www.wikidata.id-id.nina.az

Matriks persegi Dalam matematika matriks persegi atau matriks bujur sangkar 1 adalah matriks yang memiliki jumlah baris

Matriks persegi

Dalam matematika, matriks persegi (atau matriks bujur sangkar) adalah matriks yang memiliki jumlah baris dan jumlah kolom yang sama. Matriks berukuran n x n adalah matriks persegi berukuran . Sebarang dua matriks persegi berukuran sama dapat dijumlahkan maupun dikalikan.

Matriks persegi berukuran 4. Elemen membentuk diagonal utama dari matriks persegi. Pada matriks persegi di atas, diagonal utamanya berisi elemen a11 = 9, a22 = 11, a33 = 4, a44 = 10.

Matriks persegi sering digunakan untuk mewakili transformasi linear sederhana, seperti shearing atau rotasi. Sebagai contoh, jika adalah matriks persegi yang mewakili suatu rotasi (matriks rotasi) dan adalah vektor kolom dari suatu titik di ruang, maka hasil perkalian adalah vektor yang melambangkan titik akibat rotasi tersebut. jika adalah vektor baris, transformasi yang sama didapatkan dengan menghitung , dengan matriks adalah hasil transpos dari .

Diagonal utama Sunting

Artikel utama: Diagonal utama

Elemen (untuk i = 1, ..., n) pada matriks disebut dengan diagonal utama dari matriks persegi. Mereka terletak pada ruas garis khayal yang menghubungkan elemen paling kiri atas matriks dengan elemen paling kanan bawah matriks. Sebagai contoh, pada matriks persegi di atas, diagonal utamanya berisi elemen a11 = 9, a22 = 11, a33 = 4, a44 = 10.

Diagonal lain dari matriks persegi, yang menghubungkan elemen paling kiri bawah dengan elemen paling kanan atas, disebut dengan antidiagonal.

Bentuk khusus Sunting

Matriks diagonal dan matriks segitiga Sunting

Jika setiap elemen matriks yang bukan diagonal utama bernilai nol, matriks disebut dengan matriks diagonal. Jika hanya setiap entri yang terletak "di atas" (atau "di bawah") diagonal utama yang bernilai nol, matriks disebut dengan matriks segitiga bawah (atau matriks segitiga atas).

Matriks identitas Sunting

Matriks identitas berukuran adalah matriks berukuran dengan semua elemen diagonal utamanya bernilai 1, dan semua elemen lainnya bernilai 0. Secara matematiks,

Matriks ini adalah matriks persegi berukuran , dan juga bentuk khusu dari matriks diagonal. Matriks ini disebut matriks identitas karena perkalian dengan matriks lain tidak mengubah nilai matriks lain tersebut. Secara lebih formal, untuk setiap matriks berukuran m x n berlaku .

Matriks yang dapat dibalik dan inversnya Sunting

Matriks persegi dapat dibalik jika terdapat matriks sehingga

.

Matriks juga dikatakan dapat diinvers dan tidak singular. Jika matriks ada, maka matriks tersebut unik/tunggal, dan disebut matriks invers dari , dan dinyatakan sebagai .

Operasi Sunting

Teras Sunting

Teras dari matriks persegi , ditulis sebagai , adalah jumlah dari setiap elemen diagonal utamanya. Walau perkalian matriks tidak komutatif, teras dari perkalian dua matriks tidak bergantung pada urutan perkalian. Dengan kata lain,

Hal ini dapat terlihat dengan menggunakan definisi perkalian matriks:

Selain itu, nilai dari teras suatu matriks sama dengan nilai teras dari transposnya, maksudnya:

.

Determinan Sunting

Artikel utama: Determinan
Sebuah matriks yang mewakili sebuah transformasi linear di . Determinan dari matriks ini bernilai -1, karena pemetaan ini mengubah orientasi persegi panjang biru yang "berlawanan arah jarum jam" menjadi persegi panjang hijau yang "searah jarum jam".

Determinan dari matriks persegi , ditulis sebagai atau , adalah sebuah bilangan yang mendeskripsikan beberapa sifat dari matriks tersebut. Sebuah matriks dapat dibalik jika dan hanya jika determinan matriks tersebut tidak bernilai nol. Nilai absolut dari determinan sama dengan luas daerah (di ) atau volume (di ) dari citra persegi satuan (atau kubus satuan). Tanda dari determinan (bernilai negatif atau positif) berhubungan dengan orientasi dari hasil pemetaan linear matriks tersebut: determinan bernilai positif jika dan hanya jika orientasi hasil pemetaan tidak berubah.

Determinan dari matriks berukuran 2 x 2 didapatkan dengan menghitung

Determinan matriks 3 x 3 dapat dihitung dengan metode Sarrus. Teorema Leibniz memperumum rumus determinan untuk sembarang dimensi.

Determinan dari perkalian dua matriks persegi sama dengan hasil kali determinan kedua matriks::

Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lain pada matriks, atau kelipatan suatu kolom ke kolom lain, tidak mengubah nilai determinan. Namun, menukar dua baris atau dua kolom akan mengubah tanda dari determinan (sama dengan mengalikan determinan dengan -1). Menggunakan operasi-operasi tersebut, setiap matriks dapat diubah menjadi matriks segitiga atas (atau bawah). Hal ini memberikan cara untuk menghitung determinan sebarang matriks, karena determinan determinan dari matriks segitiga adalah hasil perkalian setiap elemen diagonal utamanya.

Rumus Laplace menyatakan determinan dalam operasi terhadap minor, yakni, determinan dari matriks yang berukuran lebih kecil. Rumus ini dapat digunakan secara rekusif untuk menghitung determinan berukuran sebarang, dan dapat ditunjukkan rumus ini setara dengan teorema Leibniz.

Determinan dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem linear menggunakan aturan Cramer, dengan pembagian dua determinan yang sesuai akan menghasilkan nilai dari variabel pada sistem.

Catatan Sunting

  1. Lembang & Natsir 2019, hlm. 7.
  2. Brown 1991, Definition I.2.28; Brown 1991, Definition I.5.13
  3. Brown 1991, Definition III.2.1.
  4. Brown 1991, Theorem III.2.12.
  5. Brown 1991, Corollary III.2.16.
  6. Mirsky 1990, Theorem 1.4.1.
  7. Brown 1991, Theorem III.3.18.

Referensi Sunting

  • Brown, William C. (1991), Matrices and vector spaces, New York, NY: Marcel Dekker, ISBN 978-0-8247-8419-5 
  • Lembang, Suri Toding; Natsir, Irmawaty (2019), Aljabar Linier, Deepublish, hlm. 7, ISBN 978-623-02-0265-0 
  • Mirsky, Leonid (1990), An Introduction to Linear Algebra, Courier Dover Publications, ISBN 978-0-486-66434-7 
Wikimedia Commons memiliki media mengenai Square matrix.
wikipedia, wiki, buku, buku, perpustakaan, artikel, baca, unduh, gratis, unduh gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, gambar, musik, lagu, film, buku, permainan, permainan.
Tanggal penerbitan:
Dalam matematika matriks persegi atau matriks bujur sangkar 1 adalah matriks yang memiliki jumlah baris dan jumlah kolom yang sama Matriks berukuran n x n adalah matriks persegi berukuran n displaystyle n Sebarang dua matriks persegi berukuran sama dapat dijumlahkan maupun dikalikan Matriks persegi berukuran 4 Elemen a i i displaystyle a ii membentuk diagonal utama dari matriks persegi Pada matriks persegi di atas diagonal utamanya berisi elemen a11 9 a22 11 a33 4 a44 10 Matriks persegi sering digunakan untuk mewakili transformasi linear sederhana seperti shearing atau rotasi Sebagai contoh jika R displaystyle R adalah matriks persegi yang mewakili suatu rotasi matriks rotasi dan v displaystyle v adalah vektor kolom dari suatu titik di ruang maka hasil perkalian R v displaystyle Rv adalah vektor yang melambangkan titik akibat rotasi tersebut jika v displaystyle v adalah vektor baris transformasi yang sama didapatkan dengan menghitung v R T displaystyle vR mathsf T dengan matriks R T displaystyle R mathsf T adalah hasil transpos dari R displaystyle R Daftar isi 1 Diagonal utama 2 Bentuk khusus 2 1 Matriks diagonal dan matriks segitiga 2 2 Matriks identitas 2 3 Matriks yang dapat dibalik dan inversnya 3 Operasi 3 1 Teras 3 2 Determinan 4 Catatan 5 ReferensiDiagonal utama SuntingArtikel utama Diagonal utama Elemen a i i displaystyle a ii nbsp untuk i 1 n pada matriks disebut dengan diagonal utama dari matriks persegi Mereka terletak pada ruas garis khayal yang menghubungkan elemen paling kiri atas matriks dengan elemen paling kanan bawah matriks Sebagai contoh pada matriks persegi di atas diagonal utamanya berisi elemen a11 9 a22 11 a33 4 a44 10 Diagonal lain dari matriks persegi yang menghubungkan elemen paling kiri bawah dengan elemen paling kanan atas disebut dengan antidiagonal Bentuk khusus SuntingNama Contoh dengan n 3Matriks diagonal a 11 0 0 0 a 22 0 0 0 a 33 displaystyle begin bmatrix a 11 amp 0 amp 0 0 amp a 22 amp 0 0 amp 0 amp a 33 end bmatrix nbsp Matriks segitiga bawah a 11 0 0 a 21 a 22 0 a 31 a 32 a 33 displaystyle begin bmatrix a 11 amp 0 amp 0 a 21 amp a 22 amp 0 a 31 amp a 32 amp a 33 end bmatrix nbsp Matriks segitiga atas a 11 a 12 a 13 0 a 22 a 23 0 0 a 33 displaystyle begin bmatrix a 11 amp a 12 amp a 13 0 amp a 22 amp a 23 0 amp 0 amp a 33 end bmatrix nbsp Matriks diagonal dan matriks segitiga Sunting Jika setiap elemen matriks yang bukan diagonal utama bernilai nol matriks A displaystyle A nbsp disebut dengan matriks diagonal Jika hanya setiap entri yang terletak di atas atau di bawah diagonal utama yang bernilai nol matriks A displaystyle A nbsp disebut dengan matriks segitiga bawah atau matriks segitiga atas Matriks identitas Sunting Matriks identitas I n displaystyle I n nbsp berukuran n displaystyle n nbsp adalah matriks berukuran n n displaystyle n times n nbsp dengan semua elemen diagonal utamanya bernilai 1 dan semua elemen lainnya bernilai 0 Secara matematiks I 1 1 I 2 1 0 0 1 I n 1 0 0 0 1 0 0 0 1 displaystyle I 1 begin bmatrix 1 end bmatrix I 2 begin bmatrix 1 amp 0 0 amp 1 end bmatrix cdots I n begin bmatrix 1 amp 0 amp cdots amp 0 0 amp 1 amp cdots amp 0 vdots amp vdots amp ddots amp vdots 0 amp 0 amp cdots amp 1 end bmatrix nbsp Matriks ini adalah matriks persegi berukuran n displaystyle n nbsp dan juga bentuk khusu dari matriks diagonal Matriks ini disebut matriks identitas karena perkalian dengan matriks lain tidak mengubah nilai matriks lain tersebut Secara lebih formal untuk setiap matriks A displaystyle A nbsp berukuran m x n berlaku A I n I m A A displaystyle AI n I m A A nbsp Matriks yang dapat dibalik dan inversnya Sunting Matriks persegi A displaystyle A nbsp dapat dibalik jika terdapat matriks B displaystyle B nbsp sehinggaA B B A I n displaystyle AB BA I n nbsp 2 Matriks A displaystyle A nbsp juga dikatakan dapat diinvers dan tidak singular Jika matriks B displaystyle B nbsp ada maka matriks tersebut unik tunggal dan disebut matriks invers dari A displaystyle A nbsp dan dinyatakan sebagai A 1 displaystyle A 1 nbsp Operasi SuntingTeras Sunting Teras dari matriks persegi A displaystyle A nbsp ditulis sebagai tr A displaystyle text tr A nbsp adalah jumlah dari setiap elemen diagonal utamanya Walau perkalian matriks tidak komutatif teras dari perkalian dua matriks tidak bergantung pada urutan perkalian Dengan kata lain tr A B tr B A displaystyle operatorname tr AB operatorname tr BA nbsp Hal ini dapat terlihat dengan menggunakan definisi perkalian matriks tr A B i 1 m j 1 n A i j B j i tr B A displaystyle operatorname tr AB sum i 1 m sum j 1 n A ij B ji operatorname tr BA nbsp Selain itu nilai dari teras suatu matriks sama dengan nilai teras dari transposnya maksudnya tr A tr A T displaystyle operatorname tr A operatorname tr A mathrm T nbsp Determinan Sunting Artikel utama Determinan nbsp Sebuah matriks yang mewakili sebuah transformasi linear di R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp Determinan dari matriks ini bernilai 1 karena pemetaan ini mengubah orientasi persegi panjang biru yang berlawanan arah jarum jam menjadi persegi panjang hijau yang searah jarum jam Determinan dari matriks persegi A displaystyle A nbsp ditulis sebagai det A displaystyle det A nbsp atau A displaystyle A nbsp adalah sebuah bilangan yang mendeskripsikan beberapa sifat dari matriks tersebut Sebuah matriks dapat dibalik jika dan hanya jika determinan matriks tersebut tidak bernilai nol Nilai absolut dari determinan sama dengan luas daerah di R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp atau volume di R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp dari citra persegi satuan atau kubus satuan Tanda dari determinan bernilai negatif atau positif berhubungan dengan orientasi dari hasil pemetaan linear matriks tersebut determinan bernilai positif jika dan hanya jika orientasi hasil pemetaan tidak berubah Determinan dari matriks berukuran 2 x 2 didapatkan dengan menghitungdet a b c d a d b c displaystyle det begin bmatrix a amp b c amp d end bmatrix ad bc nbsp Determinan matriks 3 x 3 dapat dihitung dengan metode Sarrus Teorema Leibniz memperumum rumus determinan untuk sembarang dimensi 3 Determinan dari perkalian dua matriks persegi sama dengan hasil kali determinan kedua matriks 4 det A B det A det B displaystyle det AB det A cdot det B nbsp Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lain pada matriks atau kelipatan suatu kolom ke kolom lain tidak mengubah nilai determinan Namun menukar dua baris atau dua kolom akan mengubah tanda dari determinan sama dengan mengalikan determinan dengan 1 5 Menggunakan operasi operasi tersebut setiap matriks dapat diubah menjadi matriks segitiga atas atau bawah Hal ini memberikan cara untuk menghitung determinan sebarang matriks karena determinan determinan dari matriks segitiga adalah hasil perkalian setiap elemen diagonal utamanya Rumus Laplace menyatakan determinan dalam operasi terhadap minor yakni determinan dari matriks yang berukuran lebih kecil 6 Rumus ini dapat digunakan secara rekusif untuk menghitung determinan berukuran sebarang dan dapat ditunjukkan rumus ini setara dengan teorema Leibniz Determinan dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem linear menggunakan aturan Cramer dengan pembagian dua determinan yang sesuai akan menghasilkan nilai dari variabel pada sistem 7 Catatan Sunting Lembang amp Natsir 2019 hlm 7 Brown 1991 Definition I 2 28 Brown 1991 Definition I 5 13 Brown 1991 Definition III 2 1 Brown 1991 Theorem III 2 12 Brown 1991 Corollary III 2 16 Mirsky 1990 Theorem 1 4 1 Brown 1991 Theorem III 3 18 Referensi SuntingBrown William C 1991 Matrices and vector spaces nbsp New York NY Marcel Dekker ISBN 978 0 8247 8419 5 Lembang Suri Toding Natsir Irmawaty 2019 Aljabar Linier Deepublish hlm 7 ISBN 978 623 02 0265 0 Mirsky Leonid 1990 An Introduction to Linear Algebra Courier Dover Publications ISBN 978 0 486 66434 7 nbsp Wikimedia Commons memiliki media mengenai Square matrix Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Matriks persegi amp oldid 23424676