www.wikidata.id-id.nina.az

Minor aljabar linear Dalam aljabar linear sebuah minor dari matriks A displaystyle mathbf A adalah determinan dari beber

Minor (aljabar linear)

Dalam aljabar linear, sebuah minor dari matriks adalah determinan dari beberapa matriks persegi kecil, yang dibentuk dengan menghapus satu atau lebih baris dan kolom matriks . Minor yang diperoleh dengan hanya menghapus satu baris dan satu kolom dari matriks persegi (minor pertama) diperlukan untuk menghitung matriks kofaktor, yang pada gilirannya berguna untuk menghitung determinan dan invers dari matriks persegi.

Definisi dan ilustrasi sunting

Minor pertama sunting

Jika adalah sebuah matriks persegi, maka minor dari entri dalam baris ke- dan kolom ke- adalah determinan dari submatriks dibentuk dengan menghapus baris ke- dan kolom ke-. Determinan ini juga disebut dengan minor , atau sebuah minor pertama. Bilangan ini seringkali dilambangkan . Kofaktor diperoleh dengan mengalikan minor oleh .

Untuk mengilustrasikan definisi-definisi ini, tinjau matriks 3 kali 3 berikut,

Untuk menghitung minor dan kofaktor , kita perlu menemukan determinan dari matriks yang baris ke-2 dan kolom ke-3-nya telah dihapus.

Jadi kofaktor dari entri adalah

Definisi umum sunting

Misalkan adalah sebuah matriks berukuran dan adalah sebuah bilangan bulat dengan , dan . Sebuah minor dari adalah determinan dari sebuah matriks berukuran yang diperoleh dengan menghapus baris dan kolom dari . Determinan ini juga disebut determinan minor dengan orde dari , atau jika , disebut dengan determinan minor ke- dari (kata "determinan" seringkali dihilangkan, dan kata "derajat" terkadang digunakan sebagai pengganti "orde"). Terkadang istilah ini digunakan untuk merujuk ke matriks yang diperoleh dari dengan cara di atas (yakni dengan menghapus baris dan kolom), tetapi matriks ini harus dirujuk ke determinan dari matriks ini.

Untuk matriks di atas, terdapat minor berukuran . Minor dengan orde nol sering didefinisikan bernilai . Pada kasus matriks persegi, minor ke-nol hanyalah determinan dari matriks.

Misalkan dan adalah suatu barisan terurut dari indeks, sebut mereka masing-masing sebagai dan . Terdapat beberapa notasi untuk menyebut minor

yang berkorespondensi dengan pilihan-pilihan dari indeks ini. Tergantung pada sumber yang digunakan, notasi untuk minor tersebut adalah , , , , atau (dengan melambangkan barisan indeks , dan seterusnya). Juga, terdapat dua tipe dari denotasi-denotasi digunakan dalam literaturː dengan minor dikaitkan ke barisan yang diurutkan dari indeks dan , beberapa penulis bermaksud determinan dari matriks yang dibentuk seperti di atas, dengan mengambil anggota-anggota dari matriks asli dari baris yang indeksnya ada di dan kolom yang indeksnya ada di , sedangkan beberapa penulis lainnya bermaksud dengan sebuah minor dikaitkan ke dan determinan dari matriks dibentuk dari matriks asli dengan menghapuskan baris dalam dan kolom dalam . Yang notasinya digunakan seharusnya selalui diperiksa dari sumber dalam pertanyaan. Dalam artikel ini, kita menggunakan definisi yang inklusif dalam memilih anggota-anggota dari baris dan kolom . Kasus luar biasanya adalah kasus dari minor pertama atau minor ke- dijelaskan di atas; dalam kasus itu, notasi yang eksklusif standar di mana-mana di literatur dan digunakan dalam artikel ini juga.

Komplemen sunting

Komplemen, , dari sebuah minor , dari sebuah matriks persegi, , dibentuk oleh determinan dari matriks dari mana semua baris dan kolom dikaitkan dengan telah dihapus. Komplemen dari minor pertama dari sebuah anggota hanyalah anggota itu.

Penerapan minor dan kofaktor sunting

Ekspansi kofaktor dari determinan sunting

Fitur kofaktor secara mencolok dalam rumus Laplace untuk ekspansi dari determinan-determinan, yang sebuah metode dari penghitungan determinan lebih besar dalam hal yang lebih kecil. Diberikan sebuah matriks yaitu , determinan , dilambangkan , bisa ditulis sebagai penjumlahan dari kofaktor-kofaktor dari setiap baris dan kolom dari matriks dikalikan dengan entri-entri yang dihasilkan mereka. Dengan kata lain, mendefinisikan maka ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke- memberikanː

Ekspansi kofaktor sepanjang baris ke- memberikanː

Invers dari sebuah matriks sunting

Salah satunya bisa menuliskan invers dari matriks invertible dengan menghitung kofaktor-kofaktor dengan menggunakan aturan Cramer, seperti berikut. Matriks dibentuk oleh semua dari kofaktor-kofaktor dari sebuah matriks persegi disebut matriks kofaktor (juga disebut matriks dari kofaktor atau komatriks)ː

Maka invers dari transpose dari matriks kofaktor dikali kebalikan dari determinan ː

Transpose dari matriks kofaktor disebut matriks adjugat (juga disebut adjoin klasik) dari .

Rumus di atas bisa dihaislkan sebagai berikut. Misalkan dan menjadi barisan urutan (dalam urutan alami) dari indeks (disini adalah sebuat matriks ). Maka

di mana dan melambangkan barisan urutan dari indeks (indeks dalam urutan besar yang wajar, seperti di atas) melengkapi , , sehingga setiap indeks muncul tepat sekali di salah satu atau , tapi tidak di keduanya (demikian pula untuk dan ) dan melambangkan determinan dari submatriks dibentuk dengan memilih baris dari himpunan indeks dan kolom dari himpunan indeks . Juga . Sebuah bukti sederhana bisa diberikan menggunakan produk wedge. Tentunya,

di mana adalah vektor basis. Tindakan oleh ada kedua sisi, salah satunya mendapatkan

Tandanya bisa berhasil menjadi , jadi tandanya dideterminasikan oleh penjumlahan-penjumlahan pada anggota-anggota di dan .

Penerapan lainnya sunting

Diberikan sebuah matriks dengan entri-entri real (atau entri-entri dari setiap bidang lainnya) dan rank , maka terdapat setidaknya satu minor tak nol, sementara semua minor-minor yang besar adalah nol.

Kita akan menggunakan notasi berikut untuk minor. Jika adalah sebuah matriks , adalah himpunan bagian dari dengan anggota , dan adalah himpunan bagian dari dengan anggota , maka kita menulis untuk minor pada yang sesuai dengan baris dengan indeks dalam dan kolom dengan indeks dalam .

  • Jika , maka disebut minor utama.
  • Jika matriks yang sesuai dengan minor utama adalah kuadrat bagian atas-kiri dari matriks yang besar (yaitu, itu terdiri dari anggota-anggota matriks dalam baris-baris dan kolom-kolom dari hingga ), maka minor utama disebut sebuah minor utama terkemuka (dari urutan ) atau minor sudut (utama) (dari urutan ). Untuk sebuah matriks persegi , terdapat minor utama terkemuka .
  • Sebuah minor dasar dari sebuah matriks adalah determinan dari sebuah submatriks persegi yang dari ukuran maksimal dengan determinan tidak nol.
  • Untuk matriks Hermite, minor utama terkemuka bisa digunakan untuk menguji ketentuan positif dan minor utama bisa digunakan untuk menguji kesemitentuan positif. Lihat kriteria Sylvester untuk detail lebih lanjut.

Kedua rumus untuk perkalian matriks biasa dan rumus Cauchy–Binet untuk determinan dari produk dua matriks adalah kasus spesial dari pernyataan umum berikut tentang minor-minor dari sebuah produk dua matriks. Andaikan adalah sebuah matriks , adalah sebuah matriks , adalah himpunan bagian dari dengan anggota dan adalah himpunan bagian dari dengan anggota . Maka

di mana penjumlahan meluas ke semua himpunan bagian dari dengan anggota . Rumus ini merupakan sebuah ekstensi langsung dari rumus Cauchy–Binet.

Pendekatan aljabar multilinear sunting

Lebih sistematis, perlakuan aljabar dari minor-minor diberikan dalam aljabar multilinear, menggunakan produk wedge, minor- dari sebuah matriks adalah entri-entri dalam pemetaan pangkat eksterior ke-.

Jika kolom-kolom dari sebuah matriks terjepit bersama pada satu waktu, minor muncul sebagai komponen-komponen dari hasil vektor . Sebagai contoh, minor dari matriks

adalah (dari dua baris pertama), (dari baris pertama dan terakhir), dan (dari dua baris terakhir). Sekarang tinjau produk wedge

di mana kedua ekspresi sesuai dengan dua kolom dari matriks kita. Menggunakan sifat-sifat dari produk wedge, yaitu bilinear dan bergantian,

dan antisimteris

kita bisa menyederhanakan ekspresi ini menjadi

di mana koefisien sesuai dengan minor-minor yang ditung sebelumnya.

Sebuah komentar tentang notasi yang berbeda sunting

Dalam beberapa buku, daripada kofaktor , istilah adjunct digunakan. Bahkan, ini dilambangkan sebagai dan didefiniskan dalam cara yang sama sebagai kofaktorː

Menggunaan notasi ini, invers matriks ditulis dengan cara ini.

Ingat bahwa adjunct bukanlah adjugat atau adjoin. Dalam termonologi modern, "adjoin" dari sebuah matriks paling sering mengacu pada yang sesuai, operator adjoin.

Lihat pula sunting

Referensi sunting

  1. Burnside, William Snow & Panton, Arthur William (1886) Theory of Equations: with an Introduction to the Theory of Binary Algebraic Form.
  2. ^ Elementary Matrix Algebra (Third edition), Franz E. Hohn, The Macmillan Company, 1973, ISBN 978-0-02-355950-1
  3. ^ "Minor". Encyclopedia of Mathematics. 
  4. dengan urutan alami, asumsi yang umum digunakan ketika berbicara tentang minor, kecuali dinyatakan lain.
  5. Linear Algebra and Geometry, Igor R. Shafarevich, Alexey O. Remizov, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2013, ISBN 978-3-642-30993-9
  6. Bertha Jeffreys, Methods of Mathematical Physics, p.135, Cambridge University Press, 1999 ISBN 0-521-66402-0.
  7. Viktor Vasil_evich Prasolov (13 June 1994). Problems and Theorems in Linear Algebra. American Mathematical Soc. hlm. 15–. ISBN 978-0-8218-0236-6. 
  8. Felix Gantmacher, Theory of matrices (1st ed., original language is Russian), Moscow: State Publishing House of technical and theoretical literature, 1953, p.491,

Pranala luar sunting

wikipedia, wiki, buku, buku, perpustakaan, artikel, baca, unduh, gratis, unduh gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, gambar, musik, lagu, film, buku, permainan, permainan.
Tanggal penerbitan:
Dalam aljabar linear sebuah minor dari matriks A displaystyle mathbf A adalah determinan dari beberapa matriks persegi kecil yang dibentuk dengan menghapus satu atau lebih baris dan kolom matriks A displaystyle mathbf A Minor yang diperoleh dengan hanya menghapus satu baris dan satu kolom dari matriks persegi minor pertama diperlukan untuk menghitung matriks kofaktor yang pada gilirannya berguna untuk menghitung determinan dan invers dari matriks persegi Daftar isi 1 Definisi dan ilustrasi 1 1 Minor pertama 1 2 Definisi umum 1 3 Komplemen 2 Penerapan minor dan kofaktor 2 1 Ekspansi kofaktor dari determinan 2 2 Invers dari sebuah matriks 2 3 Penerapan lainnya 3 Pendekatan aljabar multilinear 4 Sebuah komentar tentang notasi yang berbeda 5 Lihat pula 6 Referensi 7 Pranala luarDefinisi dan ilustrasi suntingMinor pertama sunting Jika A displaystyle mathbf A nbsp adalah sebuah matriks persegi maka minor dari entri dalam baris ke i displaystyle i nbsp dan kolom ke j displaystyle j nbsp adalah determinan dari submatriks dibentuk dengan menghapus baris ke i displaystyle i nbsp dan kolom ke j displaystyle j nbsp Determinan ini juga disebut dengan minor i j displaystyle i j nbsp atau sebuah minor pertama 1 Bilangan ini seringkali dilambangkan M i j displaystyle M i j nbsp Kofaktor i j displaystyle i j nbsp diperoleh dengan mengalikan minor oleh 1 i j displaystyle 1 i j nbsp Untuk mengilustrasikan definisi definisi ini tinjau matriks 3 kali 3 berikut 1 4 7 3 0 5 1 9 11 displaystyle begin bmatrix 1 amp 4 amp 7 3 amp 0 amp 5 1 amp 9 amp 11 end bmatrix nbsp Untuk menghitung minor M 2 3 displaystyle M 2 3 nbsp dan kofaktor C 2 3 displaystyle C 2 3 nbsp kita perlu menemukan determinan dari matriks yang baris ke 2 dan kolom ke 3 nya telah dihapus M 2 3 det 1 4 1 9 det 1 4 1 9 9 4 13 displaystyle M 2 3 det begin bmatrix 1 amp 4 amp Box Box amp Box amp Box 1 amp 9 amp Box end bmatrix det begin bmatrix 1 amp 4 1 amp 9 end bmatrix 9 4 13 nbsp Jadi kofaktor dari entri 2 3 displaystyle 2 3 nbsp adalah C 2 3 1 2 3 M 2 3 13 displaystyle C 2 3 1 2 3 M 2 3 13 nbsp Definisi umum sunting Misalkan A displaystyle mathbf A nbsp adalah sebuah matriks berukuran m n displaystyle m times n nbsp dan k displaystyle k nbsp adalah sebuah bilangan bulat dengan 0 lt k m displaystyle 0 lt k leq m nbsp dan k n displaystyle k leq n nbsp Sebuah minor k k displaystyle k times k nbsp dari A displaystyle mathbf A nbsp adalah determinan dari sebuah matriks berukuran k k displaystyle k times k nbsp yang diperoleh dengan menghapus m k displaystyle m k nbsp baris dan n k displaystyle n k nbsp kolom dari A displaystyle mathbf A nbsp Determinan ini juga disebut determinan minor dengan orde k displaystyle k nbsp dari A displaystyle mathbf A nbsp atau jika m n displaystyle m n nbsp disebut dengan determinan minor ke n k displaystyle n k nbsp dari A displaystyle mathbf A nbsp kata determinan seringkali dihilangkan dan kata derajat terkadang digunakan sebagai pengganti orde Terkadang istilah ini digunakan untuk merujuk ke matriks k k displaystyle k times k nbsp yang diperoleh dari A displaystyle mathbf A nbsp dengan cara di atas yakni dengan menghapus m k displaystyle m k nbsp baris dan n k displaystyle n k nbsp kolom tetapi matriks ini harus dirujuk ke determinan dari matriks ini Untuk matriks A displaystyle mathbf A nbsp di atas terdapat m k n k displaystyle m choose k cdot n choose k nbsp minor berukuran k k displaystyle k times k nbsp Minor dengan orde nol sering didefinisikan bernilai 1 displaystyle 1 nbsp Pada kasus matriks persegi minor ke nol hanyalah determinan dari matriks 2 3 Misalkan 1 i 1 lt i 2 lt lt i k m displaystyle 1 leq i 1 lt i 2 lt cdots lt i k leq m nbsp dan 1 j 1 lt j 2 lt lt j k n displaystyle 1 leq j 1 lt j 2 lt cdots lt j k leq n nbsp adalah suatu barisan terurut 4 dari indeks sebut mereka masing masing sebagai I displaystyle I nbsp dan J displaystyle J nbsp Terdapat beberapa notasi untuk menyebut minordet A i p j q p q 1 k displaystyle det left A i p j q p q 1 ldots k right nbsp yang berkorespondensi dengan pilihan pilihan dari indeks ini Tergantung pada sumber yang digunakan notasi untuk minor tersebut adalah det I J A displaystyle det I J A nbsp A I J displaystyle A I J nbsp M I J displaystyle M I J nbsp M i 1 i 2 i k j 1 j 2 j k displaystyle M i 1 i 2 ldots i k j 1 j 2 ldots j k nbsp atau M i j displaystyle M i j nbsp dengan i displaystyle i nbsp melambangkan barisan indeks I displaystyle I nbsp dan seterusnya Juga terdapat dua tipe dari denotasi denotasi digunakan dalam literaturː dengan minor dikaitkan ke barisan yang diurutkan dari indeks I displaystyle I nbsp dan J displaystyle J nbsp beberapa penulis 5 bermaksud determinan dari matriks yang dibentuk seperti di atas dengan mengambil anggota anggota dari matriks asli dari baris yang indeksnya ada di I displaystyle I nbsp dan kolom yang indeksnya ada di J displaystyle J nbsp sedangkan beberapa penulis lainnya bermaksud dengan sebuah minor dikaitkan ke I displaystyle I nbsp dan J displaystyle J nbsp determinan dari matriks dibentuk dari matriks asli dengan menghapuskan baris dalam I displaystyle I nbsp dan kolom dalam J displaystyle J nbsp 2 Yang notasinya digunakan seharusnya selalui diperiksa dari sumber dalam pertanyaan Dalam artikel ini kita menggunakan definisi yang inklusif dalam memilih anggota anggota dari baris I displaystyle I nbsp dan kolom J displaystyle J nbsp Kasus luar biasanya adalah kasus dari minor pertama atau minor ke i j displaystyle i j nbsp dijelaskan di atas dalam kasus itu notasi yang eksklusif M i j det A p q p i q j displaystyle M i j det left left A p q right p neq i q neq j right nbsp standar di mana mana di literatur dan digunakan dalam artikel ini juga Komplemen sunting Komplemen B i j k p q r displaystyle B ijk dots pqr dots nbsp dari sebuah minor M i j k p q r displaystyle M ijk dots pqr dots nbsp dari sebuah matriks persegi A displaystyle mathbf A nbsp dibentuk oleh determinan dari matriks A displaystyle mathbf A nbsp dari mana semua baris i j k displaystyle ijk dots nbsp dan kolom p q r displaystyle pqr dots nbsp dikaitkan dengan M i j k p q r displaystyle M ijk dots pqr dots nbsp telah dihapus Komplemen dari minor pertama dari sebuah anggota a i j displaystyle a ij nbsp hanyalah anggota itu 6 Penerapan minor dan kofaktor suntingEkspansi kofaktor dari determinan sunting Fitur kofaktor secara mencolok dalam rumus Laplace untuk ekspansi dari determinan determinan yang sebuah metode dari penghitungan determinan lebih besar dalam hal yang lebih kecil Diberikan sebuah matriks n n displaystyle n times n nbsp yaitu A a i j displaystyle A a ij nbsp determinan A displaystyle A nbsp dilambangkan det A displaystyle det A nbsp bisa ditulis sebagai penjumlahan dari kofaktor kofaktor dari setiap baris dan kolom dari matriks dikalikan dengan entri entri yang dihasilkan mereka Dengan kata lain mendefinisikan C i j 1 i j M i j displaystyle C ij 1 i j M ij nbsp maka ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke j displaystyle j nbsp memberikanːEkspansi kofaktor sepanjang baris ke i displaystyle i nbsp memberikanː det A a i 1 C i 1 a i 2 C i 2 a i 3 C i 3 a i n C i n j 1 n a i j C i j j 1 n a i j 1 i j M i j displaystyle det mathbf A a i1 C i1 a i2 C i2 a i3 C i3 cdots a in C in sum j 1 n a ij C ij sum j 1 n a ij 1 i j M ij nbsp Invers dari sebuah matriks sunting Salah satunya bisa menuliskan invers dari matriks invertible dengan menghitung kofaktor kofaktor dengan menggunakan aturan Cramer seperti berikut Matriks dibentuk oleh semua dari kofaktor kofaktor dari sebuah matriks persegi A displaystyle mathbf A nbsp disebut matriks kofaktor juga disebut matriks dari kofaktor atau komatriks ː C C 11 C 12 C 1 n C 21 C 22 C 2 n C n 1 C n 2 C n n displaystyle mathbf C begin bmatrix C 11 amp C 12 amp cdots amp C 1n C 21 amp C 22 amp cdots amp C 2n vdots amp vdots amp ddots amp vdots C n1 amp C n2 amp cdots amp C nn end bmatrix nbsp Maka invers dari A displaystyle mathbf A nbsp transpose dari matriks kofaktor dikali kebalikan dari determinan A displaystyle A nbsp ː A 1 1 det A C T displaystyle mathbf A 1 frac 1 operatorname det mathbf A mathbf C mathsf T nbsp Transpose dari matriks kofaktor disebut matriks adjugat juga disebut adjoin klasik dari A displaystyle mathbf A nbsp Rumus di atas bisa dihaislkan sebagai berikut Misalkan 1 i 1 lt i 2 lt lt i k n displaystyle 1 leq i 1 lt i 2 lt ldots lt i k leq n nbsp dan menjadi 1 j 1 lt j 2 lt lt j k n displaystyle 1 leq j 1 lt j 2 lt ldots lt j k leq n nbsp barisan urutan dalam urutan alami dari indeks disini A displaystyle mathbf A nbsp adalah sebuat matriks n n displaystyle n times n nbsp Maka 7 A 1 I J A J I det A displaystyle mathbf A 1 I J pm frac mathbf A J I det mathbf A nbsp di mana I displaystyle I nbsp dan J displaystyle J nbsp melambangkan barisan urutan dari indeks indeks dalam urutan besar yang wajar seperti di atas melengkapi I displaystyle I nbsp J displaystyle J nbsp sehingga setiap indeks 1 n displaystyle 1 dots n nbsp muncul tepat sekali di salah satu I displaystyle I nbsp atau I displaystyle I nbsp tapi tidak di keduanya demikian pula untuk J displaystyle J nbsp dan J displaystyle J nbsp dan A I J displaystyle mathbf A I J nbsp melambangkan determinan dari submatriks A displaystyle mathbf A nbsp dibentuk dengan memilih baris dari himpunan indeks I displaystyle I nbsp dan kolom dari himpunan indeks J displaystyle J nbsp Juga A I J det A i p j q p q 1 k displaystyle mathbf A I J det left A i p j q p q 1 ldots k right nbsp Sebuah bukti sederhana bisa diberikan menggunakan produk wedge Tentunya A 1 I J e 1 e n A 1 e j 1 A 1 e j k e i 1 e i n k displaystyle mathbf A 1 I J e 1 wedge ldots wedge e n pm mathbf A 1 e j 1 wedge ldots wedge mathbf A 1 e j k wedge e i 1 wedge ldots wedge e i n k nbsp di mana e 1 e n displaystyle e 1 dots e n nbsp adalah vektor basis Tindakan oleh A displaystyle mathbf A nbsp ada kedua sisi salah satunya mendapatkan A 1 I J det A e 1 e n e j 1 e j k A e i 1 A e i n k A J I e 1 e n displaystyle mathbf A 1 I J det mathbf A e 1 wedge ldots wedge e n pm e j 1 wedge ldots wedge e j k wedge mathbf A e i 1 wedge ldots wedge mathbf A e i n k pm mathbf A J I e 1 wedge ldots wedge e n nbsp Tandanya bisa berhasil menjadi 1 s 1 k i s s 1 k j s displaystyle 1 sum s 1 k i s sum s 1 k j s nbsp jadi tandanya dideterminasikan oleh penjumlahan penjumlahan pada anggota anggota di I displaystyle I nbsp dan J displaystyle J nbsp Penerapan lainnya sunting Diberikan sebuah matriks m n displaystyle m times n nbsp dengan entri entri real atau entri entri dari setiap bidang lainnya dan rank r displaystyle r nbsp maka terdapat setidaknya satu minor r r displaystyle r times r nbsp tak nol sementara semua minor minor yang besar adalah nol Kita akan menggunakan notasi berikut untuk minor Jika A displaystyle mathbf A nbsp adalah sebuah matriks m n displaystyle m times n nbsp I displaystyle I nbsp adalah himpunan bagian dari 1 m displaystyle 1 dots m nbsp dengan anggota k displaystyle k nbsp dan J displaystyle J nbsp adalah himpunan bagian dari 1 n displaystyle 1 dots n nbsp dengan anggota k displaystyle k nbsp maka kita menulis A I J displaystyle left A right I J nbsp untuk minor k k displaystyle k times k nbsp pada A displaystyle mathbf A nbsp yang sesuai dengan baris dengan indeks dalam I displaystyle I nbsp dan kolom dengan indeks dalam J displaystyle J nbsp Jika I J displaystyle I J nbsp maka A I J displaystyle left A right I J nbsp disebut minor utama Jika matriks yang sesuai dengan minor utama adalah kuadrat bagian atas kiri dari matriks yang besar yaitu itu terdiri dari anggota anggota matriks dalam baris baris dan kolom kolom dari 1 displaystyle 1 nbsp hingga k displaystyle k nbsp maka minor utama disebut sebuah minor utama terkemuka dari urutan k displaystyle k nbsp atau minor sudut utama dari urutan k displaystyle k nbsp 3 Untuk sebuah matriks persegi n n displaystyle n times n nbsp terdapat minor utama terkemuka n displaystyle n nbsp Sebuah minor dasar dari sebuah matriks adalah determinan dari sebuah submatriks persegi yang dari ukuran maksimal dengan determinan tidak nol 3 Untuk matriks Hermite minor utama terkemuka bisa digunakan untuk menguji ketentuan positif dan minor utama bisa digunakan untuk menguji kesemitentuan positif Lihat kriteria Sylvester untuk detail lebih lanjut Kedua rumus untuk perkalian matriks biasa dan rumus Cauchy Binet untuk determinan dari produk dua matriks adalah kasus spesial dari pernyataan umum berikut tentang minor minor dari sebuah produk dua matriks Andaikan A displaystyle mathbf A nbsp adalah sebuah matriks m n displaystyle m times n nbsp B displaystyle mathbf B nbsp adalah sebuah matriks n p displaystyle n times p nbsp I displaystyle I nbsp adalah himpunan bagian dari 1 m displaystyle 1 dots m nbsp dengan anggota k displaystyle k nbsp dan J displaystyle J nbsp adalah himpunan bagian dari 1 p displaystyle 1 dots p nbsp dengan anggota k displaystyle k nbsp Maka A B I J K A I K B K J displaystyle mathbf AB I J sum K mathbf A I K mathbf B K J nbsp di mana penjumlahan meluas ke semua himpunan bagian K displaystyle K nbsp dari 1 n displaystyle 1 dots n nbsp dengan anggota k displaystyle k nbsp Rumus ini merupakan sebuah ekstensi langsung dari rumus Cauchy Binet Pendekatan aljabar multilinear suntingLebih sistematis perlakuan aljabar dari minor minor diberikan dalam aljabar multilinear menggunakan produk wedge minor k displaystyle k nbsp dari sebuah matriks adalah entri entri dalam pemetaan pangkat eksterior ke k displaystyle k nbsp Jika kolom kolom dari sebuah matriks terjepit bersama k displaystyle k nbsp pada satu waktu minor k k displaystyle k times k nbsp muncul sebagai komponen komponen dari hasil vektor k displaystyle k nbsp Sebagai contoh minor 2 2 displaystyle 2 times 2 nbsp dari matriks 1 4 3 1 2 1 displaystyle begin pmatrix 1 amp 4 3 amp 1 2 amp 1 end pmatrix nbsp adalah 13 displaystyle 13 nbsp dari dua baris pertama 7 displaystyle 7 nbsp dari baris pertama dan terakhir dan 5 displaystyle 5 nbsp dari dua baris terakhir Sekarang tinjau produk wedge e 1 3 e 2 2 e 3 4 e 1 e 2 e 3 displaystyle mathbf e 1 3 mathbf e 2 2 mathbf e 3 wedge 4 mathbf e 1 mathbf e 2 mathbf e 3 nbsp di mana kedua ekspresi sesuai dengan dua kolom dari matriks kita Menggunakan sifat sifat dari produk wedge yaitu bilinear dan bergantian e i e i 0 displaystyle mathbf e i wedge mathbf e i 0 nbsp dan antisimteris e i e j e j e i displaystyle mathbf e i wedge mathbf e j mathbf e j wedge mathbf e i nbsp kita bisa menyederhanakan ekspresi ini menjadi 13 e 1 e 2 7 e 1 e 3 5 e 2 e 3 displaystyle 13 mathbf e 1 wedge mathbf e 2 7 mathbf e 1 wedge mathbf e 3 5 mathbf e 2 wedge mathbf e 3 nbsp di mana koefisien sesuai dengan minor minor yang ditung sebelumnya Sebuah komentar tentang notasi yang berbeda suntingDalam beberapa buku daripada kofaktor istilah adjunct digunakan 8 Bahkan ini dilambangkan sebagai A i j displaystyle mathbf A ij nbsp dan didefiniskan dalam cara yang sama sebagai kofaktorː A i j 1 i j M i j displaystyle mathbf A ij 1 i j mathbf M ij nbsp dd Menggunaan notasi ini invers matriks ditulis dengan cara ini M 1 1 det M A 11 A 21 A n 1 A 12 A 22 A n 2 A 1 n A 2 n A n n displaystyle mathbf M 1 frac 1 det M begin bmatrix A 11 amp A 21 amp cdots amp A n1 A 12 amp A 22 amp cdots amp A n2 vdots amp vdots amp ddots amp vdots A 1n amp A 2n amp cdots amp A nn end bmatrix nbsp Ingat bahwa adjunct bukanlah adjugat atau adjoin Dalam termonologi modern adjoin dari sebuah matriks paling sering mengacu pada yang sesuai operator adjoin Lihat pula suntingSubmatriksReferensi sunting Burnside William Snow amp Panton Arthur William 1886 Theory of Equations with an Introduction to the Theory of Binary Algebraic Form a b Elementary Matrix Algebra Third edition Franz E Hohn The Macmillan Company 1973 ISBN 978 0 02 355950 1 a b c Minor Encyclopedia of Mathematics dengan urutan alami asumsi yang umum digunakan ketika berbicara tentang minor kecuali dinyatakan lain Linear Algebra and Geometry Igor R Shafarevich Alexey O Remizov Springer Verlag Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 30993 9 Bertha Jeffreys Methods of Mathematical Physics p 135 Cambridge University Press 1999 ISBN 0 521 66402 0 Viktor Vasil evich Prasolov 13 June 1994 Problems and Theorems in Linear Algebra American Mathematical Soc hlm 15 ISBN 978 0 8218 0236 6 Felix Gantmacher Theory of matrices 1st ed original language is Russian Moscow State Publishing House of technical and theoretical literature 1953 p 491 Pranala luar suntingMIT Linear Algebra Lecture on Cofactors at Google Video from MIT OpenCourseWare PlanetMath entry of Cofactors Diarsipkan 2012 04 08 di Wayback Machine Springer Encyclopedia of Mathematics entry for Minor Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Minor aljabar linear amp oldid 22812701