www.wikidata.id-id.nina.az

Matriks simetrik Untuk matriks dengan simetri atas lapangan bilangan kompleks lihat Matriks Hermite Dalam aljabar linear

Matriks simetrik

Untuk matriks dengan simetri atas lapangan bilangan kompleks, lihat Matriks Hermite.

Dalam aljabar linear, matriks simetrik adalah jenis matriks persegi yang sama dengan matriks hasil transposnya. Secara formal, matriks didefinisikan matriks simetrik jika . Karena sifat kesamaan pada matriks memerlukan kedua matriks memiliki ukuran yang sama, hanya matriks persegi yang dapat simetrik.

Simetri pada matriks simetrik berukuran 5×5.

Elemen-elemen pada matriks simetrik saling simetrik sepanjang diagonal utamanya. Secara lebih formal, misal menyatakan elemen matriks pada baris ke- dan kolom ke-. Matriks simetrik jika dan hanya jika untuk setiap berlaku .

Setiap matriks persegi diagonal bersifat simetrik, karena setiap elemen non-diagonal utama bernilai nol.

Contoh Sunting

Berikut adalah contoh matriks simetrik ukuran  :

Sifat Sunting

Sifat dasar Sunting

  • Penjumlahan dan pengurangan dua matriks simetrik menghasilkan matriks simetrik
  • Untuk bilangan bulat , matriks simetrik jika matriks simetrik.
  • Jika ada, maka matriks tersebut simetrik jika dan hanya jika simetrik.

Penguraian menjadi matriks simetrik dan simetrik-miring Sunting

Setiap matriks persegi dapat dituliskan secara tunggal sebagai penjumlahan matris simetrik dan matriks simetrik-miring. Misal menyatakan ruang matriks ukuran . Jika adalah ruang matriks simetrik ukuran dan adalah ruang matriks simetrik-miring ukuran , maka dan ; yakni,

dengan adalah jumlah langsung. Selanjutnya, misal . Matriks dapat dinyatakan sebagai

Perhatikan bahwa dan . Hal ini benar untuk semua matriks persegi dengan elemen dari sebarang lapangan dengan nilai karakteristik bukan 2. Matriks simetrik ditentukan oleh skalar (banyaknya elemen di dan dan di atas diagonal utama). Mirip dengan itu, matriks simetrik-miring ditentukan dari skalar (banyaknya elemen di atas diagonal utama).

Matriks yang kongruen dengan matriks simetrik Sunting

Setiap matriks yang kongruen dengan matriks simetrik juga merupakan matriks simetrik: jika adalah matriks simetrik, begitu pula matriks untuk sebarang matriks .

Daftar pustaka Sunting

  • Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013), Matrix analysis (edisi ke-2nd), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54823-6 

Pranala luar Sunting

wikipedia, wiki, buku, buku, perpustakaan, artikel, baca, unduh, gratis, unduh gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, gambar, musik, lagu, film, buku, permainan, permainan.
Tanggal penerbitan:
Untuk matriks dengan simetri atas lapangan bilangan kompleks lihat Matriks Hermite Dalam aljabar linear matriks simetrik adalah jenis matriks persegi yang sama dengan matriks hasil transposnya Secara formal matriks A displaystyle A didefinisikan matriks simetrik jika A A T displaystyle A A text T Karena sifat kesamaan pada matriks memerlukan kedua matriks memiliki ukuran yang sama hanya matriks persegi yang dapat simetrik Simetri pada matriks simetrik berukuran 5 5 Elemen elemen pada matriks simetrik saling simetrik sepanjang diagonal utamanya Secara lebih formal misal a i j displaystyle a ij menyatakan elemen matriks A displaystyle A pada baris ke i displaystyle i dan kolom ke j displaystyle j Matriks A displaystyle A simetrik jika dan hanya jika untuk setiap i j displaystyle i j berlaku a i j a j i displaystyle a ij a ji Setiap matriks persegi diagonal bersifat simetrik karena setiap elemen non diagonal utama bernilai nol Daftar isi 1 Contoh 2 Sifat 2 1 Sifat dasar 2 2 Penguraian menjadi matriks simetrik dan simetrik miring 2 3 Matriks yang kongruen dengan matriks simetrik 3 Daftar pustaka 4 Pranala luarContoh SuntingBerikut adalah contoh matriks simetrik ukuran 3 3 displaystyle 3 times 3 nbsp A 1 7 3 7 4 5 3 5 6 displaystyle A begin bmatrix 1 amp 7 amp 3 7 amp 4 amp 5 3 amp 5 amp 6 end bmatrix nbsp Sifat SuntingSifat dasar Sunting Penjumlahan dan pengurangan dua matriks simetrik menghasilkan matriks simetrikHal ini tidak selalu benar untuk hasil perkalian untuk sebarang matriks A displaystyle A nbsp dan B displaystyle B nbsp matriks A B displaystyle AB nbsp bersifat simetrik jika dan hanya jika A displaystyle A nbsp dan B displaystyle B nbsp saling komutatif yakni jika A B B A displaystyle AB BA nbsp Untuk bilangan bulat n displaystyle n nbsp A n displaystyle A n nbsp matriks simetrik jika A displaystyle A nbsp matriks simetrik Jika A 1 displaystyle A 1 nbsp ada maka matriks tersebut simetrik jika dan hanya jika A displaystyle A nbsp simetrik Penguraian menjadi matriks simetrik dan simetrik miring Sunting Setiap matriks persegi dapat dituliskan secara tunggal sebagai penjumlahan matris simetrik dan matriks simetrik miring Misal Mat n displaystyle mbox Mat n nbsp menyatakan ruang matriks ukuran n n displaystyle n times n nbsp Jika Sym n displaystyle mbox Sym n nbsp adalah ruang matriks simetrik ukuran n n displaystyle n times n nbsp dan Skew n displaystyle mbox Skew n nbsp adalah ruang matriks simetrik miring ukuran n n displaystyle n times n nbsp maka Mat n Sym n Skew n displaystyle mbox Mat n mbox Sym n mbox Skew n nbsp dan Sym n Skew n 0 displaystyle mbox Sym n cap mbox Skew n 0 nbsp yakni Mat n Sym n Skew n displaystyle mbox Mat n mbox Sym n oplus mbox Skew n nbsp dengan displaystyle oplus nbsp adalah jumlah langsung Selanjutnya misal X Mat n displaystyle X in mbox Mat n nbsp Matriks X displaystyle X nbsp dapat dinyatakan sebagai X 1 2 X X T 1 2 X X T displaystyle X frac 1 2 left X X textsf T right frac 1 2 left X X textsf T right nbsp Perhatikan bahwa 1 2 X X T Sym n displaystyle frac 1 2 left X X textsf T right in mbox Sym n nbsp dan 1 2 X X T Skew n displaystyle frac 1 2 left X X textsf T right in mbox Skew n nbsp Hal ini benar untuk semua matriks persegi X displaystyle X nbsp dengan elemen dari sebarang lapangan dengan nilai karakteristik bukan 2 Matriks simetrik ditentukan oleh 1 2 n n 1 displaystyle tfrac 1 2 n n 1 nbsp skalar banyaknya elemen di dan dan di atas diagonal utama Mirip dengan itu matriks simetrik miring ditentukan dari 1 2 n n 1 displaystyle tfrac 1 2 n n 1 nbsp skalar banyaknya elemen di atas diagonal utama Matriks yang kongruen dengan matriks simetrik Sunting Setiap matriks yang kongruen dengan matriks simetrik juga merupakan matriks simetrik jika X displaystyle X nbsp adalah matriks simetrik begitu pula matriks A X A T displaystyle AXA mathrm T nbsp untuk sebarang matriks A displaystyle A nbsp Daftar pustaka SuntingHorn Roger A Johnson Charles R 2013 Matrix analysis edisi ke 2nd Cambridge University Press ISBN 978 0 521 54823 6 Pranala luar SuntingHazewinkel Michiel ed 2001 1994 Symmetric matrix Encyclopedia of Mathematics Springer Science Business Media B V Kluwer Academic Publishers ISBN 978 1 55608 010 4 A brief introduction and proof of eigenvalue properties of the real symmetric matrix How to implement a Symmetric Matrix in C Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Matriks simetrik amp oldid 18305248