www.wikidata.id-id.nina.az

Bilangan alef Artikel ini tidak memiliki referensi atau sumber tepercaya sehingga isinya tidak bisa dipastikan Tolong ba

Bilangan alef

Bilangan alef (bahasa Inggris: aleph number) dalam teori himpunan (suatu bidang matematika) adalah suatu urutan bilangan yang digunakan untuk melambangkan kardinalitas (atau ukuran) dari himpunan tak terhingga (infinite set). Dinamakan menurut simbol yang dipakai, yaitu huruf Ibrani "alef" ().

Alef-nol (aleph-null), bilangan kardinal tak terhingga terkecil

Kardinalitas bilangan asli adalah (dibaca "alef-nol" (aleph-null), atau kadang kala dalam bahasa Inggris juga disebut aleph-naught atau aleph-zero). Kardinalitas berikutnya yang lebih besar adalah "alef-satu" (aleph-one) , kemudian dan seterusnya. Jika terus dilanjutkan, dimungkinkan untuk mendefinisikan suatu bilangan kardinal untuk setiap bilangan ordinal α, sebagaimana dinyatakan dibawah.

Konsep ini berasal dari Georg Cantor, yang mendefinisikan pengertian kardinalitas dan menyadari bahwa himpunan tak terhingga dapat mempunyai kardinalitas yang berbeda.

Bilangan alef berbeda dari tak-hingga (∞) yang biasa ditemukan dalam aljabar dan kalkulus. Bilangan alef mengukur ukuran himpunan secara tak-hingga, di sisi lain pada umumnya didefinisikan sebagai limit ekstrim dari garis bilangan real (diterapkan ke fungsi atau urutan yang "divergen ke tak hingga" atau "menambah tanpa batas"), atau titik ekstrim dari garis bilangan real diperluas.

Alef-nol sunting

adalah kardinalitas dari semua bilangan asli, dan merupakan suatu "bilangan transfinit" atau "kardinal tak hingga". Himpunan semua bilangan ordinal finit, dinamakan ω atau ω0, mempunyai kardinalitas . Suatu himpunan mempunyai kardinalitas jika dan hanya jika bilangan itu terhitung sebagai tak hingga, yaitu, ada bijeksi (kesesuaian satu lawan satu) di antaranya dan bilangan-bilangan asli. Contoh-contoh himpunan tersebut adalah:

Ordinal tak hingga ini: dan ε adalah salah satu himpunan tak hingga yang terhitung. Misalnya, barisan (dengan ordinalitas ω·2) dari semua bilangan bulat ganjil positif diikuti oleh semua bilangan bulat genap positif

adalah urutan himpunan (dengan kardinalitas ) dari bilangan bulat positif.

Jika aksioma pilihan terhitung (versi yang lebih lemah dari aksioma pilihan) berlaku, maka lebih kecil dari kardinal tak hingga lainnya.

Alef-satu sunting

adalah kardinalitas dari himpunan semua bilangan ordinal yang terhitung, disebut ω1 atau (kadang-kadang) Ω. ω1 sendiri adalah suatu bilangan ordinal yang lebih besar dari semua bilangan ordinal yang terhitung, sehingga merupakan suatu himpunan tak terhitung. Jadi, berbeda dari . Definisi menyiratkan (dalam ZF, teori himpunan Zermelo–Fraenkel tanpa aksioma pilihan) bahwa tidak ada bilangan ordinal antara dan .

Hipotesis kontinum sunting

Artikel utama: Hipotesis kontinum
Lihat pula: Bilangan beth

Kardinalitas suatu himpunan bilangan real (kardinalitas continuum) adalah . Tidak dapat ditentukan dari ZFC (teori himpunan Zermelo-Fraenkel dengan aksioma pilihan) di mana bilangan ini tepat masuk dalam hierarki bilangan alef, tetapi menuruti ZFC bahwa hipotesis kontinum , ekuivalen dengan persamaan identitas

Alef-ω sunting

Secara konvensional, bilangan ordinal tak terhingga terkecil dilambangkan dengan ω, dan bilangan kardinal merupakan batas atas terkecil dari

di antara bilangan-bilangan alef.

Alef-α untuk α umum sunting

Untuk mendefinisikan bagi bilangan ordinal sembarang , perlu didefinisikan operasi kardinal penerus, yang diberikan pada setiap bilangan kardinal ρ bilangan kardinal ρ+ berikutnya yang lebih besar dalam urutan teratur (jika aksioma pilihan masih dipertahankan, inilah bilangan kardinal lebih besar berikutnya).

Maka bilangan-bilangan alef dapat didefinikan sebagai berikut:

dan untuk λ, suatu ordinal limit tak terhingga,

Ordinal awal tak terhingga ke-α ditulis . Kardinalitasnya ditulis . Lihat ordinal awal.

Peranan aksioma pilihan sunting

Kardinalitas suatu bilangan ordinal tak terhingga adalah sebuah bilangan alef. Setiap bilangan alef adalah kardinalitas sejumlah bilangan ordinal. Yang terkecil di antaranya adalah ordinal awalnya. Setiap himpunan yang kardinalitasnya adalah suatu bilangan alef adalah ekuinumeral dengan suatu bilangan ordinal dan karenanya dapat tertata baik (well-orderable).

Lihat pula sunting

Referensi sunting

  1. Sierpiński, Wacław (1958). Cardinal and Ordinal Numbers. Polska Akademia Nauk Monografie Matematyczne. 34. Warsaw, PL: Państwowe Wydawnictwo Naukowe. MR 0095787. 
  2. Swanson, Ellen; O'Sean, Arlene Ann; Schleyer, Antoinette Tingley (1999) [1979]. Mathematics into type: Copy editing and proofreading of mathematics for editorial assistants and authors (edisi ke-updated). Providence, RI: American Mathematical Society. hlm. 16. ISBN 0-8218-0053-1. MR 0553111. 
  3. Miller, Jeff. "Earliest uses of symbols of set theory and logic". jeff560.tripod.com. Diakses tanggal 2016-05-05;  who quotes Dauben, Joseph Warren (1990). Georg Cantor: His mathematics and philosophy of the infinite. ISBN 9780691024479. Bilangan barunya layak mendapatkan sesuatu yang unik. ... Tidak ingin menciptakan simbol baru sendiri, ia memilih alef, huruf pertama dari alfabet Ibrani ... alef dapat dianggap mewakili awal yang baru ... 
  4. Jech, Thomas (2003), Set Theory, Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag 

Pranala luar sunting



Kesalahan pengutipan: Ditemukan tag <ref> untuk kelompok bernama "lower-alpha", tapi tidak ditemukan tag <references group="lower-alpha"/> yang berkaitan

wikipedia, wiki, buku, buku, perpustakaan, artikel, baca, unduh, gratis, unduh gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, gambar, musik, lagu, film, buku, permainan, permainan.
Tanggal penerbitan:
Artikel ini tidak memiliki referensi atau sumber tepercaya sehingga isinya tidak bisa dipastikan Tolong bantu perbaiki artikel ini dengan menambahkan referensi yang layak Tulisan tanpa sumber dapat dipertanyakan dan dihapus sewaktu waktu Cari sumber Bilangan alef berita surat kabar buku cendekiawan JSTORBilangan alef bahasa Inggris aleph number dalam teori himpunan suatu bidang matematika adalah suatu urutan bilangan yang digunakan untuk melambangkan kardinalitas atau ukuran dari himpunan tak terhingga infinite set Dinamakan menurut simbol yang dipakai yaitu huruf Ibrani alef ℵ displaystyle aleph a Alef nol aleph null bilangan kardinal tak terhingga terkecilKardinalitas bilangan asli adalah ℵ 0 displaystyle aleph 0 dibaca alef nol aleph null atau kadang kala dalam bahasa Inggris juga disebut aleph naught atau aleph zero Kardinalitas berikutnya yang lebih besar adalah alef satu aleph one ℵ 1 displaystyle aleph 1 kemudian ℵ 2 displaystyle aleph 2 dan seterusnya Jika terus dilanjutkan dimungkinkan untuk mendefinisikan suatu bilangan kardinal ℵ a displaystyle aleph alpha untuk setiap bilangan ordinal a sebagaimana dinyatakan dibawah Konsep ini berasal dari Georg Cantor 3 yang mendefinisikan pengertian kardinalitas dan menyadari bahwa himpunan tak terhingga dapat mempunyai kardinalitas yang berbeda Bilangan alef berbeda dari tak hingga yang biasa ditemukan dalam aljabar dan kalkulus Bilangan alef mengukur ukuran himpunan secara tak hingga di sisi lain pada umumnya didefinisikan sebagai limit ekstrim dari garis bilangan real diterapkan ke fungsi atau urutan yang divergen ke tak hingga atau menambah tanpa batas atau titik ekstrim dari garis bilangan real diperluas Daftar isi 1 Alef nol 2 Alef satu 3 Hipotesis kontinum 4 Alef w 5 Alef a untuk a umum 6 Peranan aksioma pilihan 7 Lihat pula 8 Referensi 9 Pranala luarAlef nol suntingℵ 0 displaystyle aleph 0 nbsp adalah kardinalitas dari semua bilangan asli dan merupakan suatu bilangan transfinit atau kardinal tak hingga Himpunan semua bilangan ordinal finit dinamakan w atau w0 mempunyai kardinalitas ℵ 0 displaystyle aleph 0 nbsp Suatu himpunan mempunyai kardinalitas ℵ 0 displaystyle aleph 0 nbsp jika dan hanya jika bilangan itu terhitung sebagai tak hingga yaitu ada bijeksi kesesuaian satu lawan satu di antaranya dan bilangan bilangan asli Contoh contoh himpunan tersebut adalah himpunan semua bilangan kuadrat himpunan semua bilangan kubik himpunan semua bilangan pangkat empat himpunan semua pangkat sempurna himpunan semua pangkat prima himpunan semua bilangan genap himpunan semua bilangan ganjil himpunan semua bilangan prima himpunan semua bilangan komposit himpunan semua bilangan bulat himpunan semua bilangan rasional himpunan semua bilangan aljabar himpunan semua bilangan komputabel himpunan semua bilangan definabel himpunan semua string biner dengan panjang hingga dan himpunan semua himpunan bagian hingga dari semua himpunan yang dapat terhitung sebagai tak hingga Ordinal tak hingga ini w displaystyle omega nbsp w 1 displaystyle omega 1 nbsp w 2 displaystyle omega cdot 2 nbsp w 2 displaystyle omega 2 nbsp w w displaystyle omega omega nbsp dan ee 0 displaystyle varepsilon 0 nbsp adalah salah satu himpunan tak hingga yang terhitung 4 Misalnya barisan dengan ordinalitas w 2 dari semua bilangan bulat ganjil positif diikuti oleh semua bilangan bulat genap positif 1 3 5 7 9 2 4 6 8 10 adalah urutan himpunan dengan kardinalitas ℵ 0 displaystyle aleph 0 nbsp dari bilangan bulat positif Jika aksioma pilihan terhitung versi yang lebih lemah dari aksioma pilihan berlaku maka ℵ 0 displaystyle aleph 0 nbsp lebih kecil dari kardinal tak hingga lainnya Alef satu suntingℵ 1 displaystyle aleph 1 nbsp adalah kardinalitas dari himpunan semua bilangan ordinal yang terhitung disebut w1 atau kadang kadang W w1 sendiri adalah suatu bilangan ordinal yang lebih besar dari semua bilangan ordinal yang terhitung sehingga merupakan suatu himpunan tak terhitung Jadi ℵ 1 displaystyle aleph 1 nbsp berbeda dari ℵ 0 displaystyle aleph 0 nbsp Definisi ℵ 1 displaystyle aleph 1 nbsp menyiratkan dalam ZF teori himpunan Zermelo Fraenkel tanpa aksioma pilihan bahwa tidak ada bilangan ordinal antara ℵ 0 displaystyle aleph 0 nbsp dan ℵ 1 displaystyle aleph 1 nbsp Hipotesis kontinum suntingArtikel utama Hipotesis kontinum Lihat pula Bilangan beth Kardinalitas suatu himpunan bilangan real kardinalitas continuum adalah 2 ℵ 0 displaystyle 2 aleph 0 nbsp Tidak dapat ditentukan dari ZFC teori himpunan Zermelo Fraenkel dengan aksioma pilihan di mana bilangan ini tepat masuk dalam hierarki bilangan alef tetapi menuruti ZFC bahwa hipotesis kontinum ekuivalen dengan persamaan identitas 2 ℵ 0 ℵ 1 displaystyle 2 aleph 0 aleph 1 nbsp Alef w suntingSecara konvensional bilangan ordinal tak terhingga terkecil dilambangkan dengan w dan bilangan kardinal ℵ w displaystyle aleph omega nbsp merupakan batas atas terkecil dari ℵ n n 0 1 2 displaystyle left aleph n n in left 0 1 2 dots right right nbsp di antara bilangan bilangan alef Alef a untuk a umum suntingUntuk mendefinisikan ℵ a displaystyle aleph alpha nbsp bagi bilangan ordinal sembarang a displaystyle alpha nbsp perlu didefinisikan operasi kardinal penerus yang diberikan pada setiap bilangan kardinal r bilangan kardinal r berikutnya yang lebih besar dalam urutan teratur jika aksioma pilihan masih dipertahankan inilah bilangan kardinal lebih besar berikutnya Maka bilangan bilangan alef dapat didefinikan sebagai berikut ℵ 0 w displaystyle aleph 0 omega nbsp ℵ a 1 ℵ a displaystyle aleph alpha 1 aleph alpha nbsp dan untuk l suatu ordinal limit tak terhingga ℵ l b lt l ℵ b displaystyle aleph lambda bigcup beta lt lambda aleph beta nbsp Ordinal awal tak terhingga ke a ditulis w a displaystyle omega alpha nbsp Kardinalitasnya ditulis ℵ a displaystyle aleph alpha nbsp Lihat ordinal awal Peranan aksioma pilihan suntingKardinalitas suatu bilangan ordinal tak terhingga adalah sebuah bilangan alef Setiap bilangan alef adalah kardinalitas sejumlah bilangan ordinal Yang terkecil di antaranya adalah ordinal awalnya Setiap himpunan yang kardinalitasnya adalah suatu bilangan alef adalah ekuinumeral dengan suatu bilangan ordinal dan karenanya dapat tertata baik well orderable Lihat pula suntingAlef Ananta Bilangan kardinalReferensi sunting Sierpinski Waclaw 1958 Cardinal and Ordinal Numbers Polska Akademia Nauk Monografie Matematyczne 34 Warsaw PL Panstwowe Wydawnictwo Naukowe MR 0095787 Swanson Ellen O Sean Arlene Ann Schleyer Antoinette Tingley 1999 1979 Mathematics into type Copy editing and proofreading of mathematics for editorial assistants and authors edisi ke updated Providence RI American Mathematical Society hlm 16 ISBN 0 8218 0053 1 MR 0553111 Miller Jeff Earliest uses of symbols of set theory and logic jeff560 tripod com Diakses tanggal 2016 05 05 who quotes Dauben Joseph Warren 1990 Georg Cantor His mathematics and philosophy of the infinite nbsp ISBN 9780691024479 Bilangan barunya layak mendapatkan sesuatu yang unik Tidak ingin menciptakan simbol baru sendiri ia memilih alef huruf pertama dari alfabet Ibrani alef dapat dianggap mewakili awal yang baru Jech Thomas 2003 Set Theory Springer Monographs in Mathematics Berlin New York Springer Verlag Pranala luar suntingHazewinkel Michiel ed 2001 1994 Aleph zero Encyclopedia of Mathematics Springer Science Business Media B V Kluwer Academic Publishers ISBN 978 1 55608 010 4 Inggris Weisstein Eric W Aleph 0 MathWorld Kesalahan pengutipan Ditemukan tag lt ref gt untuk kelompok bernama lower alpha tapi tidak ditemukan tag lt references group lower alpha gt yang berkaitan Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Bilangan alef amp oldid 22714068