www.wikidata.id-id.nina.az

Kombinasi Istilah kombinasi dalam matematika kombinatorik berarti himpunan objek yang tidak mementingkan urutan berbeda

Kombinasi

Istilah kombinasi dalam matematika kombinatorik berarti himpunan objek yang tidak mementingkan urutan. Kombinasi berbeda dengan permutasi yang mementingkan urutan objek. Perkataan kombinasi memiliki sebutan lainnya yaitu gabungan, padu-padan atau kepadupadanan

Definisi Sunting

Kombinasi C dari sebuah himpunan S adalah himpunan bagian dari S.

Sebagai contoh, misalkan terdapat suatu kumpulan buah: apel, jeruk, mangga, pisang. Maka {apel, jeruk} dan {jeruk, mangga, pisang} adalah merupakan kombinasi dari kumpulan tersebut. Seluruh himpunan bagian yang mungkin dibentuk dari kumpulan buah tersebut adalah:

  • tidak ada buah apa pun
  • satu buah:
    • apel
    • jeruk
    • mangga
    • pisang
  • dua buah:
    • apel, jeruk
    • apel, mangga
    • apel, pisang
    • jeruk, mangga
    • jeruk, pisang
    • mangga, pisang
  • tiga buah:
    • apel, jeruk, mangga
    • apel, jeruk, pisang
    • apel, mangga, pisang
    • jeruk, mangga, pisang
  • empat buah:
    • apel, jeruk, mangga, pisang

Kombinasi r dari sebuah himpunan S, berarti dari himpunan S diambil elemen sebanyak r untuk dijadikan sebuah himpunan baru. Dalam hal kumpulan buah di atas, himpunan {apel, jeruk, pisang} adalah sebuah kombinasi 3 dari S, sedangkan {jeruk, pisang} adalah sebuah kombinasi 2 dari S.

Banyaknya kombinasi r dari sebuah himpunan berisi n elemen dapat dihitung tanpa harus memperhatikan isi dari himpunan tersebut. Besarnya dinyatakan dengan fungsi:

Fungsi dalam banyak literatur dinyatakan juga dengan notasi .

Sebagai contoh, tanpa harus mengetahui elemen himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang}, banyaknya kombinasi 3 dari himpunan tersebut dapat dihitung:

Sifat rekursif dari Kombinasi Sunting

Kombinasi dapat dibentuk dari dua kombinasi sebelumnya. Ini mengakibatkan banyaknya kombinasi juga bersifat rekursif:

Hubungan dengan Permutasi Sunting

Dari himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang} dapat diambil permutasi 3 unsur, yang dapat didaftar sebagai berikut:

apel jeruk mangga apel mangga jeruk jeruk apel mangga jeruk mangga apel mangga apel jeruk mangga jeruk apel
apel jeruk pisang apel pisang jeruk jeruk apel pisang jeruk pisang apel pisang apel jeruk pisang jeruk apel
apel mangga pisang apel pisang mangga mangga apel pisang mangga pisang apel pisang apel mangga pisang mangga apel
jeruk mangga pisang jeruk pisang mangga mangga jeruk pisang mangga pisang jeruk pisang jeruk mangga pisang mangga jeruk

Perhatikan bahwa dalam susunan ini setiap kolom merupakan permutasi dari kolom pertama. Karena dalam kombinasi urutan tidak dipentingkan, maka cukup salah satu kolom saja yang diambil. Jika kita mengambil kolom pertama saja, maka kita mendapatkan kombinasi 3 dari keempat buah tersebut adalah:

  • apel, jeruk, mangga
  • apel, jeruk, pisang
  • apel, mangga, pisang
  • jeruk, mangga, pisang

Penyusunan tabel seperti di atas akan menghasilkan atau 24 permutasi, dengan kolom, karena untuk setiap baris terdapat permutasi dari kolom pertama. Dengan demikian, jumlah baris dari tabel akan sebesar:

Aturan seperti ini dapat digeneralisasikan sehingga untuk setiap n unsur yang dikombinasikan r unsur, berlaku:

Yang dapat dengan mudah dibuktikan:

Hubungan dengan Permutasi Berunsur Identik Sunting

Kombinasi juga berhubungan dengan permutasi dengan unsur identik. Kombinasi dari sebuah himpunan S dapat dimengerti sebagai pemilihan unsur-unsur himpunan S. Unsur yang terpilih kita tandai dengan 1, dan yang tidak terpilih kita tandai dengan 0. Dengan demikian dari himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang} tersebut, kita dapat mendaftarkan kombinasi-3 nya seperti ini:

Dengan demikian, banyaknya kombinasi 3 unsur dari himpunan S yang berisi 4 benda setara dengan banyaknya permutasi terhadap untai 1110, yaitu:

Karena untai 1110 memiliki 4 unsur, tetapi ada 3 unsur identik, yaitu 1. Maka total permutasinya adalah 4! dibagi dengan 3!. Kombinasi r dari n unsur, sesuai dengan pengertian itu, selalu setara dengan permutasi yang terdiri dari r angka 1 dan n - r angka 0. Maka permutasinya menjadi:

Yang sesuai dengan rumus kita di awal, untuk menghitung .

Koefisien Binomial Sunting

Artikel utama: Teorema Binomial

Suatu binomial yang dijabarkan dalam bentuk jumlahan, akan membangkitkan koefisien-koefisien yang merupakan bilangan kombinasi.

Dengan penjabaran seperti di atas, maka banyaknya kombinasi r dari n unsur bisa didapat dari setiap suku:

Daftar berikut menunjukkan beberapa penjabaran binomial:

Segitiga Pascal Sunting

Dengan menuliskan hanya koefisiennya saja, dari penjabaran binomial dapat kita peroleh:

Jika diteruskan, daftar koefisien ini akan membentuk susunan yang disebut sebagai Segitiga Pascal. 

 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1

Contoh penggunaan kombinasi Sunting

  • Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola merah, 4 bola biru dan 3 bola hitam. Tiga bola diambil sekaligus dari dalam kotak secara acak. Ada berapa carakah bola yang terambil:
    • bebas
    • sama
    • berbeda
    • dua diantaranya sama

Lihat pula Sunting

Bacaan lebih lanjut Sunting

  • Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 2A Untuk Kelas XI Semester 1 Program IPA. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-502-5.  (Indonesia)
  • Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 2A Untuk Kelas XI Semester 1 Program IPS. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-563-7.  (Indonesia)
wikipedia, wiki, buku, buku, perpustakaan, artikel, baca, unduh, gratis, unduh gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, gambar, musik, lagu, film, buku, permainan, permainan.
Tanggal penerbitan:
Istilah kombinasi dalam matematika kombinatorik berarti himpunan objek yang tidak mementingkan urutan Kombinasi berbeda dengan permutasi yang mementingkan urutan objek Perkataan kombinasi memiliki sebutan lainnya yaitu gabungan padu padan atau kepadupadanan Daftar isi 1 Definisi 2 Sifat rekursif dari Kombinasi 3 Hubungan dengan Permutasi 3 1 Hubungan dengan Permutasi Berunsur Identik 4 Koefisien Binomial 5 Segitiga Pascal 6 Contoh penggunaan kombinasi 7 Lihat pula 8 Bacaan lebih lanjutDefinisi SuntingKombinasi C dari sebuah himpunan S adalah himpunan bagian dari S C S displaystyle C subseteq S nbsp Sebagai contoh misalkan terdapat suatu kumpulan buah apel jeruk mangga pisang Maka apel jeruk dan jeruk mangga pisang adalah merupakan kombinasi dari kumpulan tersebut Seluruh himpunan bagian yang mungkin dibentuk dari kumpulan buah tersebut adalah tidak ada buah apa pun satu buah apel jeruk mangga pisang dua buah apel jeruk apel mangga apel pisang jeruk mangga jeruk pisang mangga pisang tiga buah apel jeruk mangga apel jeruk pisang apel mangga pisang jeruk mangga pisang empat buah apel jeruk mangga pisangKombinasi r dari sebuah himpunan S berarti dari himpunan S diambil elemen sebanyak r untuk dijadikan sebuah himpunan baru Dalam hal kumpulan buah di atas himpunan apel jeruk pisang adalah sebuah kombinasi 3 dari S sedangkan jeruk pisang adalah sebuah kombinasi 2 dari S Banyaknya kombinasi r dari sebuah himpunan berisi n elemen dapat dihitung tanpa harus memperhatikan isi dari himpunan tersebut Besarnya dinyatakan dengan fungsi C r n n r n r displaystyle C r n frac n r n r nbsp Fungsi C r n displaystyle C r n nbsp dalam banyak literatur dinyatakan juga dengan notasi n r displaystyle n choose r nbsp Sebagai contoh tanpa harus mengetahui elemen himpunan apel jeruk mangga pisang banyaknya kombinasi 3 dari himpunan tersebut dapat dihitung C 3 4 4 3 4 3 4 displaystyle C 3 4 frac 4 3 4 3 4 nbsp Sifat rekursif dari Kombinasi SuntingKombinasi dapat dibentuk dari dua kombinasi sebelumnya Ini mengakibatkan banyaknya kombinasi juga bersifat rekursif C r n C r 1 n 1 C r n 1 displaystyle C r n C r 1 n 1 C r n 1 nbsp Hubungan dengan Permutasi SuntingDari himpunan apel jeruk mangga pisang dapat diambil permutasi 3 unsur yang dapat didaftar sebagai berikut apel jeruk mangga apel mangga jeruk jeruk apel mangga jeruk mangga apel mangga apel jeruk mangga jeruk apelapel jeruk pisang apel pisang jeruk jeruk apel pisang jeruk pisang apel pisang apel jeruk pisang jeruk apelapel mangga pisang apel pisang mangga mangga apel pisang mangga pisang apel pisang apel mangga pisang mangga apeljeruk mangga pisang jeruk pisang mangga mangga jeruk pisang mangga pisang jeruk pisang jeruk mangga pisang mangga jerukPerhatikan bahwa dalam susunan ini setiap kolom merupakan permutasi dari kolom pertama Karena dalam kombinasi urutan tidak dipentingkan maka cukup salah satu kolom saja yang diambil Jika kita mengambil kolom pertama saja maka kita mendapatkan kombinasi 3 dari keempat buah tersebut adalah apel jeruk mangga apel jeruk pisang apel mangga pisang jeruk mangga pisangPenyusunan tabel seperti di atas akan menghasilkan P 3 4 displaystyle P 3 4 nbsp atau 24 permutasi dengan 3 displaystyle 3 nbsp kolom karena untuk setiap baris terdapat 3 displaystyle 3 nbsp permutasi dari kolom pertama Dengan demikian jumlah baris dari tabel akan sebesar P 3 4 3 displaystyle frac P 3 4 3 nbsp Aturan seperti ini dapat digeneralisasikan sehingga untuk setiap n unsur yang dikombinasikan r unsur berlaku C r n P r n r displaystyle C r n frac P r n r nbsp Yang dapat dengan mudah dibuktikan C r n P r n r displaystyle C r n frac P r n r nbsp n n r r displaystyle frac frac n n r r nbsp n r n r displaystyle frac n r n r nbsp dd Hubungan dengan Permutasi Berunsur Identik Sunting Kombinasi juga berhubungan dengan permutasi dengan unsur identik Kombinasi dari sebuah himpunan S dapat dimengerti sebagai pemilihan unsur unsur himpunan S Unsur yang terpilih kita tandai dengan 1 dan yang tidak terpilih kita tandai dengan 0 Dengan demikian dari himpunan apel jeruk mangga pisang tersebut kita dapat mendaftarkan kombinasi 3 nya seperti ini Kombinasi apel jeruk mangga pisangapel jeruk mangga 1 1 1 0apel jeruk pisang 1 1 0 1apel mangga pisang 1 0 1 1jeruk mangga pisang 0 1 1 1Dengan demikian banyaknya kombinasi 3 unsur dari himpunan S yang berisi 4 benda setara dengan banyaknya permutasi terhadap untai 1110 yaitu 4 3 4 displaystyle frac 4 3 4 nbsp Karena untai 1110 memiliki 4 unsur tetapi ada 3 unsur identik yaitu 1 Maka total permutasinya adalah 4 dibagi dengan 3 Kombinasi r dari n unsur sesuai dengan pengertian itu selalu setara dengan permutasi yang terdiri dari r angka 1 dan n r angka 0 Maka permutasinya menjadi n r n r displaystyle frac n r n r nbsp Yang sesuai dengan rumus kita di awal untuk menghitung C r n displaystyle C r n nbsp Koefisien Binomial SuntingArtikel utama Teorema Binomial Suatu binomial a b n displaystyle a b n nbsp yang dijabarkan dalam bentuk jumlahan akan membangkitkan koefisien koefisien yang merupakan bilangan kombinasi a b n k 0 n n k a n k b k displaystyle a b n sum k 0 n n choose k a n k b k nbsp Dengan penjabaran seperti di atas maka banyaknya kombinasi r dari n unsur bisa didapat dari setiap suku n r koefisien a r b n r displaystyle n choose r mbox koefisien a r b n r nbsp Daftar berikut menunjukkan beberapa penjabaran binomial a b 0 1 a 0 b 0 displaystyle a b 0 1a 0 b 0 nbsp a b 1 1 a 1 b 0 1 a 0 b 1 displaystyle a b 1 1a 1 b 0 1a 0 b 1 nbsp a b 2 1 a 2 b 0 2 a 1 b 1 1 a 0 b 2 displaystyle a b 2 1a 2 b 0 2a 1 b 1 1a 0 b 2 nbsp a b 3 1 a 3 b 0 3 a 2 b 1 3 a 1 b 2 1 a 0 b 3 displaystyle a b 3 1a 3 b 0 3a 2 b 1 3a 1 b 2 1a 0 b 3 nbsp a b 4 1 a 4 b 0 4 a 3 b 1 6 a 2 b 2 4 a 1 b 3 1 a 0 b 4 displaystyle a b 4 1a 4 b 0 4a 3 b 1 6a 2 b 2 4a 1 b 3 1a 0 b 4 nbsp a b 5 1 a 5 b 0 5 a 4 b 1 10 a 3 b 2 10 a 2 b 3 5 a 1 b 4 1 a 0 b 5 displaystyle a b 5 1a 5 b 0 5a 4 b 1 10a 3 b 2 10a 2 b 3 5a 1 b 4 1a 0 b 5 nbsp a b 6 1 a 6 b 0 6 a 5 b 1 15 a 4 b 2 20 a 3 b 3 15 a 2 b 4 6 a 1 b 5 1 a 0 b 6 displaystyle a b 6 1a 6 b 0 6a 5 b 1 15a 4 b 2 20a 3 b 3 15a 2 b 4 6a 1 b 5 1a 0 b 6 nbsp Segitiga Pascal SuntingDengan menuliskan hanya koefisiennya saja dari penjabaran binomial dapat kita peroleh a b 0 1 a 0 b 0 1 displaystyle a b 0 1a 0 b 0 rightarrow 1 nbsp a b 1 1 a 1 b 0 1 a 0 b 1 1 1 displaystyle a b 1 1a 1 b 0 1a 0 b 1 rightarrow 1 1 nbsp a b 2 1 a 2 b 0 2 a 1 b 1 1 a 0 b 2 1 2 1 displaystyle a b 2 1a 2 b 0 2a 1 b 1 1a 0 b 2 rightarrow 1 2 1 nbsp a b 3 1 a 3 b 0 3 a 2 b 1 3 a 1 b 2 1 a 0 b 3 1 3 3 1 displaystyle a b 3 1a 3 b 0 3a 2 b 1 3a 1 b 2 1a 0 b 3 rightarrow 1 3 3 1 nbsp Jika diteruskan daftar koefisien ini akan membentuk susunan yang disebut sebagai Segitiga Pascal 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1Contoh penggunaan kombinasi SuntingDalam sebuah kotak terdapat 5 bola merah 4 bola biru dan 3 bola hitam Tiga bola diambil sekaligus dari dalam kotak secara acak Ada berapa carakah bola yang terambil bebasC 3 12 12 3 12 3 12 3 9 12 11 10 9 3 2 1 9 220 displaystyle C 3 12 frac 12 3 12 3 frac 12 3 9 frac 12 cdot 11 cdot 10 cdot 9 3 cdot 2 cdot 1 cdot 9 220 nbsp carasamaC 3 5 C 3 4 C 3 3 5 3 5 3 4 3 4 3 3 3 3 3 5 3 2 4 3 1 3 3 0 5 4 3 2 1 3 4 3 1 3 3 1 3 10 4 1 15 displaystyle C 3 5 C 3 4 C 3 3 frac 5 3 5 3 frac 4 3 4 3 frac 3 3 3 3 frac 5 3 2 frac 4 3 1 frac 3 3 0 frac 5 cdot 4 cdot 3 2 cdot 1 cdot 3 frac 4 cdot 3 1 cdot 3 frac 3 1 cdot 3 10 4 1 15 nbsp caraberbedaC 1 5 C 1 4 C 1 3 5 1 5 1 4 1 4 1 3 1 3 1 5 1 4 4 1 3 3 1 2 5 4 1 4 4 3 1 3 3 2 1 2 5 4 3 60 displaystyle C 1 5 cdot C 1 4 cdot C 1 3 frac 5 1 5 1 cdot frac 4 1 4 1 cdot frac 3 1 3 1 frac 5 1 4 cdot frac 4 1 3 cdot frac 3 1 2 frac 5 cdot 4 1 cdot 4 cdot frac 4 cdot 3 1 cdot 3 cdot frac 3 cdot 2 1 cdot 2 5 cdot 4 cdot 3 60 nbsp caradua diantaranya samaC 2 5 C 1 4 C 2 5 C 1 3 C 2 4 C 1 5 C 2 4 C 1 3 C 2 3 C 1 5 C 2 3 C 1 4 5 2 5 2 4 1 4 1 5 2 5 2 3 1 3 1 4 2 4 2 5 1 5 1 4 2 4 2 3 1 3 1 3 2 3 2 5 1 5 1 3 2 3 2 4 1 4 1 5 2 3 4 1 3 5 2 3 3 1 2 4 2 2 5 1 4 4 2 2 3 1 2 3 2 1 5 1 4 3 2 1 4 1 3 5 4 3 2 1 3 4 3 1 3 5 4 3 2 1 3 3 2 1 2 4 3 2 2 1 2 5 4 1 4 4 3 2 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 5 4 1 4 3 2 1 2 4 3 1 3 40 30 30 18 15 12 145 displaystyle C 2 5 cdot C 1 4 C 2 5 cdot C 1 3 C 2 4 cdot C 1 5 C 2 4 cdot C 1 3 C 2 3 cdot C 1 5 C 2 3 cdot C 1 4 frac 5 2 5 2 cdot frac 4 1 4 1 frac 5 2 5 2 cdot frac 3 1 3 1 frac 4 2 4 2 cdot frac 5 1 5 1 frac 4 2 4 2 cdot frac 3 1 3 1 frac 3 2 3 2 cdot frac 5 1 5 1 frac 3 2 3 2 cdot frac 4 1 4 1 frac 5 2 3 cdot frac 4 1 3 frac 5 2 3 cdot frac 3 1 2 frac 4 2 2 cdot frac 5 1 4 frac 4 2 2 cdot frac 3 1 2 frac 3 2 1 cdot frac 5 1 4 frac 3 2 1 cdot frac 4 1 3 frac 5 cdot 4 cdot 3 2 cdot 1 cdot 3 cdot frac 4 cdot 3 1 cdot 3 frac 5 cdot 4 cdot 3 2 cdot 1 cdot 3 cdot frac 3 cdot 2 1 cdot 2 frac 4 cdot 3 cdot 2 2 cdot 1 cdot 2 cdot frac 5 cdot 4 1 cdot 4 frac 4 cdot 3 cdot 2 2 cdot 1 cdot 2 cdot frac 3 cdot 2 1 cdot 2 frac 3 cdot 2 1 cdot 2 cdot frac 5 cdot 4 1 cdot 4 frac 3 cdot 2 1 cdot 2 cdot frac 4 cdot 3 1 cdot 3 40 30 30 18 15 12 145 nbsp caraLihat pula SuntingFaktorial Kombinasi dan permutasi Permutasi Kombinadik Membangkitkan KombinasiBacaan lebih lanjut SuntingKurnianingsih Sri 2007 Matematika SMA dan MA 2A Untuk Kelas XI Semester 1 Program IPA Jakarta Esis Erlangga ISBN 979 734 502 5 Parameter coauthors yang tidak diketahui mengabaikan author yang disarankan bantuan Indonesia Kurnianingsih Sri 2007 Matematika SMA dan MA 2A Untuk Kelas XI Semester 1 Program IPS Jakarta Esis Erlangga ISBN 979 734 563 7 Parameter coauthors yang tidak diketahui mengabaikan author yang disarankan bantuan Indonesia Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Kombinasi amp oldid 22267017