www.wikidata.id-id.nina.az

Teras aljabar linear Dalam aljabar linear teras juga disebut dengan trace dari matriks persegi didefinisikan sebagai jum

Teras (aljabar linear)

Dalam aljabar linear, teras (juga disebut dengan trace), dari matriks persegi didefinisikan sebagai jumlah dari setiap elemen pada diagonal utama matriks tersebut. Notasi yang digunakan untuk mewakili teras dari matriks A adalah tr(A).

Nilai teras juga sama dengan jumlah nilai eigen (kompleks) berserta kelipatannya dari matriks tersebut; dan tidak bergantung pada basis yang dipakai. Sifat ini dapat digunakan untuk mendefinisikan teras dari operator linear secara umum. Nilai teras hanya terdefinisi untuk matriks persegi (matriks berukuran n × n).

Nilai teras suatu matriks juga berhubungan dengan turunan dari determinan (lihat rumus Jacobi)

Definisi sunting

Teras dari matriks persegi berukuran n × n didefinisikan sebagai:34

Dengan aii menandakan elemen baris ke-i dan kolom ke-i dari matriks .

Contoh sunting

Sebagai contoh, misal adalah matriks berukuran 3 × 3 dengan elemen-elemen

Maka, teras dari matriks adalah

Sifat sunting

Sifat-sifat dasar sunting

Teras adalah sebuah pemetaan linear. Dengan kata lain,

untuk sebarang matriks persegi dan , dan untuk sebarang skalar .:34

Nilai teras dari matriks sama dengan nilai teras transposnya::34

Hal tersebut terlihat dari fakta operasi transpos tidak mempengaruhi elemen-elemen pada diagonal utama.

Hasil perkalian matriks sunting

Teras sebuah matriks persegi yang didapatkan dari hasil perkalian dua matriks, dapat dituliskan sebagai penjumlahan semua perkalian elemen yang bersesuaian lokasi pada kedua matriks. Dalam bahasa yang lebih formal, jika dan adalah matriks berukuran m × n, maka:

Hal ini menandakan bahwa teras dari perkalian dua matriks berukuran sama memiliki fungsi yang serupa dengan hasil kali titik vektor. Analogi perkalian titik untuk keadaan ini adalah membayangkan matriks sebagai vektor kolom yang panjang (dibuat dengan menumpuk kolom-kolom matriks diatas yang lainnya). Sifat ini juga menjadi alasan teras sering digunakan dalam perumuman operasi vektor ke matriks (misal pada ilmu kalkulus matriks dan statistika).

Untuk matriks riil dan , teras dari perkalian kedua matriks tersebut dapat ditulis dalam bentuk berikut:

Urutan perkalian matriks dapat ditukar tanpa mengubah nilai terasnya: jika matriks berukuran m × n dan matriks berukuran n × m, maka :34

Teras eksponensial sunting

Ekspresi seperti , dengan adalah matriks persegi, sering muncul dalam beberapa bidang keilmuan (seperti teori statistik multivariat), sehingga terdapat notasi umum yang lebih singkat:

Fungsi tre terkadang disebut sebagai fungsi teras eksponensial, dan digunakan dalam ketidaksamaan Golden–Thompson.

Teras dari operator linear sunting

Secara umum, untuk pemetaan linear f : V → V (dengan V adalah ruang vektor dimensi hingga), nilai teras dari pemetaan dapat didefinisikan dengan mempertimbangkan nilai teras dari representasi matriks dari f. Dengan kata lain, memilih basis bagi V dan menyatakan f sebagai matriks terhadap basis tersebut, lalu menghitung teras dari matriksnya. Hasil metode ini tidak bergantung pada basis yang dipilih, karena setiap basis merupakan matriks similar (akibat matriks perubahan basis); dan memungkinkan definisi teras dari operator linear yang tidak bergantung pada basis.

Hubungan dengan nilai eigen sunting

Jika adalah operator linear yang diwakili oleh matriks persegi dengan elemen bilangan real atau bilangan kompleks, dan λ1, …, λn adalah nilai eigen dari (diurutkan berdasarkan kelipatan algebraic-nya), maka

Hal ini disebabkan karena selalu similar dengan bentuk Jordan-nya, yakni sebuah matriks segitiga dengan λ1, …, λn berada pada diagonal utamanya. Di sisi lain, determinan dari adalah hasil perkalian dari nilai-nilai eigennya. Dengan kata lain,

Dalam bentuk yang lebih umum,

Kegunaan sunting

Teras dari matriks kompleks ukuran 2 × 2 digunakan untuk mengelompokkan transformasi Möbius. Hasil ini dilakukan pertama dengan menormalisasi matriks sehingga determinannya bernilai 1. Selanjutnya, jika kuadrat dari teras bernilai 4, maka transformasi yang bersangkutan bertipe parabolic. Jika nilai kuadrat dari teras berada pada selang [0,4), maka ia bertipe elliptic. Sedangkan jika nilai kuadrat dari teras lebih besar dari 4, transformasi bertipe loxodromic. Detail mengenai ini ada pada pengelompokan transformasi Möbius.

Hasil kali dalam sunting

Untuk matriks berukuran m × n dengan elemen bilangan real (atau bilangan kompleks), dan H menyatakan transpos konjugat kita memiliki

Dengan kesamaan berlaku jika dan hanya jika adalah matriks nol.:7

Catatan kaki dan referensi sunting

Catatan kaki sunting

  1. Sifat berikut dapat dibuktikan langsung melalui definisi dari perkalian matriks:
    .

Referensi sunting

  1. ^ Weisstein, Eric W. "Matrix Trace". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-09-09. 
  2. ^ Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc (September 2005). Schaum's Outline of Theory and Problems of Linear Algebra. McGraw-Hill. ISBN 9780070605022. 
  3. ^ "Rank, trace, determinant, transpose, and inverse of matrices" 2019-07-01 di Wayback Machine.. . fourier.eng.hmc.edu. Diakses tanggal 2020-09-09.
  4. Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrix Analysis (edisi ke-2nd). Cambridge University Press. ISBN 9780521839402. 

Artikel bertopik matematika ini adalah sebuah rintisan. Anda dapat membantu Wikipedia dengan mengembangkannya.

  • l
  • b
  • s
wikipedia, wiki, buku, buku, perpustakaan, artikel, baca, unduh, gratis, unduh gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, gambar, musik, lagu, film, buku, permainan, permainan.
Tanggal penerbitan:
Dalam aljabar linear teras juga disebut dengan trace dari matriks persegi didefinisikan sebagai jumlah dari setiap elemen pada diagonal utama matriks tersebut Notasi yang digunakan untuk mewakili teras dari matriks A adalah tr A Nilai teras juga sama dengan jumlah nilai eigen kompleks berserta kelipatannya dari matriks tersebut dan tidak bergantung pada basis yang dipakai Sifat ini dapat digunakan untuk mendefinisikan teras dari operator linear secara umum Nilai teras hanya terdefinisi untuk matriks persegi matriks berukuran n n Nilai teras suatu matriks juga berhubungan dengan turunan dari determinan lihat rumus Jacobi Daftar isi 1 Definisi 2 Contoh 3 Sifat 3 1 Sifat sifat dasar 3 2 Hasil perkalian matriks 4 Teras eksponensial 5 Teras dari operator linear 5 1 Hubungan dengan nilai eigen 6 Kegunaan 7 Hasil kali dalam 8 Catatan kaki dan referensi 8 1 Catatan kaki 8 2 ReferensiDefinisi suntingTeras dari matriks persegi A displaystyle A nbsp berukuran n n didefinisikan sebagai 1 2 34 tr A i 1 n a i i a 11 a 22 a n n displaystyle operatorname tr A sum i 1 n a ii a 11 a 22 dots a nn nbsp Dengan aii menandakan elemen baris ke i dan kolom ke i dari matriks A displaystyle A nbsp Contoh suntingSebagai contoh misal A displaystyle A nbsp adalah matriks berukuran 3 3 dengan elemen elemen A a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 1 0 3 11 5 2 6 12 5 displaystyle A begin pmatrix a 11 amp a 12 amp a 13 a 21 amp a 22 amp a 23 a 31 amp a 32 amp a 33 end pmatrix begin pmatrix 1 amp 0 amp 3 11 amp 5 amp 2 6 amp 12 amp 5 end pmatrix nbsp Maka teras dari matriks A displaystyle A nbsp adalah tr A i 1 3 a i i a 11 a 22 a 33 1 5 5 1 displaystyle operatorname tr A sum i 1 3 a ii a 11 a 22 a 33 1 5 5 1 nbsp Sifat suntingSifat sifat dasar sunting Teras adalah sebuah pemetaan linear Dengan kata lain 3 1 tr A B tr A tr B tr c A c tr A displaystyle begin aligned operatorname tr A B amp operatorname tr A operatorname tr B operatorname tr cA amp c operatorname tr A end aligned nbsp untuk sebarang matriks persegi A displaystyle A nbsp dan B displaystyle B nbsp dan untuk sebarang skalar c displaystyle c nbsp 2 34Nilai teras dari matriks sama dengan nilai teras transposnya 3 1 2 34 tr A tr A T displaystyle operatorname tr A operatorname tr left A mathsf T right nbsp Hal tersebut terlihat dari fakta operasi transpos tidak mempengaruhi elemen elemen pada diagonal utama Hasil perkalian matriks sunting Teras sebuah matriks persegi yang didapatkan dari hasil perkalian dua matriks dapat dituliskan sebagai penjumlahan semua perkalian elemen yang bersesuaian lokasi pada kedua matriks Dalam bahasa yang lebih formal jika A displaystyle A nbsp dan B displaystyle B nbsp adalah matriks berukuran m n maka tr A T B tr A B T tr B T A tr B A T i j a i j b i j displaystyle operatorname tr left mathbf A mathsf T mathbf B right operatorname tr left mathbf A mathbf B mathsf T right operatorname tr left mathbf B mathsf T mathbf A right operatorname tr left mathbf B mathbf A mathsf T right sum i j a ij b ij nbsp Hal ini menandakan bahwa teras dari perkalian dua matriks berukuran sama memiliki fungsi yang serupa dengan hasil kali titik vektor Analogi perkalian titik untuk keadaan ini adalah membayangkan matriks sebagai vektor kolom yang panjang dibuat dengan menumpuk kolom kolom matriks diatas yang lainnya Sifat ini juga menjadi alasan teras sering digunakan dalam perumuman operasi vektor ke matriks misal pada ilmu kalkulus matriks dan statistika Untuk matriks riil A displaystyle A nbsp dan B displaystyle B nbsp teras dari perkalian kedua matriks tersebut dapat ditulis dalam bentuk berikut tr A T B i j A B i j displaystyle operatorname tr left mathbf A mathsf T mathbf B right sum i j mathbf A circ mathbf B ij nbsp menggunakan hasil kali Hadamard juga dikenal sebagai perkalian elemen demi elemen tr A T B vec B T vec A vec A T vec B displaystyle operatorname tr left mathbf A mathsf T mathbf B right operatorname vec mathbf B mathsf T operatorname vec mathbf A operatorname vec mathbf A mathsf T operatorname vec mathbf B nbsp menggunakan operator vectorization Urutan perkalian matriks dapat ditukar tanpa mengubah nilai terasnya jika matriks A displaystyle A nbsp berukuran m n dan matriks B displaystyle B nbsp berukuran n m maka 1 2 34 note 1 Teras eksponensial suntingEkspresi seperti tr exp A displaystyle text tr text exp A nbsp dengan A displaystyle A nbsp adalah matriks persegi sering muncul dalam beberapa bidang keilmuan seperti teori statistik multivariat sehingga terdapat notasi umum yang lebih singkat tre A tr exp A displaystyle operatorname tre A operatorname tr exp A nbsp Fungsi tre terkadang disebut sebagai fungsi teras eksponensial dan digunakan dalam ketidaksamaan Golden Thompson Teras dari operator linear suntingSecara umum untuk pemetaan linear f V V dengan V adalah ruang vektor dimensi hingga nilai teras dari pemetaan dapat didefinisikan dengan mempertimbangkan nilai teras dari representasi matriks dari f Dengan kata lain memilih basis bagi V dan menyatakan f sebagai matriks terhadap basis tersebut lalu menghitung teras dari matriksnya Hasil metode ini tidak bergantung pada basis yang dipilih karena setiap basis merupakan matriks similar akibat matriks perubahan basis dan memungkinkan definisi teras dari operator linear yang tidak bergantung pada basis Hubungan dengan nilai eigen sunting Jika A displaystyle A nbsp adalah operator linear yang diwakili oleh matriks persegi dengan elemen bilangan real atau bilangan kompleks dan l1 ln adalah nilai eigen dari A displaystyle A nbsp diurutkan berdasarkan kelipatan algebraic nya maka tr A i l i displaystyle operatorname tr mathbf A sum i lambda i nbsp Hal ini disebabkan karena A displaystyle A nbsp selalu similar dengan bentuk Jordan nya yakni sebuah matriks segitiga dengan l1 ln berada pada diagonal utamanya Di sisi lain determinan dari A displaystyle A nbsp adalah hasil perkalian dari nilai nilai eigennya Dengan kata lain det A i l i displaystyle det mathbf A prod i lambda i nbsp Dalam bentuk yang lebih umum tr A k i l i k displaystyle operatorname tr left mathbf A k right sum i lambda i k nbsp Kegunaan suntingTeras dari matriks kompleks ukuran 2 2 digunakan untuk mengelompokkan transformasi Mobius Hasil ini dilakukan pertama dengan menormalisasi matriks sehingga determinannya bernilai 1 Selanjutnya jika kuadrat dari teras bernilai 4 maka transformasi yang bersangkutan bertipe parabolic Jika nilai kuadrat dari teras berada pada selang 0 4 maka ia bertipe elliptic Sedangkan jika nilai kuadrat dari teras lebih besar dari 4 transformasi bertipe loxodromic Detail mengenai ini ada pada pengelompokan transformasi Mobius Hasil kali dalam suntingUntuk matriks A displaystyle A nbsp berukuran m n dengan elemen bilangan real atau bilangan kompleks dan H menyatakan transpos konjugat kita memiliki tr A H A 0 displaystyle operatorname tr left A mathsf H A right geq 0 nbsp Dengan kesamaan berlaku jika dan hanya jika A displaystyle A nbsp adalah matriks nol 4 7Catatan kaki dan referensi suntingCatatan kaki sunting Sifat berikut dapat dibuktikan langsung melalui definisi dari perkalian matriks tr A B i 1 m A B i i i 1 m j 1 n a i j b j i j 1 n i 1 m b j i a i j j 1 n B A j j tr B A displaystyle operatorname tr mathbf A mathbf B sum i 1 m left mathbf A mathbf B right ii sum i 1 m sum j 1 n a ij b ji sum j 1 n sum i 1 m b ji a ij sum j 1 n left mathbf B mathbf A right jj operatorname tr mathbf B mathbf A nbsp Referensi sunting a b c d Weisstein Eric W Matrix Trace mathworld wolfram com dalam bahasa Inggris Diakses tanggal 2020 09 09 a b c d Lipschutz Seymour Lipson Marc September 2005 Schaum s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra McGraw Hill ISBN 9780070605022 a b Rank trace determinant transpose and inverse of matrices Diarsipkan 2019 07 01 di Wayback Machine fourier eng hmc edu Diakses tanggal 2020 09 09 Horn Roger A Johnson Charles R 2013 Matrix Analysis edisi ke 2nd Cambridge University Press ISBN 9780521839402 nbsp Artikel bertopik matematika ini adalah sebuah rintisan Anda dapat membantu Wikipedia dengan mengembangkannya lbs Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Teras aljabar linear amp oldid 22545020