www.wikidata.id-id.nina.az

Basis aljabar linear Dalam aljabar linear basis adalah himpunan vektor yang dalam sebuah kombinasi linear dapat merepres

Basis (aljabar linear)

Dalam aljabar linear, basis adalah himpunan vektor, yang dalam sebuah kombinasi linear dapat merepresentasikan setiap vektor dalam suatu ruang vektor. Tidak ada elemen dalam himpunan vektor tersebut yang dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linear vektor-vektor lain. Basis juga dapat dianggap sebagai "sistem koordinat".

Definisi formal Sunting

Basis untuk ruang vektor (atas medan ) adalah suatu himpunan bagian yang memenuhi:

  1. Setiap dapat dituliskan sebagai dengan .
  2. Jika representasi lain, maka dan ada suatu permutasi yang dan .

Contoh Sunting

Gambar ini mengilustrasikan basis standar pada R2. Vektor biru dan oranye adalah elemen dasarnya; vektor hijau dapat diberikan dalam istilah vektor basis, dan begitu juga bergantung linear padanya.
dan perkalian skalar
dimana adalah bilangan real apa pun. Basis sederhana dari ruang vektor ini, disebut basis standar terdiri dari dua vektor e1 = (1,0) and e2 = (0,1), karena vektor apapun v = (a, b) dari R2 dapat ditulis secara unik sebagai
Pasangan vektor bebas linear lainnya R2, seperti (1, 1) dan (−1, 2), bentuk menjadi dasar R2.
  • Lebih umum lagi, jika F adalah bidang, himpunan dari n-tupel dari elemen F adalah ruang vektor untuk penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan serupa. Karena
jadilah tupel n dengan semua komponen sama dengan 0, kecuali i yaitu 1. Kemudian adalah basis dari yang disebut basis standar dari
  • Jika F adalah bidang gelanggang polinomial F[X] dari polinomial dalam satu tak tentu memiliki basis B, yang disebut basis monomial, yang terdiri dari semua monomial:
Kumpulan polinomial apa pun yang hanya ada satu polinomial pada setiap derajat juga merupakan basis. Kumpulan polinomial seperti itu disebut urutan polinomial. Contoh (di antara banyak) urutan polinomial tersebut adalah polinomial basis Bernstein, dan polinomial Chebyshev.

Koordinat Sunting

Misalkan V menjadi ruang vektor berdimensi berhingga n di atas bidang F, dan

menjadi dasar dari V. Menurut definisi basis, setiap v pada V dapat ditulis, dengan cara yang unik, seperti

dimana koefisiennya adalah skalar (yaitu, elemen F), yang disebut koordinat dari v di atas B. Namun, jika seseorang berbicara tentang himpunan koefisien, seseorang kehilangan korespondensi antara koefisien dan elemen basis, dan beberapa vektor mungkin memiliki himpunan koefisien yang sama. Sebagai contoh, dan memiliki koefisien yang sama {2, 3}, dan berbeda. Oleh karena itu, sering kali nyaman untuk bekerja dengan dasar yang teratur; ini biasanya dilakukan oleh pengindeksan elemen dasar oleh bilangan asli pertama. Kemudian, koordinat vektor membentuk urutan dengan indeks serupa, dan vektor sepenuhnya dicirikan oleh urutan koordinat. Basis terurut juga disebut frame, kata yang biasa digunakan, dalam berbagai konteks, untuk merujuk ke urutan data yang memungkinkan penentuan koordinat.

Misalkan, seperti biasa, menjadi himpunan n-tupel dari elemen F. Himpunan ini adalah F ruang vektor, dengan penjumlahan dan perkalian skalar ditentukan berdasarkan komponen. Peta

is a linear isomorphism from the vector space onto V. In other words, is the coordinate space of V, and the n-tuple is the coordinate vector of v.

Gambar invers oleh pada adalah n-tupel semua yang komponennya 0, kecuali yang ke i yaitu 1. membentuk dasar terurut dari yang disebut standar dasar atau dasar kanonik. Dasar yang diurutkan B adalah gambar oleh dari dasar kanonik .

Ini mengikuti dari apa yang mendahului setiap basis terurut adalah gambar dengan isomorfisme linier dari basis kanonik , dan bahwa setiap isomorfisme linier dari ke V dapat didefinisikan sebagai isomorfisme yang memetakan dasar kanonik ke urutan tertentu dasar dari V. Dengan kata lain, ini setara dengan mendefinisikan basis terurut dari V, atau isomorfisme linier dari ke V.

Perubahan basis Sunting

Artikel utama: Perubahan basis

Maka V jadilah ruang vektor berdimensi n di atas bidang F. Diberikan dua pangkalan (order) dan dari V, sering kali berguna untuk menyatakan koordinat vektor x sehubungan dengan dalam hal koordinat sehubungan dengan Ini dapat dilakukan dengan rumus perubahan-basis , yang dijelaskan di bawah ini. Subskrip "lama" dan "baru" telah dipilih karena biasa digunakan untuk merujuk dan sebagai dasar lama dan dasar baru . Ini berguna untuk menggambarkan koordinat lama dengan yang baru, karena, secara umum, seseorang memiliki ekspresi yang melibatkan koordinat lama, dan jika seseorang ingin mendapatkan ekspresi yang setara dalam hal koordinat baru; ini diperoleh dengan mengganti koordinat lama dengan ekspresi mereka dalam bentuk koordinat baru.

Biasanya, vektor basis baru diberikan oleh koordinatnya di atas basis lama, yaitu

If and are the coordinates of a vector x over the old and the new basis respectively, the change-of-basis formula is

for i = 1, ..., n.

Rumus ini dapat ditulis secara ringkas dalam notasi matriks. Misalkan A adalah matriks dari dan

jadilah vektor kolom dari koordinat v di basis lama dan basis baru, maka rumus untuk mengubah koordinat adalah

Rumusnya dapat dibuktikan dengan mempertimbangkan dekomposisi vektor x pada dua basa: satu memiliki

dan

Rumus perubahan basis kemudian dari keunikan dekomposisi vektor atas basis, di sini adalah

untuk i = 1, ..., n.

Lihat pula Sunting

  • Perubahan basis
  • Bingkai ruang vektor
  • Basis bola

Catatan Sunting

  1. Halmos, Paul Richard (1987) Finite-dimensional vector spaces (4th edition) Springer-Verlag, New York, page 10, ISBN 0-387-90093-4

Referensi Sunting

Referensi umum Sunting

Referensi sejarah Sunting


wikipedia, wiki, buku, buku, perpustakaan, artikel, baca, unduh, gratis, unduh gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, gambar, musik, lagu, film, buku, permainan, permainan.
Tanggal penerbitan:
Dalam aljabar linear basis adalah himpunan vektor yang dalam sebuah kombinasi linear dapat merepresentasikan setiap vektor dalam suatu ruang vektor Tidak ada elemen dalam himpunan vektor tersebut yang dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linear vektor vektor lain Basis juga dapat dianggap sebagai sistem koordinat 1 Daftar isi 1 Definisi formal 2 Contoh 3 Koordinat 4 Perubahan basis 5 Lihat pula 6 Catatan 7 Referensi 7 1 Referensi umum 7 2 Referensi sejarahDefinisi formal SuntingBasis untuk ruang vektor V displaystyle V nbsp atas medan F displaystyle F nbsp adalah suatu himpunan bagian B V displaystyle B subset V nbsp yang memenuhi Setiap v V displaystyle mathbf v in V nbsp dapat dituliskan sebagai v i 1 k a i b i displaystyle mathbf v sum i 1 k a i mathbf b i nbsp dengan k N a 1 a k F b 1 b k B displaystyle k in mathbb N a 1 ldots a k in F mathbf b 1 ldots mathbf b k in B nbsp Jika v i 1 k a i b i displaystyle mathbf v sum i 1 tilde k tilde a i tilde mathbf b i nbsp representasi lain maka k k displaystyle k tilde k nbsp dan ada suatu permutasi i 1 k 1 k displaystyle iota 1 ldots k to 1 ldots k nbsp yang a i a i i displaystyle a i tilde a iota i nbsp dan b i b i i displaystyle mathbf b i tilde mathbf b iota i nbsp Contoh Sunting nbsp Gambar ini mengilustrasikan basis standar pada R2 Vektor biru dan oranye adalah elemen dasarnya vektor hijau dapat diberikan dalam istilah vektor basis dan begitu juga bergantung linear padanya Himpunan R2 dari pasangan terurut dari bilangan riil adalah ruang vektor untuk penjumlahan berdasarkan komponen a b c d a c b d displaystyle a b c d a c b d nbsp dd dan perkalian skalarl a b l a l b displaystyle lambda a b lambda a lambda b nbsp dd dimana l displaystyle lambda nbsp adalah bilangan real apa pun Basis sederhana dari ruang vektor ini disebut basis standar terdiri dari dua vektor e1 1 0 and e2 0 1 karena vektor apapun v a b dari R2 dapat ditulis secara unik sebagaiv a e 1 b e 2 displaystyle v ae 1 be 2 nbsp dd Pasangan vektor bebas linear lainnya R2 seperti 1 1 dan 1 2 bentuk menjadi dasar R2 Lebih umum lagi jika F adalah bidang himpunan F n displaystyle F n nbsp dari n tupel dari elemen F adalah ruang vektor untuk penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan serupa Karenae i 0 0 1 0 0 displaystyle e i 0 ldots 0 1 0 ldots 0 nbsp dd jadilah tupel n dengan semua komponen sama dengan 0 kecuali i yaitu 1 Kemudian e 1 e n displaystyle e 1 ldots e n nbsp adalah basis dari F n displaystyle F n nbsp yang disebut basis standar dari F n displaystyle F n nbsp Jika F adalah bidang gelanggang polinomial F X dari polinomial dalam satu tak tentu memiliki basis B yang disebut basis monomial yang terdiri dari semua monomial B 1 X X 2 displaystyle B 1 X X 2 ldots nbsp dd Kumpulan polinomial apa pun yang hanya ada satu polinomial pada setiap derajat juga merupakan basis Kumpulan polinomial seperti itu disebut urutan polinomial Contoh di antara banyak urutan polinomial tersebut adalah polinomial basis Bernstein dan polinomial Chebyshev Koordinat SuntingMisalkan V menjadi ruang vektor berdimensi berhingga n di atas bidang F dan B b 1 b n displaystyle B b 1 ldots b n nbsp menjadi dasar dari V Menurut definisi basis setiap v pada V dapat ditulis dengan cara yang unik seperti v l 1 b 1 l n b n displaystyle v lambda 1 b 1 cdots lambda n b n nbsp dimana koefisiennya l 1 l n displaystyle lambda 1 ldots lambda n nbsp adalah skalar yaitu elemen F yang disebut koordinat dari v di atas B Namun jika seseorang berbicara tentang himpunan koefisien seseorang kehilangan korespondensi antara koefisien dan elemen basis dan beberapa vektor mungkin memiliki himpunan koefisien yang sama Sebagai contoh 3 b 1 2 b 2 displaystyle 3b 1 2b 2 nbsp dan 2 b 1 3 b 2 displaystyle 2b 1 3b 2 nbsp memiliki koefisien yang sama 2 3 dan berbeda Oleh karena itu sering kali nyaman untuk bekerja dengan dasar yang teratur ini biasanya dilakukan oleh pengindeksan elemen dasar oleh bilangan asli pertama Kemudian koordinat vektor membentuk urutan dengan indeks serupa dan vektor sepenuhnya dicirikan oleh urutan koordinat Basis terurut juga disebut frame kata yang biasa digunakan dalam berbagai konteks untuk merujuk ke urutan data yang memungkinkan penentuan koordinat Misalkan seperti biasa F n displaystyle F n nbsp menjadi himpunan n tupel dari elemen F Himpunan ini adalah F ruang vektor dengan penjumlahan dan perkalian skalar ditentukan berdasarkan komponen Peta f l 1 l n l 1 b 1 l n b n displaystyle varphi lambda 1 ldots lambda n mapsto lambda 1 b 1 cdots lambda n b n nbsp is a linear isomorphism from the vector space F n displaystyle F n nbsp onto V In other words F n displaystyle F n nbsp is the coordinate space of V and the n tuple f 1 v displaystyle varphi 1 v nbsp is the coordinate vector of v Gambar invers oleh f displaystyle varphi nbsp pada b i displaystyle b i nbsp adalah n tupel e i displaystyle e i nbsp semua yang komponennya 0 kecuali yang ke i yaitu 1 e i displaystyle e i nbsp membentuk dasar terurut dari F n displaystyle F n nbsp yang disebut standar dasar atau dasar kanonik Dasar yang diurutkan B adalah gambar oleh f displaystyle varphi nbsp dari dasar kanonik F n displaystyle F n nbsp Ini mengikuti dari apa yang mendahului setiap basis terurut adalah gambar dengan isomorfisme linier dari basis kanonik F n displaystyle F n nbsp dan bahwa setiap isomorfisme linier dari F n displaystyle F n nbsp ke V dapat didefinisikan sebagai isomorfisme yang memetakan dasar kanonik F n displaystyle F n nbsp ke urutan tertentu dasar dari V Dengan kata lain ini setara dengan mendefinisikan basis terurut dari V atau isomorfisme linier dari F n displaystyle F n nbsp ke V Perubahan basis SuntingArtikel utama Perubahan basis Maka V jadilah ruang vektor berdimensi n di atas bidang F Diberikan dua pangkalan order B o l d v 1 v n displaystyle B mathrm old v 1 ldots v n nbsp dan B n e w w 1 w n displaystyle B mathrm new w 1 ldots w n nbsp dari V sering kali berguna untuk menyatakan koordinat vektor x sehubungan dengan B o l d displaystyle B mathrm old nbsp dalam hal koordinat sehubungan dengan B n e w displaystyle B mathrm new nbsp Ini dapat dilakukan dengan rumus perubahan basis yang dijelaskan di bawah ini Subskrip lama dan baru telah dipilih karena biasa digunakan untuk merujuk B o l d displaystyle B mathrm old nbsp dan B n e w displaystyle B mathrm new nbsp sebagai dasar lama dan dasar baru Ini berguna untuk menggambarkan koordinat lama dengan yang baru karena secara umum seseorang memiliki ekspresi yang melibatkan koordinat lama dan jika seseorang ingin mendapatkan ekspresi yang setara dalam hal koordinat baru ini diperoleh dengan mengganti koordinat lama dengan ekspresi mereka dalam bentuk koordinat baru Biasanya vektor basis baru diberikan oleh koordinatnya di atas basis lama yaitu w j i 1 n a i j v i displaystyle w j sum i 1 n a i j v i nbsp If x 1 x n displaystyle x 1 ldots x n nbsp and y 1 y n displaystyle y 1 ldots y n nbsp are the coordinates of a vector x over the old and the new basis respectively the change of basis formula is x i j 1 n a i j y j displaystyle x i sum j 1 n a i j y j nbsp for i 1 n Rumus ini dapat ditulis secara ringkas dalam notasi matriks Misalkan A adalah matriks dari a i j displaystyle a i j nbsp dan X x 1 x n displaystyle X begin pmatrix x 1 vdots x n end pmatrix quad nbsp dan Y y 1 y n displaystyle quad Y begin pmatrix y 1 vdots y n end pmatrix nbsp jadilah vektor kolom dari koordinat v di basis lama dan basis baru maka rumus untuk mengubah koordinat adalah X A Y displaystyle X AY nbsp Rumusnya dapat dibuktikan dengan mempertimbangkan dekomposisi vektor x pada dua basa satu memiliki x i 1 n x i v i displaystyle x sum i 1 n x i v i nbsp dan x j 1 n y j w j j 1 n y j i 1 n a i j v i i 1 n j 1 n a i j y j v i displaystyle begin aligned x amp sum j 1 n y j w j amp sum j 1 n y j sum i 1 n a i j v i amp sum i 1 n left sum j 1 n a i j y j right v i end aligned nbsp Rumus perubahan basis kemudian dari keunikan dekomposisi vektor atas basis di sini B o l d displaystyle B mathrm old nbsp adalah x i j 1 n a i j y j displaystyle x i sum j 1 n a i j y j nbsp untuk i 1 n Lihat pula SuntingPerubahan basis Bingkai ruang vektor Basis bolaCatatan Sunting Halmos Paul Richard 1987 Finite dimensional vector spaces 4th edition Springer Verlag New York page 10 ISBN 0 387 90093 4Referensi SuntingReferensi umum Sunting Blass Andreas 1984 Existence of bases implies the axiom of choice Axiomatic set theory Contemporary Mathematics volume 31 Providence R I American Mathematical Society hlm 31 33 ISBN 978 0 8218 5026 8 MR 0763890 Brown William A 1991 Matrices and vector spaces New York M Dekker ISBN 978 0 8247 8419 5 Lang Serge 1987 Linear algebra Berlin New York Springer Verlag ISBN 978 0 387 96412 6 Referensi sejarah Sunting Banach Stefan 1922 Sur les operations dans les ensembles abstraits et leur application aux equations integrales On operations in abstract sets and their application to integral equations PDF Fundamenta Mathematicae dalam bahasa Prancis 3 133 181 doi 10 4064 fm 3 1 133 181 ISSN 0016 2736 Bolzano Bernard 1804 Betrachtungen uber einige Gegenstande der Elementargeometrie Considerations of some aspects of elementary geometry dalam bahasa Jerman Bourbaki Nicolas 1969 Elements d histoire des mathematiques Elements of history of mathematics dalam bahasa Prancis Paris Hermann Dorier Jean Luc 1995 A general outline of the genesis of vector space theory Historia Mathematica 22 3 227 261 doi 10 1006 hmat 1995 1024 MR 1347828 Fourier Jean Baptiste Joseph 1822 Theorie analytique de la chaleur dalam bahasa Prancis Chez Firmin Didot pere et fils Grassmann Hermann 1844 Die Lineale Ausdehnungslehre Ein neuer Zweig der Mathematik dalam bahasa Jerman reprint Hermann Grassmann Translated by Lloyd C Kannenberg 2000 Extension Theory Kannenberg L C Providence R I American Mathematical Society ISBN 978 0 8218 2031 5 Hamilton William Rowan 1853 Lectures on Quaternions Royal Irish Academy Mobius August Ferdinand 1827 Der Barycentrische Calcul ein neues Hulfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie Barycentric calculus a new utility for an analytic treatment of geometry dalam bahasa Jerman diarsipkan dari versi asli tanggal 2009 04 12 Parameter url status yang tidak diketahui akan diabaikan bantuan Moore Gregory H 1995 The axiomatization of linear algebra 1875 1940 Historia Mathematica 22 3 262 303 doi 10 1006 hmat 1995 1025 Peano Giuseppe 1888 Calcolo Geometrico secondo l Ausdehnungslehre di H Grassmann preceduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva dalam bahasa Italia Turin Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Basis aljabar linear amp oldid 17509091