www.wikidata.id-id.nina.az

Bijeksi Dalam matematika bijeksi fungsi bijektif korespondensi satu ke satu atau fungsi terbalikkan adalah fungsi yang m

Bijeksi

Dalam matematika, bijeksi, fungsi bijektif, korespondensi satu-ke-satu, atau fungsi terbalikkan adalah fungsi yang melibatkan elemen-elemen dari dua himpunan. Setiap elemen dari satu himpunan dipasangkan dengan tepat ke satu elemen dari himpunan lainnya. Setiap elemen dari himpunan lainnya dipasangkan dengan tepat ke satu elemen dari himpunan pertama. Tidak ada elemen yang tidak berpasangan atau memiliki lebih dari satu pasangan. Dalam istilah matematika, fungsi bijektif f: X → Y adalah pemetaan satu-ke-satu (injeksi) dan onto (surjektif) dari himpunan X ke himpunan Y. Istilah korespondensi satu-ke-satu tidak boleh disalahartikan dengan fungsi satu-ke-satu (fungsi injeksi).

Fungsi bijektif, f : X → Y, di mana himpunan X adalah {1, 2, 3, 4} dan himpunan Y adalah {A, B, C, D}. Misalnya, f (1) = D.

Sebuah bijeksi dari himpunan X ke himpunan Y memiliki fungsi invers dari Y ke X. Jika X dan Y adalah himpunan hingga, maka keberadaan suatu bijeksi berarti bahwa kedua himpunan tersebut memiliki jumlah elemen yang sama. Untuk himpunan tak berhingga, digunakan konsep bilangan kardinal—cara untuk membedakan berbagai ukuran himpunan tak berhingga. Fungsi bijektif dari suatu himpunan ke dirinya sendiri disebut permutasi dan himpunan semua permutasi dari suatu himpunan membentuk sebuah grup simetris. Fungsi bijektif sangat penting dalam berbagai bidang matematika termasuk definisi isomorfisme, homeomorfisme, difeomorfisme, kelompok permutasi, dan peta projektif.

Definisi Sunting

Agar pasangan antara X dan Y menjadi bijeksi, empat sifat berikut harus terpenuhi:

  1. setiap elemen X harus dipasangkan dengan setidaknya satu elemen Y,
  2. tidak ada elemen X yang dipasangkan dengan lebih dari satu elemen Y,
  3. setiap elemen Y harus dipasangkan dengan setidaknya satu elemen X, dan
  4. tidak ada elemen Y yang dipasangkan dengan lebih dari satu elemen X.

Apabila sifat nomor (1) dan (2) terpenuhi, maka pasangan tersebut adalah sebuah fungsi dengan domain X. Pada umumnya, sifat nomor (1) dan (2) lebih umum ditulis sebagai pernyataan tunggal berupa "setiap elemen X dipasangkan dengan tepat ke satu elemen Y." Fungsi yang memenuhi sifat nomor (3) dikatakan "onto Y" atau disebut surjeksi (atau fungsi surjektif). Fungsi yang memenuhi sifat nomor (4) dikatakan sebagai "fungsi satu-ke-satu" dan disebut injeksi (atau fungsi injektif). Dengan terminologi ini, bijeksi adalah fungsi gabungan antara surjeksi dan injeksi. Dengan kata lain, bijeksi adalah fungsi "satu-ke-satu" sekaligus fungsi "onto".

Bijeksi terkadang dilambangkan dengan simbol anak panah ke kanan berkepala dua dan memiliki ekor (⤖), seperti pada f : X ⤖ Y. Simbol ini merupakan kombinasi dari simbol anak panah ke kanan berkepala dua (↠), yang digunakan untuk melambangkan surjeksi dan anak panah ke kanan berekor (↣) yang digunakan untuk melambangkan injeksi.

Contoh Sunting

Penyusunan formasi pemain tim bisbol atau kriket Sunting

Bayangkan susunan pemain pada permainan bisbol atau kriket (atau olahraga lain dengan tiap pemainnya menempati posisi tertentu). Himpunan X mewakili pemain di tim (sembilan pemain untuk baseball) dan himpunan Y mewakili urutan posisi pukulan (pertama, kedua, ketiga, dst.). Kedua himpunan tersebut kemudian dipasangkan untuk menentukan urutan posisi pemain dalam permainan ini. Sifat nomor (1) terpenuhi karena semua pemain ada di dalam daftar, sifat nomor (2) terpenuhi karena tidak ada pemain yang melakukan pukulan sebanyak dua kali (atau lebih), sifat nomor (3) menyatakan bahwa terdapat beberapa pemain yang memukul di posisi itu, dan sifat nomor (4) menyatakan bahwa dua atau lebih pemain tidak pernah memukul di posisi yang sama.

Kursi dan siswa di kelas Sunting

Banyangkan sebuah ruang kelas dengan sejumlah kursi di dalamnya. Sekelompok siswa memasuki ruangan dan guru meminta mereka untuk duduk. Setelah melihat sekilas ke sekeliling ruangan, sang guru mendapati bahwa terdapat bijeksi antara himpunan siswa dan himpunan kursi, ditandai dengan dipasangkannya semua siswa dengan kursi yang mereka duduki. Guru tersebut dapat mengambil kesimpulan seperti ini karena:

  1. Semua siswa duduk di kursi (tidak ada yang berdiri),
  2. Tidak ada siswa yang duduk di lebih dari satu kursi,
  3. Setiap kursi diduduki oleh seorang siswa (tidak ada kursi kosong), dan
  4. Tidak ada kursi diduduki lebih dari satu siswa di atasnya.

Dengan demikian, guru tersebut dapat menyimpulkan bahwa jumlah kursi yang ada sama banyaknya dengan jumlah siswa tanpa harus menghitung kedua himpunan (baik himpunan siswa maupun himpunan kursi).

Contoh matematis Sunting

  • Untuk semua himpunan X, fungsi identitas 1X: X → X, 1X(x) = x adalah sebuah fungsi bijektif.
  • Fungsi f: R → R, f(x) = 2x + 1 merupakan fungsi bijektif karena untuk setiap y ada suatu x = (y - 1)/2 sedemikian sehingga f(x) = y. Secara umum, setiap fungsi linear real, f: R → R, f(x) = ax + b (dengan a adalah nol) adalah sebuah bijeksi. Setiap bilangan real y diperoleh dari (atau dipasangkan dengan) bilangan real x = (y - b)/a.
  • Fungsi f: R → (−π/2, π/2) untuk f(x) = arctan(x) adalah fungsi bijektif karena setiap bilangan real x dipasangkan dengan tepat ke satu sudut y dalam interval (−π/2, π/2) sehingga terpenuhi tan(y) = x (atau y = arctan(x)). Apabila kodomain (-π/2, π/2) dibuat lebih besar untuk menyertakan kelipatan bilangan bulat dari π/2, maka fungsi ini tidak lagi menjadi onto (surjektif) karena tidak ada lagi bilangan real yang dapat dipasangkan dengan kelipatan π/2 oleh fungsi arctan ini.
  • Fungsi eksponensial, g: R → R, g(x) = ex bukan fungsi bijektif karena tidak ada nilai x dalam R yang menyebabkan g(x) = −1 menunjukkan bahwa g tidak onto (surjektif). Namun jika kodomain terbatas ke bilangan real positif , maka g akan bersifat bijektif; inversnya (lihat di bawah) adalah fungsi logaritma natural ln.
  • Fungsi h : R → R +, h ( x ) = x 2 bukan fungsi bijektif: misalnya, h (−1) = h (1) = 1, menunjukkan bahwa h bukan fungsi satu-ke-satu (injeksi). Namun, jika domain dibatasi , maka h akan menjadi fungsi bijektif; kebalikannya adalah fungsi akar kuadrat positif.

Invers Sunting

Sebuah bijeksi f dengan domain X (f: X → Y dalam notasi fungsional) juga mendefinisikan hubungan sebaliknya yang dimulai dari Y dan menuju X (dengan memutar panah ke arah yang berlawanan). Berdasarkan sifat bijeksi nomor (3) dan (4), hubungan invers seperti ini merupakan sebuah fungsi dengan domain Y. Lebih dari itu, sifat nomor (1) dan (2) kemudian menyatakan bahwa fungsi invers ada dan merupakan bijeksi. Suatu fungsi dapat dikatakan invertible jika dan hanya jika fungsi itu adalah sebuah bijeksi.

Dinyatakan dalam notasi matematis ringkas, fungsi f: X → Y adalah bijektif jika dan hanya jika memenuhi syarat

Apabila dikaitkan kembali dengan contoh susunan pemukul bisbol, fungsi yang didefinisikan pada contoh tersebut mengambil input nama salah satu pemain dan menampilkan output posisi pemain itu dalam urutan pukulan. Karena fungsi ini adalah sebuah bijeksi, maka fungsi tersebut memiliki fungsi invers yang mengambil input posisi dalam urutan pukulan dan output pemain yang akan batting di posisi itu.

Komposisi Sunting

Komposisi dari dua bijeksi f: X → Y dan g: Y → Z adalah sebuah bijeksi, dengan invers dari adalah .

Bijeksi terdiri dari injeksi (kiri) dan surjeksi (kanan).

Sebaliknya jika komposisi dari dua fungsi adalah bijeksi, maka f adalah injeksi dan g adalah surjeksi.

Bijeksi dan kardinalitas Sunting

Jika X dan Y adalah himpunan berhingga, maka terdapat bijeksi antara dua himpunan X dan Y jika dan hanya jika X dan Y memiliki jumlah elemen yang sama. Dalam teori himpunan aksiomatik kondisi ini memiliki definisi "jumlah elemen yang sama" (equinumerosity), dan generalisasi definisi ini ke himpunan tak berhingga mengarah ke konsep bilangan kardinal (cara untuk membedakan berbagai ukuran himpunan tak berhingga).

Galeri Sunting

Lihat pula Sunting

Catatan Sunting

  1. ^ "The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — One-to-One Correspondence". Math Vault (dalam bahasa Inggris). 2019-08-01. Diakses tanggal 2019-12-07. 
  2. "Injective, Surjective and Bijective". www.mathsisfun.com. Diakses tanggal 2019-12-07. 
  3. There are names associated to properties (1) and (2) as well. A relation which satisfies property (1) is called a total relation and a relation satisfying (2) is a single valued relation.
  4. "Bijection, Injection, And Surjection | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2019-12-07. 
  5. Dinesh, Khattar (2011). The Pearson Guide To Complete Mathematics For The Aieee. New Delhi, India: Dorling Kindersey. 
  6. Deloro, Adrien (2007). Introduction to Mathematical Reasoning (PDF). 
  7. Quinlan, Rachel (2019). "Section 2.3: Infinite sets and cardinality" (PDF). http://www.maths.nuigalway.ie/. Diakses tanggal 31 Agustus 2020. 

Referensi Sunting

Topik ini adalah konsep dasar dalam teori himpunan dan dapat ditemukan dalam sumber apapun yang memuat pengantar teori himpunan. Topik mengenai teori himpunan dapat ditemukan dalam buku teks:

  • Wolf (1998). Proof, Logic and Conjecture: A Mathematician's Toolbox. Freeman. 
  • Sundstrom (2003). Mathematical Reasoning: Writing and Proof. Prentice-Hall. 
  • Smith; Eggen; St.Andre (2006). A Transition to Advanced Mathematics (6th Ed.). Thomson (Brooks/Cole). 
  • Schumacher (1996). Chapter Zero: Fundamental Notions of Abstract Mathematics. Addison-Wesley. 
  • O'Leary (2003). The Structure of Proof: With Logic and Set Theory. Prentice-Hall. 
  • Morash. Bridge to Abstract Mathematics. Random House. 
  • Maddox (2002). Mathematical Thinking and Writing. Harcourt/ Academic Press. 
  • Lay (2001). Analysis with an introduction to proof. Prentice Hall. 
  • Gilbert; Vanstone (2005). An Introduction to Mathematical Thinking. Pearson Prentice-Hall. 
  • Fletcher; Patty (1992). Foundations of Higher Mathematics. PWS-Kent. 
  • Iglewicz; Stoyle. An Introduction to Mathematical Reasoning. MacMillan. 
  • Devlin, Keith (2004). Sets, Functions, and Logic: An Introduction to Abstract Mathematics. Chapman & Hall/ CRC Press. 
  • D'Angelo; West (2000). Mathematical Thinking: Problem Solving and Proofs. Prentice Hall. 
  • Cupillari. The Nuts and Bolts of Proofs. Wadsworth. 
  • Bond. Introduction to Abstract Mathematics. Brooks/Cole. 
  • Barnier; Feldman (2000). Introduction to Advanced Mathematics. Prentice Hall. 
  • Ash (1998). A Primer of Abstract Mathematics. MAA. 

Pranala luar Sunting

wikipedia, wiki, buku, buku, perpustakaan, artikel, baca, unduh, gratis, unduh gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, gambar, musik, lagu, film, buku, permainan, permainan.
Tanggal penerbitan:
Dalam matematika bijeksi fungsi bijektif korespondensi satu ke satu atau fungsi terbalikkan adalah fungsi yang melibatkan elemen elemen dari dua himpunan Setiap elemen dari satu himpunan dipasangkan dengan tepat ke satu elemen dari himpunan lainnya Setiap elemen dari himpunan lainnya dipasangkan dengan tepat ke satu elemen dari himpunan pertama Tidak ada elemen yang tidak berpasangan atau memiliki lebih dari satu pasangan Dalam istilah matematika fungsi bijektif f X Y adalah pemetaan satu ke satu injeksi dan onto surjektif dari himpunan X ke himpunan Y 1 2 Istilah korespondensi satu ke satu tidak boleh disalahartikan dengan fungsi satu ke satu fungsi injeksi Fungsi bijektif f X Y di mana himpunan X adalah 1 2 3 4 dan himpunan Y adalah A B C D Misalnya f 1 D Sebuah bijeksi dari himpunan X ke himpunan Y memiliki fungsi invers dari Y ke X Jika X dan Y adalah himpunan hingga maka keberadaan suatu bijeksi berarti bahwa kedua himpunan tersebut memiliki jumlah elemen yang sama Untuk himpunan tak berhingga digunakan konsep bilangan kardinal cara untuk membedakan berbagai ukuran himpunan tak berhingga Fungsi bijektif dari suatu himpunan ke dirinya sendiri disebut permutasi dan himpunan semua permutasi dari suatu himpunan membentuk sebuah grup simetris Fungsi bijektif sangat penting dalam berbagai bidang matematika termasuk definisi isomorfisme homeomorfisme difeomorfisme kelompok permutasi dan peta projektif Daftar isi 1 Definisi 2 Contoh 2 1 Penyusunan formasi pemain tim bisbol atau kriket 2 2 Kursi dan siswa di kelas 3 Contoh matematis 4 Invers 5 Komposisi 6 Bijeksi dan kardinalitas 7 Galeri 8 Lihat pula 9 Catatan 10 Referensi 11 Pranala luarDefinisi SuntingAgar pasangan antara X dan Y menjadi bijeksi empat sifat berikut harus terpenuhi setiap elemen X harus dipasangkan dengan setidaknya satu elemen Y tidak ada elemen X yang dipasangkan dengan lebih dari satu elemen Y setiap elemen Y harus dipasangkan dengan setidaknya satu elemen X dan tidak ada elemen Y yang dipasangkan dengan lebih dari satu elemen X Apabila sifat nomor 1 dan 2 terpenuhi maka pasangan tersebut adalah sebuah fungsi dengan domain X Pada umumnya sifat nomor 1 dan 2 lebih umum ditulis sebagai pernyataan tunggal berupa setiap elemen X dipasangkan dengan tepat ke satu elemen Y Fungsi yang memenuhi sifat nomor 3 dikatakan onto Y atau disebut surjeksi atau fungsi surjektif Fungsi yang memenuhi sifat nomor 4 dikatakan sebagai fungsi satu ke satu dan disebut injeksi atau fungsi injektif 3 Dengan terminologi ini bijeksi adalah fungsi gabungan antara surjeksi dan injeksi Dengan kata lain bijeksi adalah fungsi satu ke satu sekaligus fungsi onto 1 4 Bijeksi terkadang dilambangkan dengan simbol anak panah ke kanan berkepala dua dan memiliki ekor seperti pada f X Y Simbol ini merupakan kombinasi dari simbol anak panah ke kanan berkepala dua yang digunakan untuk melambangkan surjeksi dan anak panah ke kanan berekor yang digunakan untuk melambangkan injeksi Contoh SuntingPenyusunan formasi pemain tim bisbol atau kriket Sunting Bayangkan susunan pemain pada permainan bisbol atau kriket atau olahraga lain dengan tiap pemainnya menempati posisi tertentu Himpunan X mewakili pemain di tim sembilan pemain untuk baseball dan himpunan Y mewakili urutan posisi pukulan pertama kedua ketiga dst Kedua himpunan tersebut kemudian dipasangkan untuk menentukan urutan posisi pemain dalam permainan ini Sifat nomor 1 terpenuhi karena semua pemain ada di dalam daftar sifat nomor 2 terpenuhi karena tidak ada pemain yang melakukan pukulan sebanyak dua kali atau lebih sifat nomor 3 menyatakan bahwa terdapat beberapa pemain yang memukul di posisi itu dan sifat nomor 4 menyatakan bahwa dua atau lebih pemain tidak pernah memukul di posisi yang sama Kursi dan siswa di kelas Sunting Banyangkan sebuah ruang kelas dengan sejumlah kursi di dalamnya Sekelompok siswa memasuki ruangan dan guru meminta mereka untuk duduk Setelah melihat sekilas ke sekeliling ruangan sang guru mendapati bahwa terdapat bijeksi antara himpunan siswa dan himpunan kursi ditandai dengan dipasangkannya semua siswa dengan kursi yang mereka duduki Guru tersebut dapat mengambil kesimpulan seperti ini karena Semua siswa duduk di kursi tidak ada yang berdiri Tidak ada siswa yang duduk di lebih dari satu kursi Setiap kursi diduduki oleh seorang siswa tidak ada kursi kosong dan Tidak ada kursi diduduki lebih dari satu siswa di atasnya Dengan demikian guru tersebut dapat menyimpulkan bahwa jumlah kursi yang ada sama banyaknya dengan jumlah siswa tanpa harus menghitung kedua himpunan baik himpunan siswa maupun himpunan kursi Contoh matematis SuntingUntuk semua himpunan X fungsi identitas 1X X X 1X x x adalah sebuah fungsi bijektif Fungsi f R R f x 2x 1 merupakan fungsi bijektif karena untuk setiap y ada suatu x y 1 2 sedemikian sehingga f x y Secara umum setiap fungsi linear real f R R f x ax b dengan a adalah nol adalah sebuah bijeksi Setiap bilangan real y diperoleh dari atau dipasangkan dengan bilangan real x y b a Fungsi f R p 2 p 2 untuk f x arctan x adalah fungsi bijektif karena setiap bilangan real x dipasangkan dengan tepat ke satu sudut y dalam interval p 2 p 2 sehingga terpenuhi tan y x atau y arctan x Apabila kodomain p 2 p 2 dibuat lebih besar untuk menyertakan kelipatan bilangan bulat dari p 2 maka fungsi ini tidak lagi menjadi onto surjektif karena tidak ada lagi bilangan real yang dapat dipasangkan dengan kelipatan p 2 oleh fungsi arctan ini Fungsi eksponensial g R R g x ex bukan fungsi bijektif karena tidak ada nilai x dalam R yang menyebabkan g x 1 menunjukkan bahwa g tidak onto surjektif Namun jika kodomain terbatas ke bilangan real positif R 0 displaystyle scriptstyle mathbb R equiv left 0 infty right nbsp maka g akan bersifat bijektif inversnya lihat di bawah adalah fungsi logaritma natural ln Fungsi h R R h x x 2 bukan fungsi bijektif misalnya h 1 h 1 1 menunjukkan bahwa h bukan fungsi satu ke satu injeksi Namun jika domain dibatasi R 0 0 displaystyle scriptstyle mathbb R 0 equiv left 0 infty right nbsp maka h akan menjadi fungsi bijektif kebalikannya adalah fungsi akar kuadrat positif Invers SuntingSebuah bijeksi f dengan domain X f X Y dalam notasi fungsional juga mendefinisikan hubungan sebaliknya yang dimulai dari Y dan menuju X dengan memutar panah ke arah yang berlawanan Berdasarkan sifat bijeksi nomor 3 dan 4 hubungan invers seperti ini merupakan sebuah fungsi dengan domain Y Lebih dari itu sifat nomor 1 dan 2 kemudian menyatakan bahwa fungsi invers ada dan merupakan bijeksi 5 Suatu fungsi dapat dikatakan invertible jika dan hanya jika fungsi itu adalah sebuah bijeksi Dinyatakan dalam notasi matematis ringkas fungsi f X Y adalah bijektif jika dan hanya jika memenuhi syarat untuk setiap y di Y terdapat suatu x di X dengan y f x Apabila dikaitkan kembali dengan contoh susunan pemukul bisbol fungsi yang didefinisikan pada contoh tersebut mengambil input nama salah satu pemain dan menampilkan output posisi pemain itu dalam urutan pukulan Karena fungsi ini adalah sebuah bijeksi maka fungsi tersebut memiliki fungsi invers yang mengambil input posisi dalam urutan pukulan dan output pemain yang akan batting di posisi itu Komposisi SuntingKomposisi g f displaystyle scriptstyle g circ f nbsp dari dua bijeksi f X Y dan g Y Z adalah sebuah bijeksi dengan invers dari g f displaystyle scriptstyle g circ f nbsp adalah g f 1 f 1 g 1 displaystyle scriptstyle g circ f 1 f 1 circ g 1 nbsp nbsp Bijeksi terdiri dari injeksi kiri dan surjeksi kanan Sebaliknya jika komposisi g f displaystyle scriptstyle g circ f nbsp dari dua fungsi adalah bijeksi maka f adalah injeksi dan g adalah surjeksi 6 Bijeksi dan kardinalitas SuntingJika X dan Y adalah himpunan berhingga maka terdapat bijeksi antara dua himpunan X dan Y jika dan hanya jika X dan Y memiliki jumlah elemen yang sama Dalam teori himpunan aksiomatik kondisi ini memiliki definisi jumlah elemen yang sama equinumerosity dan generalisasi definisi ini ke himpunan tak berhingga mengarah ke konsep bilangan kardinal cara untuk membedakan berbagai ukuran himpunan tak berhingga 7 Galeri Sunting nbsp Sebuah fungsi injektif non surjektif injeksi bukan bijeksi nbsp Sebuah fungsi injektif subjektif bijeksi nbsp Sebuah fungsi non injektif surjektif surjeksi bukan bijeksi nbsp Sebuah fungsi non injektif non surjektif juga bukan sebuah bijeksi Lihat pula Sunting nbsp Portal Matematika Teori kategoriCatatan Sunting a b The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon One to One Correspondence Math Vault dalam bahasa Inggris 2019 08 01 Diakses tanggal 2019 12 07 Parameter url status yang tidak diketahui akan diabaikan bantuan Injective Surjective and Bijective www mathsisfun com Diakses tanggal 2019 12 07 There are names associated to properties 1 and 2 as well A relation which satisfies property 1 is called a total relation and a relation satisfying 2 is a single valued relation Bijection Injection And Surjection Brilliant Math amp Science Wiki brilliant org dalam bahasa Inggris Diakses tanggal 2019 12 07 Dinesh Khattar 2011 The Pearson Guide To Complete Mathematics For The Aieee New Delhi India Dorling Kindersey Parameter url status yang tidak diketahui akan diabaikan bantuan Deloro Adrien 2007 Introduction to Mathematical Reasoning PDF Parameter url status yang tidak diketahui akan diabaikan bantuan Quinlan Rachel 2019 Section 2 3 Infinite sets and cardinality PDF http www maths nuigalway ie Diakses tanggal 31 Agustus 2020 Referensi SuntingTopik ini adalah konsep dasar dalam teori himpunan dan dapat ditemukan dalam sumber apapun yang memuat pengantar teori himpunan Topik mengenai teori himpunan dapat ditemukan dalam buku teks Wolf 1998 Proof Logic and Conjecture A Mathematician s Toolbox Freeman Sundstrom 2003 Mathematical Reasoning Writing and Proof Prentice Hall Smith Eggen St Andre 2006 A Transition to Advanced Mathematics 6th Ed Thomson Brooks Cole Schumacher 1996 Chapter Zero Fundamental Notions of Abstract Mathematics Addison Wesley O Leary 2003 The Structure of Proof With Logic and Set Theory Prentice Hall Morash Bridge to Abstract Mathematics Random House Maddox 2002 Mathematical Thinking and Writing Harcourt Academic Press Lay 2001 Analysis with an introduction to proof Prentice Hall Gilbert Vanstone 2005 An Introduction to Mathematical Thinking Pearson Prentice Hall Fletcher Patty 1992 Foundations of Higher Mathematics PWS Kent Iglewicz Stoyle An Introduction to Mathematical Reasoning MacMillan Devlin Keith 2004 Sets Functions and Logic An Introduction to Abstract Mathematics Chapman amp Hall CRC Press D Angelo West 2000 Mathematical Thinking Problem Solving and Proofs Prentice Hall Cupillari The Nuts and Bolts of Proofs nbsp Wadsworth Bond Introduction to Abstract Mathematics Brooks Cole Barnier Feldman 2000 Introduction to Advanced Mathematics Prentice Hall Ash 1998 A Primer of Abstract Mathematics MAA Pranala luar SuntingHazewinkel Michiel ed 2001 1994 Bijection Encyclopedia of Mathematics Springer Science Business Media B V Kluwer Academic Publishers ISBN 978 1 55608 010 4 Inggris Weisstein Eric W Bijection MathWorld Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics entry on Injection Surjection and Bijection has the history of Injection and related terms Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Bijeksi amp oldid 23440618