www.wikidata.id-id.nina.az

Kurva Dalam matematika kurva adalah objek yang mirip dengan garis yang tidak harus lurus Dalam beberapa teks kuno kurva

Kurva

Dalam matematika, kurva adalah objek yang mirip dengan garis yang tidak harus lurus. Dalam beberapa teks kuno, kurva juga disebut garis lengkung.

Kurva parabola merupakan salah satu kurva yang paling sederhana.

Secara intuitif, kurva dapat dipandang sebagai jejak yang ditinggalkan oleh titik bergerak. Pandangan tersebut merupakan definisi yang muncul lebih dari 2000 tahun yang lalu dalam karya Euklides, Elements: "Garis [melengkung] adalah [...] spesies kuantitas pertama yang hanya memiliki satu dimensi, yaitu panjang, tanpa adanya lebar atau kedalaman. Garis ini tidak lain merupakan aliran atau lintasan titik yang [...] akan ditinggalkan dari khayalannya yang kemudian memindahkan bekas-bekasnya di panjang, tetapi lebar dikecualikan."

Definisi kurva ini telah diformalkan dalam matematika modern, yang berbunyi bahwa suatu kurva merupakan bayangan fungsi dari suatu interval ke ruang topologi yang didasari pada fungsi kontinu. Dalam beberapa konteks, fungsi yang mendefinisikan kurva disebut parametrisasi (parametrization), dan kurva itu adalah kurva parametrik. Dalam artikel ini, kurva ini kadang-kadang disebut kurva topologi; istilah tersebut dipakai untuk membedakan kurva yang lebih terbatas, seperti kurva terdiferensialkan (differentiable curve). Definisi ini mencakup sebagian besar kurva yang dipelajari dalam matematika, kecuali kurva level (yang merupakan gabungan dari kurva dan titik yang terisolasi), dan kurva aljabar. Kurva level dan kurva aljabar kadang-kadang disebut kurva implisit, karena kedua kurva tersebut biasanya didefinisikan oleh persamaan implisit.

Walaupun demikian, kelas kurva topologi sangatlah luas. Kelas tersebut memiliki beberapa kurva yang tidak tampak seperti kurva, atau bahkan tidak dapat digambarkan. Kasus tersebut dapat ditemukan seperti kurva pengisi ruang (space-filing curve) dan kurva fraktal. Supaya memastikannya, fungsi yang mendefinisikan suatu kurva sering kali dianggap terdiferensialkan, dan kurva tersebut kemudian dikatakan kurva terdiferensialkan.

Sejarah Sunting

Seni megalitik dari Newgrange menunjukkan minat awal pada kurva

Ketertarikan pada kurva dimulai jauh sebelum menjadikannya sebagai kajian matematika. Hal tersebut dapat ditunjukkan dalam banyak contoh kegunaan dekoratifnya dalam seni, serta pada benda sehari-hari yang dibuat sejak zaman prasejarah. Kurva, atau setidaknya representasi grafisnya, sangat mudah digambarkan, misalnya dengan menggunakan tongkat di pasir pantai.

Menurut sejarah, istilah garis digunakan sebagai pengganti istilah kurva yang lebih modern. Oleh karena itu, istilah garis lurus dan garis siku-siku digunakan untuk membedakan istilah yang saat ini dikenal dengan sebutan garis dari garis lengkung. Sebagai contoh, definisi kedua dalam karya Euklides, Elements mengatakan bahwa suatu garis didefinisikan sebagai "panjang tanpa mempunyai lebar". Sementara itu, definisi keempat dalam karya yang sama mengatakan bahwa garis lurus didefinisikan sebagai "garis yang terletak secara merata dengan titik-titik pada dirinya sendiri". Gagasan Euklides tentang garis kemungkinan dijelaskan lebih lanjut dalam pernyataan definisi ketiga, "ekstremitas dari suatu garis adalah titik."

Kurva topologi Sunting

Suatu kurva topologi dapat dinyatakan dengan suatu fungsi kontinu yang memetakan dari interval I dari bilangan real ke ruang topologi X. Kurva merupakan bayangan dari . Akan tetapi, tersendiri dalam beberapa konteks merupakan suatu kurva, terlebih ketika bayangan tidak tampak terlihat seperti kurva dan tidak sepenuhnya menggambarkan Sebagai contoh, bayangan dari kurva Peano, atau lebih umumnya kurva pengisi ruang (space-filling curve) yang mengisi sebuah persegi sepenuhnya, tetapi tidak memberikan penjelasan bagaimana didefinisikan.

Suatu kurva tertutup atau loop apabila dan . Dengan demikian, suatu kurva tertutup merupakan bayangan dari suatu pemetaan kontinu lingkaran. Jika daerah asal dari kurva topologi adalah tertutup dan interval adalah terbatas, kurva dapat dikatakan suatu lintasan (path) atau disebut juga busur (arc).

Suatu kurva tertutup sederhana di bidang disebut kurva Jordan. Kurva Jordan juga didefinisikan sebagai loop kontinu yang tidak saling berpotongan di bidang. Teorema kurva Jordan mengatakan bahwa komplemen di suatu bidang kurva Jordan terdiri dari dua buah ruang komponen terhubung, dalam artian kurva tersebut membagi bidang menjadi dua daerah yang tidak saling berpotongan dan saling terhubung.

Kurva terdiferensialkan Sunting

Dalam bahasa kasarnya, kurva terdiferensialkan (differentiable curve) adalah kurva yang didefinisikan sebagai bayangan fungsi yang terdiferensialkan secara lokal yang dipetakan dari suatu interval dari bilangan real ke manifold terdiferensialkan X. Ini sering kali dinyatakan

Panjang kurva Sunting

Jika adalah ruang Euklides berdimensi-, dan jika adalah fungsi injektif dan terdiferensialkan secara kontinu, maka panjang dari didefinisikan sebagai

Panjang kurva tidak bergantung pada parameterisasi . Secara khusus, panjang dari grafik fungsi yang terdiferensialkan secara kontinu yang didefinisikan pada interval tertutup dirumuskan sebagai

Lebih umum, jika adalah ruang metrik dengan metrik , maka panjang kurva dapat didefinisikan dengan

Pada definisi di atas, supremum mengambil alih semua suatu bilangan asli dan semua partisi dari .

Kurva berpanjang (rectifiable curve) adalah kurva dengan panjangnya yang terbatas. Kurva disebut natural (atau satuan kecepatan parametrisasi berdasarkan panjang busur) jika ada dan di sehingga . Oleh karena itu, dipunyailah

Jika adalah fungsi kontinu Lipschitz, maka fungsi tersebut secara langsung rectifiable (berkepanjangan). Selain itu, kecepatan (atau turunan metrik) dari pada dapat ditentukan sebagai

dan kemudian diperlihatkan bahwa

Geometri diferensial Sunting

Contoh kurva pertama yang dijumpai sebagian besar merupakan kurva bidang (atau dalam sebutan umumnya, garis lengkung dalam ruang dua dimensi). Walaupun demikian, terdapat kurva dalam tiga dimensi, dan contoh kurva tersebut adalah heliks. Keperluan geometri dan juga contohnya mekanika klasik, harus memiliki gagasan tentang kurva dalam ruang dari sejumlah dimensi. Dalam relativitas umum, garis dunia adalah kurva dalam ruang waktu.

Jika adalah manifold terdiferensialkan, maka dapat didefinisikan gagasan kurva terdiferensialkan dalam . Gagasan umum ini cukup untuk mencakup banyak penerapannya dalam matematika. Berdasarkan sudut pandang lokal, seseorang dapat memandang sebagai ruang Euklides. Di sisi lain, seseorang dapat memungkinkan untuk mendefinisikan vektor garis singgung ke dengan melalui pengertian kurva tersebut.

Terdapat gagasan dasar yang mengatakan bahwa jika adalah manifold mulus, kurva mulus di adalah pemetaan mulus

Ada pula gagasan yang mengatakan bahwa jika adalah manifold (sebagai contoh, manifold yang chartnya terdiferensialkan secara kontinu sebanyak kali), maka suatu kurva dalam adalah kurva yang hanya diasumsikan menjadi (dalam artian, terdiferensialkan secara kontinu sebanyak kali). Jika adalah manifold analitik (yaitu, terdiferensiaslkan tak terhingga dan chart dapat dinyatakan sebagai deret kuasa) dan adalah peta analitik, maka dikatakan sebagai kurva analitik (analytic curve).

Suatu kurva terdiferensialkan dikatakan beraturan (regular) jika turunannya tidak pernah hilang; dengan kata lain, suatu kurva beraturan tidak pernah melambat untuk berhenti atau mundur dengan sendirinya. Terdapat dua kurva terdiferensialkan , yaitu dan dikatakan ekuivalen jika terdapat pemetaan bijektif sehingga pemetaan invers juga , dan untuk semua . Pemetaan disebut reparametrisasi (reparametrization) dari , sehingga demikian himpunan semua kurva terdiferensiasi dalam dikatakan relasi ekuivalensi. Suatu busur adalah kelas ekuivalensi dari kurva di bawah relasi reparametrisasi.

Catatan Sunting

  1. Garis dalam penggunaan matematika saat ini berupa lurus. Sebelumnya, garis dapat berupa melengkung atau lurus.

Referensi Sunting

  1. Dalam bahasa Prancis (yang agak tua) French: "La ligne est la première espece de quantité, laquelle a tant seulement une dimension à sçavoir longitude, sans aucune latitude ni profondité, & n'est autre chose que le flux ou coulement du poinct, lequel […] laissera de son mouvement imaginaire quelque vestige en long, exempt de toute latitude." Halaman 7 dan 8 dari Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide Megarien, traduits de Grec en François, & augmentez de plusieurs figures & demonstrations, avec la corrections des erreurs commises és autres traductions, oleh Pierre Mardele, Lyon, MDCXLV (1645).
  2. Lockwood p. ix
  3. Sulovský, Marek (2012). Depth, Crossings and Conflicts in Discrete Geometry (dalam bahasa Inggris). Logos Verlag Berlin GmbH. hlm. 7. ISBN 9783832531195. 

Pranala luar Sunting

Wikimedia Commons memiliki media mengenai Kurva.
wikipedia, wiki, buku, buku, perpustakaan, artikel, baca, unduh, gratis, unduh gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, gambar, musik, lagu, film, buku, permainan, permainan.
Tanggal penerbitan:
Dalam matematika kurva adalah objek yang mirip dengan garis yang tidak harus lurus Dalam beberapa teks kuno kurva juga disebut garis lengkung Kurva parabola merupakan salah satu kurva yang paling sederhana Secara intuitif kurva dapat dipandang sebagai jejak yang ditinggalkan oleh titik bergerak Pandangan tersebut merupakan definisi yang muncul lebih dari 2000 tahun yang lalu dalam karya Euklides Elements Garis melengkung a adalah spesies kuantitas pertama yang hanya memiliki satu dimensi yaitu panjang tanpa adanya lebar atau kedalaman Garis ini tidak lain merupakan aliran atau lintasan titik yang akan ditinggalkan dari khayalannya yang kemudian memindahkan bekas bekasnya di panjang tetapi lebar dikecualikan 1 Definisi kurva ini telah diformalkan dalam matematika modern yang berbunyi bahwa suatu kurva merupakan bayangan fungsi dari suatu interval ke ruang topologi yang didasari pada fungsi kontinu Dalam beberapa konteks fungsi yang mendefinisikan kurva disebut parametrisasi parametrization dan kurva itu adalah kurva parametrik Dalam artikel ini kurva ini kadang kadang disebut kurva topologi istilah tersebut dipakai untuk membedakan kurva yang lebih terbatas seperti kurva terdiferensialkan differentiable curve Definisi ini mencakup sebagian besar kurva yang dipelajari dalam matematika kecuali kurva level yang merupakan gabungan dari kurva dan titik yang terisolasi dan kurva aljabar Kurva level dan kurva aljabar kadang kadang disebut kurva implisit karena kedua kurva tersebut biasanya didefinisikan oleh persamaan implisit Walaupun demikian kelas kurva topologi sangatlah luas Kelas tersebut memiliki beberapa kurva yang tidak tampak seperti kurva atau bahkan tidak dapat digambarkan Kasus tersebut dapat ditemukan seperti kurva pengisi ruang space filing curve dan kurva fraktal Supaya memastikannya fungsi yang mendefinisikan suatu kurva sering kali dianggap terdiferensialkan dan kurva tersebut kemudian dikatakan kurva terdiferensialkan Daftar isi 1 Sejarah 2 Kurva topologi 3 Kurva terdiferensialkan 3 1 Panjang kurva 3 2 Geometri diferensial 4 Catatan 5 Referensi 6 Pranala luarSejarah Sunting nbsp Seni megalitik dari Newgrange menunjukkan minat awal pada kurvaKetertarikan pada kurva dimulai jauh sebelum menjadikannya sebagai kajian matematika Hal tersebut dapat ditunjukkan dalam banyak contoh kegunaan dekoratifnya dalam seni serta pada benda sehari hari yang dibuat sejak zaman prasejarah 2 Kurva atau setidaknya representasi grafisnya sangat mudah digambarkan misalnya dengan menggunakan tongkat di pasir pantai Menurut sejarah istilah garis digunakan sebagai pengganti istilah kurva yang lebih modern Oleh karena itu istilah garis lurus dan garis siku siku digunakan untuk membedakan istilah yang saat ini dikenal dengan sebutan garis dari garis lengkung Sebagai contoh definisi kedua dalam karya Euklides Elements mengatakan bahwa suatu garis didefinisikan sebagai panjang tanpa mempunyai lebar Sementara itu definisi keempat dalam karya yang sama mengatakan bahwa garis lurus didefinisikan sebagai garis yang terletak secara merata dengan titik titik pada dirinya sendiri Gagasan Euklides tentang garis kemungkinan dijelaskan lebih lanjut dalam pernyataan definisi ketiga ekstremitas dari suatu garis adalah titik Kurva topologi SuntingSuatu kurva topologi dapat dinyatakan dengan suatu fungsi kontinu g I X displaystyle gamma colon I rightarrow X nbsp yang memetakan dari interval I dari bilangan real ke ruang topologi X Kurva merupakan bayangan dari g displaystyle gamma nbsp Akan tetapi g displaystyle gamma nbsp tersendiri dalam beberapa konteks merupakan suatu kurva terlebih ketika bayangan tidak tampak terlihat seperti kurva dan tidak sepenuhnya menggambarkan g displaystyle gamma nbsp Sebagai contoh bayangan dari kurva Peano atau lebih umumnya kurva pengisi ruang space filling curve yang mengisi sebuah persegi sepenuhnya tetapi tidak memberikan penjelasan bagaimana g displaystyle gamma nbsp didefinisikan Suatu kurva g displaystyle gamma nbsp tertutup atau loop apabila I a b displaystyle I a b nbsp dan g a g b displaystyle gamma a gamma b nbsp Dengan demikian suatu kurva tertutup merupakan bayangan dari suatu pemetaan kontinu lingkaran Jika daerah asal dari kurva topologi adalah tertutup dan interval I a b displaystyle I a b nbsp adalah terbatas kurva dapat dikatakan suatu lintasan path atau disebut juga busur arc Suatu kurva tertutup sederhana di bidang disebut kurva Jordan Kurva Jordan juga didefinisikan sebagai loop kontinu yang tidak saling berpotongan di bidang 3 Teorema kurva Jordan mengatakan bahwa komplemen di suatu bidang kurva Jordan terdiri dari dua buah ruang komponen terhubung dalam artian kurva tersebut membagi bidang menjadi dua daerah yang tidak saling berpotongan dan saling terhubung Kurva terdiferensialkan SuntingDalam bahasa kasarnya kurva terdiferensialkan differentiable curve adalah kurva yang didefinisikan sebagai bayangan fungsi yang terdiferensialkan secara lokal g I X displaystyle gamma colon I rightarrow X nbsp yang dipetakan dari suatu interval I displaystyle I nbsp dari bilangan real ke manifold terdiferensialkan X Ini sering kali dinyatakan R n displaystyle mathbb R n nbsp Panjang kurva Sunting Jika X R n displaystyle X mathbb R n nbsp adalah ruang Euklides berdimensi n displaystyle n nbsp dan jika g a b R n displaystyle gamma a b to mathbb R n nbsp adalah fungsi injektif dan terdiferensialkan secara kontinu maka panjang dari g displaystyle gamma nbsp didefinisikan sebagaipanjang g df a b g t d t displaystyle operatorname panjang gamma stackrel text df int a b gamma t dt nbsp Panjang kurva tidak bergantung pada parameterisasi g displaystyle gamma nbsp Secara khusus panjang s displaystyle s nbsp dari grafik fungsi yang terdiferensialkan secara kontinu y f x displaystyle y f x nbsp yang didefinisikan pada interval tertutup a b displaystyle a b nbsp dirumuskan sebagais a b 1 f x 2 d x displaystyle s int a b sqrt 1 f x 2 dx nbsp Lebih umum jika X displaystyle X nbsp adalah ruang metrik dengan metrik d displaystyle d nbsp maka panjang kurva g a b X displaystyle gamma a b to X nbsp dapat didefinisikan denganpanjang g df sup i 1 n d g t i g t i 1 n N dan a t 0 lt t 1 lt lt t n b displaystyle operatorname panjang gamma stackrel text df sup left left sum i 1 n d gamma t i gamma t i 1 Bigg n in mathbb N text dan a t 0 lt t 1 lt ldots lt t n b right right nbsp Pada definisi di atas supremum mengambil alih semua n displaystyle n nbsp suatu bilangan asli dan semua partisi t 0 lt t 1 lt lt t n displaystyle t 0 lt t 1 lt ldots lt t n nbsp dari a b displaystyle a b nbsp Kurva berpanjang rectifiable curve adalah kurva dengan panjangnya yang terbatas Kurva g a b X displaystyle gamma a b to X nbsp disebut natural atau satuan kecepatan parametrisasi berdasarkan panjang busur jika ada t 1 displaystyle t 1 nbsp dan t 2 displaystyle t 2 nbsp di a b displaystyle a b nbsp sehingga t 1 t 2 displaystyle t 1 leq t 2 nbsp Oleh karena itu dipunyailahpanjang g t 1 t 2 t 2 t 1 displaystyle operatorname panjang left gamma t 1 t 2 right t 2 t 1 nbsp Jika g a b X displaystyle gamma a b to X nbsp adalah fungsi kontinu Lipschitz maka fungsi tersebut secara langsung rectifiable berkepanjangan Selain itu kecepatan atau turunan metrik dari g displaystyle gamma nbsp pada t a b displaystyle t in a b nbsp dapat ditentukan sebagaikecepatan g t df lim sup a b s t d g s g t s t displaystyle operatorname kecepatan gamma t stackrel text df limsup a b ni s to t frac d gamma s gamma t s t nbsp dan kemudian diperlihatkan bahwapanjang g a b kecepatan g t d t displaystyle operatorname panjang gamma int a b operatorname kecepatan gamma t dt nbsp Geometri diferensial Sunting Contoh kurva pertama yang dijumpai sebagian besar merupakan kurva bidang atau dalam sebutan umumnya garis lengkung dalam ruang dua dimensi Walaupun demikian terdapat kurva dalam tiga dimensi dan contoh kurva tersebut adalah heliks Keperluan geometri dan juga contohnya mekanika klasik harus memiliki gagasan tentang kurva dalam ruang dari sejumlah dimensi Dalam relativitas umum garis dunia adalah kurva dalam ruang waktu Jika X displaystyle X nbsp adalah manifold terdiferensialkan maka dapat didefinisikan gagasan kurva terdiferensialkan dalam X displaystyle X nbsp Gagasan umum ini cukup untuk mencakup banyak penerapannya dalam matematika Berdasarkan sudut pandang lokal seseorang dapat memandang X displaystyle X nbsp sebagai ruang Euklides Di sisi lain seseorang dapat memungkinkan untuk mendefinisikan vektor garis singgung ke X displaystyle X nbsp dengan melalui pengertian kurva tersebut Terdapat gagasan dasar yang mengatakan bahwa jika X displaystyle X nbsp adalah manifold mulus kurva mulus di X displaystyle X nbsp adalah pemetaan mulusg I X displaystyle gamma colon I rightarrow X nbsp Ada pula gagasan yang mengatakan bahwa jika X displaystyle X nbsp adalah C k displaystyle C k nbsp manifold sebagai contoh manifold yang chartnya terdiferensialkan secara kontinu sebanyak k displaystyle k nbsp kali maka suatu C k displaystyle C k nbsp kurva dalam X displaystyle X nbsp adalah kurva yang hanya diasumsikan menjadi C k displaystyle C k nbsp dalam artian terdiferensialkan secara kontinu sebanyak k displaystyle k nbsp kali Jika X displaystyle X nbsp adalah manifold analitik yaitu terdiferensiaslkan tak terhingga dan chart dapat dinyatakan sebagai deret kuasa dan g displaystyle gamma nbsp adalah peta analitik maka g displaystyle gamma nbsp dikatakan sebagai kurva analitik analytic curve Suatu kurva terdiferensialkan dikatakan beraturan regular jika turunannya tidak pernah hilang dengan kata lain suatu kurva beraturan tidak pernah melambat untuk berhenti atau mundur dengan sendirinya Terdapat dua C k displaystyle C k nbsp kurva terdiferensialkan yaitu g 1 I X displaystyle gamma 1 colon I rightarrow X nbsp dan g 2 J X displaystyle gamma 2 colon J rightarrow X nbsp dikatakan ekuivalen jika terdapat C k displaystyle C k nbsp pemetaan bijektif p J I displaystyle p colon J rightarrow I nbsp sehingga pemetaan invers p 1 I J displaystyle p 1 colon I rightarrow J nbsp juga C k displaystyle C k nbsp dan g 2 t g 1 p t displaystyle gamma 2 t gamma 1 p t nbsp untuk semua t displaystyle t nbsp Pemetaan g 2 displaystyle gamma 2 nbsp disebut reparametrisasi reparametrization dari g 1 displaystyle gamma 1 nbsp sehingga demikian himpunan semua C k displaystyle C k nbsp kurva terdiferensiasi dalam X displaystyle X nbsp dikatakan relasi ekuivalensi Suatu busur C k displaystyle C k nbsp adalah kelas ekuivalensi dari C k displaystyle C k nbsp kurva di bawah relasi reparametrisasi Catatan Sunting Garis dalam penggunaan matematika saat ini berupa lurus Sebelumnya garis dapat berupa melengkung atau lurus Referensi Sunting Dalam bahasa Prancis yang agak tua French La ligne est la premiere espece de quantite laquelle a tant seulement une dimension a scavoir longitude sans aucune latitude ni profondite amp n est autre chose que le flux ou coulement du poinct lequel laissera de son mouvement imaginaire quelque vestige en long exempt de toute latitude Halaman 7 dan 8 dari Les quinze livres des elements geometriques d Euclide Megarien traduits de Grec en Francois amp augmentez de plusieurs figures amp demonstrations avec la corrections des erreurs commises es autres traductions oleh Pierre Mardele Lyon MDCXLV 1645 Lockwood p ix Sulovsky Marek 2012 Depth Crossings and Conflicts in Discrete Geometry dalam bahasa Inggris Logos Verlag Berlin GmbH hlm 7 ISBN 9783832531195 Pranala luar Sunting nbsp Wikimedia Commons memiliki media mengenai Kurva Famous Curves Index Sekolah Matematika dan Statistik Universitas St Andrews Skotlandia Mathematical curves Kumpulan 874 kurva matematika dua dimensi Galeri Kurva Luar Angkasa yang Dibuat dari Lingkaran termasuk animasi oleh Peter Moses Galeri Kurva Uskup dan Kurva Bulat Lainnya termasuk animasi oleh Peter Moses Artikel Ensiklopedia Matematika dalam garis Halaman Manifold Atlas pada 1 manifold Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Kurva amp oldid 24103617