www.wikidata.id-id.nina.az

Matriks terbalikkan Dalam aljabar linear sebuah matriks persegi A displaystyle mathbf A berukuran n n displaystyle n tim

Matriks terbalikkan

Dalam aljabar linear, sebuah matriks persegi berukuran terbalikkan (invertible) atau tidak singular, jika terdapat matriks persegi dengan ukuran yang sama dengan , dan memenuhi hubungan:

dengan melambangkan matriks identitas berukuran , dan perkalian yang dilakukan merupakan perkalian matriks yang umum. Jika hubungan tersebut berlaku, maka matriks disebut sebagai balikan atau invers (multiplikatif) dari matriks , dan diberi lambang .

Matriks persegi tidak dapat dibalik disebut dengan matriks singular. Matriks persegi bersifat singular jika dan hanya jika nilai determinannya 0. Matriks yang bukan matriks persegi (berukuran dan ) tidak memiliki invers. Namun dalam beberapa kasus, matriks tersebut mungkin memiliki invers kiri atau invers kanan. Jika matriks berukuran dengan rank (nilai ), maka memiliki invers kiri. Invers kiri ini adalah sebuah matriks berukuran yang memenuhi hubungan Sedangkan jika rank matriks adalah (nilai ), maka memiliki invers kanan; yakni sebuah matriks berukuran yang memenuhi hubungan

Sifat Sunting

Teorema matriks terbalikkan Sunting

Sifat keterbalikkan sebuah matriks berhubungan erat dengan banyak sifat lain yang dimiliki matriks tersebut. Misalkan adalah matriks persegi berukuran , dengan entri-entri adalah elemen dari suatu lapangan (misalnya, lapangan bilangan real ). Semua pernyataan berikut ekuivalen, dalam artian antara matriks memenuhi semua pernyataan, atau matriks tidak memenuhi satupun pernyataan yang ada.

  • Matriks terbalikkan. Dengan kata lain, matriks memiliki sebuah invers (atau tidak singular).
  • Ada sebuah matriks berukuran yang memenuhi
  • Matriks dapat diubah menjadi matriks identitas lewat serangkaian operasi baris elementer, atau lewat serangkaian operasi kolom elementer.
  • Matriks dapat dinyatakan sebagai perkalian (dengan jumlah terhingga) matriks-matriks elementer
  • Matriks memiliki posisi pivot. Posisi pivot adalah nilai 1 pertama sebuah baris pada matriks bentuk eselon baris tereduksi (reduced row echelon form).
  • Persamaan hanya memiliki solusi trivial, yakni
  • Persamaan tepat memiliki satu solusi, untuk semua
  • Transformasi linear adalah sebuah bijeksi dari ke
  • Kernel dari trivial; dengan kata lain hanya mengandung vektor nol sebagai elemennya, sehingga
  • Determinan dari sama dengan 0.
  • Bilangan 0 bukan nilai eigen dari matriks
  • Rank penuh; dengan kata lain,
  • Kolom-kolom dari saling bebas linear. Ini mengartikan tidak mungkin menyatakan sebuah kolom matriks sebagai kombinasi penjumlahan kolom-kolom yang lain.
  • Span dari kolom-kolom matriks adalah . Artinya, himpunan semua kombinasi linear dari kolom-kolom akan sama dengan
  • Ruang kolom dari matriks adalah . Ruang kolom adalah ruang vektor yang dibentuk oleh kolom-kolom matriks
  • Kolom-kolom matriks membentuk sebuah basis bagi
  • Transpos dari , yakni matriks juga terbalikkan. Hal ini mengartikan baris-baris dari matriks juga memenuhi sifat-sifat yang sama dengan kolom-kolom matriks.
  • Matriks memiliki invers kiri (yakni matriks sehingga ) dan invers kanan (yakni matriks sehingga ). Lebih lanjut, nilai kedua invers tersebut sama,

Hubungan dengan adjugat Sunting

Adjugat dari suatu matriks dapat digunakan untuk mencari invers dari , dengan menggunakan hubungan:

Jika memiliki invers, maka

Sifat-sifat lain Sunting

Selain sifat-sifat pada bagian-bagian sebelumnya, matriks berukuran yang terbalikkan juga memiliki beberapa sifat berikut:

  • ;
  • untuk sembarang skalar yang tidak sama dengan 0;
  • ;
  • ;
  • Untuk sembarang matriks yang dapat dibalik dan yang berukuran sama dengan , akan berlaku . Hal ini dapat diperumum untuk kasus matriks-matriks berukuran dan dapat dibalik, yang akan memiliki hubungan
  • Jika memiliki kolom-kolom yang saling ortonormal, maka ; dengan menyatakan invers Moore–Penrose dan adalah vektor;

Referensi Sunting

  1. Weisstein, Eric W. "Invertible Matrix Theorem". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-09-08. 
  2. Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985). Matrix Analysis. Cambridge University Press. hlm. 14. ISBN 978-0-521-38632-6. .

Pranala luar Sunting

Artikel bertopik matematika ini adalah sebuah rintisan. Anda dapat membantu Wikipedia dengan mengembangkannya.

  • l
  • b
  • s
wikipedia, wiki, buku, buku, perpustakaan, artikel, baca, unduh, gratis, unduh gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, gambar, musik, lagu, film, buku, permainan, permainan.
Tanggal penerbitan:
Dalam aljabar linear sebuah matriks persegi A displaystyle mathbf A berukuran n n displaystyle n times n terbalikkan invertible atau tidak singular jika terdapat matriks persegi B displaystyle mathbf B dengan ukuran yang sama dengan A displaystyle mathbf A dan memenuhi hubungan A B B A I n displaystyle mathbf AB mathbf BA mathbf I n dengan I n displaystyle mathbf I n melambangkan matriks identitas berukuran n n displaystyle n times n dan perkalian yang dilakukan merupakan perkalian matriks yang umum Jika hubungan tersebut berlaku maka matriks B displaystyle mathbf B disebut sebagai balikan atau invers multiplikatif dari matriks A displaystyle mathbf A dan diberi lambang A 1 displaystyle mathbf A 1 Matriks persegi tidak dapat dibalik disebut dengan matriks singular Matriks persegi bersifat singular jika dan hanya jika nilai determinannya 0 Matriks yang bukan matriks persegi berukuran m n displaystyle m times n dan m n displaystyle m neq n tidak memiliki invers Namun dalam beberapa kasus matriks tersebut mungkin memiliki invers kiri atau invers kanan Jika matriks A displaystyle mathbf A berukuran m n displaystyle m times n dengan rank n displaystyle n nilai n m displaystyle n leq m maka A displaystyle mathbf A memiliki invers kiri Invers kiri ini adalah sebuah matriks B displaystyle mathbf B berukuran n m displaystyle n times m yang memenuhi hubungan B A I n displaystyle mathbf B mathbf A mathbf I n Sedangkan jika rank matriks A displaystyle mathbf A adalah m displaystyle m nilai m n displaystyle m leq n maka A displaystyle mathbf A memiliki invers kanan yakni sebuah matriks B displaystyle mathbf B berukuran n m displaystyle n times m yang memenuhi hubungan A B I m displaystyle mathbf A mathbf B mathbf I m Daftar isi 1 Sifat 1 1 Teorema matriks terbalikkan 1 2 Hubungan dengan adjugat 1 3 Sifat sifat lain 2 Referensi 3 Pranala luarSifat SuntingTeorema matriks terbalikkan Sunting Sifat keterbalikkan sebuah matriks berhubungan erat dengan banyak sifat lain yang dimiliki matriks tersebut Misalkan A displaystyle mathbf A nbsp adalah matriks persegi berukuran n n displaystyle n times n nbsp dengan entri entri adalah elemen dari suatu lapangan K displaystyle K nbsp misalnya lapangan bilangan real R displaystyle mathbb R nbsp Semua pernyataan berikut ekuivalen dalam artian antara matriks A displaystyle mathbf A nbsp memenuhi semua pernyataan atau matriks A displaystyle mathbf A nbsp tidak memenuhi satupun pernyataan yang ada 1 2 Matriks A displaystyle mathbf A nbsp terbalikkan Dengan kata lain matriks A displaystyle mathbf A nbsp memiliki sebuah invers atau tidak singular Ada sebuah matriks B displaystyle mathbf B nbsp berukuran n n displaystyle n times n nbsp yang memenuhi A B B A I n displaystyle mathbf AB mathbf BA mathbf I n nbsp Matriks A displaystyle mathbf A nbsp dapat diubah menjadi matriks identitas I n displaystyle mathbf I n nbsp lewat serangkaian operasi baris elementer atau lewat serangkaian operasi kolom elementer Matriks A displaystyle mathbf A nbsp dapat dinyatakan sebagai perkalian dengan jumlah terhingga matriks matriks elementer Matriks A displaystyle mathbf A nbsp memiliki n displaystyle n nbsp posisi pivot Posisi pivot adalah nilai 1 pertama sebuah baris pada matriks bentuk eselon baris tereduksi reduced row echelon form Persamaan A x 0 displaystyle mathbf Ax mathbf 0 nbsp hanya memiliki solusi trivial yakni x 0 displaystyle mathbf x mathbf 0 nbsp Persamaan A x b displaystyle mathbf Ax mathbf b nbsp tepat memiliki satu solusi untuk semua b K n displaystyle mathbf b in K n nbsp Transformasi linear x A x displaystyle mathbf x mapsto mathbf Ax nbsp adalah sebuah bijeksi dari K n displaystyle K n nbsp ke K n displaystyle K n nbsp Kernel dari A displaystyle mathbf A nbsp trivial dengan kata lain hanya mengandung vektor nol sebagai elemennya sehingga Ker A 0 displaystyle operatorname Ker mathbf A mathbf 0 nbsp Determinan dari A displaystyle mathbf A nbsp sama dengan 0 Bilangan 0 bukan nilai eigen dari matriks A displaystyle mathbf A nbsp Rank A displaystyle mathbf A nbsp penuh dengan kata lain Rank A n displaystyle operatorname Rank mathbf A n nbsp Kolom kolom dari A displaystyle mathbf A nbsp saling bebas linear Ini mengartikan tidak mungkin menyatakan sebuah kolom matriks A displaystyle mathbf A nbsp sebagai kombinasi penjumlahan kolom kolom yang lain Span dari kolom kolom matriks A displaystyle mathbf A nbsp adalah K n displaystyle K n nbsp Artinya himpunan semua kombinasi linear dari kolom kolom A displaystyle mathbf A nbsp akan sama dengan K n displaystyle K n nbsp Ruang kolom dari matriks A displaystyle mathbf A nbsp adalah K n displaystyle K n nbsp Ruang kolom adalah ruang vektor yang dibentuk oleh kolom kolom matriks A displaystyle mathbf A nbsp Kolom kolom matriks A displaystyle mathbf A nbsp membentuk sebuah basis bagi K n displaystyle K n nbsp Transpos dari A displaystyle mathbf A nbsp yakni matriks A T displaystyle mathbf A text T nbsp juga terbalikkan Hal ini mengartikan baris baris dari matriks A displaystyle mathbf A nbsp juga memenuhi sifat sifat yang sama dengan kolom kolom matriks Matriks A displaystyle mathbf A nbsp memiliki invers kiri yakni matriks B displaystyle mathbf B nbsp sehingga B A I displaystyle mathbf BA mathbf I nbsp dan invers kanan yakni matriks C displaystyle mathbf C nbsp sehingga A C I displaystyle mathbf AC mathbf I nbsp Lebih lanjut nilai kedua invers tersebut sama B C A 1 displaystyle mathbf B mathbf C mathbf A 1 nbsp Hubungan dengan adjugat Sunting Adjugat dari suatu matriks A displaystyle mathbf A nbsp dapat digunakan untuk mencari invers dari A displaystyle mathbf A nbsp dengan menggunakan hubungan Jika A displaystyle mathbf A nbsp memiliki invers maka A 1 1 det A adj A displaystyle mathbf A 1 frac 1 det mathbf A operatorname adj mathbf A nbsp Sifat sifat lain Sunting Selain sifat sifat pada bagian bagian sebelumnya matriks A displaystyle mathbf A nbsp berukuran n n displaystyle n times n nbsp yang terbalikkan juga memiliki beberapa sifat berikut A 1 1 A displaystyle mathbf A 1 1 mathbf A nbsp k A 1 k 1 A 1 displaystyle k mathbf A 1 k 1 mathbf A 1 nbsp untuk sembarang skalar k displaystyle k nbsp yang tidak sama dengan 0 A T 1 A 1 T displaystyle mathbf A text T 1 mathbf A 1 text T nbsp det A 1 1 det A 1 displaystyle det mathbf A 1 frac 1 det mathbf A 1 nbsp Untuk sembarang matriks B displaystyle mathbf B nbsp yang dapat dibalik dan yang berukuran sama dengan A displaystyle mathbf A nbsp akan berlaku A B 1 B 1 A 1 displaystyle mathbf AB 1 mathbf B 1 mathbf A 1 nbsp Hal ini dapat diperumum untuk kasus matriks matriks A 1 A k displaystyle mathbf A 1 dots mathbf A k nbsp berukuran n n displaystyle n times n nbsp dan dapat dibalik yang akan memiliki hubungan A 1 A 2 A k 1 A k 1 A k 1 A k 1 1 A 2 1 A 1 1 displaystyle mathbf A 1 mathbf A 2 dotsi mathbf A k 1 mathbf A k 1 mathbf A k 1 mathbf A k 1 1 dotsi mathbf A 2 1 mathbf A 1 1 nbsp Jika A displaystyle mathbf A nbsp memiliki kolom kolom yang saling ortonormal maka A x x A 1 displaystyle mathbf Ax mathbf x mathbf A 1 nbsp dengan displaystyle nbsp menyatakan invers Moore Penrose dan x displaystyle mathbf x nbsp adalah vektor Referensi Sunting Weisstein Eric W Invertible Matrix Theorem mathworld wolfram com dalam bahasa Inggris Diakses tanggal 2020 09 08 Horn Roger A Johnson Charles R 1985 Matrix Analysis Cambridge University Press hlm 14 ISBN 978 0 521 38632 6 Pranala luar SuntingHazewinkel Michiel ed 2001 1994 Inversion of a matrix Encyclopedia of Mathematics Springer Science Business Media B V Kluwer Academic Publishers ISBN 978 1 55608 010 4 Matrix Mathematics Theory Facts and Formulas di Google books The Matrix Cookbook nbsp Artikel bertopik matematika ini adalah sebuah rintisan Anda dapat membantu Wikipedia dengan mengembangkannya lbs Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Matriks terbalikkan amp oldid 19401851