Fungsi kontinu

Dalam matematika, fungsi kontinu dalam adalah jenis fungsi yang perubahan secara kontinu (sinambung, tanpa terpotong) pada variabel fungsi mengakibatkan perubahan kontinu pada nilai keluaran fungsi. Hal ini mengartikan nilai fungsi tidak pernah mengalami perubahan yang mendadak/tiba-tiba. Gagasan intuitif kekontinuan mengilustrasikan fungsi kontinu sebagai fungsi yang grafiknya dapat digambar tanpa mengangkat kapur dari papan tulis. Secara lebih teknis, fungsi dikatakan kontinu jika perubahan kecil pada nilai fungsi dapat dipastikan cukup dengan membuat perubahan kecil pada variabelnya. Fungsi yang tidak kontinu dikatakan fungsi takkontinu atau fungsi diskontinu. Sampai pada abad ke-19, matematikawan sangat mengandalkan konsep kekontinuan yang intuitif. Hal ini berubah sejak definisi epsilon-delta dari limit diperkenalkan untuk memformalkan definisi kekontinuan.

Kekontinuan adalah salah satu konsep inti dalam kalkulus dan analisis matematika, yang membahas fungsi dengan keluaran maupun variabelnya dapat berupa bilangan real atau kompleks. Konsep kekontinuan juga diperumum untuk fungsi antar ruang metrik dan antar ruang topologis. Fungsi jenis terakhir adalah fungsi kontinu yang paling umum, dan definisinya menjadi dasar ilmu topologi.

Sebagai contoh, fungsi h(t) yang memerikan tinggi bunga yang sedang tumbuh pada waktu t dapat dianggap fungsi kontinu. Sebaliknya, jika fungsi M(t) melambangkan jumlah uang di sebuah rekening bank pada waktu t, nilai fungsi ini akan "melompat" ketika uang disimpan atau ditarik. Hal ini menyebabkan M(t) adalah fungsi diskontinu.

Sejarah

Suatu bentuk definisi epsilon-delta untuk kekontinuan pertama kali diberikan oleh Bernard Bolzano pada tahun 1817. Augustin-Louis Cauchy mendefinisikan kekontinuan sebagai berikut: perubahan yang tak hingga kecilnya pada nilai dari variabel bebas , akan selalu menghasilkan perubahan yang tak hingga kecilnya pada nilai dari variabel terikat (lihat Cours d'Analyse, hal. 34). Cauchy mendefinisikan besaran yang sangat kecil dalam bentuk besaran variabel, dan definisinya tentang kontinuitas sangat mirip dengan definisi infinitesimal yang digunakan saat ini (lihat mikrokontinuitas).

Definisi formal dan perbedaan antara kekontinuan bagian-demi-bagian (pointwise) dengan kekontinuan seragam pertama kali dinyatakan oleh Bolzano pada tahun 1830-an, tetapi karya tersebut tidak dipublikasikan sampai tahun 1930-an. Sama seperti Bolzano, Karl Weierstrass menolak mengganggap fungsi bersifat kontinu di suatu titik jika nilai fungsi tersebut tidak terdefinisi di dan di kedua sisi titik itu. Tetapi Édouard Goursat memperbolehkan fungsi untuk hanya didefinisikan di dan di salah satu sisinya. Sedangkan Camille Jordan bertindak jauh dengan mengijinkan fungsi bersifat kontinu bahkan jika fungsi hanya terdefinisi di titik . Ketiga definisi yang berbeda tentang kekontinuan bagian-demi-bagian itu masih digunakan saat ini. Terbitan oleh Eduard Heine pada tahun 1872 memberikan definisi pertama mengenai kekontinuan seragam, tetapi gagasan itu didasarkan pada kuliah yang diberikan oleh Peter Gustav Lejeune Dirichlet pada tahun 1854.

Fungsi real

Definisi

Fungsi kontinu pada domainnya (), tetapi tidak kontinu di titik

Sebuah fungsi real, yakni fungsi yang memetakan bilangan real ke bilangan real, dapat dinyatakan oleh sebuah grafik di bidang Kartesius. Dinyatakan secara informal, fungsi tersebut kontinu jika grafik dari fungsi berupa satu kurva utuh dengan domainnya adalah seluruh garis bilangan. Definisi matematis yang lebih tegas (rigor) diberikan pada bagian artikel di bawah. Secara sederhana, kekontinuan fungsi real umumnya didefinisikan dalam bentuk limit. Sebuah fungsi dengan variabel dikatakan kontinu di bilangan real , jika limit dari ketika menuju , akan sama dengan

Terdapat beberapa definisi berbeda mengenai kekontinuan (secara global) dari fungsi, yang bergantung dari bentuk domain fungsi tersebut. Sebuah fungsi dikatakan kontinu pada selang buka jika selang tersebut berada dalam domain fungsi, dan jika fungsi kontinu di setiap titik di selang tersebut. Fungsi yang kontinu pada selang (yakni seluruh garis bilangan) umumnya cukup disebut sebagai fungsi kontinu; sebagian menyebut fungsi tersebut kontinu dimanapun. Sebagai contoh, semua fungsi polinomial kontinu dimanapun. Sebuah fungsi dikatakan kontinu pada selang semi-buka atau pada selang tutup, jika selang tersebut berada dalam domain fungsi, fungsi kontinu di setiap titik dalam (interior) di selang tersebut, dan nilai fungsi pada ujung selang sama dengan nilai limit fungsi ketika variabel fungsi tersebut mendekati ujung selang dari sisi dalam selang. Sebagai contoh, fungsi kontinu pada selang tutup-buka ; karena selang tersebut berada dalam domain fungsi (lebih tepatnya, selang tersebut adalah domain dari fungsi), fungsi kontinu di setiap titik di , dan nilai sama dengan nilai ketika dari arah kanan.

Sebuah fungsi dikatakan takkontinu pada suatu titik, jika titik tersebut berada di ketertutupan (closure) dari domainnya, dan jika titik tersebut bukan bagian domain fungsi atau fungsi tidak kontinu pada titik tersebut. Sebagai contoh, fungsi dan takkontinu di , dan tetap takkontinu bahkan ketika nilai fungsi di titik tersebut didefinisikan. Titik dimana fungsi takkontinu disebut titik ketakkontinuan atau diskontinuitas.

Banyak fungsi yang ditemui umumnya memiliki domain berupa seluruh bilangan real, kecuali untuk beberapa titik pencil. Contoh fungsi jenis ini adalah fungsi dan Ketika dibahas dalam konteks domain mereka, fungsi jenis ini dapat dikatakan kontinu, walaupun tidak kontinu dimanapun. Dalam konteks lain, khususnya perilaku fungsi di sekitar titik-titik istimewa seperti untuk , fungsi jenis ini termasuk fungsi takkontinu.

Menggunakan notasi matematika, ada beberapa cara untuk mendefinisikan fungsi kontinu berdasarkan tiga sudut pandang yang disebutkan di atas. Untuk itu, misalkan

adalah fungsi yang terdefinisi pada suatu subset dari himpunan bilangan real . Subset ini adalah domain dari . Ketiga sudut pandang kekontinuan ada pada bentuk domain:

• , yakni adalah keseluruhan himpunan bilangan real; atau untuk suatu bilangan real dan ,
• : berupa selang tutup, atau
• : berupa selang buka.

Pada kasus domain didefinisikan sebagai suatu selang buka, titik dan tidak berada di , dan nilai dari dan tidak mempengaruhi kekontinuan fungsi pada .

Definisi menggunakan bentuk limit fungsi

Fungsi dikatakan kontinu di titik di domainnya, jika limit dari ketika menuju melalui domain , ada nilainya dan sama dengan Dalam notasi matematika, hal ini ditulis sebagai

Definisi ini berlaku bagi ketiga sudut pandang. Secara teknis, terdapat tiga hal yang perlu dipenuhi agar fungsi bersifat kontinu. Pertama, perlu terdefinisi di (sudah dijamin karena berada di domain ). Kedua, nilai limit pada sisi kiri persamaan di atas harus ada. Ketiga, nilai dari limit ini harus sama dengan Dalam definisi ini, diasumsikan bahwa domain dari tidak memiliki titik-titik pencil.

Definisi menggunakan lingkungan

Sebuah lingkungan dari suatu titik adalah himpunan yang berisi, setidaknya, semua titik yang jaraknya dengan sama besar. Secara intuitif, sebuah fungsi bersifat kontinu di titik jika semua lingkungan (yang merupakan subset dari citra ) dari akan mengecil menjadi sebuah titik , ketika lebar lingkungan dari mengecil ke nol. Menyatakan dengan lebih rinci, sebuah fungsi kontinu di titik di domainnya, jika untuk sembarang lingkungan ada suatu lingkungan di domain fungsi tersebut, sehingga kapanpun

Definisi ini hanya memerlukan domain dan kodomainnya merupakan ruang topologis, menjadikannya definisi yang paling umum. Dari definisi ini disimpulkan fungsi secara otomatis bersifat kontinu di setiap titik pencil fungsi tersebut. Sebagai contoh spesifik, semua fungsi bernilai real dengan domain himpunan bilangan bulat adalah fungsi kontinu.

Definisi menggunakan limit barisan

Barisan yang konvergen ke .

Fungsi kontinu juga dapat didefinisikan dengan mengharuskan semua barisan dari titik-titik di domain fungsi, yang konvergen ke titik , akan menyebabkan barisan konvergen ke Dalam notasi matematika, definisi ini dapat dituliskan sebagai,

Definisi menggunakan epsilon-delta

Ilustrai definisi epsilon-delta: Untuk titik dan , nilai dapat memenuhi kondisi yang diperlukan definisi.

Dengan menyertakan secara eksplisit definisi limit fungsi ke dalam definisi kekontinuan, fungsi kontinu dapat dijelaskan tanpa perlu merujuk ke konsep limit. Dalam definisi ini, misalkan sebuah fungsi yang didefinisikan pada bagian di atas, dan sebuah titik di domain . Fungsi dikatakan kontinu di titik jika kondisi berikut dipenuhi: Untuk setiap bilangan sekecil apapun itu, akan ada suatu bilangan sehingga untuk semua di dengan berlaku

Definisi tersebut dapat ditulis ulang: fungsi kontinu di mengartikan untuk setiap ada sebuah sehingga untuk semua :

Secara intuitif, jika seseorang ingin membuat semua nilai berada di dalam suatu lingkungan kecil di sekitar ia cukup memilih sebuah lingkungan yang cukup kecil bagi nilai di sekitar titik Bila proses ini dapat dilakukan seberapapun kecilnya lingkungan untuk , maka kontinu di

Weierstrass mengharuskan selang seluruhnya berada di dalam domain , namun Jordan menunjukkan syarat ini dapat dihilangkan.

Definisi menggunakan fungsi kontrol

Dalam penulisan bukti dan analisis matematika, terkadang dibutuhkan pemahaman mengenai seberapa cepat limit suatu fungsi akan konvergen. Salah satu cara mengetahuinya adalah dengan mengontrol nilai selisih. Konsep ini dapat diformalkan menjadi sebuah definisi untuk kekontinuan. Sebuah fungsi disebut sebagai fungsi kontrol, jika

• adalah fungsi tak-turun

Sebuah dikatakan kontinu- di , jika untuk setiap di berlaku

Sebuah fungsi dikatakan kontinu di jika fungsi tersebut kontinu- untuk suatu fungsi kontrol . Pendekatan ini memungkinkan untuk memperlengkap konsep kekontinuan dengan menyertakan himpunan fungsi kontrol yang dipenuhi . Untuk sebuah himpunan fungsi kontrol , sebuah fungsi disebut kontinu- jika fungsi tersebut kontinu- untuk suatu . Sebagai contoh, fungsi Lipschitz dan fungsi kontinu Hölder dengan pangkat α dapat didefinisikan dengan menggunakan himpunan fungsi kontrol

Mirip dengan itu,

Membangun fungsi kontinu

Grafik dari sebuah fungsi kubik tidak memiliki "loncatan" maupun "lubang". Fungsi kubik, seperti semua fungsi polinomial lainnya, bersifat kontinu.

Proses mengecek kekontinuan suatu fungsi dapat disederhanakan dengan memeriksa syarat-syarat kekontinuan pada bagian-bagian fungsi. Dapat dibuktikan bahwa penjumlahan dua fungsi yang kontinu pada suatu domain, akan menghasilkan fungsi yang juga kontinu pada domain tersebut. Misalkan hasil penjumlahan fungsi-fungsi kontinu

yang didefinisikan oleh untuk setiap , adalah sebuah fungsi kontinu di Sifat yang serupa juga berlaku untuk hasil perkalian fungsi-fungsi kontinu,

yang didefinisikan oleh untuk setiap , adalah sebuah fungsi kontinu di Dengan mengombinasikan kedua sifat tersebut, dapat dibuktikan bahwa semua fungsi polinomial di bersifat kontinu, sebagai contoh fungsi , dengan menggunakan fakta fungsi konstan dan fungsi identitas bersifat kontinu di .

Grafik dari fungsi pecahan. Fungsi ini tidak terdefinisi untuk Garis vertikal dan horizontal disebut dengan asimtot.

Dengan menggunakan cara yang sama, dapat ditunjukkan bahwa hasil kebalikan dari sebuah fungsi kontinu

yang didefinisikan oleh untuk setiap yang memenuhi , adalah fungsi yang kontinu di Hal ini mengakibatkan fungsi pecahan dari fungsi-fungsi kontinu

yang didefinisikan oleh untuk setiap yang memenuhi , bersifat kontinu kecuali di akar-akar dari . Domain dari adalah . Sebagai contoh, fungsi (lihat gambar)

terdefinisi dan kontinu untuk semua bilangan real , menyebabkan fungsi tersebut kontinu. Diskusi mengenai kekontinuan fungsi di titik tidak muncul, karena bukan anggota domain dari Tidak ada fungsi yang kontinu dan nilainya sama dengan untuk semua .

Grafik fungsi dan .

Contoh lain adalah fungsi yang terdefinisi dan kontinu untuk bilangan real Tetapi, berbeda dengan contoh sebelumnya, fungsi dapat diperluas menjadi sebuah fungsi kontinu pada semua bilangan real. Hal ini dilakukan dengan mendefinisikan nilai sebagai 1, yakni nilai limit dari ketika menuju 0. Dengan kata lain,

Sehingga, dengan membuat

fungsi bersifat kontinu pada semua bilangan real. Istilah ketakkontinuan terhapuskan digunakan untuk menyebut titik takkontinu yang dapat didefinisikan (ulang) agar fungsi bersifat kontinu di titik tersebut.

Konstruksi fungsi kontinu yang lebih rumit melibatkan komposisi fungsi. Misalkan dua fungsi kontinu

fungsi komposisi keduanya, yang dituliskan sebagai dan didefinisikan oleh adalah fungsi kontinu. Konstruksi ini dapat digunakan untuk membuktikan, sebagai contoh fungsi , bersifat kontinu untuk semua

Contoh fungsi takkontinu

Plot dari fungsi tanda (signum). Ilustrasi ini menunjukkan bahwa nilai tidak sama dengan nilai . Alhasil, fungsi tanda takkontinu di 0.

Sebuah contoh dari fungsi takkontinu adalah fungsi tangga Heaviside , yang didefinisikan sebagai

Untuk mengetahui penyebab ketakkontinuan dari fungsi, pilih, sebagai contoh, nilai . Tidak ada lingkungan- sekitar , dalam kata lain tidak ada selang buka dengan yang membuat semua nilai berada di dalam lingkungan- sekitar , yaitu selang . Secara intuitif, titik ini adalah tipe ketakkontinuan berupa "loncatan" pada nilai fungsi.

Mirip dengan contoh sebelumnya, fungsi tanda atau fungsi signum,

takkontinu di namun kontinu dimanapun selain titik itu. Contoh lain lagi adalah fungsi

yang juga kontinu dimanapun selain titik .

Plot titik-titik dari fungsi Thomae pada selang (0,1). Titik tertinggi pada plot ini menunjukkan f(1/2) = 1/2.

Selain sejumlah bentuk kekontinuan dan ketakkontinuan di atas, terdapat fungsi dengan perilaku yang "diluar nalar", sebagai contoh adalah fungsi Thomae

bersifat kontinu di semua bilangan irasional namun takkontinu di semua bilangan rasional. Contoh lain adalah fungsi Dirichlet, yakni fungsi indikator untuk himpunan bilangan rasional,

adalah fungsi takkontinu dimanapun.

Sifat-sifat

Sebuah lemma yang berguna

Misalkan adalah fungsi yang kontinu di suatu titik dan adalah nilai yang memenuhi Maka akan berlaku pada semua titik pada suatu lingkungan dari Hal ini dapat dibuktikan dengan menggunakan definisi dari kekontinuan: dengan memilih , akan ada sehingga

Anggap ada sebuah titik di lingkungan yang memenuhi akan didapati sebuah kontradiksi, karena mengakibatkan

Teorema nilai antara

Teorema nilai antara adalah sebuah teorema keberadaan, yang didasarkan pada sifat kelengkapan (completeness) dari bilangan real. Teorema ini menyatakan:

Jika fungsi bernilai real kontinu pada selang tutup dan adalah suatu bilangan di antara dan maka ada bilangan yang memenuhi

Sebagai ilustrasi teorema ini, misalkan seorang anak yang bertambah tinggi dari 1 m pada usia dua tahun menjadi 1,5 m pada usia enam tahun. Akan ada waktu di antara tahun kedua dan tahun keenam, ketika tinggi anak tersebut sama dengan 1,25 m.

Salah satu akibat teorema ini, jika kontinu pada dan dan berbeda tanda, maka ada titik sehingga bernilai nol. Dengan kata lain, fungsi memiliki akar pada selang

Teorema nilai ekstrem

Teorema nilai ekstrem menyatakan jika sebuah fungsi terdefinisi pada suatu selang tutup (atau sembarang himpunan tertutup dan terbatas) dan kontinu di domain itu, maka fungsi memilliki nilai maksimum. Dengan kata lain, ada nilai dengan untuk setiap Teorema yang sama juga berlaku untuk nilai minimum dari Teorema ini secara umum tidak berlaku untuk fungsi dengan domain (atau sembarang himpunan yang tidak tertutup sekaligus terbatas). Sebagai contoh, fungsi kontinu yang terdefinisi pada interval buka tidak memiliki nilai maksimum, karena nilai fungsi tidak terbatas dari atas.

Hubungan dengan kediferensialan dan keterintegralan

Lihat pula: Kemulusan § Kelas keterdiferensialan, dan Kemulusan § Kemulusan kurva dan permukaan

Dapat ditunjukkan bahwa semua fungsi terdiferensialkan bersifat kontinu. Namun, kebalikannya tidak berlaku: sebagai contoh, fungsi nilai mutlak

yang kontinu dimanapun. Fungsi ini tidak terdiferensialkan di (namun terdiferensialkan di semua titik selain ini). Fungsi Weierstrass adalah contoh dari fungsi yang kontinu dimanapun namun takkontinu dimanapun.

Turunan dari fungsi tidak harus bersifat kontinu. Jika kontinu, fungsi dikatakan terdiferensialkan [secara] kontinu. Himpunan dari fungsi-fungsi jenis ini dinyatakan dengan Secara umum, himpunan fungsi (dengan berupa selang buka) yang dapat diturunkan sebanyak kali dan turunan ke- dari bersifat kontinu, dinotasikan dengan Dalam bidang grafika komputer, sifat-sifat yang berkaitan (namun tidak sama) dengan terkadang disebut (kekontinuan posisi), (kekontinuan garis singgung), dan (kekontinuan kelengkungan/kurvatur).

Setiap fungsi kontinu dapat diintegralkan, sebagai contoh dalam konteks integral Riemann. Kebalikannya tidak berlaku, seperti yang ditunjukkan oleh fungsi tanda; contoh fungsi terintegralkan namun takkontinu.

Fungsi kontinu antar ruang metrik

Konsep fungsi bernilai real kontinu dapat perumum untuk fungsi antar ruang metrik. Ruang metrik adalah sebuah himpunan yang dilengkapi dengan sebuah fungsi (disebut metrik); fungsi ini dapat dianggap sebagai ukuran jarak antara dua elemen di . Secara formal, metrik adalah fungsi

yang memenuhi sejumlah persyaratan, terutama pertidaksamaan segitiga. Untuk sembarang dua ruang metrik dan , sebuah fungsi

dikatakan kontinu (terhadap metrik yang digunakan) di titik , jika untuk sembarang bilangan real positif akan terdapat bilangan real positif , sehingga semua nilai yang memenuhi juga akan memenuhi . Seperti pada kasus fungsi real di bagian sebelumnya, definisi ini setara dengan syarat bahwa untuk setiap barisan dengan nilai limit , haruslah . Syarat ini dapat diperlemah menjadi: fungsi kontinu jika dan hanya jika untuk setiap barisan yang konvergen ke (dan berada di domain), barisan adalah barisan Cauchy.

Himpunan titik dimana sebuah fungsi antar ruang metrik bersifat kontinu disebut dengan himpunan , yang berasal dari definisi kekontinuan menggunakan epsilon-delta.

Salah satu contoh penggunaan konsep kekontinuan ini ada di analisis fungsional. Sebuah definisi yang penting dalam cabang matematika ini menyatakan bahwa: sebuah operator linear

antar ruang vektor bernorma dan (yakni ruang vektor yang dilengkapi suatu norma ) bersifat kontinu jika dan hanya jika operator tersebut terbatas, yakni terdapat konstanta yang menyebabkan

untuk semua

Kekontinuan seragam, Hölder, dan Lipschitz

Untuk fungsi kontinu Lipschitz, terdapat kerucut ganda (ditampilkan dalam warna putih) yang pusat kecurut tersebut dapat bergerak di sepanjang grafik dari fungsi, dan tidak pernah ada bagian dari grafik fungsi yang berada di dalam kerucut.

Konsep kekontinuan fungsi antar ruang metrik pada bagian sebelumnya, dapat diperkuat dengan membatasi bagaimana nilai terikat pada dan titik ; yang dapat dilakukan dalam berbagai cara. Secara informal, fungsi disebut kontinu seragam jika pemilihan nilai tidak tergantung pada titik . Lebih tepatnya, fungsi kontinu seragam perlu memenuhi kondisi berikut: untuk setiap bilangan real akan ada sehingga untuk setiap yang memenuhi , juga akan memenuhi . Jadi, setiap fungsi yang kontinu seragam adalah fungsi kontinu. Kebalikannya tidak berlaku secara umum, tetapi berlaku bila domain berupa ruang kompak. Peta kontinu seragam dapat didefinisikan dalam situasi ruang seragam yang lebih umum.

Sebuah fungsi disebut kontinu Hölder pangkat (berupa bilangan real) jika ada konstanta sehingga untuk semua akan berlaku pertidaksamaan

Semua fungsi kontinu Hölder bersifat kontinu seragam. Kasus khusus disebut sebagai kekontinuan Lipschitz. Artinya, suatu fungsi kontinu Lipschitz jika ada konstanta sedemikian rupa sehingga pertidaksamaan

berlaku untuk sembarang . Kondisi Lipschitz digunakan contohnya dalam teorema Picard – Lindelöf yang membahas tentang solusi persamaan diferensial biasa.

Konsep yang berkaitan

Jika fungsi adalah suatu fungsi kontinu dari suatu subset dari ruang topologis maka perluasan kontinu dari ke adalah sembarang fungsi kontinu dengan untuk setiap kondisi ini sering ditulis sebagai Secara informal, itu adalah sembarang fungsi yang membatasi pada Konsep ini digunakan, sebagai contoh, dalam teorema perluasan Tietze dan teorema Hahn–Banach. Jika tidak kontinu maka tidak mungkin fungsi tersebut memiliki perluasan kontinu. Jika adalah suatu ruang Hausdorff dan adalah himpunan rapat dari maka fungsi perluasan kontinu dari ke jika itu ada, bersifat unik.

Banyak cabang matematika lainnya menggunakan konsep kekontinuan dalam konteks berbeda, namun memiliki makna yang mirip. Sebagai contoh, dalam teori urutan, fungsi kekal-urutan(order-preserving function) antar jenis himpunan terurut parsial tertentu dan , dikatakan kontinu jika untuk setiap himpunan berarah dari , berlaku hubungan Notasi tersebut masing-masing menyatakan supremum terhadap urutan dalam dan . Konsep kekontinuan ini sama kekontinuan topologis ketika himpunan urutan parsial merupakan subset dari topologi Scott.^{[butuh pemastian]}

Dalam teori kategori, sebuah fungtor

antar dua kategori dikatakan kontinu, jika fungsi tersebut komutatif dengan limit yang kecil. Secara matematis,

untuk sembarang diagram yang kecil (yaitu, yang diindeks dengan sebuah himpunan , bukan sebuah kelas) dari objek di .

Sebuah ruang kekontinuan adalah perumuman dari ruang metrik dan poset, dan dapat digunakan untuk menyatukan konsep dari ruang metrik dan domain.

Catatan

Wikimedia Commons memiliki media mengenai Continuity (functions).

1. Bolzano, Bernard (1817), Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetztes Resultat gewaehren, wenigstens eine reele Wurzel der Gleichung liege, Prague: Haase 
2. Dugac, Pierre (1973), "Eléments d'Analyse de Karl Weierstrass", Arsip untuk Sejarah Ilmu Tepat, 10: 41–176, doi:10.1007/bf00343406 
3. Goursat, E. (1904), Sebuah kursus dalam analisis matematika, Boston: Ginn, hlm. 2 
4. Jordan, M.C. (1893), Cours d'analyse de l'École polytechnique, 1 (edisi ke-2nd), Paris: Gauthier-Villars, hlm. 46 
5. Harper, J.F. (2016), "Mendefinisikan kesinambungan fungsi nyata dari variabel nyata", BSHM Bulletin: Journal of the British Society for the History of Mathematics: 1–16, doi:10.1080/17498430.2015.1116053 
6. Rusnock, P.; Kerr-Lawson, A. (2005), "Bolzano dan keseragaman kontinuitas", Historia Mathematica, 32 (3): 303–311, doi:10.1016/j.hm.2004.11.003 
7. Speck, Jared (2014). (PDF). MIT Math. hlm. 3. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2016-10-06. Diakses tanggal 2016-09-02. Example 5. The function is continuous on and on i.e., for and for in other words, at every point in its domain. However, it is not a continuous function since its domain is not an interval. It has a single point of discontinuity, namely and it has an infinite discontinuity there.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
8. "Discontinuity". Glosarium - Pusat Bahasa Departemen Pendidikan Nasional Republik Indonesia. dari versi asli tanggal 2023-06-13. Diakses tanggal 2022-03-12. 
9. Lang, Serge (1997), Undergraduate analysis, Undergraduate Texts in Mathematics (edisi ke-2nd), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94841-6 , section II.4
10. Asumsi ini dapat dihilangkan dengan melihat jenis titik pencil. Definisi kekontinuan dapat diterapkan pada titik pencil berupa titik limit. Sedangkan pada titik pencil c yang bukan titik limit, nilai limit f(x) ketika x menuju c secara otomatis akan sama dengan f(c).
11. "Removeable discontinuity". Glosarium - Pusat Bahasa Departemen Pendidikan Republik Indonesia. dari versi asli tanggal 2023-06-13. Diakses tanggal 2022-03-14. 
12. Brown, James Ward (2009), Complex Variables and Applications (edisi ke-8th), McGraw Hill, hlm. 54, ISBN 978-0-07-305194-9 
13. Gaal, Steven A. (2009), Topologi himpunan titik, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-47222-5 , section IV.10
14. Searcóid, Mícheál Ó (2006), Ruang metrik, Springer undergraduate mathematics series, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-1-84628-369-7, dari versi asli tanggal 2023-07-26, diakses tanggal 2020-09-04 , bagian 9.4
15. Goubault-Larrecq, Jean (2013). Non-Hausdorff Topology and Domain Theory: Selected Topics in Point-Set Topology. Cambridge University Press. ISBN 978-1107034136. 
16. Gierz, G.; Hofmann, K. H.; Keimel, K.; Lawson, J. D.; Mislove, M. W.; Scott, D. S. (2003). Continuous Lattices and Domains. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. 93. Cambridge University Press. ISBN 0521803381. 
17. Flagg, R. C. (1997). "Quantales and continuity spaces". Algebra Universalis. 37 (3): 257–276. CiteSeerX 10.1.1.48.851 . doi:10.1007/s000120050018.  Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
18. Kopperman, R. (1988). "All topologies come from generalized metrics". American Mathematical Monthly. 95 (2): 89–97. doi:10.2307/2323060. JSTOR 2323060. 
19. Flagg, B.; Kopperman, R. (1997). "Continuity spaces: Reconciling domains and metric spaces". Theoretical Computer Science. 177 (1): 111–138. doi:10.1016/S0304-3975(97)00236-3 . 

Referensi

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Fungsi kontinu", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4