www.wikidata.id-id.nina.az

Isomorfisme Halaman ini berisi artikel tentang Matematika Untuk kegunaan lain lihat disambiguasi Dalam matematika isomor

Isomorfisme

Halaman ini berisi artikel tentang Matematika. Untuk kegunaan lain, lihat Isomorfisme (disambiguasi).

Dalam matematika, isomorfisme adalah pemetaan pelestarian struktur antara dua struktur dengan tipe yang sama yang dapat dibalik dengan pemetaan invers. Dua struktur matematika adalah isomorfik jika ada isomorfisme di antara keduanya. Kata isomorfisme berasal dari Yunani Kuno: ἴσος isos "sama", dan μορφή morphe "form" atau "shape".

The group of fifth roots of unity under multiplication is isomorphic to the group of rotations of the regular pentagon under composition.

Ketertarikan pada isomorfisme terletak pada kenyataan bahwa dua objek isomorfik memiliki properti yang sama (tidak termasuk informasi lebih lanjut seperti struktur tambahan atau nama objek). Dengan demikian struktur isomorfik tidak dapat dibedakan dari sudut pandang struktur saja, dan dapat diidentifikasi. Dalam jargon matematika, seseorang mengatakan bahwa dua objek adalah sama hingga sebuah isomorfisme .

Sebuah automorphism adalah isomorfisme dari suatu struktur ke dirinya sendiri. Isomorfisme antara dua struktur disebut isomorfisme kanonik jika hanya ada satu isomorfisme di antara dua struktur (seperti kasus solusi dari sifat universal), atau jika isomorfisme jauh lebih alami (dalam arti tertentu) daripada isomorfisme lainnya. Misalnya, untuk setiap bilangan prima p, semua bidang dengan elemen p kanonis isomorfik, dengan isomorfisme unik. Teorema isomorfisme memberikan isomorfisme kanonik yang tidak unik.

Istilah isomorfisme terutama digunakan untuk struktur aljabar. Dalam hal ini, pemetaan disebut homomorphism, dan homomorphism adalah isomorphism jika dan hanya jika itu bijektif.

Dalam berbagai bidang matematika, isomorfisme telah menerima nama khusus, bergantung pada jenis struktur yang dipertimbangkan. Sebagai contoh:

  • Sebuah isometri adalah isomorfisme dari ruang metrik.
  • A homeomorphism adalah isomorfisme dari ruang topologi.
  • A diffeomorphism adalah isomorfisma ruang yang dilengkapi dengan struktur diferensial, biasanya manifold terdiferensiasi.
  • A permutasi adalah automorfisme dari himpunan.
  • Dalam geometri, isomorfisme dan automorfisme sering disebut transformasi, misalnya transformasi kaku, transformasi affin, transformasi proyektif.

Category theory, yang dapat dilihat sebagai formalisasi konsep pemetaan antar struktur, menyediakan bahasa yang dapat digunakan untuk menyatukan pendekatan pada aspek-aspek berbeda dari ide dasar.

Logaritma dan eksponensial Sunting

Maka jadilah grup perkalian dari bilangan riil positif, dan jika menjadi grup aditif dari bilangan real.

Fungsi logaritma memadai for all , jadi ini adalah homomorfisme kelompok. Fungsi eksponensial satisfies for all , jadi itu merupakan homomorfisme.

Identitas dan menunjukkan bahwa dan adalah inverses satu sama lain. Karena adalah homomorfisme yang memiliki kebalikan yang juga merupakan homomorfisme, adalah grup isomorfisme.

fungsi adalah isomorfisme yang menerjemahkan perkalian bilangan real positif menjadi penjumlahan bilangan real. Fasilitas ini memungkinkan untuk mengalikan bilangan real menggunakan penggaris dan tabel logaritma, atau menggunakan mistar hitung dengan skala logaritma.

Bilangan bulat modulo 6 Sunting

Pertimbangkan grup , bilangan bulat dari 0 sampai 5 dengan penambahan modulo 6. Juga pertimbangkan grup , pasangan terurut di mana koordinat x bisa 0 atau 1, dan koordinat y bisa 0, 1, atau 2, di mana penambahan pada koordinat x - adalah modulo 2 dan penambahan di y - koordinatnya adalah modulo

Struktur-struktur ini adalah isomorfik di bawah skema berikut:

atau secara umum (a,b) ↦ (3a + 4b) mod 6.

Sebagai contoh, (1,1) + (1,0) = (0,1), yang diterjemahkan dalam sistem lain sebagai 1 + 3 = 4.

Meskipun kedua kelompok ini "terlihat" berbeda karena himpunannya mengandung elemen yang berbeda, mereka memang isomorfik: strukturnya persis sama. Secara lebih umum, produk langsung dari dua grup siklik dan isomorfik menjadi jika dan hanya jika m dan n adalah coprime, sesuai Teorema sisa bahasa Tionghoa.

Isomorfisme yang memelihara relasi Sunting

Jika satu objek terdiri dari himpunan X dengan relasi biner R dan objek lainnya terdiri dari himpunan Y dengan relasi biner S maka isomorfisme dari X menjadi ' 'Y' 'adalah fungsi bijektif ƒ: X → Y seperti:

S adalah refleksif, tidak refleksif, simetris, antisimetrik, asimetris, transitif, total, trikotomi, order sebagian, order total, urutan benar, urutan lemah ketat, total praorder (order lemah), an equivalence relation, atau hubungan dengan properti khusus lainnya, jika dan hanya jika R adalah.

Misalnya, R adalah pemesanan ≤ dan S adalah order , maka isomorfisme dari X menjadi Y adalah fungsi bijektif ƒ: X → Y seperti

Isomorfisme semacam itu disebut urutan isomorfisme atau (lebih jarang) isomorfisme isoton .

Jika X = Y, maka ini adalah pelestarian hubungan automorfisme.

Lihat pula Sunting

Catatan Sunting

Referensi Sunting

  1. Vinberg, Ėrnest Borisovich (2003). A Course in Algebra. American Mathematical Society. hlm. 3. ISBN 9780821834138. 

Bacaan lebih lanjut Sunting

Pranala luar Sunting

Lihat informasi mengenai isomorfisme di Wiktionary.
wikipedia, wiki, buku, buku, perpustakaan, artikel, baca, unduh, gratis, unduh gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, gambar, musik, lagu, film, buku, permainan, permainan.
Tanggal penerbitan:
Halaman ini berisi artikel tentang Matematika Untuk kegunaan lain lihat Isomorfisme disambiguasi Dalam matematika isomorfisme adalah pemetaan pelestarian struktur antara dua struktur dengan tipe yang sama yang dapat dibalik dengan pemetaan invers Dua struktur matematika adalah isomorfik jika ada isomorfisme di antara keduanya Kata isomorfisme berasal dari Yunani Kuno ἴsos isos sama dan morfh morphe form atau shape The group of fifth roots of unity under multiplication is isomorphic to the group of rotations of the regular pentagon under composition Ketertarikan pada isomorfisme terletak pada kenyataan bahwa dua objek isomorfik memiliki properti yang sama tidak termasuk informasi lebih lanjut seperti struktur tambahan atau nama objek Dengan demikian struktur isomorfik tidak dapat dibedakan dari sudut pandang struktur saja dan dapat diidentifikasi Dalam jargon matematika seseorang mengatakan bahwa dua objek adalah sama hingga sebuah isomorfisme Sebuah automorphism adalah isomorfisme dari suatu struktur ke dirinya sendiri Isomorfisme antara dua struktur disebut isomorfisme kanonik jika hanya ada satu isomorfisme di antara dua struktur seperti kasus solusi dari sifat universal atau jika isomorfisme jauh lebih alami dalam arti tertentu daripada isomorfisme lainnya Misalnya untuk setiap bilangan prima p semua bidang dengan elemen p kanonis isomorfik dengan isomorfisme unik Teorema isomorfisme memberikan isomorfisme kanonik yang tidak unik Istilah isomorfisme terutama digunakan untuk struktur aljabar Dalam hal ini pemetaan disebut homomorphism dan homomorphism adalah isomorphism jika dan hanya jika itu bijektif Dalam berbagai bidang matematika isomorfisme telah menerima nama khusus bergantung pada jenis struktur yang dipertimbangkan Sebagai contoh Sebuah isometri adalah isomorfisme dari ruang metrik A homeomorphism adalah isomorfisme dari ruang topologi A diffeomorphism adalah isomorfisma ruang yang dilengkapi dengan struktur diferensial biasanya manifold terdiferensiasi A permutasi adalah automorfisme dari himpunan Dalam geometri isomorfisme dan automorfisme sering disebut transformasi misalnya transformasi kaku transformasi affin transformasi proyektif Category theory yang dapat dilihat sebagai formalisasi konsep pemetaan antar struktur menyediakan bahasa yang dapat digunakan untuk menyatukan pendekatan pada aspek aspek berbeda dari ide dasar Daftar isi 1 Logaritma dan eksponensial 2 Bilangan bulat modulo 6 3 Isomorfisme yang memelihara relasi 4 Lihat pula 5 Catatan 6 Referensi 7 Bacaan lebih lanjut 8 Pranala luarLogaritma dan eksponensial SuntingMaka R displaystyle mathbb R nbsp jadilah grup perkalian dari bilangan riil positif dan jika R displaystyle mathbb R nbsp menjadi grup aditif dari bilangan real Fungsi logaritma log R R displaystyle log colon mathbb R to mathbb R nbsp memadai log x y log x log y displaystyle log xy log x log y nbsp for all x y R displaystyle x y in mathbb R nbsp jadi ini adalah homomorfisme kelompok Fungsi eksponensial exp R R displaystyle exp colon mathbb R to mathbb R nbsp satisfies exp x y exp x exp y displaystyle exp x y exp x exp y nbsp for all x y R displaystyle x y in mathbb R nbsp jadi itu merupakan homomorfisme Identitas log exp x x displaystyle log exp x x nbsp dan exp log y y displaystyle exp log y y nbsp menunjukkan bahwa log displaystyle log nbsp dan exp displaystyle exp nbsp adalah inverses satu sama lain Karena log displaystyle log nbsp adalah homomorfisme yang memiliki kebalikan yang juga merupakan homomorfisme log displaystyle log nbsp adalah grup isomorfisme log displaystyle log nbsp fungsi adalah isomorfisme yang menerjemahkan perkalian bilangan real positif menjadi penjumlahan bilangan real Fasilitas ini memungkinkan untuk mengalikan bilangan real menggunakan penggaris dan tabel logaritma atau menggunakan mistar hitung dengan skala logaritma Bilangan bulat modulo 6 SuntingPertimbangkan grup Z 6 displaystyle mathbb Z 6 nbsp bilangan bulat dari 0 sampai 5 dengan penambahan modulo 6 Juga pertimbangkan grup Z 2 Z 3 displaystyle mathbb Z 2 times mathbb Z 3 nbsp pasangan terurut di mana koordinat x bisa 0 atau 1 dan koordinat y bisa 0 1 atau 2 di mana penambahan pada koordinat x adalah modulo 2 dan penambahan di y koordinatnya adalah moduloStruktur struktur ini adalah isomorfik di bawah skema berikut 0 0 0 1 1 1 0 2 2 1 0 3 0 1 4 1 2 5atau secara umum a b 3a 4b mod 6 Sebagai contoh 1 1 1 0 0 1 yang diterjemahkan dalam sistem lain sebagai 1 3 4 Meskipun kedua kelompok ini terlihat berbeda karena himpunannya mengandung elemen yang berbeda mereka memang isomorfik strukturnya persis sama Secara lebih umum produk langsung dari dua grup siklik Z m displaystyle mathbb Z m nbsp dan Z n displaystyle mathbb Z n nbsp isomorfik menjadi Z m n displaystyle mathbb Z mn nbsp jika dan hanya jika m dan n adalah coprime sesuai Teorema sisa bahasa Tionghoa Isomorfisme yang memelihara relasi SuntingJika satu objek terdiri dari himpunan X dengan relasi biner R dan objek lainnya terdiri dari himpunan Y dengan relasi biner S maka isomorfisme dari X menjadi Y adalah fungsi bijektif ƒ X Y seperti 1 S f u f v R u v displaystyle operatorname S f u f v iff operatorname R u v nbsp S adalah refleksif tidak refleksif simetris antisimetrik asimetris transitif total trikotomi order sebagian order total urutan benar urutan lemah ketat total praorder order lemah an equivalence relation atau hubungan dengan properti khusus lainnya jika dan hanya jika R adalah Misalnya R adalah pemesanan dan S adalah order displaystyle scriptstyle sqsubseteq nbsp maka isomorfisme dari X menjadi Y adalah fungsi bijektif ƒ X Y seperti f u f v u v displaystyle f u sqsubseteq f v iff u leq v nbsp Isomorfisme semacam itu disebut urutan isomorfisme atau lebih jarang isomorfisme isoton Jika X Y maka ini adalah pelestarian hubungan automorfisme Lihat pula Sunting nbsp Portal Matematika Bisimulasi Heap matematika Isometri Kelas isomorfisme Teorema Isomorfisme Sifat universal isomorfisme koherenCatatan SuntingReferensi SuntingArtikel ini membutuhkan rujukan tambahan agar kualitasnya dapat dipastikan Mohon bantu kami mengembangkan artikel ini dengan cara menambahkan rujukan ke sumber tepercaya Pernyataan tak bersumber bisa saja dipertentangkan dan dihapus Cari sumber Isomorfisme berita surat kabar buku cendekiawan JSTOR September 2010 Vinberg Ėrnest Borisovich 2003 A Course in Algebra American Mathematical Society hlm 3 ISBN 9780821834138 Bacaan lebih lanjut SuntingMazur Barry 12 June 2007 When is one thing equal to some other thing PDF Pranala luar Sunting nbsp Lihat informasi mengenai isomorfisme di Wiktionary Hazewinkel Michiel ed 2001 1994 Isomorphism Encyclopedia of Mathematics Springer Science Business Media B V Kluwer Academic Publishers ISBN 978 1 55608 010 4 Isomorphism PlanetMath org Inggris Weisstein Eric W Isomorphism MathWorld Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Isomorfisme amp oldid 18563829