www.wikidata.id-id.nina.az

Himpunan matematika Dalam matematika himpunan disebut juga kumpulan kelompok gugus atau set dapat dibayangkan sebagai ku

Himpunan (matematika)

Dalam matematika, himpunan (disebut juga kumpulan, kelompok, gugus, atau set) dapat dibayangkan sebagai kumpulan benda berbeda yang terdefinisi dengan jelas dan dipandang sebagai satu kesatuan utuh. Dengan terdefinisi yang jelas itu maka dapat ditentukan dengan tegas apakah suatu objek termasuk anggota suatu himpunan atau bukan.

Irisan dari dua himpunan yang dinyatakan dengan diagram Venn

Konsep himpunan seperti saat sekarang ini pertama kali dikemukakan oleh seorang matematikawan Jerman, Georg Cantor, pada akhir abad ke-19. Cantor mendefinisikan himpunan sebagai "Hasil usaha pengumpulan beberapa benda yang memiliki suatu ciri pembeda tertentu dan dapat-diperbedakan dalam intuisi atau pikiran kita (benda-benda itu disebut 'anggota'), menjadi suatu kesatuan".

Himpunan merupakan satu di antara konsep dasar matematika, karena hampir semua aspek matematika dapat dibangun dengan konsep himpunan ini. Kajian lebih lanjut mengenai himpunan dipelajari dalam teori himpunan.

Himpunan dan anggotanya

Suatu himpunan segibanyak
Himpunan yang sama digambarkan dalam "kotak".
Himpunan yang sama digambarkan sebagai "kumpulan benda dalam kotak".

Himpunan secara sederhana dapat diartikan sebagai kumpulan objek-objek. Pengertian "mengumpulkan" atau "menghimpun" sendiri sudah jelas sebab telah sering dilakukan dalam keseharian. Beberapa organisasi menggunakan kata himpunan pada namanya menunjukkan hal tersebut . Pengertian himpunan dapat digambarkan sebagai suatu "karung" atau "kotak" yang berisikan unsur-unsurnya. Penggambaran ini dinisbatkan pada Richard Dedekind , dan terlukiskan dengan baik dengan diagram Euler-Venn.

Objek dalam suatu himpunan disebut anggota (disebut juga elemen atau unsur). Anggota suatu himpunan dapat berupa apa saja, baik itu bilangan, titik, fungsi, dan lain sebagainya. Himpunan juga boleh jadi berisi objek-objek nyata, seperti sekawanan itik di sawah, semua buku di perpustakaan, sekalian hari dalam sepekan, seluruh huruf dalam alfabet, dan kelimapuluhdua kartu dalam satu set remi..

Keanggotaan suatu objek dapat dinyatakan dengan notasi . Pernyataan dengan notasi dapat dibaca sebagai " anggota "; " di dalam " ; " termasuk dalam " ; atau " milik himpunan " .

Ingkaran pernyataan tersebut ( bukan anggota ) dapat ditulis sebagai .

Nama himpunan lazim ditulis menggunakan huruf besar, misalnya , atau , sementara anggota himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (, , ).

Menyatakan dan menuliskan himpunan

Hubungan delapan himpunan asam amino dengan menggunakan diagram Venn.

Himpunan dapat dinyatakan dan dituliskan secara baku dengan dua cara.

Pertama, cara pendaftaran, yaitu dengan menulis semua anggota himpunan dalam kurung kurawal, serta antara anggotanya dipisahkan dengan koma. Cara ini baik digunakan untuk himpunan dengan banyak anggota berhingga, terutama juka banyaknya lumayan sedikit. Contohnya himpunan buah . Tanda koma dapat diganti dengan tanda titik koma apabila perlu untuk menghindari kekeliruan dengan tanda koma bilangan desimal, seperti .

Jika terlampau banyak untuk dinyatakan satu-persatu bahkan mungkin tak berhingga, tetapi mengikuti pola tertentu, maka dapat digunakan notasi elipsis (...). Contohnya himpunan huruf dalam alfabet atau himpunan bilangan asli .

Kedua, cara merumuskan, yaitu dengan mendefinisikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap anggota himpunan tersebut. Untuk cara ini syarat tersebut dapat langsung diperkatakan atau ditulis menggunakan notasi pembentuk himpunan.

Kesamaan dua himpunan

Himpunan didefinisikan berdasar objek-objek yang termasuk di dalamnya. Dua himpunan bisa saja sama walau disajikan dengan cara yang berbeda, seperti urutan anggotanya tidak sama atau dua himpunan itu dinyatakan dengan penggambaran yang berbeda. Himpunan dan disebut sama, jika keduanya memiliki anggota yang sama, dengan kata lain: setiap anggota adalah anggota dan sebaliknya, setiap anggota adalah anggota .

Prinsip kesamaan dua himpunan seperti ini, yakni dengan "membuka seluas-luasnya" kedua himpunan itu sehingga tampak semua anggotanya baru kemudian diperbandingkan, sering dirumuskan sebagai aksioma perluasan. Dengan prinsip ini kesamaan dan dapat diketahui. Perhatikan bahwa urutan tidak berpengaruh dalam himpunan, dan perulangan anggota yang sama hanya dihitung satu kali. Contoh lainnya, kita dapat mengatakan bahwa himpunan tiga bilangan prima pertama sama dengan himpunan akar-akar persamaan . Apabila seluruh anggota kedua himpunan itu didaftarkan, keduanya sama-sama .

Himpunan bagian

himpunan bagian (sejati) dari
Artikel utama: Himpunan bagian

Jika setiap anggota termasuk dalam , maka himpunan dikatakan himpunan bagian dari himpunan , ditulis sebagai . Secara formal, definisi ini dapat dirumuskan sebagai berikut:

.

Dengan menggunakan definisi himpunan bagian, kesamaan dua himpunan juga dapat dinyatakan sebagai berikut:

Definisi di atas sangat berguna untuk membuktikan bahwa dua himpunan dan adalah sama. Pertama, buktikan dahulu adalah himpunan bagian , kemudian buktikan bahwa adalah himpunan bagian .

Banyak anggota himpunan

Artikel utama: Kardinalitas

Kardinalitas suatu himpunan dapat dimengerti sebagai ukuran banyaknya anggota yang ada dalam himpunan tersebut.

Secara formal, dua himpunan dan memiliki kardinalitas yang sama, jika terdapat korespondensi satu-satu yang memetakan pada .

Jika suatu himpunan ekivalen dengan himpunan , yaitu himpunan semua bilangan asli, maka himpunan tersebut disebut himpunan terbilang. Kardinalitas dari himpunan tersebut disebut sebagai kardinalitas . Jika suatu himpunan memiliki kardinalitas yang kurang dari kardinalitas , maka himpunan tersebut adalah himpunan berhingga.

Suatu himpunan disebut terhitung jika himpunan tersebut adalah berhingga atau terbilang.

Himpunan yang tidak terhitung disebut himpunan tak terhitung. Contoh dari himpunan ini adalah himpunan semua bilangan riil. Kardinalitas dari himpunan jenis ini disebut sebagai kardinalitas . Pembuktian bahwa bilangan riil tidak denumerabel dapat menggunakan pembuktian diagonal. Himpunan bilangan riil dalam interval (0,1) juga memiliki kardinalitas , karena terdapat korespondensi satu-satu dari himpunan tersebut dengan himpunan seluruh bilangan riil, yang salah satunya adalah .

Syarat keanggotaan himpunan

Himpunan dapat didefinisikan dengan merumuskan syarat yang harus dipenuhi seluruh anggotanya. Terkadang syarat ini mengikutkan pula dari himpunan semesta mana anggota himpunan baru itu akan diambil. Dengan notasi pembentuk himpunan, secara umum ditulis sebagai

yang dapat dibaca " adalah himpunan semua anggota himpunan sedemikian rupa sehingga pernyataan benar berlaku".

Operasi himpunan

Gabungan

Artikel utama: Gabungan (teori himpunan)
Gabungan himpunan dan .

Gabungan himpunan dan . adalah himpunan yang anggotanya adalah anggota A atau B. Dinotasikan .

Contoh:

Beberapa sifat dasar gabungan:

Irisan

Artikel utama: Irisan (teori himpunan)
Irisan antara himpunan dan .

Irisan himpunan dan . adalah himpunan yang anggotanya adalah anggota A dan B. Dinotasikan .

Jika , maka A dan B dapat dikatakan saling pisah.

Contoh:

Beberapa sifat dasar irisan:

Komplemen

Artikel utama: Komplemen (teori himpunan)

Pelengkap (komplemen) himpunan adalah himpunan yang anggotanya bukan anggota . Dinotasikan atau .

Contoh:

Beberapa sifat dasar komplemen:

Konsep komplemen dapat diperluas menjadi beda setangkup (pengurangan himpunan), jika diterapkan untuk himpunan A dan B atau A - B menghasilkan

Contohnya, diferensi simetris antara:

  • {7, 8, 9, 10} dan {9, 10, 11, 12} adalah {7, 8, 11, 12}.
  • {Ana, Budi, Dedi, Felix} dan {Budi, Cici, Dedi, Ela} adalah {Ana, Cici, Ela, Felix}.

Hasil Kali Kartesian

Produk kertesian (perkalian himpunan) {\displaystyle A} X B (A dan B) dan anggota himpunan A={x,y,z} dan B={1,2,3}.

atau perkalian himpunan merupakan operasi yang menggabungkan anggota suatu himpunan dengan himpunan lainnya. Perkalian himpunan antara A dan B didefinisikan dengan A × B. Anggota himpunan | A × B | adalah pasangan terurut (a,b) dimana a adalah anggota himpunan {\displaystyle A} dan b adalah anggota himpunan B.

Contoh:

Beberapa sifat dasar himpunan perkalian:

Himpunan khusus

Himpunan termuat dalam , yang termuat dalam , yang termuat dalam , yang termuat dalam .

Sejumlah himpunan yang begitu penting dan sering terpakai dalam matematika, sehingga mendapat nama dan lambang tersendiri, seperti:

Himpunan di atas memiliki tak hingga anggota, dan masing-masing merupakah himpunan bagian dari himpunan yang tersenarai di bawahnya.

Himpunan n-rangkap bilangan riil biasa dilambangkan dengan untuk sebarang bilangan asli. Sebagai contoh, adalah himpunan pasangan terurut dengan .

Lihat juga

Referensi

  1. Afidah Khairunnisa (2018). Matematika Dasar. Depok: Rajawali Pers. ISBN 978-979-769-764-8. 
  2. Hakim., Nasoetion, Andi (1982). Landasan matematika. Bhratara Karya Aksara. OCLC 974924773. 
  3. Prof. Dr. Wahyudin M.Pd. (2019). Hakikat dan Sejarah Matematika. Tanggerang Selatan: Universitas Terbuka. 
  4. Ferreirós, José (2020). Zalta, Edward N., ed. The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edisi ke-Summer 2020). Metaphysics Research Lab, Stanford University. 
  5. Dumairy (2003). Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi. Yogyakarta: BPFE. 
  6. Halmos, Paul Richard (1960). Naive Set Theory (dalam bahasa Inggris). Van Nostrand. ISBN 978-3-540-90092-4. 
  7. Oliver, Alex; Smiley, Timothy (2006). "What Are Sets and What Are They For?". Philosophical Perspectives. 20: 123–155. ISSN 1520-8583. 
  8. ^ Lipschutz, Seymour (1995). Teori Himpunan. Diterjemahkan oleh Pantur Silaban. Jakarta: Erlangga. 
  9. Walpole, Ronald E. (1995). Pengantar Statistika. Diterjemahkan oleh Ir. Bambang Sumantri. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama. 
  10. Dr. Jaka Nugraha (2020). Pengantar Peluang dan Distribusi. Sleman: Deepublish. 
  11. Marsudi (2010-10-08). Logika dan Teori Himpunan. Universitas Brawijaya Press. ISBN 978-979-8074-51-6. 
  12. Rinaldi Munir (2010). Matematika Diskrit. Bandung: Informatika Bandung. 
  13. Julan Hernadi (2021). Fondasi Matematika & Metode Pembuktian. Ponorogo: UMPO Press. 
  14. Hendra Gunawan (2017). Menuju Tak Terhingga. Bandung: ITB Press. 

Bacaan lanjutan

  • Dauben, Joseph W., Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Boston: Harvard University Press (1979) ISBN 978-0-691-02447-9.
  • Halmos, Paul R., Naive Set Theory, Princeton, N.J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0-387-90092-6
  • Stoll, Robert R., Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4
  • Velleman, Daniel, How To Prove It: A Structured Approach, Cambridge University Press (2006) ISBN 978-0-521-67599-4

Pranala luar

wikipedia, wiki, buku, buku, perpustakaan, artikel, baca, unduh, gratis, unduh gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, gambar, musik, lagu, film, buku, permainan, permainan.
Tanggal penerbitan:
Dalam matematika himpunan disebut juga kumpulan kelompok gugus atau set dapat dibayangkan sebagai kumpulan benda berbeda yang terdefinisi dengan jelas dan dipandang sebagai satu kesatuan utuh 1 Dengan terdefinisi yang jelas itu maka dapat ditentukan dengan tegas apakah suatu objek termasuk anggota suatu himpunan atau bukan Irisan dari dua himpunan yang dinyatakan dengan diagram VennKonsep himpunan seperti saat sekarang ini pertama kali dikemukakan oleh seorang matematikawan Jerman Georg Cantor pada akhir abad ke 19 Cantor mendefinisikan himpunan sebagai Hasil usaha pengumpulan beberapa benda yang memiliki suatu ciri pembeda tertentu dan dapat diperbedakan dalam intuisi atau pikiran kita benda benda itu disebut anggota menjadi suatu kesatuan 2 3 Himpunan merupakan satu di antara konsep dasar matematika karena hampir semua aspek matematika dapat dibangun dengan konsep himpunan ini 4 Kajian lebih lanjut mengenai himpunan dipelajari dalam teori himpunan Daftar isi 1 Himpunan dan anggotanya 1 1 Menyatakan dan menuliskan himpunan 2 Kesamaan dua himpunan 2 1 Himpunan bagian 3 Banyak anggota himpunan 4 Syarat keanggotaan himpunan 5 Operasi himpunan 5 1 Gabungan 5 2 Irisan 5 3 Komplemen 5 4 Hasil Kali Kartesian 6 Himpunan khusus 7 Lihat juga 8 Referensi 9 Bacaan lanjutan 10 Pranala luarHimpunan dan anggotanya Sunting Suatu himpunan segibanyak Himpunan yang sama digambarkan dalam kotak Himpunan yang sama digambarkan sebagai kumpulan benda dalam kotak Himpunan secara sederhana dapat diartikan sebagai kumpulan objek objek Pengertian mengumpulkan atau menghimpun sendiri sudah jelas sebab telah sering dilakukan dalam keseharian Beberapa organisasi menggunakan kata himpunan pada namanya menunjukkan hal tersebut 5 Pengertian himpunan dapat digambarkan sebagai suatu karung atau kotak yang berisikan unsur unsurnya 6 Penggambaran ini dinisbatkan pada Richard Dedekind 7 dan terlukiskan dengan baik dengan diagram Euler Venn Objek dalam suatu himpunan disebut anggota disebut juga elemen atau unsur Anggota suatu himpunan dapat berupa apa saja baik itu bilangan titik fungsi dan lain sebagainya Himpunan juga boleh jadi berisi objek objek nyata seperti sekawanan itik di sawah semua buku di perpustakaan sekalian hari dalam sepekan seluruh huruf dalam alfabet dan kelimapuluhdua kartu dalam satu set remi Keanggotaan suatu objek dapat dinyatakan dengan notasi displaystyle in Pernyataan dengan notasi a S displaystyle a in S dapat dibaca sebagai a displaystyle a anggota S displaystyle S a displaystyle a di dalam S displaystyle S 8 a displaystyle a termasuk dalam S displaystyle S 9 atau a displaystyle a milik himpunan S displaystyle S 10 Ingkaran pernyataan tersebut a displaystyle a bukan anggota S displaystyle S dapat ditulis sebagai a S displaystyle a not in S 8 Nama himpunan lazim ditulis menggunakan huruf besar misalnya S textstyle S A textstyle A atau C textstyle C sementara anggota himpunan ditulis menggunakan huruf kecil a textstyle a c textstyle c z textstyle z Menyatakan dan menuliskan himpunan Sunting Hubungan delapan himpunan asam amino dengan menggunakan diagram Venn Himpunan dapat dinyatakan dan dituliskan secara baku 11 dengan dua cara Pertama cara pendaftaran yaitu dengan menulis semua anggota himpunan dalam kurung kurawal serta antara anggotanya dipisahkan dengan koma Cara ini baik digunakan untuk himpunan dengan banyak anggota berhingga terutama juka banyaknya lumayan sedikit Contohnya himpunan buah B apel jeruk mangga pisang displaystyle B text apel text jeruk text mangga text pisang Tanda koma dapat diganti dengan tanda titik koma apabila perlu untuk menghindari kekeliruan dengan tanda koma bilangan desimal seperti K 0 2 0 4 0 6 displaystyle K 0 2 0 4 0 6 Jika terlampau banyak untuk dinyatakan satu persatu bahkan mungkin tak berhingga tetapi mengikuti pola tertentu maka dapat digunakan notasi elipsis Contohnya himpunan huruf dalam alfabet A a b c y z displaystyle A a b c y z atau himpunan bilangan asli N 1 2 3 4 displaystyle mathbb N 1 2 3 4 Kedua cara merumuskan yaitu dengan mendefinisikan sifat sifat yang harus dipenuhi oleh setiap anggota himpunan tersebut Untuk cara ini syarat tersebut dapat langsung diperkatakan atau ditulis menggunakan notasi pembentuk himpunan O u u adalah bilangan ganjil displaystyle O u u mbox adalah bilangan ganjil E x x Z x mod 2 0 displaystyle E x x in mathbb Z land x mbox mod 2 0 P p p adalah orang yang pernah menjabat sebagai Presiden RI displaystyle P p p mbox adalah orang yang pernah menjabat sebagai Presiden RI Kesamaan dua himpunan SuntingHimpunan didefinisikan berdasar objek objek yang termasuk di dalamnya Dua himpunan bisa saja sama walau disajikan dengan cara yang berbeda 12 seperti urutan anggotanya tidak sama atau dua himpunan itu dinyatakan dengan penggambaran yang berbeda Himpunan A displaystyle A dan B displaystyle B disebut sama jika keduanya memiliki anggota yang sama 13 dengan kata lain setiap anggota A displaystyle A adalah anggota B displaystyle B dan sebaliknya setiap anggota B displaystyle B adalah anggota A displaystyle A A B x x A x B displaystyle A B equiv forall x x in displaystyle A leftrightarrow x in B Prinsip kesamaan dua himpunan seperti ini yakni dengan membuka seluas luasnya kedua himpunan itu sehingga tampak semua anggotanya baru kemudian diperbandingkan sering dirumuskan sebagai aksioma perluasan 8 Dengan prinsip ini kesamaan a b c b c a displaystyle a b c b c a dan a b c a b b c c c displaystyle a b c a b b c c c dapat diketahui Perhatikan bahwa urutan tidak berpengaruh dalam himpunan dan perulangan anggota yang sama hanya dihitung satu kali Contoh lainnya kita dapat mengatakan bahwa himpunan tiga bilangan prima pertama sama dengan himpunan akar akar persamaan x 3 10 x 2 31 x 30 0 displaystyle x 3 10x 2 31x 30 0 Apabila seluruh anggota kedua himpunan itu didaftarkan keduanya sama sama 2 3 5 displaystyle 2 3 5 Himpunan bagian Sunting B displaystyle B himpunan bagian sejati dari A displaystyle A Artikel utama Himpunan bagianJika setiap anggota B displaystyle B termasuk dalam A displaystyle A maka himpunan B displaystyle B dikatakan himpunan bagian dari himpunan A displaystyle A ditulis sebagai B A displaystyle B subseteq A Secara formal definisi ini dapat dirumuskan sebagai berikut B A x x B x A displaystyle B subseteq displaystyle A equiv forall x x in B rightarrow x in displaystyle A Dengan menggunakan definisi himpunan bagian kesamaan dua himpunan juga dapat dinyatakan sebagai berikut A B A B B A displaystyle A B equiv displaystyle A subseteq B wedge B subseteq A Definisi di atas sangat berguna untuk membuktikan bahwa dua himpunan A displaystyle A dan B displaystyle B adalah sama Pertama buktikan dahulu A displaystyle A adalah himpunan bagian B displaystyle B kemudian buktikan bahwa B displaystyle B adalah himpunan bagian A displaystyle A Banyak anggota himpunan SuntingArtikel utama Kardinalitas Kardinalitas suatu himpunan dapat dimengerti sebagai ukuran banyaknya anggota yang ada dalam himpunan tersebut Secara formal dua himpunan A displaystyle A dan B displaystyle B memiliki kardinalitas yang sama jika terdapat korespondensi satu satu yang memetakan A displaystyle A pada B displaystyle B Jika suatu himpunan ekivalen dengan himpunan N displaystyle mathbb N yaitu himpunan semua bilangan asli maka himpunan tersebut disebut himpunan terbilang 14 Kardinalitas dari himpunan tersebut disebut sebagai kardinalitas a displaystyle mathfrak a Jika suatu himpunan memiliki kardinalitas yang kurang dari kardinalitas a displaystyle mathfrak a maka himpunan tersebut adalah himpunan berhingga Suatu himpunan disebut terhitung jika himpunan tersebut adalah berhingga atau terbilang Himpunan yang tidak terhitung disebut himpunan tak terhitung Contoh dari himpunan ini adalah himpunan semua bilangan riil Kardinalitas dari himpunan jenis ini disebut sebagai kardinalitas c displaystyle mathfrak c Pembuktian bahwa bilangan riil tidak denumerabel dapat menggunakan pembuktian diagonal Himpunan bilangan riil dalam interval 0 1 juga memiliki kardinalitas c displaystyle mathfrak c karena terdapat korespondensi satu satu dari himpunan tersebut dengan himpunan seluruh bilangan riil yang salah satunya adalah y tan p x 1 2 p textstyle y tan pi x frac 1 2 pi Syarat keanggotaan himpunan SuntingHimpunan dapat didefinisikan dengan merumuskan syarat yang harus dipenuhi seluruh anggotanya Terkadang syarat ini mengikutkan pula dari himpunan semesta mana anggota himpunan baru itu akan diambil Dengan notasi pembentuk himpunan secara umum ditulis sebagai A x S P x displaystyle A x in S mid P x yang dapat dibaca A textstyle A adalah himpunan semua anggota himpunan S displaystyle S sedemikian rupa sehingga pernyataan P x displaystyle P x benar berlaku Operasi himpunan SuntingGabungan Sunting Artikel utama Gabungan teori himpunan Gabungan himpunan A displaystyle A dan B displaystyle B Gabungan himpunan A displaystyle A dan B displaystyle B adalah himpunan yang anggotanya adalah anggota A atau B Dinotasikan A B displaystyle A cup B Contoh 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 1 2 3 Budi Dani Budi Dani Beberapa sifat dasar gabungan A A B A B jika dan hanya jika A B B Irisan Sunting Artikel utama Irisan teori himpunan Irisan antara himpunan A displaystyle A dan B displaystyle B Irisan himpunan A displaystyle A dan B displaystyle B adalah himpunan yang anggotanya adalah anggota A dan B Dinotasikan A B displaystyle A cap B Jika A B displaystyle A cap B varnothing maka A dan B dapat dikatakan saling pisah Contoh 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 2 Budi Cici Dani Cici Cici Budi Dani Beberapa sifat dasar irisan A B A A B jika dan hanya jika A B A Komplemen Sunting Artikel utama Komplemen teori himpunan Pelengkap komplemen himpunan A displaystyle A adalah himpunan yang anggotanya bukan anggota A displaystyle A Dinotasikan A c displaystyle A c atau A displaystyle A Contoh 1 2 1 2 1 2 3 4 1 3 2 4 Beberapa sifat dasar komplemen A B B A untuk A B A A A A A B A B Konsep komplemen dapat diperluas menjadi beda setangkup pengurangan himpunan jika diterapkan untuk himpunan A dan B atau A B menghasilkan A D B A B B A displaystyle A Delta B A setminus B cup B setminus A Contohnya diferensi simetris antara 7 8 9 10 dan 9 10 11 12 adalah 7 8 11 12 Ana Budi Dedi Felix dan Budi Cici Dedi Ela adalah Ana Cici Ela Felix Komplemen B displaystyle B terhadap A displaystyle A Komplemen A displaystyle A terhadap U displaystyle U Beda setangkup himpunan A displaystyle A dan B displaystyle B Hasil Kali Kartesian Sunting Produk kertesian perkalian himpunan displaystyle A X B A dan B dan anggota himpunan A x y z dan B 1 2 3 atau perkalian himpunan merupakan operasi yang menggabungkan anggota suatu himpunan dengan himpunan lainnya Perkalian himpunan antara A dan B didefinisikan dengan A B Anggota himpunan A B adalah pasangan terurut a b dimana a adalah anggota himpunan displaystyle A dan b adalah anggota himpunan B Contoh 1 2 x y 1 x 1 y 2 x 2 y 1 2 a b c 1 a 1 b 1 c 2 a 2 b 2 c 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 Beberapa sifat dasar himpunan perkalian A A B C A B A C A B C A C B C A B B A A B Himpunan khusus Sunting Himpunan N displaystyle mathbb N termuat dalam Z displaystyle mathbb Z yang termuat dalam Q displaystyle mathbb Q yang termuat dalam R displaystyle mathbb R yang termuat dalam C displaystyle mathbb C Sejumlah himpunan yang begitu penting dan sering terpakai dalam matematika sehingga mendapat nama dan lambang tersendiri seperti N displaystyle mathbb N himpunan bilangan asli 1 2 3 4 Z displaystyle mathbb Z himpunan bilangan bulat 3 2 1 0 1 2 3 Q displaystyle mathbb Q himpunan bilangan rasional R displaystyle mathbb R himpunan bilangan riil C displaystyle mathbb C himpunan bilangan kompleks H displaystyle mathbb H himpunan bilangan kuarternion Himpunan di atas memiliki tak hingga anggota dan masing masing merupakah himpunan bagian dari himpunan yang tersenarai di bawahnya Himpunan n rangkap bilangan riil biasa dilambangkan dengan R n displaystyle mathbb R n untuk n displaystyle n sebarang bilangan asli Sebagai contoh R 2 displaystyle mathbb R 2 adalah himpunan pasangan terurut a b displaystyle a b dengan a b R displaystyle a b in mathbb R Lihat juga SuntingKelas teori himpunan himpunan dari himpunan himpunan Aljabar himpunan sifat sifat operasi himpunan Fungsi karakteristik fungsi yang menunjukkan apakah sesuatu itu anggota himpunan atau bukan Referensi Sunting Afidah Khairunnisa 2018 Matematika Dasar Depok Rajawali Pers ISBN 978 979 769 764 8 Parameter url status yang tidak diketahui akan diabaikan bantuan Hakim Nasoetion Andi 1982 Landasan matematika Bhratara Karya Aksara OCLC 974924773 Prof Dr Wahyudin M Pd 2019 Hakikat dan Sejarah Matematika Tanggerang Selatan Universitas Terbuka Parameter url status yang tidak diketahui akan diabaikan bantuan Ferreiros Jose 2020 Zalta Edward N ed The Stanford Encyclopedia of Philosophy edisi ke Summer 2020 Metaphysics Research Lab Stanford University Dumairy 2003 Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi Yogyakarta BPFE Parameter url status yang tidak diketahui akan diabaikan bantuan Halmos Paul Richard 1960 Naive Set Theory dalam bahasa Inggris Van Nostrand ISBN 978 3 540 90092 4 Oliver Alex Smiley Timothy 2006 What Are Sets and What Are They For Philosophical Perspectives 20 123 155 ISSN 1520 8583 a b c Lipschutz Seymour 1995 Teori Himpunan Diterjemahkan oleh Pantur Silaban Jakarta Erlangga Parameter url status yang tidak diketahui akan diabaikan bantuan Walpole Ronald E 1995 Pengantar Statistika Diterjemahkan oleh Ir Bambang Sumantri Jakarta Gramedia Pustaka Utama Parameter url status yang tidak diketahui akan diabaikan bantuan Dr Jaka Nugraha 2020 Pengantar Peluang dan Distribusi Sleman Deepublish Parameter url status yang tidak diketahui akan diabaikan bantuan Marsudi 2010 10 08 Logika dan Teori Himpunan Universitas Brawijaya Press ISBN 978 979 8074 51 6 Rinaldi Munir 2010 Matematika Diskrit Bandung Informatika Bandung Parameter url status yang tidak diketahui akan diabaikan bantuan Julan Hernadi 2021 Fondasi Matematika amp Metode Pembuktian Ponorogo UMPO Press Parameter url status yang tidak diketahui akan diabaikan bantuan Hendra Gunawan 2017 Menuju Tak Terhingga Bandung ITB Press Parameter url status yang tidak diketahui akan diabaikan bantuan Bacaan lanjutan SuntingDauben Joseph W Georg Cantor His Mathematics and Philosophy of the Infinite Boston Harvard University Press 1979 ISBN 978 0 691 02447 9 Halmos Paul R Naive Set Theory Princeton N J Van Nostrand 1960 ISBN 0 387 90092 6 Stoll Robert R Set Theory and Logic Mineola N Y Dover Publications 1979 ISBN 0 486 63829 4 Velleman Daniel How To Prove It A Structured Approach Cambridge University Press 2006 ISBN 978 0 521 67599 4Pranala luar SuntingC2 Wiki Contoh operasi himpunan menggunakan operator Inggris Himpunan Matematika Anggota Irisan amp Gabungan Education Portal Academy Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Himpunan matematika amp oldid 22724036