www.wikidata.id-id.nina.az

Fungsi gamma Di dalam matematika fungsi gamma disajikan oleh huruf kapital Yunani Γ merupakan ekstensi atau perluasan da

Fungsi gamma

Di dalam matematika, fungsi gamma (disajikan oleh huruf kapital Yunani Γ) merupakan ekstensi atau perluasan dari fungsi faktorial, dengan argumennya digeser turun oleh 1, ke bilangan real dan kompleks. Yaitu, jika n adalah bilangan bulat positif, maka:

Fungsi gamma pada sumbu real.

Fungsi gamma didefinisikan untuk semua bilangan kompleks, kecuali bilangan bulat negatif dan nol. Untuk bilangan kompleks yang bagian realnya positif, fungsi gamma terdefinisi melalui sebuah integral takwajar yang konvergen:

Fungsi integral ini diperluas oleh kekontinuan analitik terhadap semua bilangan kompleks, kecuali bilangan bulat tak-positif (di mana fungsi ini memiliki kutub-kutub yang sederhana), menghasilkan fungsi meromorfik yang kita sebut fungsi gamma.

Fungsi gamma adalah sebuah komponen di dalam berbagai fungsi distribusi peluang, dan dengan demikian fungsi gamma dapat diterapkan pada cabang peluang dan statistika, serta kombinatorika.

Motivasi Sunting

Secara grafis, mudah untuk menginterpolasi fungsi faktorial ke nilai-nilai yang bukan bilangan bulat, tetapi adakah rumus yang menjelaskan kurva yang dihasilkan?

Fungsi gamma dapat dipandang sebagai solusi bagi persoalan interpolasi berikut ini:

Plot beberapa faktorial pertama memperjelas bahwa kurva tersebut dapat dilukis, tetapi akan lebih baik jika diketahui sebuah rumus yang secara tepat menggambarkan kurva tersebut, di mana banyaknya operasi tidak bergantung kepada ukuran  x. Rumus sederhana untuk faktorial, n! = 1 × 2 × … × n, tidak dapat digunakan secara langsung untuk nilai-nilai pecahan x karena ia hanya akan sahih ketika x merupakan bilangan asli (yakni, bilangan bulat positif). Tidak terdapat solusi sederhana untuk faktorial; sembarang paduan perjumlahan, perkalian, perpangkatan, fungsi eksponensial, atau logaritma dengan sebuah bilangan tetap dari suku-suku yang terlibat tidak akan cukup untuk menyatakan x!. Hampiran Stirling secara asimtotik sama dengan fungsi faktorial untuk nilai x yang cukup besar. Adalah dimungkinkan untuk menentukan rumus umum faktorial dengan menggunakan alat seperti integral dan limit dari kalkulus. Solusi yang baik untuk masalah ini adalah fungsi gamma.

Terdapat tak-hingga banyaknya perluasan kontinu faktorial ke bilangan-bilangan takbulat: terdapat tak-hingga banyaknya kurva yang dapat dilukis melalui sembarang himpunan titik-titik yang terkucil. Fungsi gamma adalah solusi yang paling praktis, bersifat analitik (kecuali untuk bilangan bulat tak-positif), dan fungsi gamma dapat dikarakterisasi dalam beberapa cara. Meskipun demikian, fungsi gamma bukanlah satu-satunya fungsi analitik yang memperluas faktorial, karena jika dilakukan penambahan suatu fungsi analitik yakni nol pada bilangan bulat positif akan memberi fungsi lain dengan sifat itu.

untuk x yang sama dengan bilangan real positif. Teorema Bohr–Mollerup membuktikan bahwa sifat-sifat ini, bersama-sama dengan asumsi bahwa f konveks logaritmik (alias: "superkonveks"), menentukan f secara unik untuk input bilangan real positif. Dari sana, fungsi gamma dapat diperluas ke nilai-nilai real dan kompleks (kecuali bilangan bulat negatif dan nol) dengan menggunakan kekontinuan analitik f yang unik.

Definisi Sunting

Definisi utama Sunting

Versi fungsi gamma yang diperluas di dalam bidang kompleks.

Notasi Γ(z) digunakan atas jasa Legendre. Jika bagian real bilangan kompleks z adalah positif (Re(z) > 0), maka integral

konvergen mutlak, dan dikenal sebagai Integral Euler jenis kedua (Integral Euler jenis pertama mendefinisikan fungsi Beta). Dengan menggunakan integrasi parsial, akan diketahui bahwa fungsi gamma memenuhi persamaan fungsional:

Pemaduan ini dengan Γ(1) = 1, menghasilkan:

untuk setiap bilangan bulat positif n.

Identitas Γ(z) = Γ(z+1) / z dapat digunakan (atau kekontinuan analitik dapat digunakan, juga memberikan hasil yang sama) untuk memperluas perumusan integral bagi Γ(z) ke suatu fungsi meromorfik yang terdefinisi untuk setiap bilangan kompleks z, kecuali z = −n untuk bilangan bulat n ≥ 0, di mana fungsi memiliki kutub-kutub sederhana dengan residu (−1)n/n!.

Inilah versi yang diperluas yang biasa disebut sebagai fungsi gamma.

Definisi alternatif Sunting

Definisi-definisi perkalian takhingga untuk fungsi gamma, masing-masing oleh Euler dan Weierstrass, adalah sahih untuk setiap bilangan kompleks z, kecuali bilangan bulat tak-positif:

di mana merupakan konstanta Euler–Mascheroni. Adalah mudah untuk menunjukkan bahwa definisi Euler memenuhi persamaan fungsional (1) di atas.

Sebuah parametrisasi fungsi gamma diberikan dalam suku-suku polinom Laguerre yang diperumum,

Dalam cara yang berbeda, dapat ditunjukkan bahwa

dengan bagian real z lebih besar daripada 1.

Fungsi log-gamma Sunting

Perkiraan Sunting

Aplikasi Sunting

Sejarah Sunting

Referensi Sunting

  1. Kingman, J.F.C. 1961. A convexity property of positive matrices. Quart. J. Math. Oxford (2) 12,283-284.

Kepustakaan Sunting

  • Milton Abramowitz dan Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (Lihat Bab 6) 2009-02-17 di Wayback Machine.
  • G. E. Andrews, R. Askey, R. Roy, Special Functions, Cambridge University Press, 2001. ISBN 978-0-521-78988-2. Bab Satu, membahas fungsi beta dan gamma, cukup definitif dan ramah-pembaca.
  • Emil Artin, "The Gamma Function", in Rosen, Michael (ed.) Exposition by Emil Artin: a selection; History of Mathematics 30. Providence, RI: American Mathematical Society (2006).
  • Askey, R. A.; Roy, R. (2010), "Fungsi gamma", dalam Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248 
  • Birkhoff, George D. (1913). "Note on the gamma function". Bull. Amer. Math. Soc. 20 (1): 1–10. MR 1559418. 
  • P. E. Böhmer, ´´Differenzengleichungen und bestimmte Integrale´´, Köhler Verlag, Leipzig, 1939.
  • James D. Bonnar, The Gamma Function. CreateSpace Publishing, Seattle, 2010. ISBN 978-1-4636-9429-6. Sebuah buku yang cermat dan sistematis yang sepenuhnya membahas fungsi gamma.
  • Philip J. Davis, "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function," American Mathematical Monthly 66, 849-869 (1959)
  • Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Section 6.1. Gamma Function", Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (edisi ke-3rd), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, dari versi asli tanggal 2021-10-27, diakses tanggal 2013-02-05 
  • O. R. Rocktaeschel, ´´Methoden zur Berechnung der Gammafunktion für komplexes Argument``, University of Dresden, Dresden, 1922.
  • Nico M. Temme, "Special Functions: An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics", John Wiley & Sons, New York, ISBN 0-471-11313-1,1996.
  • E. T. Whittaker dan G. N. Watson, A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press (1927; cetak-ulang 1996) ISBN 978-0-521-58807-2

Pranala luar Sunting

Wikimedia Commons memiliki media mengenai Gamma and related functions.
wikipedia, wiki, buku, buku, perpustakaan, artikel, baca, unduh, gratis, unduh gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, gambar, musik, lagu, film, buku, permainan, permainan.
Tanggal penerbitan:
Di dalam matematika fungsi gamma disajikan oleh huruf kapital Yunani G merupakan ekstensi atau perluasan dari fungsi faktorial dengan argumennya digeser turun oleh 1 ke bilangan real dan kompleks Yaitu jika n adalah bilangan bulat positif maka Fungsi gamma pada sumbu real G n n 1 displaystyle Gamma n n 1 Fungsi gamma didefinisikan untuk semua bilangan kompleks kecuali bilangan bulat negatif dan nol Untuk bilangan kompleks yang bagian realnya positif fungsi gamma terdefinisi melalui sebuah integral takwajar yang konvergen G z 0 t z 1 e t d t displaystyle Gamma z int 0 infty t z 1 e t rm d t Fungsi integral ini diperluas oleh kekontinuan analitik terhadap semua bilangan kompleks kecuali bilangan bulat tak positif di mana fungsi ini memiliki kutub kutub yang sederhana menghasilkan fungsi meromorfik yang kita sebut fungsi gamma Fungsi gamma adalah sebuah komponen di dalam berbagai fungsi distribusi peluang dan dengan demikian fungsi gamma dapat diterapkan pada cabang peluang dan statistika serta kombinatorika Daftar isi 1 Motivasi 2 Definisi 2 1 Definisi utama 2 2 Definisi alternatif 3 Fungsi log gamma 4 Perkiraan 5 Aplikasi 6 Sejarah 7 Referensi 8 Kepustakaan 9 Pranala luarMotivasi Sunting nbsp Secara grafis mudah untuk menginterpolasi fungsi faktorial ke nilai nilai yang bukan bilangan bulat tetapi adakah rumus yang menjelaskan kurva yang dihasilkan Fungsi gamma dapat dipandang sebagai solusi bagi persoalan interpolasi berikut ini Tentukanlah sebuah kurva mulus yang menghubungkan titik titik x y yang diberikan oleh y x 1 pada nilai nilai bilangan bulat positif untuk x Plot beberapa faktorial pertama memperjelas bahwa kurva tersebut dapat dilukis tetapi akan lebih baik jika diketahui sebuah rumus yang secara tepat menggambarkan kurva tersebut di mana banyaknya operasi tidak bergantung kepada ukuran x Rumus sederhana untuk faktorial n 1 2 n tidak dapat digunakan secara langsung untuk nilai nilai pecahan x karena ia hanya akan sahih ketika x merupakan bilangan asli yakni bilangan bulat positif Tidak terdapat solusi sederhana untuk faktorial sembarang paduan perjumlahan perkalian perpangkatan fungsi eksponensial atau logaritma dengan sebuah bilangan tetap dari suku suku yang terlibat tidak akan cukup untuk menyatakan x Hampiran Stirling secara asimtotik sama dengan fungsi faktorial untuk nilai x yang cukup besar Adalah dimungkinkan untuk menentukan rumus umum faktorial dengan menggunakan alat seperti integral dan limit dari kalkulus Solusi yang baik untuk masalah ini adalah fungsi gamma Terdapat tak hingga banyaknya perluasan kontinu faktorial ke bilangan bilangan takbulat terdapat tak hingga banyaknya kurva yang dapat dilukis melalui sembarang himpunan titik titik yang terkucil Fungsi gamma adalah solusi yang paling praktis bersifat analitik kecuali untuk bilangan bulat tak positif dan fungsi gamma dapat dikarakterisasi dalam beberapa cara Meskipun demikian fungsi gamma bukanlah satu satunya fungsi analitik yang memperluas faktorial karena jika dilakukan penambahan suatu fungsi analitik yakni nol pada bilangan bulat positif akan memberi fungsi lain dengan sifat itu f 1 1 dan f x 1 x f x displaystyle begin aligned f 1 amp 1 text dan f x 1 amp xf x end aligned nbsp untuk x yang sama dengan bilangan real positif Teorema Bohr Mollerup membuktikan bahwa sifat sifat ini bersama sama dengan asumsi bahwa f konveks logaritmik alias superkonveks 1 menentukan f secara unik untuk input bilangan real positif Dari sana fungsi gamma dapat diperluas ke nilai nilai real dan kompleks kecuali bilangan bulat negatif dan nol dengan menggunakan kekontinuan analitik f yang unik Definisi SuntingDefinisi utama Sunting nbsp Versi fungsi gamma yang diperluas di dalam bidang kompleks Notasi G z digunakan atas jasa Legendre Jika bagian real bilangan kompleks z adalah positif Re z gt 0 maka integral G z 0 t z 1 e t d t displaystyle Gamma z int 0 infty t z 1 e t rm d t nbsp konvergen mutlak dan dikenal sebagai Integral Euler jenis kedua Integral Euler jenis pertama mendefinisikan fungsi Beta Dengan menggunakan integrasi parsial akan diketahui bahwa fungsi gamma memenuhi persamaan fungsional G z 1 z G z displaystyle Gamma z 1 z Gamma z nbsp Pemaduan ini dengan G 1 1 menghasilkan G n 1 2 3 n 1 n 1 displaystyle Gamma n 1 cdot 2 cdot 3 dots n 1 n 1 nbsp untuk setiap bilangan bulat positif n Identitas G z G z 1 z dapat digunakan atau kekontinuan analitik dapat digunakan juga memberikan hasil yang sama untuk memperluas perumusan integral bagi G z ke suatu fungsi meromorfik yang terdefinisi untuk setiap bilangan kompleks z kecuali z n untuk bilangan bulat n 0 di mana fungsi memiliki kutub kutub sederhana dengan residu 1 n n Inilah versi yang diperluas yang biasa disebut sebagai fungsi gamma Definisi alternatif Sunting Definisi definisi perkalian takhingga untuk fungsi gamma masing masing oleh Euler dan Weierstrass adalah sahih untuk setiap bilangan kompleks z kecuali bilangan bulat tak positif G z lim n n n z z z 1 z n 1 z n 1 1 1 n z 1 z n G z e g z z n 1 1 z n 1 e z n displaystyle begin aligned Gamma z amp lim n to infty frac n n z z z 1 cdots z n frac 1 z prod n 1 infty frac left 1 frac 1 n right z 1 frac z n Gamma z amp frac e gamma z z prod n 1 infty left 1 frac z n right 1 e z n end aligned nbsp di mana g 0 577216 displaystyle gamma approx 0 577216 nbsp merupakan konstanta Euler Mascheroni Adalah mudah untuk menunjukkan bahwa definisi Euler memenuhi persamaan fungsional 1 di atas Sebuah parametrisasi fungsi gamma diberikan dalam suku suku polinom Laguerre yang diperumum G z t z n 0 L n z t z n displaystyle Gamma z t z sum n 0 infty frac L n z t z n nbsp yang konvergen ke Re z lt 1 2 Dalam cara yang berbeda dapat ditunjukkan bahwa G z 0 e t 1 z 1 d t displaystyle begin aligned Gamma z int 0 infty e t 1 z 1 dt end aligned nbsp dengan bagian real z lebih besar daripada 1 Fungsi log gamma SuntingPerkiraan SuntingAplikasi SuntingSejarah SuntingReferensi Sunting Kingman J F C 1961 A convexity property of positive matrices Quart J Math Oxford 2 12 283 284 Kepustakaan SuntingMilton Abramowitz dan Irene A Stegun eds Handbook of Mathematical Functions with Formulas Graphs and Mathematical Tables New York Dover 1972 Lihat Bab 6 Diarsipkan 2009 02 17 di Wayback Machine G E Andrews R Askey R Roy Special Functions Cambridge University Press 2001 ISBN 978 0 521 78988 2 Bab Satu membahas fungsi beta dan gamma cukup definitif dan ramah pembaca Emil Artin The Gamma Function in Rosen Michael ed Exposition by Emil Artin a selection History of Mathematics 30 Providence RI American Mathematical Society 2006 Askey R A Roy R 2010 Fungsi gamma dalam Olver Frank W J Lozier Daniel M Boisvert Ronald F Clark Charles W NIST Handbook of Mathematical Functions Cambridge University Press ISBN 978 0 521 19225 5 MR 2723248 Birkhoff George D 1913 Note on the gamma function Bull Amer Math Soc 20 1 1 10 MR 1559418 P E Bohmer Differenzengleichungen und bestimmte Integrale Kohler Verlag Leipzig 1939 James D Bonnar The Gamma Function CreateSpace Publishing Seattle 2010 ISBN 978 1 4636 9429 6 Sebuah buku yang cermat dan sistematis yang sepenuhnya membahas fungsi gamma Philip J Davis Leonhard Euler s Integral A Historical Profile of the Gamma Function American Mathematical Monthly 66 849 869 1959 Press WH Teukolsky SA Vetterling WT Flannery BP 2007 Section 6 1 Gamma Function Numerical Recipes The Art of Scientific Computing edisi ke 3rd New York Cambridge University Press ISBN 978 0 521 88068 8 diarsipkan dari versi asli tanggal 2021 10 27 diakses tanggal 2013 02 05 O R Rocktaeschel Methoden zur Berechnung der Gammafunktion fur komplexes Argument University of Dresden Dresden 1922 Nico M Temme Special Functions An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics John Wiley amp Sons New York ISBN 0 471 11313 1 1996 E T Whittaker dan G N Watson A Course of Modern Analysis Cambridge University Press 1927 cetak ulang 1996 ISBN 978 0 521 58807 2Pranala luar Sunting nbsp Wikimedia Commons memiliki media mengenai Gamma and related functions Pascal Sebah dan Xavier Gourdon Introduction to the Gamma Function Di dalam format PostScript Diarsipkan 2012 02 04 di Wayback Machine dan HTML Diarsipkan 2012 02 04 di Wayback Machine Referensi C untuk std tgamma Diarsipkan 2012 03 02 di Wayback Machine Contoh contoh soal yang melibatkan fungsi gamma dapat ditemukan di Exampleproblems com Diarsipkan 2016 10 02 di Wayback Machine Hazewinkel Michiel ed 2001 Gamma function pranala nonaktif permanen Encyclopedia of Mathematics Springer ISBN 978 1 55608 010 4 Penilai fungsi gamma Wolfram ketelitian sembarang Diarsipkan 2019 10 28 di Wayback Machine Gamma Diarsipkan 2023 05 23 di Wayback Machine di Situs Fungsi Wolfram Volume of n Spheres and the Gamma Function Diarsipkan 2012 03 05 di Wayback Machine di MathPages Weisstein Eric W Gamma Function Diarsipkan 2017 07 06 di Wayback Machine dari MathWorld Elementary Proofs and Derivations Diarsipkan 2023 07 26 di Wayback Machine Selected Transformations Identities and Special Values for the Gamma Function Diarsipkan 2023 07 26 di Wayback Machine Artikel ini memuat bahan bahan dari artikel Citizendium yang berjudul Gamma function yang berlisensi di bawah Creative Commons Attribution ShareAlike 3 0 Unported License tetapi tidak di bawah GFDL Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Fungsi gamma amp oldid 23907592