutan grup hingga G , terdapat Sylow subgrup p dan G , berurutan pⁿ.

Versi lemah teorema 1 berikut ini pertama kali dibuktikan oleh Augustin-Louis Cauchy, dan dikenal sebagai Teorema Cauchy.

Korolari: Diberikan kelompok terbatas G dan bilangan prima p membagi urutan G , maka terdapat elemen (dan karenanya subgrup) berorde p pada G.

Teorema 2: Diberikan grup terbatas G dan bilangan prima p , pada Sylow subgrup p dari G adalah konjugasi satu sama lain, yaitu jika H dan K adalah Sylow subgrup p dari G , maka terdapat elemen g di G dengan g⁻¹Hg = K.

Teorema 3: Misalkan p menjadi faktor prima dengan kelipatan n dari urutan grup hingga G , sehingga urutan G dapat dituliskan sebagai pⁿm, dimana n > 0 dan p tidak membagi m . Maka n_p jadilah jumlah Sylow subgrup p dari G . Kemudian penangguhan berikut:

• n_p membagi m , yang merupakan indeks dari Sylow subgrup p pada G .
• n_p ≡ 1 (mod p).
• n_p = |G : N_G(P)|, di mana P adalah sembarang Sylow subgrup p dari G dan N_G menunjukkan penormal.

Konsekuensi

Teorema Sylow menyiratkan bahwa untuk bilangan prima p setiap Sylow subgrup p memiliki urutan yang sama, pⁿ. Sebaliknya, jika subgrup memiliki urutan pⁿ, maka itu adalah Sylow subgrup p , dan begitu juga isomorfik untuk setiap Sylow subgrup p . Karena kondisi maksimalitas, jika H adalah salah satu p - subgrup dari G , maka H adalah subgrup dari subgrup p dari urutan pⁿ.

Konsekuensi yang sangat penting dari Teorema 2 adalah kondisi tersebut n_p = 1 setara dengan mengatakan bahwa Sylow subgrup p , G adalah subgrup normal (ada grup yang memiliki subgrup normal tetapi tidak ada subgrup Sylow normal, seperti S₄).

Teorema Sylow untuk grup tak hingga

Ada analogi dari teorema Sylow untuk kelompok tak terbatas. Kami mendefinisikan Sylow subgrup p dalam grup tak terbatas menjadi subgrup p (yaitu, setiap elemen di dalamnya memiliki urutan daya p ) yang maksimal untuk dimasukkan di antara semua subgrup p dalam grup. Subgrup semacam itu ada oleh lemma Zorn.

Teorema: Jika K adalah Sylow p - subgrup dari G , dan n_p = |Cl(K)| terbatas, maka setiap Sylow subgrup p dikonjugasikan menjadi K , dan n_p ≡ 1 (mod p), dimana Cl(K) menunjukkan kelas konjugasi K .

Contoh

Dalam D₆ semua refleksi adalah konjugasi, karena refleksi sesuai dengan subgrup 2 Sylow.

Ilustrasi sederhana subgrup Sylow dan teorema Sylow adalah kelompok dihedral dari n-gon, D_2n. Untuk n ganjil, 2 = 2¹ adalah pangkat tertinggi dari 2 yang membagi ordo, dan dengan demikian subgrup orde 2 adalah subgrup Sylow. Ini adalah grup yang dihasilkan oleh refleksi, yang mana terdapat n , dan semuanya terkonjugasi di bawah rotasi; secara geometris sumbu-sumbu simetri melewati sebuah simpul dan sisi.

Dalam D₁₂ refleksi tidak lagi sesuai dengan 2-subgrup Sylow, dan terbagi dalam dua kelas konjugasi.

Sebaliknya, jika n genap, maka 4 membagi urutan grup, dan subgrup orde 2 bukan lagi subgrup Sylow, dan kenyataannya mereka terbagi dalam dua kelas konjugasi, secara geometris menurut apakah mereka melewati dua simpul atau dua sisi. Ini terkait dengan automorfisme luar, yang dapat diwakili oleh rotasi melalui π / n , setengah dari rotasi minimal dalam kelompok dihedral.

Contoh lainnya adalah p-subgrup Sylow dari GL₂(F_q), di mana p dan q adalah bilangan prima ≥ 3 dan p ≡ 1 (mod q) , yang semuanya abelian. Urutan GL₂(F_q) is (q² − 1)(q² − q) = (q)(q + 1)(q − 1)². Maka q = pⁿm + 1, urutan GL₂(F_q) = p²ⁿ m′. Jadi dengan Teorema 1, urutan dari Sylow p adalah p²ⁿ.

Salah satu subgrup P , adalah himpunan matriks diagonal , x adalah salah satu akar primitif dari F_q. Karena urutan F_q is q − 1, its primitive roots have order q − 1, which implies that x^{(q − 1)/pn} or x^m dan semua kekuatannya memiliki urutan yang merupakan kekuatan p . Jadi, P adalah subkelompok di mana semua elemennya memiliki urutan yang merupakan kekuatan p. Jika pⁿ pilihan untuk a dan b , membuat |P| = p²ⁿ. Ini berarti P adalah Sylow p - subkelompok, yang abelian, karena semua matriks diagonal bolak-balik, dan karena Teorema 2 menyatakan bahwa semua Sylow subgrup p berkonjugasi satu sama lain GL₂(F_q) pada grup abelian.

Contoh aplikasi

Karena teorema Sylow memastikan keberadaan subgroup-p dari kelompok terbatas, ada baiknya mempelajari grup tatanan kekuatan utama lebih dekat. Sebagian besar contoh menggunakan teorema Sylow untuk membuktikan bahwa sekelompok urutan tertentu bukanlah sederhana. Untuk kelompok orde kecil, kondisi kesesuaian teorema Sylow sering kali cukup untuk memaksa keberadaan subgrup normal.

Pesanan grup siklik

Beberapa bilangan prima n sedemikian rupa sehingga setiap kelompok orde n berbentuk siklik. Dapat ditunjukkan bahwa n = 15 adalah bilangan seperti itu dengan menggunakan teorema Sylow: Misalkan G adalah sekelompok berorde 15 = 3 · 5 dan n₃ menjadi jumlah Sylow 3-subgrup. Kemudian n₃ 5 dan n₃ ≡ 1 (mod 3). Satu-satunya nilai yang memenuhi batasan ini adalah 1; oleh karena itu, hanya ada satu subgrup berorde 3, dan itu harus normal (karena tidak memiliki konjugasi berbeda). Demikian pula, n₅ harus membagi 3, dan n₅ harus sama dengan 1 (mod 5); jadi ia juga harus memiliki satu subgrup normal berorde 5. Karena 3 dan 5 adalah coprime, perpotongan kedua subgrup ini adalah trivial, dan jadi G haruslah produk langsung internal dari grup orde 3 dan 5, yaitu grup siklik orde 15. Jadi, hanya ada satu grup orde 15 (hingga isomorfisme).

Grup kecil tidak sederhana

Contoh yang lebih kompleks melibatkan urutan grup sederhana terkecil yang bukan siklik. Teorema Burnside p^a q^b menyatakan bahwa jika orde suatu kelompok adalah hasil kali dari satu atau dua pangkat utama s, maka ia dapat dipecahkan, sehingga kelompok tersebut tidak sederhana, atau merupakan orde utama dan berhubung dgn putaran. Ini mengesampingkan setiap grup hingga orde 30 (= 2 · 3 · 5).

Jika G sederhana, dan |G| = 30, kemudian n₃ must divide 10 ( = 2 · 5), dan n₃ harus sama dengan 1 (mod 3). Karena baik 4 maupun 7 tidak membagi 10, dan jika n₃ = 1 kemudian, seperti di atas, G akan memiliki subgrup normal berorde 3, dan tidak bisa sederhana. G kemudian memiliki 10 subgrup siklik berbeda dari orde 3, yang masing-masing memiliki 2 elemen orde 3 (indentitas penambahan). Ini berarti G memiliki setidaknya 20 elemen berbeda dari orde 3.

Juga, n ₅ = 6, karena n ₅ harus membagi 6 (= 2 · 3), dan n₅ harus sama dengan 1 (mod 5). Jadi G juga memiliki 24 elemen berbeda dari orde 5. Tapi orde G hanya 30, jadi grup sederhana berorde 30 tidak mungkin ada.

Selanjutnya, misalkan |G| = 42 = 2 · 3 · 7. Di sini n ₇ harus membagi 6 ( = 2 · 3) dan n₇ harus sama dengan 1 (mod 7), jadi n ₇ = 1. Jadi, seperti sebelumnya, G tidak bisa sederhana.

Di sisi lain, untuk |G| = 60 = 2² · 3 · 5, maka n ₃ = 10 dan n ₅ = 6 sangat mungkin. Dan faktanya, grup non-siklik sederhana terkecil adalah A₅, grup bergantian lebih dari 5 elemen. Ia memiliki urutan 60, dan memiliki 24 permutasi siklik dari urutan 5, dan 20 dari urutan 3.

Teorema Wilson

Bagian dari Teorema Wilson menyatakan bahwa

untuk setiap prima p . Seseorang dapat dengan mudah membuktikan teorema ini dengan teorema ketiga Sylow. Memang, perhatikan bahwa bilangan n_p dari Sylow subgrup p dalam grup simetris S_p is (p − 2)!. Maka, n_p ≡ 1 (mod p). Karenanya, (p − 2)! ≡ 1 (mod p). So, (p − 1)! ≡ −1 (mod p).

Hasil fusi

Argumen Frattini menunjukkan bahwa subkelompok Sylow dari subkelompok normal menyediakan faktorisasi dari grup hingga. Sebuah generalisasi kecil yang dikenal sebagai Teorema fusi Burnside menyatakan Bahwa jika G adalah grup berhingga dengan Sylow subgrup p dan dua himpunan bagian A dan B dinormalisasi oleh P , lalu A dan B adalah konjugasi G jika dan hanya jika ada konjugasi N_G(P). Buktinya adalah aplikasi sederhana dari teorema Sylow: Jika B=A^g, maka penormal B tidak hanya berisi P tetapi juga P^g (karena P^g terkandung dalam penormal dari A^g). Dengan teorema Sylow P dan P^g terkonjugasi tidak hanya dalam G , tetapi dalam penormalisasi B . Karenanya gh⁻¹ menormalkan P untuk beberapa h yang menormalkan B , lalu A^gh−1 = B^h−1 = B, so that A dan B adalah konjugasi N_G(P). Teorema fusi Burnside dapat digunakan untuk memberikan faktorisasi yang lebih kuat yang disebut produk setengah langsung: jika G adalah grup terbatas yang Sylow p - subkelompok P terdapat di tengah penormalnya, lalu G memiliki subgrup normal K dengan urutan coprime ke P , G = PK and P∩K = {1}, yaitu, G adalah p nilpotent.

Aplikasi yang kurang sepele dari teorema Sylow termasuk teorema subkelompok fokus, yang mempelajari kontrol Sylow p - subkelompok dari subgrup turunan memiliki struktur keseluruhan. Kontrol ini dieksploitasi pada beberapa tahap klasifikasi grup sederhana hingga, dan misalnya mendefinisikan pembagian kasus yang digunakan dalam Teorema Alperin – Brauer – Gorenstein yang mengklasifikasikan hingga grup sederhana yang subgrup Sylow 2-nya adalah grup kuasi-dihedral. Ini bergantung pada J. L. Alperin memperkuat bagian konjugasi dari teorema Sylow untuk mengontrol jenis elemen apa yang digunakan dalam konjugasi.

Bukti teorema Sylow

Teorema Sylow telah dibuktikan dalam beberapa cara, dan sejarah pembuktian itu sendiri adalah subjek dari banyak makalah termasuk (Waterhouse 1980), (Scharlau 1988), (Casadio & Zappa 1990), (Gow 1994), dan sampai batas tertentu (Meo 2004).

Salah satu bukti teorema Sylow mengeksploitasi gagasan tindakan grup dalam berbagai cara kreatif. Grup G bertindak pada dirinya sendiri atau pada himpunan p -subgrupnya dengan berbagai cara, dan setiap tindakan tersebut dapat dimanfaatkan untuk membuktikan salah satu teorema Sylow. Bukti berikut didasarkan pada argumen kombinatorial dari (Wielandt 1959). Berikut ini, kami menggunakan a b sebagai notasi untuk "a divides b" dan a b untuk meniadakan pernyataan ini.

Teorema 1: Grup terbatas G yang urutannya |G| dapat dibagi oleh kekuatan utama p^k memiliki subgrup order p^k.

Bukti: Karena |G| = p^km = p^k+ru dirumuskan p u, dan misalkan Ω menunjukkan himpunan himpunan bagian dari ukuran G yaitu p^k. G tindakan pada Ω dengan perkalian kiri: g⋅ω = { gx | x ∈ ω }. Untuk himpunan tertentu ω ∈ Ω, dituliskan G_ω untuk subgrup penstabil {g ∈ G | g⋅ω = ω } dan Gω untuk orbit {g⋅ω | g ∈ G} pada Ω.

Buktinya akan menunjukkan adanya beberapa ω ∈ Ω yang dirumuskan G_ω memiliki p^k elemen, menyediakan subkelompok yang diinginkan. Ini adalah ukuran maksimal dari subgrup penstabil G_ω, karena untuk setiap elemen tetap α ∈ ω ⊆ G , gambar G_ω di bawah peta bijektiva G → G perkalian kanan dengan α (g ↦ gα) terkandung dalam ω; karena itu, |G_ω| ≤ |ω| = p^k.

Dengan teorema penstabil orbit yang kami miliki |G_ω| |Gω| = |G| untuk setiap ω ∈ Ω, dan karenanya menggunakan penilaian aditif p-adik ν_p, yang menghitung jumlah faktor p , yang dimiliki ν_p(|G_ω|) + ν_p(|Gω|) = ν_p(|G|) = k + r. Ini berarti bagi mereka ω dengan |G_ω| = p^k, yang kita cari, satu sudah yaitu ν_p(|Gω|) = r, sedangkan untuk ω lainnya memiliki ν_p(|Gω|) > r (as 0 < |G_ω| < p^k berarti ν_p(|Gω|) < k). Karena | Ω | adalah jumlah dari |Gω| pada semua orbit berbeda Gω, seseorang dapat menunjukkan keberadaan ω dari tipe sebelumnya dengan menunjukkan itu ν_p(|Ω|) = r (jika tidak ada, penilaian itu akan melebihi r ). Ini adalah turunan dari Teorema Kummer (karena dalam basis p notasi bilangan |G| diakhiri dengan tepat k + r digit nol, mengurangi p ^k darinya melibatkan carry di tempat r ), dan juga dapat ditampilkan dengan perhitungan sederhana:

dan tidak ada kekuatan p yang tersisa di salah satu faktor di dalam produk di sebelah kanan. Karenanya ν_p(|Ω|) = ν_p(m) = r, melengkapi buktinya.

Dapat dicatat bahwa sebaliknya setiap subgrup H berurutan p^k menimbulkan himpunan ω ∈ Ω yaitu G_ω = H, yaitu salah satu dari m kohimpunan berbeda Hg .

Lemma: Misalkan G menjadi grup p yang terbatas, misalkan Ω himpunan terbatas, misalkan Ω _G menjadi himpunan yang dihasilkan oleh aksi G pada semua elemen Ω, dan biarkan Ω ₀ menunjukkan himpunan titik Ω _G yang ditetapkan di bawah aksi G . Kemudian |Ω_G| ≡ |Ω₀| (mod p).

Bukti: Tuliskan Ω _G sebagai jumlah orbit yang saling lepas di bawah G . Elemen x ∈ Ω_G tidak ditetapkan oleh G akan terletak pada urutan orbit |G|/|G_x| (di mana G _x menunjukkan stabilisator), yang merupakan kelipatan dari p dengan asumsi. Hasilnya segera menyusul.

Teorema 2: Jika H adalah subgrup p dari G dan P adalah Sylow p - subgrup dari G , maka ada elemen ' 'g' 'dalam' 'G' 'seperti itu g⁻¹Hg ≤ P. Secara khusus, semua Sylow p - subgrup dari G adalah konjugasi satu sama lain (dan karena itu isomorfik), yaitu, jika H dan K adalah Sylow p - subgrup dari G , maka terdapat elemen g dalam G dengan g⁻¹Hg = K.

Bukti: Misalkan Ω adalah himpunan coset kiri dari P dalam G dan biarkan H bekerja pada Ω dengan perkalian kiri. Menerapkan Lemma ke H pada Ω, kita melihat |Ω₀| ≡ |Ω| = [G : P] (mod p). Sekarang p [G : P] menurut definisi jadi p |Ω₀|, karenanya secara khusus |Ω₀| ≠ 0 begitu ada beberapa gP ∈ Ω₀. Oleh karena itu untuk beberapa g ∈ G dan ∀ h ∈ H yang kami miliki hgP = gP so g⁻¹HgP = P dan oleh karena itu g⁻¹Hg ≤ P. Sekarang jika H adalah Sylow subgrup p , |H| = |P| = |gPg⁻¹| jadi H = gPg⁻¹ untuk beberapa g ∈ G .

Teorema 3: Misalkan q menunjukkan urutan Sylow subgrup p dari grup P hingga G . Misalkan n _p menunjukkan jumlah Sylow subgrup p dari G . Kemudian n_p = |G : N_G(P)|, n_p |G|/q dan n_p ≡ 1 (mod p), dimana N_G(P) adalah penormal dari P

Algoritma

Masalah menemukan subkelompok Sylow dari kelompok tertentu merupakan masalah penting dalam teori grup komputasi.

Salah satu bukti keberadaan Sylow p - subkelompok konstruktif: jika H adalah subgrup p G dan indeks [G:H] habis dibagi p , lalu normalizer N = N_G(H) dari H dalam G juga sedemikian rupa sehingga [ N : H ] habis dibagi p . Dengan kata lain, sistem pembuatan polisiklik dari Sylow p - subkelompok dapat ditemukan dengan memulai dari subgrup- p pada H (termasuk identitas) dan mengambil elemen p - urutan daya yang terkandung dalam normalizer H tetapi tidak dalam H itu sendiri. Versi algoritmik ini (dan banyak peningkatan) dijelaskan dalam bentuk buku teks di (Butler 1991, Chapter 16), termasuk algoritme yang dijelaskan dalam (Cannon 1971). Versi ini masih digunakan dalam sistem aljabar komputer GAP.

Dalam grup permutasi terbukti di (Kantor 1985a, 1985b, 1990; Kantor & Taylor 1988) bahwa Sylow p - subgrup dan normalnya dapat ditemukan di waktu polinomial dari input (derajat grup dikalikan jumlah generator). Algoritme ini dijelaskan dalam bentuk buku teks di (Seress 2003), dan sekarang menjadi praktis karena pengakuan konstruktif dari kelompok sederhana hingga menjadi kenyataan. Secara khusus, versi dari algoritma ini digunakan dalam Sistem aljabar komputer magma.

Lihat pula

• Argumen Frattini
• Subgrup Hall
• Subgrup maksimal
• grup-p

Catatan

1. Fraleigh, Victor J. Katz. A First Course In Abstract Algebra. p. 322. ISBN 9788178089973

Referensi

• Sylow, L. (1872), "Théorèmes sur les groupes de substitutions", Math. Ann. (dalam bahasa Prancis), 5 (4): 584–594, doi:10.1007/BF01442913, JFM 04.0056.02 

Bukti

• Casadio, Giuseppina; Zappa, Guido (1990), "History of the Sylow theorem and its proofs", Boll. Storia Sci. Mat. (dalam bahasa Italia), 10 (1): 29–75, ISSN 0392-4432, MR 1096350, Zbl 0721.01008 
• Gow, Rod (1994), "Sylow's proof of Sylow's theorem", Irish Math. Soc. Bull. (33): 55–63, ISSN 0791-5578, MR 1313412, Zbl 0829.01011 
• Kammüller, Florian; Paulson, Lawrence C. (1999), (PDF), J. Automat. Reason., 23 (3): 235–264, doi:10.1023/A:1006269330992, ISSN 0168-7433, MR 1721912, Zbl 0943.68149, diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2006-01-03  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Meo, M. (2004), "The mathematical life of Cauchy's group theorem", Historia Math., 31 (2): 196–221, doi:10.1016/S0315-0860(03)00003-X , ISSN 0315-0860, MR 2055642, Zbl 1065.01009 
• Scharlau, Winfried (1988), "Die Entdeckung der Sylow-Sätze", Historia Math. (dalam bahasa Jerman), 15 (1): 40–52, doi:10.1016/0315-0860(88)90048-1 , ISSN 0315-0860, MR 0931678, Zbl 0637.01006 
• Waterhouse, William C. (1980), "The early proofs of Sylow's theorem", Arch. Hist. Exact Sci., 21 (3): 279–290, doi:10.1007/BF00327877, ISSN 0003-9519, MR 0575718, Zbl 0436.01006 
• Wielandt, Helmut (1959), "Ein Beweis für die Existenz der Sylowgruppen", Arch. Math. (dalam bahasa Jerman), 10 (1): 401–402, doi:10.1007/BF01240818, ISSN 0003-9268, MR 0147529, Zbl 0092.02403 

Algorithms

• Butler, G. (1991), Fundamental Algorithms for Permutation Groups, Lecture Notes in Computer Science, 559, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/3-540-54955-2, ISBN 978-3-540-54955-0, MR 1225579, Zbl 0785.20001 
• Cannon, John J. (1971), "Computing local structure of large finite groups", Computers in Algebra and Number Theory (Proc. SIAM-AMS Sympos. Appl. Math., New York, 1970), SIAM-AMS Proc., 4, Providence, RI: AMS, hlm. 161–176, ISSN 0160-7634, MR 0367027, Zbl 0253.20027 
• Kantor, William M. (1985a), "Polynomial-time algorithms for finding elements of prime order and Sylow subgroups" (PDF), J. Algorithms, 6 (4): 478–514, CiteSeerX 10.1.1.74.3690 , doi:10.1016/0196-6774(85)90029-X, ISSN 0196-6774, MR 0813589, Zbl 0604.20001 
• Kantor, William M. (1985b), "Sylow's theorem in polynomial time", J. Comput. Syst. Sci., 30 (3): 359–394, doi:10.1016/0022-0000(85)90052-2, ISSN 1090-2724, MR 0805654, Zbl 0573.20022 
• Kantor, William M.; Taylor, Donald E. (1988), "Polynomial-time versions of Sylow's theorem", J. Algorithms, 9 (1): 1–17, doi:10.1016/0196-6774(88)90002-8, ISSN 0196-6774, MR 0925595, Zbl 0642.20019 
• Kantor, William M. (1990), "Finding Sylow normalizers in polynomial time", J. Algorithms, 11 (4): 523–563, doi:10.1016/0196-6774(90)90009-4, ISSN 0196-6774, MR 1079450, Zbl 0731.20005 
• Seress, Ákos (2003), Permutation Group Algorithms, Cambridge Tracts in Mathematics, 152, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-66103-4, MR 1970241, Zbl 1028.20002 

Pranala luar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Sylow theorems", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Abstract Algebra/Group Theory/The Sylow Theorems di Wikibooks
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Sylow p-Subgroup". MathWorld. 
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Sylow Theorems". MathWorld.