www.wikidata.id-id.nina.az

Barisan Dalam matematika barisan 1 atau banjar 2 atau bahkan secara istilah terkelirukan dengan deret secara sederhana d

Barisan

Dalam matematika, barisan (atau banjar, atau bahkan secara istilah terkelirukan dengan deret) secara sederhana dapat dibayangkan sebagai suatu daftar benda (seperti bilangan, fungsi, peubah acak, dsb) yang diatur dalam suatu urutan tertentu. Tiap-tiap benda dalam barisan diberi nomor urut atau indeks untuk menunjukkan tempatnya benda tersebut dalam barisan itu. Benda dengan indeks i disebut suku ke-i. Banyak suku dalam barisan (mungkin tak terhingga) disebut panjang barisan.

Bilangan segitiga membentuk barisan

Berbeda dengan himpunan, urutan suku dalam barisan sangat penting. Seperti barisan huruf (S, E, U, L G, I) adalah berbeda dengan barisan huruf (G, E ,U, L, I, S) walau himpunan nilai keduanya sama-sama {E, G, I, L, S, U}. Unsur yang tepat sama dapat muncul berulang kali pada tempat berbeda dalam suatu barisan. Seperti dalam barisan bilangan Fibonacci, angka 1 muncul pada suku pertama dan kedua.

Secara lebih tepat, suatu barisan dapat dipandang sebagai suatu fungsi dengan daerah asalnya adalah bilangan asli.

Kebanyakan suku-suku barisan dibariskan menurut pola tertentu, yang dapat dirumuskan seperti barisan aritmatika dan barisan geometri, atau yang dibentuk dengan aturan tertentu seperti barisan Fibonacci dan barisan bilangan prima. Namun secara umum barisan tidak perlu mengikut pola tertentu.

Penulisan barisan

Barisan secara sederhana dapat dibayangkan sebagai daftar benda-benda yang berbaris. Masing-masing anggota barisan disebut suku dan masing-masing suku lazim ditulis dengan lambang , yaitu dengan huruf kecil dengan tikabawah sebagai melambangkan nomor urut suku tersebut. Secara lebih persis, barisan adalah aturan yang mengaitkan bilangan asli ke anggota suatu himpunan, yakni dikaitkan dengan , dikaitkan dengan , dan seterusnya. Dengan pengertian fungsi, dapat dipahami bahwa barisan adalah fungsi dari himpunan bilangan asli untuk sebarang himpunan dengan nilai . Barisan itu sendiri biasa dituliskan dengan lambang atau atau atau .

Penentuan barisan

Barisan dapat ditentukan dengan beberapa cara. Yaitu dengan:

  • mendaftar seluruh sukunya apabila mungkin apalagi untuk barisan hingga atau mendaftarkan beberapa suku-suku awalnya,
  • menyuratkan rumus suku umumnya,
  • relasi perulangan
  • menerangkannya dengan kalimat.

Mendaftarkan suku-sukunya

Sepuluh rumus barisan dengan suku awal dengan suku keempat yang berbeda diperoleh dengan interpolasi sukubanyak Lagrange.

Bila suatu barisan itu hingga dan sedikit bilangan sukunya, maka baik juga untuk mendaftarkan seluruh anggotanya. Sebagai contoh, barisan aritmatika dengan suku awalnya 3, bedanya 7, dan banyak sukunya lima, dapat ditulis sebagai . Kalau barisan itu hingga namun bilangan sukunya lumayan banyak, pendaftaran lansung dapat dilakukan dengan menuliskan beberapa suku awalnya, tanda titik tiga, dan beberapa suku akhirnya, seperti . Jika barisan itu tak hingga, biasanya ditulis beberapa suku kemudian diikuti tanda titik tiga, contohnya seperti barisan yang merupakan barisan bilangan genap.

Kelemahan cara ini adalah pola yang dimaksudkan mesti diduga oleh pembaca. Dugaan paling lazim untuk barisan adalah barisan bilangan asli . Padahal boleh jadi yang dimaksud adalah barisan . Contoh lain pula, misal diketahui beberapa suku awal barisan yaitu Antara dugaan yang mungkin adalah . Namun boleh jadi juga barisan sebenar yang dimaksudkan adalah barisan digit-digit pi, yaitu . Menemukan pola untuk beberapa suku awal yang diketahui adalah satu di antara kegiatan menarik dalam mempelajari barisan.

Menyuratkan rumus suku umumnya

Antara jalan keluar permasalahan pola barisan adalah dengan menentukan barisan dengan rumus suku umum barisan tersebut. Seperti suku

  • barisan balikan kuadrat bilangan asli dirumuskan sebagai ,
  • barisan Barisan tanda dirumuskan sebagai .
  • barisan aritmatika dengan suku awal dan beda dua suku berurutan dirumuskan sebagai ,
  • barisan geometri dengan suku awal dan perbandingan dua suku berurutan dirumuskan sebagai .

Relasi perulangan

Spiral rasio emas, yang dibentuk dengan pengubinan dengan persegi-persegi yang membentuk barisan Fibonacci (1,1,2,3,5,8,13,21,..)

Beberapa barisan juga dapat didefinisikan secara rekursif. Yakni, suatu suku pada barisan itu ditentukan oleh suku-suku sebelumnya. Beberapa contoh barisan yang biasa dinyatakan dengan relasi perulangan adalah barisan Fibonacci dengan syarat awal dan Juga barisan Recamán yang didefinisikan dengan

Barisan aritmatika dan barisan geometri pula dapat dirumuskan secara rekursif, yaitu . untuk barisan aritmatika, dan untuk barisan geometri.

Penerapan barisan

Barisan dengan pola tersurat dapat menjadi jalan untuk mempelajari pengertian fungsi, ruang, dan struktur matematika lainnya khususnya dengan sifat-sifat kekonvergenan barisan tak hingga. Sifat-sifat barisan tak hingga yang konvergen menuju suat nilai menjadi pengantar bagi teori limit, yang menjadi landasan bagi berbagai bidang kajian analisis matematis, seperti pengertian limit fungsi, pengertian turunan, dan pengertian integral Riemman.

Barisan sendiri banyak muncul dalam penyelesaian masalah pencacahan.

Sifat barisan

Kemonotonan barisan

Suatu barisan dikatakan:

  • monoton naik apabila untuk sebarang bilangan bulat berlaku ,
  • monoton naik sejati apabila untuk sebarang bilangan bulat berlaku ,
  • monoton turun apabila untuk sebarang bilangan bulat berlaku ,
  • monoton turun sejati apabila untuk sebarang bilangan bulat berlaku ,

Barisan terbatas

Suatu barisan dikatakan terbatas di atas jika ada nilai sedemikian sehingga untuk semua suku barisan itu berlaku . Suatu barisan dikatakan terbatas di bawah jika ada nilai sedemikian sehingga untuk semua suku barisan itu berlaku . Suatu barisan dikatakan terbatas jika barisan itu terbatas di atas dan terbatas di bawah.

Kekonvergenan barisan

Artikel utama: Limit barisan

Secara sederhana, apabila himpunan daerah hasil suatu barisan telah dilengkapi suatu fungsi jarak, barisan dikatakan konvergen menuju jika suku-suku barisan itu semakin kecil jaraknya dengan ketika indeksnya semakin besar. Barisan dikatakan divergen apabila berlaku sebaliknya. Barisan yang suku-sukunya saling mendekati satu sama lain ketika bilangan indeksnya makin besar disebut barisan Cauchy. Menentukan kekonvergenan barisan adalah satu di antara kegiatan menarik dalam mentelaah barisan.

Lihat juga

Jenis

  • Barisan Farey
  • Look-and-say sequence
  • Thue–Morse sequence

Konsep terkait

Operasi

  • Cauchy product
  • Limit suatu barisan

Referensi

  1. Kerami, Djari; Sitanggang, Cormentya (2003). Kamus Matematika. Jakarta: Balai Pustaka. 
  2. Panggabean, A.B (2014). Kalkulus Tingkat Lanjut. Yogyakarta: Graha Ilmu. ISBN 978-602-262-264-2. 
  3. Spiegel, Murray R. (1986). Teori dan soal-soal matematika dasar. Diterjemahkan oleh Drs. Kasir Iskandar, M.Sc. Jakarta: Erlangga. OCLC 975000500. 
  4. Kulpers, L.; Meulenbeld, R.; Rawuh (1973). Permulaan Hitung Diferensial dan Integral IA. Jakarta: Pradnya Paramita. 
  5. Afidah Khairunnisa (2018). Matematika Dasar. Depok: Rajawali Pers. ISBN 978-979-769-764-8. 
  6. ^ Julan Hernadi (2015). Analisis Real Elementer: dengan Ilustrasi Grafis dan Numerik. Jakarta: Erlangga. ISBN 978-602-298-591-4. 
  7. Endang Cahya; Makbul Muksar (2011). Analisis Real. Tanggerang Selatan: Universitas Terbuka. ISBN 978-979-011-674-0. 
  8. Hendra Gunawan (2016). Pengantar Analisis Real. Bandung: Penerbit ITB. ISBN 978-602-7861-58-9. 

Pranala luar

wikipedia, wiki, buku, buku, perpustakaan, artikel, baca, unduh, gratis, unduh gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, gambar, musik, lagu, film, buku, permainan, permainan.
Tanggal penerbitan:
Dalam matematika barisan 1 atau banjar 2 atau bahkan secara istilah terkelirukan dengan deret secara sederhana dapat dibayangkan sebagai suatu daftar benda seperti bilangan fungsi peubah acak dsb yang diatur dalam suatu urutan tertentu 3 Tiap tiap benda dalam barisan diberi nomor urut atau indeks untuk menunjukkan tempatnya benda tersebut dalam barisan itu 4 Benda dengan indeks i disebut suku ke i Banyak suku dalam barisan mungkin tak terhingga disebut panjang barisan Bilangan segitiga membentuk barisan n n 1 2 1 3 6 10 15 21 textstyle left frac n n 1 2 right 1 3 6 10 15 21 Berbeda dengan himpunan urutan suku dalam barisan sangat penting Seperti barisan huruf S E U L G I adalah berbeda dengan barisan huruf G E U L I S walau himpunan nilai keduanya sama sama E G I L S U Unsur yang tepat sama dapat muncul berulang kali pada tempat berbeda dalam suatu barisan Seperti dalam barisan bilangan Fibonacci angka 1 muncul pada suku pertama dan kedua Secara lebih tepat suatu barisan dapat dipandang sebagai suatu fungsi dengan daerah asalnya adalah bilangan asli 5 Kebanyakan suku suku barisan dibariskan menurut pola tertentu yang dapat dirumuskan seperti barisan aritmatika dan barisan geometri atau yang dibentuk dengan aturan tertentu seperti barisan Fibonacci dan barisan bilangan prima Namun secara umum barisan tidak perlu mengikut pola tertentu Daftar isi 1 Penulisan barisan 2 Penentuan barisan 2 1 Mendaftarkan suku sukunya 2 2 Menyuratkan rumus suku umumnya 2 3 Relasi perulangan 3 Penerapan barisan 4 Sifat barisan 4 1 Kemonotonan barisan 4 2 Barisan terbatas 4 3 Kekonvergenan barisan 5 Lihat juga 5 1 Jenis 5 2 Konsep terkait 5 3 Operasi 6 Referensi 7 Pranala luarPenulisan barisan SuntingBarisan secara sederhana dapat dibayangkan sebagai daftar benda benda yang berbaris Masing masing anggota barisan disebut suku dan masing masing suku lazim ditulis dengan lambang u n displaystyle u n yaitu dengan huruf kecil dengan tikabawah sebagai melambangkan nomor urut suku tersebut Secara lebih persis barisan adalah aturan yang mengaitkan bilangan asli ke anggota suatu himpunan yakni 1 displaystyle 1 dikaitkan dengan u 1 displaystyle u 1 2 displaystyle 2 dikaitkan dengan u 2 displaystyle u 2 dan seterusnya Dengan pengertian fungsi dapat dipahami bahwa barisan adalah fungsi dari himpunan bilangan asli U N K displaystyle U mathbb N to K untuk sebarang himpunan K displaystyle K dengan nilai U n u n displaystyle U n u n 6 Barisan itu sendiri biasa dituliskan dengan lambang U displaystyle U atau u n displaystyle u n atau u n n N textstyle u n mid n in mathbb N 7 atau u n displaystyle langle u n rangle 8 Penentuan barisan SuntingBarisan dapat ditentukan dengan beberapa cara Yaitu dengan mendaftar seluruh sukunya apabila mungkin apalagi untuk barisan hingga atau mendaftarkan beberapa suku suku awalnya menyuratkan rumus suku umumnya relasi perulangan menerangkannya dengan kalimat Mendaftarkan suku sukunya Sunting Sepuluh rumus barisan dengan suku awal 1 2 3 displaystyle 1 2 3 dengan suku keempat yang berbeda diperoleh dengan interpolasi sukubanyak Lagrange Bila suatu barisan itu hingga dan sedikit bilangan sukunya maka baik juga untuk mendaftarkan seluruh anggotanya Sebagai contoh barisan aritmatika dengan suku awalnya 3 bedanya 7 dan banyak sukunya lima dapat ditulis sebagai 3 10 17 24 31 textstyle 3 10 17 24 31 Kalau barisan itu hingga namun bilangan sukunya lumayan banyak pendaftaran lansung dapat dilakukan dengan menuliskan beberapa suku awalnya tanda titik tiga dan beberapa suku akhirnya seperti u 1 u 2 u 3 u n displaystyle u 1 u 2 u 3 u n Jika barisan itu tak hingga biasanya ditulis beberapa suku kemudian diikuti tanda titik tiga contohnya seperti barisan 2 4 6 8 displaystyle 2 4 6 8 yang merupakan barisan bilangan genap Kelemahan cara ini adalah pola yang dimaksudkan mesti diduga oleh pembaca Dugaan paling lazim untuk barisan 1 2 3 displaystyle 1 2 3 adalah barisan bilangan asli 1 2 3 4 5 6 7 displaystyle 1 2 3 4 5 6 7 Padahal boleh jadi yang dimaksud adalah barisan 1 2 3 1 7 24 53 displaystyle 1 2 3 1 7 24 53 Contoh lain pula misal diketahui beberapa suku awal barisan yaitu 3 1 4 1 5 textstyle 3 1 4 1 5 Antara dugaan yang mungkin adalah 3 1 4 1 5 1 6 7 textstyle 3 1 4 1 5 1 6 7 Namun boleh jadi juga barisan sebenar yang dimaksudkan adalah barisan digit digit pi yaitu 3 1 4 1 5 9 2 6 5 textstyle 3 1 4 1 5 9 2 6 5 Menemukan pola untuk beberapa suku awal yang diketahui adalah satu di antara kegiatan menarik dalam mempelajari barisan Menyuratkan rumus suku umumnya Sunting Antara jalan keluar permasalahan pola barisan adalah dengan menentukan barisan dengan rumus suku umum barisan tersebut Seperti suku barisan balikan kuadrat bilangan asli dirumuskan sebagai a n 1 n 2 textstyle a n frac 1 n 2 barisan Barisan tanda dirumuskan sebagai a n 1 n displaystyle a n 1 n barisan aritmatika dengan suku awal a displaystyle a dan beda dua suku berurutan b displaystyle b dirumuskan sebagai a n a n 1 b displaystyle a n a n 1 b barisan geometri dengan suku awal a displaystyle a dan perbandingan dua suku berurutan r displaystyle r dirumuskan sebagai a n a r n 1 displaystyle a n ar n 1 Relasi perulangan Sunting Spiral rasio emas yang dibentuk dengan pengubinan dengan persegi persegi yang membentuk barisan Fibonacci 1 1 2 3 5 8 13 21 Beberapa barisan juga dapat didefinisikan secara rekursif Yakni suatu suku pada barisan itu ditentukan oleh suku suku sebelumnya Beberapa contoh barisan yang biasa dinyatakan dengan relasi perulangan adalah barisan Fibonacci a n a n 1 a n 2 displaystyle a n a n 1 a n 2 dengan syarat awal a 0 0 displaystyle a 0 0 dan a 1 1 displaystyle a 1 1 Juga barisan Recaman yang didefinisikan dengan a n a n 1 n jika nilai yang didapat itu positif dan belum ada di dalam barisan a n a n 1 n selainnya displaystyle begin cases a n a n 1 n quad text jika nilai yang didapat itu positif dan belum ada di dalam barisan a n a n 1 n quad text selainnya end cases Barisan aritmatika dan barisan geometri pula dapat dirumuskan secara rekursif yaitu a n a n 1 b a 1 a displaystyle a n a n 1 b a 1 a untuk barisan aritmatika dan a n r a n 1 a 1 a displaystyle a n ra n 1 a 1 a untuk barisan geometri Penerapan barisan SuntingBarisan dengan pola tersurat dapat menjadi jalan untuk mempelajari pengertian fungsi 6 ruang dan struktur matematika lainnya khususnya dengan sifat sifat kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan tak hingga yang konvergen menuju suat nilai menjadi pengantar bagi teori limit yang menjadi landasan bagi berbagai bidang kajian analisis matematis seperti pengertian limit fungsi pengertian turunan dan pengertian integral Riemman Barisan sendiri banyak muncul dalam penyelesaian masalah pencacahan Sifat barisan SuntingKemonotonan barisan Sunting Suatu barisan dikatakan monoton naik apabila untuk sebarang bilangan bulat n displaystyle n berlaku a n a n 1 displaystyle a n leq a n 1 monoton naik sejati apabila untuk sebarang bilangan bulat n displaystyle n berlaku a n lt a n 1 displaystyle a n lt a n 1 monoton turun apabila untuk sebarang bilangan bulat n displaystyle n berlaku a n a n 1 displaystyle a n geq a n 1 monoton turun sejati apabila untuk sebarang bilangan bulat n displaystyle n berlaku a n gt a n 1 displaystyle a n gt a n 1 Barisan terbatas Sunting Suatu barisan dikatakan terbatas di atas jika ada nilai A displaystyle A sedemikian sehingga untuk semua suku barisan itu berlaku u n lt A displaystyle u n lt A Suatu barisan dikatakan terbatas di bawah jika ada nilai B displaystyle B sedemikian sehingga untuk semua suku barisan itu berlaku u n lt B displaystyle u n lt B Suatu barisan dikatakan terbatas jika barisan itu terbatas di atas dan terbatas di bawah Kekonvergenan barisan Sunting Artikel utama Limit barisan Secara sederhana apabila himpunan daerah hasil suatu barisan telah dilengkapi suatu fungsi jarak barisan u n displaystyle u n dikatakan konvergen menuju u displaystyle u jika suku suku barisan itu semakin kecil jaraknya dengan u displaystyle u ketika indeksnya semakin besar Barisan dikatakan divergen apabila berlaku sebaliknya Barisan yang suku sukunya saling mendekati satu sama lain ketika bilangan indeksnya makin besar disebut barisan Cauchy Menentukan kekonvergenan barisan adalah satu di antara kegiatan menarik dalam mentelaah barisan Lihat juga SuntingNet topologi perumuman barisan dengan mengambil himpunan berarah sebagai daerah asalnya On Line Encyclopedia of Integer Sequences Permutasi Kombinasi Relasi perulangan Sequence space Deret matematika Himpunan matematika Jenis Sunting Barisan Farey Look and say sequence Thue Morse sequenceKonsep terkait Sunting List computing Ordinal indexed sequence Recursion computer science Rangkap Teori himpunanOperasi Sunting Cauchy product Limit suatu barisanReferensi Sunting Kerami Djari Sitanggang Cormentya 2003 Kamus Matematika Jakarta Balai Pustaka Parameter url status yang tidak diketahui akan diabaikan bantuan Panggabean A B 2014 Kalkulus Tingkat Lanjut Yogyakarta Graha Ilmu ISBN 978 602 262 264 2 Parameter url status yang tidak diketahui akan diabaikan bantuan Spiegel Murray R 1986 Teori dan soal soal matematika dasar Diterjemahkan oleh Drs Kasir Iskandar M Sc Jakarta Erlangga OCLC 975000500 Parameter url status yang tidak diketahui akan diabaikan bantuan Kulpers L Meulenbeld R Rawuh 1973 Permulaan Hitung Diferensial dan Integral IA Jakarta Pradnya Paramita Parameter url status yang tidak diketahui akan diabaikan bantuan Afidah Khairunnisa 2018 Matematika Dasar Depok Rajawali Pers ISBN 978 979 769 764 8 Parameter url status yang tidak diketahui akan diabaikan bantuan a b Julan Hernadi 2015 Analisis Real Elementer dengan Ilustrasi Grafis dan Numerik Jakarta Erlangga ISBN 978 602 298 591 4 Parameter url status yang tidak diketahui akan diabaikan bantuan Endang Cahya Makbul Muksar 2011 Analisis Real Tanggerang Selatan Universitas Terbuka ISBN 978 979 011 674 0 Parameter url status yang tidak diketahui akan diabaikan bantuan Hendra Gunawan 2016 Pengantar Analisis Real Bandung Penerbit ITB ISBN 978 602 7861 58 9 Parameter url status yang tidak diketahui akan diabaikan bantuan Pranala luar Sunting Definisi kamus barisan di Wiktionary Hazewinkel Michiel ed 2001 1994 Sequence Encyclopedia of Mathematics Springer Science Business Media B V Kluwer Academic Publishers ISBN 978 1 55608 010 4 The On Line Encyclopedia of Integer Sequences Journal of Integer Sequences free Inggris sequence ID barisan di PlanetMath org Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Barisan amp oldid 23541632