Rangkap tiga Pythagoras

Sebuah rangkap tiga Pythagoras (atau umumnya disebut tripel Pythagoras) terdiri dari tiga bilangan bulat positif , , dan , sehingga . Seperti sebuah rangkap tiga biasanya ditulis , dan sebuah contoh yang terkenal adalah . Jika adalah sebuah rangkap tiga Pythagoras, maka begitu juga dengan untuk suatu bilangan bulat positif . Sebuah rangkap Pythagoras primitif adalah salah satu di mana , , dan adalah koprima (yaitu, mereka tidak mempunyai pembagi persekutuan lebih besar dari ). Sebuah segitiga yang sisinya membentuk sebuah rangkap tiga Pythagoras disebut segitiga Pythagoras, dan selalu sebuah segitiga siku-siku.

Animasi menunjukkan rangkap tiga Pythagoras paling sederhana, .

Namanya diturunkan dari teorema Pythagoras, menyatakan bahwa setiap segitiga siku-siku memiliki panjang sisi yang memenuhi rumus ; demikian, rangkap tiga Pythagoras menggambarkan tiga panjang sisi bilangan bulat dari sebuah segitiga siku-siku. Namun, segitiga siku-siku dengan sisi tak bilangan bulat tidak membentuk rangkap tiga Pythagoras. Misalnya, segitiga dengan sisi dan merupakan sebuah segitiga siku-siku, tetapi bukanlah sebuah rangkap tiga Pythagoras karena bukanlah sebuah bilangan bulat. Selain itu, dan tidak memiliki sebuah kelipatan persekutuan bilangan bulat karena adalah irasional.

Rangkap tiga Pythagoras telah dikenal sejak waktu kuno. Catatan terlama yang dikenal dari Plimpton 322, sebuah loh tanah liat Babylonian dari sekitar 1800 SM, ditulis dalam sebuah sistem bilangan seksagesimal. Ini ditemukan oleh Edgar James Banks sesaat setelah tahun 1900, dan dijual ke George Arthur Plimpton pada tahun 1922, untuk $10.

Ketika menelusuri untuk penyelesaian bilangan bulat, persamaan merupakan sebuah persamaan Diophantus. Demikian rangkap tiga Pythagoras adalah penyelesaian terlama yang diketahui mengenai sebuah persamaan Diophantus taklinear

Contoh-contoh

Plot pencar kaki dari rangkap tiga Pythagoras pertama dengan dan lebih kecil dari 6000. Nilai negatif tercakup untuk mengilustrasikan pola parabolik. "Sinar"nya merupakan sebuah hasil dari fakta bahwa jika adalah sebuah rangkap tiga Pythagoras, maka begitu juga dengan , dan, lebih umumnya, untuk suatu bilangan bulat positif .

Terdapat 16 rangkap tiga Pythagoras primitif sampai dengan 100:

Setiap titik-titik ini membentuk sebuah garis pemancar dalam plot pancar. Rangkap tiga Pythagoras kecil lainnya seperti tidak terdaftar karena mereka bukanlah primitf, misalnya merupakan kelipatan dari .

Ini sebagai tambahannya merupakan sisa rangkap tiga Pythagoras primitif sampai dengan 300:

Menghasilkan sebuah rangkap tiga

Rangkap tiga Pythagoras primitif. Kaki ganjil diplot pada sumbu horizontal, kaki genap pada vertikal. Kisi kurvilinear dikomposisi oleh kurva mengenai tetapan dan tetapan dalam rumus Euclid.

Sebuah plot mengenai rangkap tiga dihasilkan oleh rumus Euclid menyusun bagian dari kerucut . Sebuah tetapan dan melacak bagian parabola mengenai kerucut.

Rumus Euclid merupakan sebuah rumus dasar untuk menghasilkan rangkap tiga Pythagoras yang diberikan sebuah pasangan sembarang bilangan bulat dan dengan . Rumusnya menyatakan bahwa bilangan bulat

membentuk sebuah rangkap tiga Pythagoras. Rangkapya dihasilkan oleh rumus Euclid adalah primitif jika dan hanya jika dan adalah koprima dan keduanya bukan bilangan ganjil. Ketika keduanya dan adalah ganjil, maka , , dan akan menjad genap, dan rangkap tiganya tidak akan menjadi primitif, namun, membagi , , dan oleh 2 akan menghasilkan sebuah rangkap tiga primitf ketika dan adalah koprima dan keduanya ganjil.

Setiap rangkap tiga primitif muncul (setelah pertukaran dan , jika adalah genap) dari sebuah pasangan tunggal bilangan koprima , , salah satunya yang genap. Ini mengikuti bahwa terdapat rangkap tiga Pythagoras primitif banyak. Hubungan ini mengenai , , dan dengan dan dari rumus Euclid direferensikan sepanjang sisa halaman ini.

Meski menghasilkan semua rangkap tiga primitif, rumus Euclid tidak menghasilkan semua rangkap tiga—contohnya, tidak dapat dihasilkan menggunakan bilangan bulat dan . Ini dapat diperbaiki dengan memasukkan sebuah parameter tambahan ke rumusnya. Berikut ini akan menghasilkan semua rangkap tiga Pythagoras dengan tunggal:

dimana , , dan adalah bilangan bulat positif dengan , dan dengan dan adalah koprima dan keduanya bukanlah ganjil.

Bahwa rumus-rumus ini menghasilkan rangkap tiga Pythagoras dapat diverifikasikan dengan memperluas menggunakan aljabar elementer dan memverifikasikan bahwa hasilnya sama dengan . Karena setiap rangkap tiga Pythagoras dapat dibagi melalui oleh suatu bilangan bulat untuk memperoleh sebuah rangkap tiga primitif, setiap rangkap tiga dapat secara tunggal dengan menggunakan rumus dengan dan untuk menghasilkan pasangan primitifnya dan kemudian mengalikan melalui oleh seperti dalam persamaan terakhirnya.

Memilih dan dari barisan bilangan tertentu memberikan hasil yang menarik. Contohnya, jika dan adalah bilangan Pell berturut-turut, dan akan berbeda oleh 1.

Banyak rumus-rumsu untuk menghasilkan rangkap tiga dengan sifat-sifat khusus telah dikembangkan sejak zaman Euclid.

Bukti rumus Euclid

Kepuasannya mengenai rumus Euclid oleh , , dan adalah cukup untuk segitiga menjadi Pythagoras rupanya dari fakta bahwa untuk bilangan bulat positif dan , , , , dan diberikan oleh rumus adalah bilangan positif semua, dan dari fakta bahwa

Sebuah bukti keperluannya bahwa , , dan diungkapkan oleh rumus Euclid untuk suatu rangkap tiga Pythagoras priitif adalah sebagai berikut. Semua seperti rangkap tiga dapat ditulis sebagai dimana dan , , serta adalah koprima. Demikian juga, , , dan adalah koprima sepasangan (jika sebuah bilangan prima dibagi dua dari mereka, ini juga akan mendorong untuk membagi yang ketiganya). Karena dan adalah koprima, setidaknya salah satu darinya adalah ganjil, jadi kita dapat menganggap bahwa adalah ganjil, dengan menukarkan, jika diperlukan dan . Ini menyiratkan bahwa adalah genap dan adalah ganjil (jika adalah ganjil, akan menjadi genap, dan akan menjadi sebuah kelipatan dari 4, sementara akan menjadi kongruen dengan 2 modulo 4, sebagai sebuah bilangan kuadrat ganjil adalah kongruen dengan 1 modulo 4).

Dari , kita memperoleh dan karena itu . Maka . Karena adalah rasional, kita meletakkannya sama dengan dalam jangka terendah. Demikian , menjadi timbal balik dari . Lalu menyelesaikan

untuk dan memberikan

Karena tereduksi dengan penuh, dan adalah koprima, dan mereka tidak dapat menjadi genap. Jika mereka keduanya ganjil, pembilang dari akan menjadi sebuah kelipatan dari 4 (karena sebuah bilangan kuadrat ganjil kongruen dengan 1 modulo 4), dan penyebutnya tidak akan menjadi sebuah kelipatan dari 4. Karena 4 akan menjadi faktor genap minimum mungkin dalam pembilang dan 2 akan menjadi faktor genap maksimum mungkin dalam penyebut, ini akan menyiratkan menjadi genap meskipun menentukannya sebagai ganjil. Demikian salah satu dari dan adalah ganjil dan lainnya adalah genap, dan pembilangnya dari dua pecahan dengan penyebut adalah ganjil. Demikian pecahan-pecahan ini adalah tereduksi dengan penuh (sebuah bilangan prima ganjil membagi penyebut ini dibagi salah satu dari dan tetapi bukan yang lainnya; demikian ini tidak membagi ). Salah satunya dapat demikian menyamakan penyebut, memberikan rumus Euclid.

Sebuah bukti yang lebih panjang tapi lebih umum diberikan di Maor (2007) dan Sierpiński (2003). Bukti lain diberikan dalam Persamaan Diophantus § Contoh rangkap tiga Pythagoras, sebagai sebuah contoh mengenai sebuah metode umum yang berlaku dengan setiap persamaan Diophantus homogen derajat dua.

Interpretasi mengenai parameter dalam rumus Euclid

Andaikan sisi segitiga Pythagoras memiliki panjang , , , dan menganggap sudutnya antara kaki dengan panjang dan hipotenusa dengan panjang dilambangkan sebagai . Maka dan nilai trigonometrik sudut penuhnya adalah , dan , dan .

Sebuah varian

Varian berikut mengenai rumus Euclid terkadang lebih cocok, karena menjadi lebih simetrik dalam dan (syarat paritas yang sama pada dan )

Jika dan adalah dua bilangan bulat ganjil sehingga , maka

adalah tiga bilangan bulat membentuk sebuah rangkap tiga Pythagoras, yang adalah primitif jika dan hanya jika dan adalah koprima. Sebaliknya, setiap rangkap tiga Pythagoras primitif muncul (setelah pertukaran dan , jika adalah genap) dari sebuah pasangan tunggal mengenai bilangan bulat ganjil.

Sifat-sifat elementer rangkap tiga Pythagoras primitif

Sifat-sifat umum

Sifat-sifat rangkap tiga Pythagoras primitif dengan (tanpa menentukan yang mana atau adalah genap daan yang mana ganjil) mencakup:

• selalu sebuah bilangan kuadrat sempurna. Karena ini hanya sebuah syarat yang perlu tapi bukan yang cukup, ini dapat digunakan dalam pemeriksaan jika sebuah rangkap tiga bilangan yang diberikan bukanlah sebuah rangkap tiga Pythagoras ketika mereka gagal melakukan uji. Contohnya, lolos ujinya bahwa adalah sebuah bilangan kuadrat sempurna, tapi bukanlah sebuah rangkap tiga Pythagoras.
• Ketika sebuah rangkap tiga bilangan , , dan membentuk sebuah rangkap tiga Pythagoras, maka ( dikurangi kaki genap) dan satu setengah dari ( dikurangi kaki ganjil) adalah keduanya bilangan kuadrat sempurna; namun ini bukanlah sebuah syarat yang cukup, karena bilangan lolos uji bilangan kuadrat sempurna tapi bukanlah sebuah rangkap tiga ketika .
• Sebanyak salah satu dari , , dan adalah sebuah bilangan kuadrat.
• Luas segitiga Pythagoras tidak dapat menjadi bilangan kuadrat^{:p. 17} atau dua kali kuadrat^{:p. 21} bilangan asli.
• Tepat salah satu dari , adalah ganjil; adalah ganjil.^:23–25
• Tepat salah satu dari , habis dibagi oleh 3.^:23–25
• Tepat salah satu dari , habis dibagi oleh 4.
• Tepat salah satu dari , , habis dibagi oleh 5.
• Bilangan terbesar yang selalu membagi adalah 60.
• Suatu bilangan gajil dari bentuk , dimana adalah sebuah bilangan bulat dan , dapat menjadi kaki ganjil rangkap tiga Pythagoras primitif. Lihat rangkap tiga Pythagoras primitif hampir samakaki di bagian bawah. Namun, hanya bilangan genap habis dibagi oleh 4 dapat menjadi kaki genap dari sebuah rangkap tiga Pythagoras primitif. Ini dikarenakan rumus Euclid untuk kaki genap yang diberikan di atas adalah dan salah satu dari dan harus genap.
• Hipotenusa adalah jumlah dari dua bilangan kuadrat. Ini memerlukan semua faktor prima menjadi prima dari bentuk 4n + 1. Oleh karena itu dari bentuk . Sebuah barisan bilangan hipotenusa mungkin untuk rangkap tiga Pythagoras primitif dapat ditemukan di (barisan A008846 pada OEIS)
• Luasnya () adalah sebuah bilangan kongruen habis dibagi 6.
• Dalam setiap rangkap tiga Pythagoras, jari-jari dari lingkaran dalam jari-jari dari tiga lingkaran singgung luar adalah bilangan asli. Secara spesifik, untuk sebuah rangkap tiga primitif, jari-jari dari lingkaran dalam adalah , dan jari-jari dari lingkaran singgung luar berlawanan dengan sisi , , dan hipotenusa masing-masing , , dan .
• Adapun suatu segitiga siku-siku, kebalikan teorema Thales mengatakan bahwa diameter dar lingkaran luar sama dengan hipotenusa; karena itu untuk rangkap tiga primitif, diameter lingkaran luarnya adalah , dan jari-jari lingkaran luar adalah setengahnya ini dan demkan merupakan bilangan rasonal tapi bukan bilangan bulat (karena dan memiliki paritas yang berlawanan).
• Ketika luas segitiga Pythagoras dikalikan oleh kelengkungan lingkaran dalamnya dan 3 lingkaran singgung luar, hasilnya empat bilangan bulat positif , masing-masing. Bilangan bulat memenuhi Persamaan Lingkaran Descartes. Dengan setaranya, jari-jari dari lingkaran Soddy luar mengenai suatu segtga siku-siku sama dengan semiperimeternya. Pusat Soddy luarnya terletak di , dimana adalah sebuah persegi panjang, adalah segitiga siku-siku dan adalah hipotenusanya.^{:hlm. 6}
• Hanya dua sisi rangkap tiga Pythagoras primitif dapat dengan secara bersamaan menjadi prmia karena oleh rumus Euclid untuk menghasilkan sebuah rangkap tiga Pythagoras, salah satu dari kakinya harus komposit dan genap. Namun, hanya satu sisi dapat menjad sebuah bilangan bulat pangkat sempurna karena dua sisinya adalah bilangan bulat pangkat sempurna dengan eksponen yang sama akan menentang fakra bahwa tidak ada penyelesaian bilangan bulat untuk persamaan Diophantus , dengan , , dan menjadi koprima sepasangan.
• Tidak ada segitiga Pythagoras di mama hipotenusa dan satu kaki adalah kaki segitiga Pythagoras lainnya: ini adalah salah satu dari bentuk setara teorema segitiga siku-siku Fermat.^{:p. 14}
• Setiap segitiga Pythagoras primitif memiliki sebuah rasio luas, , untuk menguadratkan semiperimeter, , yaitu tunggal dengan sendirinya dan diberikan oleh

• Tidak ada segitiga Pythagoras primitif memiliki sebuah ketinggian bilangan bulat dari hipotenusanya, yaitu, setiap segtiga Pythagoras primitif adalah takteruraikan.
• Himpunan semua rangkap tiga Pythagoras primitif membentuk sebuah pohon terner berakar dalam cara yang alam; lihat Pohon rangkap tiga Pythagoras primitif.
• Baik bukan dari sudut lancip segitiga Pythagoras dapat menjadi sebuah bilangan rasional atau derajat. (Ini diikuti dari teorema Niven)

Kasus khusus

Sebagai tambahan, rangkap tiga Pythagoras khusus dengan sifat-sifat tertentu dapat dijamin untuk ada:

• Setap bilangan bulat lebih besar dari 2 tidak kongruen dengan 2 mod 4 (dengan kata lain, setiap bilangan bulat lebih besar dari 2 yang bukan dari bentuk ) merupakan bagian rangkap tiga Pythagoras. (Jika bilangna bulat memiliki bentuk , salah satunya dapat mengambil dan dalam rumus Euclid, jika blangan bulatnya adalah , salah satunya dapat ambil dan .)
• Setiap bilangan bulat lebih besar dari 2 merupakan bagian rangkap tiga Pythagoras primtif atau takprimitif. Contohnya, bilangan bulat 6, 10, 14, dan 18 bukan bagian rangkap tiga primitif, tetapi merupakan bagian dari rangkap tiga takprimitif , dan .
• Terdapat rangkap tiga Pythagoras yang takterhingga banyaknya di mana hipotenusa dan kaki terpanjang berbeda dengan tepat satu. Seperti rangkap tiga adalah primitif perlu dan memiliki bentuk . Hasil ini dari rumus Euclid dengan berkomentar bahwa syaratnya menyiratkan bahwa rangkap tiganya adalah primitif dan harus membenarkan . Ini menyiratkan , dan demikian . Bentuk di atas dari hasil rangkap tiga mengenai substitusi untuk dalam rumus Euclid.
• Terdapat rangkap tiga Pythagoras yang takterhingga banyaknya di mana hipotenusa dan kaki terpanjang berbeda dengan tepat dua. Mereka semua primitif, dan diperoleh dengan meletakkan dalam rumus Euclid. Lebih umumnya, untuk setiap bilangan bulat , terdapat rangkap tiga Pythagoras primitif yang takterhingga banyaknya di mana hipotenusa dan kaki ganjil berbeda dengan . Mereka diperoleh dengan menaruh dalam rumus Euclid.
• Terdapat rangkap tiga Pythagoras yang takterhingga banyaknya di mana dua kaki berbeda dengan tepat satu. Contohnya, , ini dihasilkan oleh rumus Euclid ketika adalah konvergen dengan .
• Untuk setiap bilangan asli , terdapat rangkap tiga Pythagoras dengan hipotenusa yang berbeda dan luas yang sama.
• Untuk setiap bilangan asli , terdapat rangkap tiga Pythagoras primitif yang berbeda dengan kaki yang sama, dimana adalah suatu bilangan asli (Panjang dari kaki genap adalah , dan cukup untuk memilih dengan banyak faktorisasi, contohnya , dimana adalah sebuah darab bilangan prima ganjil yang berbeda; ini menghasilkan setidaknya rangkap tiga primitif yang berbeda).^:30
• Untuk setiap bilangan asli , terdapat setidaknya rangkap tiga Pythagoras yang berbeda dengan hipotenusa yang sama.^:31
• Terdapat rangkap tiga Pythagoras yang takterhingga banyaknya dengan bilangan kuadrat untuk keduanya hipotenusa dan jumlah dari kaki . Menurut Fermat, yang paling terkecil seperti rangkap tiga memiliki sisi , , . Disini dan . Ini dihasilkan oleh rumus Euclid dengan nilai parameter dan .
• Terdapat segitiga Pythagoras takprimitif dengan ketinggian bilangan bulat dari hipotenusa. Seperti segitiga Pythagoras dikenal sebagai teruraikan karena mereka dapat dipisahkan sepanjang ketinggian ini menjadi dua pemisah dan segitiga Pythagoras lebih kecil.

Geometri mengenai rumus Euclid

Titik rasional pada sebuah lingkaran satuan

3,4,5, memetakan ke x,y, titik pada lingkaran satuan.

Titik rasional pada sebuah lingkaran berpadanan, terhadap projeksi stereografik, dengan titik rasional dari garis.

Rumus Euclid untuk sebuah rangkap tiga Pythagoras

dapat dipahami dalam istilah dari geometri titik rasional pada satuan lingkaran (Trautman 1998).

Faktanya, sebuah titik dalam bidang Cartesius dengan koordinat menjadi miliki lingkaran satuan jika . Titiknya adalah rasional jika dan adalah bilangan rasional, yaitu, jika terdapat bilangan bulat koprima , , sehingga

Dengan mengalikan kedua anggota , salah satunya dapat lihat bahwa titik rasional pada lingkaran adalah dalam berpadanan satu-ke-satu dengan rangkap tiga Pythagoras primitif.

Lingkaran satuan juga dapat didefinisikan oleh sebuah persamaan parametrik

Rumus Euclid untuk rangkap tiga Pythagoras berarti bahwa, kecuali untuk , sebuah titik pada lingkaran adalah rasional jika dan hanya jika nilainya berpadanan dari adalah sebuah bilangan rasional.

Pendekatan stereografik

Projeksi stereografik dari lingkaran satuan ke dalam sumbu-. Diberikan sebuah titik pada lingkaran satuan, gambar sebuah garis dari ke titik (kutub utara). Titik dimana garis memotong sumbu- adalah projeksi stereografik dari . Kebalikannya, memulai dengan menggambar sebuah garis dari ke , projeksi stereografik inversnya adalah titik dimana garis memotong lingkaran satuan.

Ini adalah sebuah padanan antara titik pada lingkaran satuan dengan koordinat rasional dan rangkap tiga Pythagoras primitif. Di poin ini, rumus Euclid dapat diturunkan baik oleh metode trigonometri maupun dengan setara menggunakan projeksi stereografik.

Untuk pendekatan stereografik, andaikan bahwa adalah sebuah titik pada sumbu- dengan koordinat rasional

Maka, ini dapat ditunjukkan oleh aljabar dasar bahwa titik memiliki koordinat

Ini menetapkan bahwa setiap titik rasional dari sumbu- berjalan lewat ke sebuah titik rasional dari lingkaran satuan. Sebaliknya, bahwa setiap titik rasional dari lingkaran satuan datang dari seperti sebuah titik dari sumbu-, mengikuti dengan menerapkan projeksi stereografik inversnya. Andaikan bahwa merupakan sebuah titik dari lingkaran satuan dengan dan bilangan rasional. Mka titik diperoleh dari projeksi stereografik pada sumbu- memiliki koordinat

yang merupakan rasional.

Dalam istilah geometri aljabar, varietas aljabar mengenai titik rasional pada lingkaran satuan adalah birasional ke garis afin atas bilangan rasional. Demikian lingkaran satuan disebut sebuah lengkung rasional, dan ini adalah fakta yang memungkinkan sebuah parameterisasi eksplisit dari titik (bilangan rasional) pada hal itu melalui fungsi rasional.

Segitiga Pythagoras dalam sebuah kekisi 2 dimensi

Sebuah kekisi 2 dimensi merupakan sebuah larik beraturan mengenai titik terpencil dimana jika suatu satu titik dipilih sebagai titik asal Cartesius , maka semua titik lainnya ada di dimana dan mengembara di semua bilangan bulat positif dan negatif. Suatu segitiga Pythagoras dengan rangkap tiga dapat digambar dalam sebuah kekisi 2 dimensi dengan verteks di koordinat , , dan . Jumlah langkah titik kekisi terletak sempurna dalam batas dari segitiga diberikan oleh ; untuk rangkap tiga Pythagoras primitif, kekisi dalam ini adalah . Luasnya (oleh teorema Pick sama dengan satu lebih kecil dari jumlah langkah kekisi dalam ditambah setengah dari jumlah langkah kekisi batas) sama dengan .

Kejadian pertama mengenai dua rangkap tiga Pythagoras primitif membagi luas yang sama terjadi dengan segitiga dengan sisi , dan luas umumnya adalah 210 (barisan A093536 pada OEIS). Kejadian pertama mengenai dua rangkap tiga Pythgoras primitif membagi jumlah langkah kekisi dalam yang sama terjadi dengan , dan jumlah kekisi dalam adalah 2287674594 (barisan A225760 pada OEIS). Tiga rangkap tiga Pythagoras primitif telah ditemukan membagi luas yang sama: , , dengan luas 13123110. Hingga kini, tidak ada himpunan tiga rangkap tiga Pythagoras primitif telah ditemukan membagi jumlah langkah kekisi dalam.

Enumerasi rangkap tiga Pythagoras primitif

Oleh rumus Euclid, semua rangkap tiga Pythagoras primitif dapat dihasilkan dari bilangan bulat dan dengan , adalah ganjil dan . Karena itu terdapat sebuah 1 ke 1 pemetaan rasional (dalam suku terkecil) ke rangkap tiga Pythagoras primitid dimana ada di dalam selang dan adalah ganjil.

Pemetaan terbalik dari sebuah rangkap tiga primitif dimana ke sebuah rasional dicapai dengan mempelajari dua jumlah dan . Salah satu dari jumlah ini akan menjadi sebuah bilangan kuadrat yang dapat disamakan dengan dan lainnya akan menjadi dua kali sebuah bilangan kuadrat yang dapat disamakan dengan . Ini kemudian mungkin untuk menentukan rasional .

Dalam rangka untuk menghitung rangkap tiga Pythagoras primitif, rasionalnya dapat diungkapkan sebagai sebuah pasangan terurut dan dipetakan ke sebuah bilangan bulat menggunakan sebuah fungsi pasangan Cantor. Sebuah contoh dapat dilihat pada (barisan A277557 pada OEIS). Ini dimulai

dan memberikan rasional ini, ternyata, menghasilkan rangkap tiga primitif

Spinor dan grup modular

Rangkap tiga Pythagoras dapat juga disandikan menjadi sebuah matriks persegi dari bentuk

Sebuah matriks bentuk ini adalah simetrik. Lebih lanjut, determinan adalah

yang adalah nol tepatnya ketika adalah sebuah rangkap tiga Pythagoras. Jika berpadanan dengan sebuah rangkap tiga Pythagoras, maka sebagai sebuah matriks harus memiliki peringkat 1.

Karena adalah simetrik, ini mengikuti dari sebuah hasil dalam aljabar linear bahwa terdapat sebuah vektor kolom sehingga darab luar

berlaku, dimana melambangkan transpos matriks. Vektor disebut sebuah spinor (untuk grup Lorentz ). Dalam istilah abstrak, rumus Euclidnya berarti bahwa setiap rangkap tiga Pythagoras primitif dapat ditulis sebagai darab luar dengan sendirinya mengenai sebuah spinor dengan entri-entri bilangna bulat, seperti di (1).

Grup modular adalah himpunan matriks 2×2 dengan entri-entri bilangan bulat

dengan determinan sama dengan satu: . Himpunan ini membentuk sebuah grup, karena inversnya matriks dalam adalah lagi di , karena merupakan darab dua matriks di . Grup modular bertindak pada kumpulan semua spinor bilangan bulat. Lebih lanjut, grupny transitif mengenai kumpulan spinor bilangan bulat dengan entri-entri relatif prima. Untuk jika memiliki entri-entri relatif prima, maka

dimana {"@context": "https://schema.org","@type": "NewsArticle","inLanguage": "id-ID","articleSection": "Wikipedia","mainEntityOfPage": { "@type": "WebPage", "@id": "https://www.wikidata.id-id.nina.az/Tripel_Pythagoras.html"},"headline": "Rangkap tiga Pythagoras","alternativeHeadline": "Rangkap tiga Pythagoras","wordCount":"720","keywords":[],"image": {"@type": "ImageObject","url": "https://www.wikidata.id-id.nina.az/template/images/fphotos/97.jpg","width": "1200","height": "675"},"dateCreated":"2023-10-14T17:48:17+00:00","datePublished":"2023-10-14T17:48:17+00:00","dateModified":"2023-10-14T17:48:17+00:00","description": "Rangkap tiga Pythagoras Sebuah rangkap tiga Pythagoras atau umumnya disebut tripel Pythagoras terdiri dari tiga bilangan","articleBody": "Sebuah rangkap tiga Pythagoras atau umumnya disebut tripel Pythagoras terdiri dari tiga bilangan bulat positif a displaystyle a b displaystyle b dan c displaystyle c sehingga a 2 b 2 c 2 displaystyle a 2 b 2 c 2 Seperti sebuah rangkap tiga biasanya ditulis a b c displaystyle a b c dan sebuah contoh yang terkenal adalah 3 4 5 displaystyle 3 4 5 Jika a b c displaystyle a b c adalah sebuah rangkap tiga Pythagoras maka begitu juga dengan k a k b k c displaystyle ka kb kc untuk suatu bilangan bulat positif k displaystyle k Sebuah rangkap Pythagoras primitif adalah salah satu di mana a displaystyle a b displaystyle b dan c displaystyle c adalah koprima yaitu mereka tidak mempunyai pembagi persekutuan lebih besar dari","author":[{"@type": "Organization","name": "www.wikidata.id-id.nina.az","url": "https://www.wikidata.id-id.nina.az/Tripel_Pythagoras.html"}],"publisher": { "@type": "Organization", "name":"www.wikidata.id-id.nina.az", "logo": { "@type": "ImageObject","url": "https://www.wikidata.id-id.nina.az/template/images/logo.svg","width": 200,"height": 45 }}}