www.wikidata.id-id.nina.az

Skalar matematika Dalam matematika skalar adalah elemen dari suatu lapangan yang digunakan untuk mendefinisikan sebuah r

Skalar (matematika)

Dalam matematika, skalar adalah elemen dari suatu lapangan yang digunakan untuk mendefinisikan sebuah ruang vektor. Suatu besaran yang didefinisikan dengan beberapa skalar, seperti memiliki arah dan besar, disebut dengan vektor.

Dalam aljabar linear, bilangan real (atau secara umum elemen dari sebuah lapangan) disebut dengan skalar. Skalar ini berhubungan dengan suatu ruang vektor lewat operasi perkalian skalar, yang terdefinisi di ruang vektor tersebut. Operasi tersebut memungkinkan sebuah vektor dikalikan dengan sebuah skalar, untuk menghasilkan vektor lainnya. Ruang vektor tidak harus menggunakan bilangan real untuk mendefinisikannya; sebarang lapangan lain, misal bilangan kompleks, juga dapat digunakan. Dalam kasus ini, skalar dari ruang vektor tersebut adalah elemen dari lapangan tersebut (seperti bilangan kompleks). Operasi hasil kali titik (scalar product) -- yang berbeda dengan perkalian skalar -- dapat didefinisikan pada sebuah ruang vektor. Operasi ini memungkinkan dua vektor dikalikan dengan cara tertentu, untuk menghasilkan sebuah skalar. Ruang vektor yang dilengkapi dengan operasi hasil kali titik disebut dengan ruang hasil kali dalam (inner product space).

Istilah skalar terkadang juga digunakan secara informal untuk merujuk pada sebuah vektor, matriks, tensor, dan "gabungan nilai-nilai" lainnya, yang sebenarnya hanya berisi satu komponen. Sebagai contoh, perkalian dari matriks berukuran 1 × n dengan matriks berukuran n × 1 adalah matriks berukuran 1 × 1, hasil perkalian ini terkadang disebut sebagai sebuah skalar.

Istilah skalar juga digunakan dalam beberapa bidang lainnya. Matriks skalar digunakan untuk menyebut sebuah matriks berbentuk , dengan sebuah skalar dan adalah matriks identitas. Komponen real dari sebuah kuarternion juga dirujuk dengan bagian skalar-nya.

Definisi dan sifat Sunting

Gambar ini menunjukkan sebuah vektor Euklidean. Koordinatnya, x dan y, berupa skalar; begitu pula dengan panjangnya. Namun v bukan sebuah skalar.

Skalar pada ruang vektor Sunting

Sebuah ruang vektor didefinisikan sebagai sebuah himpunan vektor (grup abelian aditif, additive abelian group), sebuah himpunan skalar (lapangan), dan sebuah operasi perkalian skalar yang mengalikan skalar dan vektor untuk menghasilkan vektor baru . Sebagai contoh, dalam ruang koordinat, perkalian skalar menghasilkan vektor . Pada ruang fungsi (linear), perkalian skalar adalah sebuah fungsi .

Skalar dapat dipilih dari sebarang lapangan, termasuk bilangan aljabar, rasional, real, dan kompleks, maupun lapangan hingga.

Skalar dari komponen vektor Sunting

Menurut teorema fundamental aljabar linear, setiap ruang vektor memiliki sebuah basis. Hal ini mengakibatkan setiap ruang vektor atas lapangan akan isomorfik ke suatu ruang vektor koordinat, dengan semua koordinatnya berupa elemen dari . Sebagai contoh, setiap ruang vektor real berdimensi isomorfik dengan ruang real .

Skalar pada ruang vektor bernorma Sunting

Alternatif lain, sebuah ruang vektor juga dapat dilengkapi dengan suatu fungsi norma yang memetakan setiap vektor di dengan skalar . Dari definisi, perkalian dengan skalar akan ikut mengalikan normanya dengan . Jika diintepretasikan sebagai jarak dari , maka operasi ini dapat dianggap sebagai penskalaan panjang sebesar . Ruang vektor yang dilengkapi dengan sebuah norma disebut dengan ruang vektor bernorma.

Skalar pada modul Sunting

Jika syarat agar sebuah himpunan skalar dapat membentuk lapangan dilonggarkan, sehingga hanya perlu membentuk sebuah gelanggang, struktur aljabar yang terbentuk adalah sebuah modul. Pada gelanggang, konsep pembagian skalar tidak perlu definisikan, dan skalar tidak perlu komutatif.

Dalam kasus ini istilah "skalar" dapat berupa objek yang rumit.

Transformasi penskalaan Sunting

Perkalian skalar dari pada ruang vektor dan modul adalah kasus khusus dari penskalaan, salah satu bentuk transformasi linear.

Lihat pula Sunting

Referensi Sunting

  1. "Mathwords: Scalar". www.mathwords.com. Diakses tanggal 2021-11-02. 
  2. Lay, David C. (2006). Linear Algebra and Its Applications (edisi ke-3rd). Addison–Wesley. ISBN 0-321-28713-4. 
  3. Strang, Gilbert (2006). Linear Algebra and Its Applications (edisi ke-4th). Brooks Cole. ISBN 0-03-010567-6. 
  4. Axler, Sheldon (2002). Linear Algebra Done Right (edisi ke-2nd). Springer. ISBN 0-387-98258-2. 

Pranala luar Sunting


wikipedia, wiki, buku, buku, perpustakaan, artikel, baca, unduh, gratis, unduh gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, gambar, musik, lagu, film, buku, permainan, permainan.
Tanggal penerbitan:
Dalam matematika skalar adalah elemen dari suatu lapangan yang digunakan untuk mendefinisikan sebuah ruang vektor Suatu besaran yang didefinisikan dengan beberapa skalar seperti memiliki arah dan besar disebut dengan vektor 1 Dalam aljabar linear bilangan real atau secara umum elemen dari sebuah lapangan disebut dengan skalar Skalar ini berhubungan dengan suatu ruang vektor lewat operasi perkalian skalar yang terdefinisi di ruang vektor tersebut Operasi tersebut memungkinkan sebuah vektor dikalikan dengan sebuah skalar untuk menghasilkan vektor lainnya 2 3 4 Ruang vektor tidak harus menggunakan bilangan real untuk mendefinisikannya sebarang lapangan lain misal bilangan kompleks juga dapat digunakan Dalam kasus ini skalar dari ruang vektor tersebut adalah elemen dari lapangan tersebut seperti bilangan kompleks Operasi hasil kali titik scalar product yang berbeda dengan perkalian skalar dapat didefinisikan pada sebuah ruang vektor Operasi ini memungkinkan dua vektor dikalikan dengan cara tertentu untuk menghasilkan sebuah skalar Ruang vektor yang dilengkapi dengan operasi hasil kali titik disebut dengan ruang hasil kali dalam inner product space Istilah skalar terkadang juga digunakan secara informal untuk merujuk pada sebuah vektor matriks tensor dan gabungan nilai nilai lainnya yang sebenarnya hanya berisi satu komponen Sebagai contoh perkalian dari matriks berukuran 1 n dengan matriks berukuran n 1 adalah matriks berukuran 1 1 hasil perkalian ini terkadang disebut sebagai sebuah skalar Istilah skalar juga digunakan dalam beberapa bidang lainnya Matriks skalar digunakan untuk menyebut sebuah matriks berbentuk k I displaystyle k mathbf I dengan k displaystyle k sebuah skalar dan I displaystyle mathbf I adalah matriks identitas Komponen real dari sebuah kuarternion juga dirujuk dengan bagian skalar nya Daftar isi 1 Definisi dan sifat 1 1 Skalar pada ruang vektor 1 2 Skalar dari komponen vektor 1 3 Skalar pada ruang vektor bernorma 1 4 Skalar pada modul 1 5 Transformasi penskalaan 2 Lihat pula 3 Referensi 4 Pranala luarDefinisi dan sifat Sunting nbsp Gambar ini menunjukkan sebuah vektor Euklidean Koordinatnya x dan y berupa skalar begitu pula dengan panjangnya Namun v bukan sebuah skalar Skalar pada ruang vektor Sunting Sebuah ruang vektor didefinisikan sebagai sebuah himpunan vektor grup abelian aditif additive abelian group sebuah himpunan skalar lapangan dan sebuah operasi perkalian skalar yang mengalikan skalar k displaystyle k nbsp dan vektor v displaystyle mathbf v nbsp untuk menghasilkan vektor baru k v displaystyle k mathbf v nbsp Sebagai contoh dalam ruang koordinat perkalian skalar k v 1 v 2 v n displaystyle k v 1 v 2 dots v n nbsp menghasilkan vektor k v 1 k v 2 k v n displaystyle kv 1 kv 2 dots kv n nbsp Pada ruang fungsi linear perkalian skalar k f displaystyle kf nbsp adalah sebuah fungsi x k f x displaystyle x mapsto k f x nbsp Skalar dapat dipilih dari sebarang lapangan termasuk bilangan aljabar rasional real dan kompleks maupun lapangan hingga Skalar dari komponen vektor Sunting Menurut teorema fundamental aljabar linear setiap ruang vektor memiliki sebuah basis Hal ini mengakibatkan setiap ruang vektor atas lapangan K displaystyle K nbsp akan isomorfik ke suatu ruang vektor koordinat dengan semua koordinatnya berupa elemen dari K displaystyle K nbsp Sebagai contoh setiap ruang vektor real berdimensi n displaystyle n nbsp isomorfik dengan ruang real R n displaystyle mathbb R n nbsp Skalar pada ruang vektor bernorma Sunting Alternatif lain sebuah ruang vektor V displaystyle V nbsp juga dapat dilengkapi dengan suatu fungsi norma yang memetakan setiap vektor v displaystyle mathbf v nbsp di V displaystyle V nbsp dengan skalar v displaystyle mathbf v nbsp Dari definisi perkalian v displaystyle mathbf v nbsp dengan skalar k displaystyle k nbsp akan ikut mengalikan normanya dengan k displaystyle k nbsp Jika v displaystyle mathbf v nbsp diintepretasikan sebagai jarak dari v displaystyle mathbf v nbsp maka operasi ini dapat dianggap sebagai penskalaan panjang v displaystyle mathbf v nbsp sebesar k displaystyle k nbsp Ruang vektor yang dilengkapi dengan sebuah norma disebut dengan ruang vektor bernorma Skalar pada modul Sunting Jika syarat agar sebuah himpunan skalar dapat membentuk lapangan dilonggarkan sehingga hanya perlu membentuk sebuah gelanggang struktur aljabar yang terbentuk adalah sebuah modul Pada gelanggang konsep pembagian skalar tidak perlu definisikan dan skalar tidak perlu komutatif Dalam kasus ini istilah skalar dapat berupa objek yang rumit Transformasi penskalaan Sunting Perkalian skalar dari pada ruang vektor dan modul adalah kasus khusus dari penskalaan salah satu bentuk transformasi linear Lihat pula SuntingAljabar linear Skalar fisika Struktur aljabarReferensi Sunting Mathwords Scalar www mathwords com Diakses tanggal 2021 11 02 Lay David C 2006 Linear Algebra and Its Applications nbsp edisi ke 3rd Addison Wesley ISBN 0 321 28713 4 Strang Gilbert 2006 Linear Algebra and Its Applications edisi ke 4th Brooks Cole ISBN 0 03 010567 6 Axler Sheldon 2002 Linear Algebra Done Right edisi ke 2nd Springer ISBN 0 387 98258 2 Pranala luar SuntingHazewinkel Michiel ed 2001 1994 Scalar Encyclopedia of Mathematics Springer Science Business Media B V Kluwer Academic Publishers ISBN 978 1 55608 010 4 Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Skalar matematika amp oldid 19350379