www.wikidata.id-id.nina.az

Faktorial Anggota terpilih dari faktorial urutan barisan A000142 pada OEIS nilai yang ditentukan dalam notasi ilmiah dib

Faktorial

Anggota terpilih dari faktorial urutan (barisan A000142 pada OEIS); nilai yang ditentukan dalam notasi ilmiah dibulatkan ke presisi yang ditampilkan
n n!
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5040
8 40.320
9 362.880
10 3.628.800
11 39.916.800
12 479.001.600
13 6.227.020.800
14 87.178.291.200
15 1.307.674.368.000
16 20.922.789.888.000
17 355.687.428.096.000
18 6.402.373.705.728.000
19 121.645.100.408.832.000
20 2.432.902.008.176.640.000
25 1,551121004×1025
50 3,041409320×1064
70 1,197857167×10100
100 9,332621544×10157
450 1.733368733×101000
1000 4.023872601×102567
3249 6,412337688×1010.000
10000 2,846259681×1035.659
25206 1,205703438×10100.000
100000 2,824229408×10456.573
205023 2,503898932×101.000.004
1000000 8,263931688×105.565.708
10100 1010101,9981097754820

Dalam matematika, Faktorial dari bilangan bulat positif dari n yang dilambangkan dengan n!, adalah produk dari semua bilangan bulat positif yang kurang dari atau sama dengan n:

Sebagai contoh,

Nilai 0! adalah 1, menurut konvensi untuk produk kosong.

Operasi faktorial digunakan sebagai bidang matematika, terutama di kombinatorik, aljabar, dan analisis matematika. Penggunaannya yang paling dasar menghitung kemungkinan urutan dan permutasi dari n yang berada di objekk yang berbeda.

Faktorial pada fungsi juga dapat berupa nilai ke argumen non-bilangan bulat sambil mempertahankan properti terpentingnya dengan cara mendefinisikan x! = Γ(x + 1), di mana Γ adalah fungsi gamma; ini tidak ditentukan saat x adalah bilangan bulat negatif.

Sejarah Sunting

Faktorial digunakan untuk menghitung permutasi setidaknya sejak abad ke-12, oleh para sarjana Matematika India. Pada tahun 1677, Fabian Stedman mendeskripsikan faktorial yang diterapkan pada mengubah dering, seni musik yang melibatkan dering dari banyak lonceng yang disetel. Setelah menggambarkan pendekatan rekursif, Stedman memberikan pernyataan faktorial (menggunakan bahasa aslinya):

Sekarang sifat dari metode ini adalah sedemikian rupa, sehingga perubahan pada satu angka mencakup [termasuk] perubahan pada semua angka yang lebih kecil ... sedemikian rupa sehingga Peal yang lengkap dari perubahan pada satu nomor tampaknya dibentuk dengan menyatukan Peal yang lengkap pada semua nomor yang lebih kecil menjadi satu keseluruhan tubuh..

notasi dari n! diperkenalkan oleh matematikawan asal Prancis bernama Christian Kramp pada tahun 1808.

Pengertian Sunting

Fungsi faktorial didefinisikan sebagai:

Selain definisi tersebut, terdapat juga definisi secara rekursif, yang didefinisikan untuk

Untuk n yang sangat besar, akan terlalu melelahkan untuk menghitung n! menggunakan kedua definisi tersebut. Jika presisi tidak terlalu penting, pendekatan dari n! bisa dihitung menggunakan rumus Stirling:

Juga terdapat definisi analitik untuk faktorial, yaitu menggunakan fungsi gamma:

Definisi Sunting

Fungsi faktorial ditentukan oleh produk, yaitu:

diatas merupakan bilangan bulat dari n ≥ 1. Ini dapat ditulis dalam notasi perkalian pi sebagai:

Hal tersebut mengarah menuju relasi pengulangan:

Sebagai contoh,

dan seterusnya.

Faktorial nol Sunting

Faktorial dari 0 adalah 1, atau dalam simbol, 0! = 1.

Ada beberapa motivasi untuk definisi ini:

  • Untuk nilai n = 0, definisi dari n! sebagai perkalian melibatkan hasil kali tanpa bilangan sama sekali, dan begitu juga contoh dari konvensi yang lebih luas bahwa produk dari tidak ada faktor yang sama dengan identitas perkalian (lihat Produk kosong).
  • Hanya ada satu permutasi dari nol objek (tanpa ada yang diubah, satu-satunya penataan ulang adalah tidak melakukan apa-apa).
  • Karena membuat banyak identitas di kombinatorik berlaku untuk semua ukuran yang berlaku. Banyaknya cara untuk memilih 0 elemen dari himpunan kosong diberikan oleh koefisien binomial
Secara lebih umum, jumlah cara untuk memilih semua elemen n di antara himpunan n adalah
  • Hal ini memungkinkan untuk ekspresi ringkas dari banyak rumus, seperti fungsi eksponensial, sebagai deret pangkat:
  • Hal ini dapat memperluas hubungan pengulangan ke 0.

Aplikasi Sunting

Meskipun fungsi faktorial berakar pada kombinatorik, rumus yang melibatkan faktorial terjadi di banyak bidang matematika.

  • Terdapat nilai n! dengan cara yang berbeda untuk menyusun n objek yang berbeda menjadi sebuah urutan, permutasi dari objek tersebut.
  • Seringkali faktorial muncul di penyebut rumus untuk menjelaskan fakta bahwa pengurutan harus diabaikan. Contoh klasik menghitung nilai k kombinasi (himpunan bagian dari elemen nilai k) dari himpunan dengan elemen n. Seseorang bisa mendapatkan kombinasi seperti itu dengan memilih k sebagai permutasi: secara berturut-turut memilih dan menghapus satu elemen himpunan, k kali, dengan total
Namun, hal ini menghasilkan kombinasi k dalam urutan tertentu yang ingin dinyalakan; karena setiap k - kombinasi diperoleh dengan k! cara yang berbeda, jumlah yang benar dari k kombinasi adalah
Nomor ini diketahui sebagai koefisien binomial, karena ia juga merupakan koefisien dari xk pada (1 + x)n. Syarat sering disebut faktorial jatuh (dilafalkan "n menjadi penurunan k").
  • Faktorial terjadi di aljabar karena berbagai alasan, seperti melalui koefisien yang telah disebutkan dari rumus binomial, atau melalui rata-rata lebih dari permutasi untuk simetri operasi tertentu.
  • Faktorial juga muncul di kalkulus; misalnya, mereka muncul di penyebut suku-suku rumus Taylor, di mana mereka digunakan sebagai persyaratan kompensasi karena n turunan dari xn setara dengan n!.
  • Faktorial juga digunakan secara ekstensif di teori probabilitas dan teori bilangan (lihat di bawah).
  • Faktorial dapat berguna untuk memfasilitasi manipulasi ekspresi. Misalnya jumlah k permutasi dari n dapat ditulis sebagai
meskipun ini tidak efisien sebagai cara untuk menghitung bilangan itu, ini dapat berfungsi untuk membuktikan sifat simetri dari koefisien binomial:
  • Fungsi faktorial dapat ditampilkan, menggunakan aturan pangkat, sebagai
where Dn xn is Notasi Euler untuk n turunan dari xn.

Tingkat pertumbuhan dan perkiraan untuk yang besar n Sunting

Plot dari logaritma natural faktorial

Seiring bertambahnya n, faktorial n! Meningkat lebih cepat daripada semua polinomial dan fungsi eksponensial (tetapi lebih lambat dari dan fungsi eksponensial ganda) masuk n.

Sebagian besar perkiraan untuk n! didasarkan pada perkiraan logaritma natural

Grafik fungsi f(n) = ln n! ditunjukkan pada gambar di sebelah kanan. Ini terlihat kira-kira linear untuk semua nilai wajar dari n, tetapi intuisi ini salah. Kami mendapatkan salah satu perkiraan paling sederhana untuk ln n! dengan membatasi jumlah dengan integral dari atas dan bawah sebagai berikut:

yang memberi kami perkiraan

Karenanya ln n! ∼ n ln n (lihat Notasi Big O). Hasil ini memainkan peran kunci dalam analisis kompleksitas komputasi dari algoritma pengurutan (lihat jenis perbandingan). Dari batas ln n! disimpulkan di atas kita mendapatkan

Terkadang praktis untuk menggunakan perkiraan yang lebih lemah tetapi lebih sederhana. Menggunakan rumus di atas, dengan mudah ditunjukkan bahwa untuk semua n kita punya (n3)n < n!, dan untuk semua n ≥ 6 kita punya n! < (n2)n.

Perbandingan pendekatan Stirling dengan faktorial

Untuk n besar kita mendapatkan perkiraan yang lebih baik untuk bilangan n! Menggunakan pendekatan Stirling:

Ini sebenarnya berasal dari deret asimtotik untuk logaritma, dan faktorial n terletak di antara pendekatan ini dan pendekatan berikutnya:

Perkiraan lain untuk lnn! Diberikan oleh Srinivasa Ramanujan (Ramanujan 1988)

Baik pendekatan ini maupun perkiraan Stirling memberikan kesalahan relatif pada urutan 1n3, tapi Ramanujan sekitar empat kali lebih akurat. Namun, jika kita menggunakan istilah koreksi dua dalam pendekatan tipe Stirling, seperti dengan pendekatan Ramanujan, kesalahan relatifnya akan teratur. 1n5:

Teori bilangan Sunting

Faktorial memiliki banyak penerapan dalam teori bilangan. Secara khusus, n! Harus habis dibagi semua bilangan prima hingga dan termasuk n. Sebagai konsekuensi, n > 5 adalah bilangan komposit jika dan hanya jika

Hasil yang lebih kuat adalah Teorema Wilson, yang menyatakan bahwa

if and only if p is prime.

Rumus Legendre memberikan kelipatan bilangan prima p yang terjadi dalam faktorisasi prima dari n! Sebagai

or, equivalently,

di mana sp(n) menunjukkan jumlah dari basis standar p digit n.

Menambahkan 1 ke faktorial n! Menghasilkan bilangan yang hanya habis dibagi oleh bilangan prima yang lebih besar dari n. Fakta ini dapat digunakan untuk membuktikan Teorema Euklides bahwa bilangan prima tidak terbatas. Bentuk prima n! ± 1 disebut prima faktorial.

Serangkaian timbal balik Sunting

kebalikan dari faktorial menghasilkan deret konvergen yang jumlahnya basis eksponensial e:

Meskipun jumlah deret ini adalah bilangan irasional, kita bisa mengalikan faktorial dengan bilangan bulat positif untuk menghasilkan deret konvergen dengan jumlah yang rasional:

Konvergensi deret ini ke 1 dapat dilihat dari fakta bahwa jumlah parsial adalah . Oleh karena itu, faktorial tidak membentuk urutan irasionalitas.-16">[16]

Lihat pula Sunting

Referensi Sunting

  1. Graham, Knuth & Patashnik 1988, hlm. 111.
  2. Biggs, Norman L. (May 1979). "The roots of combinatorics". Historia Mathematica. 6 (2): 109–136. doi:10.1016/0315-0860(79)90074-0. ISSN 0315-0860. 
  3. Stedman 1677, hlm. 6–9.
  4. Stedman 1677, hlm. 8.
  5. Higgins 2008, hlm. 12
  6. Cheng, Eugenia (2017-03-09). Beyond Infinity: An expedition to the outer limits of the mathematical universe (dalam bahasa Inggris). Profile Books. ISBN 9781782830818. 
  7. ^ Conway, John H.; Guy, Richard (1998-03-16). The Book of Numbers (dalam bahasa Inggris). Springer Science & Business Media. ISBN 9780387979939. 
  8. ^ Knuth, Donald E. (1997-07-04). The Art of Computer Programming: Volume 1: Fundamental Algorithms (dalam bahasa Inggris). Addison-Wesley Professional. ISBN 9780321635747. 
  9. . MIT OpenCourseWare. Fall 2006. Archived from the original on 2016-09-19. Diakses tanggal 2017-05-03. 
  10. Kardar, Mehran (2007-06-25). "Chapter 2: Probability". Statistical Physics of Particles (dalam bahasa English). Cambridge University Press. hlm. 35–56. ISBN 9780521873420. 
  11. . MIT OpenCourseWare. Fall 2006. Archived from the original on 2016-09-19. Diakses tanggal 2017-05-03. 
  12. Impens, Chris (2003), "Stirling's series made easy", American Mathematical Monthly, 110 (8): 730–735, doi:10.2307/3647856, hdl:1854/LU-284957 , MR 2024001 ; lihat khususnya ketimpangan di hal. 732 menunjukkan bahwa kesalahan relatif paling banyak .
  13. John J. O'Connor and Edmund F. Robertson. Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham di MacTutor archive.
  14. (Inggris) Weisstein, Eric W. [WilsonsTheorem.html "Wilson's Theorem"] Periksa nilai |url= (bantuan). MathWorld. Diakses tanggal 2017-05-17. 
  15. Bostock, Chandler & Rourke 2014, hlm. 168.
  16. _16-0">^ Guy 2004, hlm. [//books.google.com/books?id=1AP2CEGxTkgC&pg=PA346 346].

Pranala luar Sunting

wikipedia, wiki, buku, buku, perpustakaan, artikel, baca, unduh, gratis, unduh gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, gambar, musik, lagu, film, buku, permainan, permainan.
Tanggal penerbitan:
Anggota terpilih dari faktorial urutan barisan A000142 pada OEIS nilai yang ditentukan dalam notasi ilmiah dibulatkan ke presisi yang ditampilkan n n 0 11 12 23 64 245 1206 7207 50408 40 3209 362 88010 3 628 80011 39 916 80012 479 001 60013 6 227 020 80014 87 178 291 20015 1 307 674 368 00016 20 922 789 888 00017 355 687 428 096 00018 6 402 373 705 728 00019 121 645 100 408 832 00020 2 432 902 008 176 640 00025 1 551121 004 102550 3 041409 320 106470 1 197857 167 10100100 9 332621 544 10157450 1 733368 733 1010001000 4 023872 601 1025673249 6 412337 688 1010 00010000 2 846259 681 1035 65925206 1 205703 438 10100 000100000 2 824229 408 10456 573205023 2 503898 932 101 000 0041000 000 8 263931 688 105 565 70810100 1010101 998109 7754820Artikel atau bagian artikel ini diterjemahkan secara buruk Kualitas terjemahannya masih kurang bagus Bagian bagian yang mungkin diterjemahkan dari bahasa lain masih perlu diperhalus dan disempurnakan Anda dapat mempertimbangkan untuk menelusuri referensinya dan menulis ulang artikel atau bagian artikel ini Anda juga dapat ikut bergotong royong pada ProyekWiki Perbaikan Terjemahan Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat Lihat pula panduan penerjemahan artikel Artikel atau bagian dari artikel ini diterjemahkan dari Factorial di en wikipedia org Terjemahannya masih terlalu kaku kemungkinan besar karena kalimat Inggrisnya diterjemahkan kata per kata Maka dari itu terjemahan di artikel ini masih memerlukan penyempurnaan Pengguna yang mahir dengan bahasa yang bersangkutan dipersilakan untuk menelusuri referensinya dan menyempurnakan terjemahan ini atau Anda juga dapat ikut bergotong royong dalam ProyekWiki Perbaikan Terjemahan Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat Lihat pula panduan penerjemahan artikel Dalam matematika Faktorial dari bilangan bulat positif dari n yang dilambangkan dengan n adalah produk dari semua bilangan bulat positif yang kurang dari atau sama dengan n n n n 1 n 2 n 3 3 2 1 displaystyle n n times n 1 times n 2 times n 3 times cdots times 3 times 2 times 1 Sebagai contoh 5 5 4 3 2 1 120 displaystyle 5 5 times 4 times 3 times 2 times 1 120 Nilai 0 adalah 1 menurut konvensi untuk produk kosong 1 Operasi faktorial digunakan sebagai bidang matematika terutama di kombinatorik aljabar dan analisis matematika Penggunaannya yang paling dasar menghitung kemungkinan urutan dan permutasi dari n yang berada di objekk yang berbeda Faktorial pada fungsi juga dapat berupa nilai ke argumen non bilangan bulat sambil mempertahankan properti terpentingnya dengan cara mendefinisikan x G x 1 di mana G adalah fungsi gamma ini tidak ditentukan saat x adalah bilangan bulat negatif Daftar isi 1 Sejarah 2 Pengertian 3 Definisi 3 1 Faktorial nol 4 Aplikasi 5 Tingkat pertumbuhan dan perkiraan untuk yang besar n 6 Teori bilangan 7 Serangkaian timbal balik 8 Lihat pula 9 Referensi 10 Pranala luarSejarah SuntingBagian ini memerlukan pengembangan Anda dapat membantu dengan mengembangkannya November 2019 Faktorial digunakan untuk menghitung permutasi setidaknya sejak abad ke 12 oleh para sarjana Matematika India 2 Pada tahun 1677 Fabian Stedman mendeskripsikan faktorial yang diterapkan pada mengubah dering seni musik yang melibatkan dering dari banyak lonceng yang disetel 3 Setelah menggambarkan pendekatan rekursif Stedman memberikan pernyataan faktorial menggunakan bahasa aslinya Sekarang sifat dari metode ini adalah sedemikian rupa sehingga perubahan pada satu angka mencakup termasuk perubahan pada semua angka yang lebih kecil sedemikian rupa sehingga Peal yang lengkap dari perubahan pada satu nomor tampaknya dibentuk dengan menyatukan Peal yang lengkap pada semua nomor yang lebih kecil menjadi satu keseluruhan tubuh 4 notasi dari n diperkenalkan oleh matematikawan asal Prancis bernama Christian Kramp pada tahun 1808 5 Pengertian SuntingFungsi faktorial didefinisikan sebagai n k 1 n k untuk semua n 1 displaystyle n prod k 1 n k qquad mbox untuk semua n geq 1 nbsp Selain definisi tersebut terdapat juga definisi secara rekursif yang didefinisikan untuk n 0 displaystyle n geq 0 nbsp n n n 1 untuk n 1 1 untuk n 0 displaystyle n begin cases n cdot n 1 amp mbox untuk n geq 1 1 amp mbox untuk n 0 end cases nbsp Untuk n yang sangat besar akan terlalu melelahkan untuk menghitung n menggunakan kedua definisi tersebut Jika presisi tidak terlalu penting pendekatan dari n bisa dihitung menggunakan rumus Stirling n 2 p n n n e n displaystyle n approx sqrt 2 pi n frac n n e n nbsp Juga terdapat definisi analitik untuk faktorial yaitu menggunakan fungsi gamma G z 0 t z 1 e t d t displaystyle Gamma z int 0 infty t z 1 e t mathrm d t nbsp n G n 1 displaystyle n Gamma n 1 nbsp Definisi SuntingFungsi faktorial ditentukan oleh produk yaitu n 1 2 3 n 2 n 1 n displaystyle n 1 cdot 2 cdot 3 cdots n 2 cdot n 1 cdot n nbsp diatas merupakan bilangan bulat dari n 1 Ini dapat ditulis dalam notasi perkalian pi sebagai n i 1 n i displaystyle n prod i 1 n i nbsp Hal tersebut mengarah menuju relasi pengulangan n n n 1 displaystyle n n cdot n 1 nbsp Sebagai contoh 5 5 4 6 6 5 50 50 49 displaystyle begin aligned 5 amp 5 cdot 4 6 amp 6 cdot 5 50 amp 50 cdot 49 end aligned nbsp dan seterusnya Faktorial nol Sunting Faktorial dari 0 adalah 1 atau dalam simbol 0 1 Ada beberapa motivasi untuk definisi ini Untuk nilai n 0 definisi dari n sebagai perkalian melibatkan hasil kali tanpa bilangan sama sekali dan begitu juga contoh dari konvensi yang lebih luas bahwa produk dari tidak ada faktor yang sama dengan identitas perkalian lihat Produk kosong Hanya ada satu permutasi dari nol objek tanpa ada yang diubah satu satunya penataan ulang adalah tidak melakukan apa apa Karena membuat banyak identitas di kombinatorik berlaku untuk semua ukuran yang berlaku Banyaknya cara untuk memilih 0 elemen dari himpunan kosong diberikan oleh koefisien binomial 0 0 0 0 0 1 displaystyle binom 0 0 frac 0 0 0 1 nbsp dd Secara lebih umum jumlah cara untuk memilih semua elemen n di antara himpunan n adalah n n n n 0 1 displaystyle binom n n frac n n 0 1 nbsp dd Hal ini memungkinkan untuk ekspresi ringkas dari banyak rumus seperti fungsi eksponensial sebagai deret pangkat e x n 0 x n n displaystyle e x sum n 0 infty frac x n n nbsp dd Hal ini dapat memperluas hubungan pengulangan ke 0 Aplikasi SuntingMeskipun fungsi faktorial berakar pada kombinatorik rumus yang melibatkan faktorial terjadi di banyak bidang matematika Terdapat nilai n dengan cara yang berbeda untuk menyusun n objek yang berbeda menjadi sebuah urutan permutasi dari objek tersebut 6 7 Seringkali faktorial muncul di penyebut rumus untuk menjelaskan fakta bahwa pengurutan harus diabaikan Contoh klasik menghitung nilai k kombinasi himpunan bagian dari elemen nilai k dari himpunan dengan elemen n Seseorang bisa mendapatkan kombinasi seperti itu dengan memilih k sebagai permutasi secara berturut turut memilih dan menghapus satu elemen himpunan k kali dengan total n 0 n 1 n 2 n k 1 n n k n k displaystyle n 0 n 1 n 2 cdots left n k 1 right frac n n k n underline k nbsp dd Namun hal ini menghasilkan kombinasi k dalam urutan tertentu yang ingin dinyalakan karena setiap k kombinasi diperoleh dengan k cara yang berbeda jumlah yang benar dari k kombinasi adalahn n 1 n 2 n k 1 k k 1 k 2 1 n k k n n k k n k displaystyle frac n n 1 n 2 cdots n k 1 k k 1 k 2 cdots 1 frac n underline k k frac n n k k binom n k nbsp dd Nomor ini diketahui 8 sebagai koefisien binomial karena ia juga merupakan koefisien dari xk pada 1 x n Syarat n k displaystyle n underline k nbsp sering disebut faktorial jatuh dilafalkan n menjadi penurunan k Faktorial terjadi di aljabar karena berbagai alasan seperti melalui koefisien yang telah disebutkan dari rumus binomial atau melalui rata rata lebih dari permutasi untuk simetri operasi tertentu Faktorial juga muncul di kalkulus misalnya mereka muncul di penyebut suku suku rumus Taylor 9 di mana mereka digunakan sebagai persyaratan kompensasi karena n turunan dari xn setara dengan n Faktorial juga digunakan secara ekstensif di teori probabilitas 10 dan teori bilangan lihat di bawah Faktorial dapat berguna untuk memfasilitasi manipulasi ekspresi Misalnya jumlah k permutasi dari n dapat ditulis sebagain k n n k displaystyle n underline k frac n n k nbsp dd meskipun ini tidak efisien sebagai cara untuk menghitung bilangan itu ini dapat berfungsi untuk membuktikan sifat simetri 7 8 dari koefisien binomial n k n k k n n k k n n k n k n n k displaystyle binom n k frac n underline k k frac n n k k frac n underline n k n k binom n n k nbsp dd Fungsi faktorial dapat ditampilkan menggunakan aturan pangkat sebagain D n x n d n d x n x n displaystyle n D n x n frac d n dx n x n nbsp dd where Dn xn is Notasi Euler untuk n turunan dari xn 11 Tingkat pertumbuhan dan perkiraan untuk yang besar n Sunting nbsp Plot dari logaritma natural faktorialSeiring bertambahnya n faktorial n Meningkat lebih cepat daripada semua polinomial dan fungsi eksponensial tetapi lebih lambat dari n n displaystyle n n nbsp dan fungsi eksponensial ganda masuk n Sebagian besar perkiraan untuk n didasarkan pada perkiraan logaritma natural ln n x 1 n ln x displaystyle ln n sum x 1 n ln x nbsp Grafik fungsi f n ln n ditunjukkan pada gambar di sebelah kanan Ini terlihat kira kira linear untuk semua nilai wajar dari n tetapi intuisi ini salah Kami mendapatkan salah satu perkiraan paling sederhana untuk ln n dengan membatasi jumlah dengan integral dari atas dan bawah sebagai berikut 1 n ln x d x x 1 n ln x 0 n ln x 1 d x displaystyle int 1 n ln x dx leq sum x 1 n ln x leq int 0 n ln x 1 dx nbsp yang memberi kami perkiraan n ln n e 1 ln n n 1 ln n 1 e 1 displaystyle n ln left frac n e right 1 leq ln n leq n 1 ln left frac n 1 e right 1 nbsp Karenanya ln n n ln n lihat Notasi Big O Hasil ini memainkan peran kunci dalam analisis kompleksitas komputasi dari algoritma pengurutan lihat jenis perbandingan Dari batas ln n disimpulkan di atas kita mendapatkan n e n e n n 1 e n 1 e displaystyle left frac n e right n e leq n leq left frac n 1 e right n 1 e nbsp Terkadang praktis untuk menggunakan perkiraan yang lebih lemah tetapi lebih sederhana Menggunakan rumus di atas dengan mudah ditunjukkan bahwa untuk semua n kita punya n 3 n lt n dan untuk semua n 6 kita punya n lt n 2 n nbsp Perbandingan pendekatan Stirling dengan faktorialUntuk n besar kita mendapatkan perkiraan yang lebih baik untuk bilangan n Menggunakan pendekatan Stirling n 2 p n n e n displaystyle n sim sqrt 2 pi n left frac n e right n nbsp Ini sebenarnya berasal dari deret asimtotik untuk logaritma dan faktorial n terletak di antara pendekatan ini dan pendekatan berikutnya 2 p n n e n lt n lt 2 p n n e n e 1 12 n displaystyle sqrt 2 pi n left frac n e right n lt n lt sqrt 2 pi n left frac n e right n e 1 12n nbsp Perkiraan lain untuk lnn Diberikan oleh Srinivasa Ramanujan Ramanujan 1988 ln n n ln n n ln n 1 4 n 1 2 n 6 ln p 2 n 2 p n n e n 1 1 2 n 1 8 n 2 1 6 displaystyle begin aligned ln n amp approx n ln n n frac ln Bigl n bigl 1 4n 1 2n bigr Bigr 6 frac ln pi 2 6px Longrightarrow n amp approx sqrt 2 pi n left frac n e right n left 1 frac 1 2n frac 1 8n 2 right 1 6 end aligned nbsp Baik pendekatan ini maupun perkiraan Stirling memberikan kesalahan relatif pada urutan 1 n3 tapi Ramanujan sekitar empat kali lebih akurat Namun jika kita menggunakan istilah koreksi dua dalam pendekatan tipe Stirling seperti dengan pendekatan Ramanujan kesalahan relatifnya akan teratur 1 n5 12 n 2 p n n e n exp 1 12 n 1 360 n 3 displaystyle n approx sqrt 2 pi n left frac n e right n exp left frac 1 12n frac 1 360n 3 right nbsp Teori bilangan SuntingFaktorial memiliki banyak penerapan dalam teori bilangan Secara khusus n Harus habis dibagi semua bilangan prima hingga dan termasuk n Sebagai konsekuensi n gt 5 adalah bilangan komposit jika dan hanya jika n 1 0 mod n displaystyle n 1 equiv 0 pmod n nbsp Hasil yang lebih kuat adalah Teorema Wilson yang menyatakan bahwa p 1 1 mod p displaystyle p 1 equiv 1 pmod p nbsp if and only if p is prime 13 14 Rumus Legendre memberikan kelipatan bilangan prima p yang terjadi dalam faktorisasi prima dari n Sebagai i 1 n p i displaystyle sum i 1 infty left lfloor frac n p i right rfloor nbsp or equivalently n s p n p 1 displaystyle frac n s p n p 1 nbsp di mana sp n menunjukkan jumlah dari basis standar p digit n Menambahkan 1 ke faktorial n Menghasilkan bilangan yang hanya habis dibagi oleh bilangan prima yang lebih besar dari n Fakta ini dapat digunakan untuk membuktikan Teorema Euklides bahwa bilangan prima tidak terbatas 15 Bentuk prima n 1 disebut prima faktorial Serangkaian timbal balik Suntingkebalikan dari faktorial menghasilkan deret konvergen yang jumlahnya basis eksponensial e n 0 1 n 1 1 1 1 1 2 1 6 1 24 1 120 e displaystyle sum n 0 infty frac 1 n frac 1 1 frac 1 1 frac 1 2 frac 1 6 frac 1 24 frac 1 120 cdots e nbsp Meskipun jumlah deret ini adalah bilangan irasional kita bisa mengalikan faktorial dengan bilangan bulat positif untuk menghasilkan deret konvergen dengan jumlah yang rasional n 0 1 n 2 n 1 2 1 3 1 8 1 30 1 144 1 displaystyle sum n 0 infty frac 1 n 2 n frac 1 2 frac 1 3 frac 1 8 frac 1 30 frac 1 144 cdots 1 nbsp Konvergensi deret ini ke 1 dapat dilihat dari fakta bahwa jumlah parsial adalah k 1 k displaystyle frac k 1 k nbsp Oleh karena itu faktorial tidak membentuk urutan irasionalitas 1 16 gt 16 Lihat pula SuntingLedakan Kombinatorial Pendekatan Stirling Fungsi Gamma Notasi panah hiperfaktorial Faktoradik Permutasi KombinasiReferensi Sunting Graham Knuth amp Patashnik 1988 hlm 111 Biggs Norman L May 1979 The roots of combinatorics Historia Mathematica 6 2 109 136 doi 10 1016 0315 0860 79 90074 0 ISSN 0315 0860 Stedman 1677 hlm 6 9 Stedman 1677 hlm 8 Higgins 2008 hlm 12 Cheng Eugenia 2017 03 09 Beyond Infinity An expedition to the outer limits of the mathematical universe dalam bahasa Inggris Profile Books ISBN 9781782830818 a b Conway John H Guy Richard 1998 03 16 The Book of Numbers nbsp dalam bahasa Inggris Springer Science amp Business Media ISBN 9780387979939 a b Knuth Donald E 1997 07 04 The Art of Computer Programming Volume 1 Fundamental Algorithms dalam bahasa Inggris Addison Wesley Professional ISBN 9780321635747 18 01 Single Variable Calculus Lecture 37 Taylor Series MIT OpenCourseWare Fall 2006 Archived from the original on 2016 09 19 Diakses tanggal 2017 05 03 Parameter url status yang tidak diketahui akan diabaikan bantuan Pemeliharaan CS1 Url tak layak link Kardar Mehran 2007 06 25 Chapter 2 Probability Statistical Physics of Particles dalam bahasa English Cambridge University Press hlm 35 56 ISBN 9780521873420 Pemeliharaan CS1 Bahasa yang tidak diketahui link 18 01 Single Variable Calculus Lecture 4 Chain rule higher derivatives MIT OpenCourseWare Fall 2006 Archived from the original on 2016 09 19 Diakses tanggal 2017 05 03 Parameter url status yang tidak diketahui akan diabaikan bantuan Pemeliharaan CS1 Url tak layak link Impens Chris 2003 Stirling s series made easy American Mathematical Monthly 110 8 730 735 doi 10 2307 3647856 hdl 1854 LU 284957 nbsp MR 2024001 lihat khususnya ketimpangan di hal 732 menunjukkan bahwa kesalahan relatif paling banyak 1 1260 n 5 displaystyle 1 1260n 5 nbsp John J O Connor and Edmund F Robertson Abu Ali al Hasan ibn al Haytham di MacTutor archive Inggris Weisstein Eric W WilsonsTheorem html Wilson s Theorem Periksa nilai url bantuan MathWorld Diakses tanggal 2017 05 17 Bostock Chandler amp Rourke 2014 hlm 168 2 16 0 gt Guy 2004 hlm books google com books id 1AP2CEGxTkgC amp pg PA346 346 Pranala luar Sunting factorielle free fr Diarsipkan 2012 01 19 di Wayback Machine Online kalkulator faktorial Diarsipkan 2023 07 17 di Wayback Machine Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Faktorial amp oldid 23865472