www.wikidata.id-id.nina.az

Medan terurut Dalam matematika medan terurut atau lapangan terurut adalah medan yang urutan total elemen elemennya seras

Medan terurut

Dalam matematika, medan terurut atau lapangan terurut adalah medan yang urutan total elemen-elemennya serasi dengan operasi pada medan tersebut. Contoh sederhana dari medan terurut adalah medan bilangan real, dan setiap medan terurut lengkap Dedekind bersifat isomorfik ke real.

Setiap submedan dari medan terurut juga merupakan medan terurut dalam urutan yang diwariskan. Setiap medan terurut berisi submedan terurut yaitu isomorfik ke bilangan rasional. Kuadrat selalu bukan negatif dalam medan berurutan. Ini berarti bahwa bilangan kompleks tidak dapat diurut karena kuadrat dari unit imajiner i adalah −1. medan hingga tidak dapat diurutkan.

Secara historis, aksiomatisasi medan terurut disarikan secara bertahap dari bilangan real, oleh ahli matematika termasuk David Hilbert, Otto Hölder, dan Hans Hahn. Hal ini akhirnya berkembang menjadi Teori Artin–Schreier medan terurut dan secara formal medan riil.

Contoh medan terurut Sunting

Contoh medan terurut adalah:

  • bilangan rasional
  • bilangan real
  • submedan apa pun dari medan terurut, seperti bilangan aljabar atau bilangan terhitungkan real
  • medan fungsi rasional nyata , dimana dan adalah polinomial dengan koefisien nyata, , dapat dibuat menjadi sebuah field berurutan dimana polinomial lebih besar dari polinomial tetapan, dengan mendefinisikan maka , pada dan . medan terurut ini bukan Archimedes.
  • medan dari deret Laurent formal dengan koefisien real, di mana x dianggap sangat kecil dan positif
  • transderet
  • medan tertutup riil
  • bilangan superriil
  • bilangan hiperiil

Bilangan surreal membentuk kelas yang tepat daripada himpunan, tetapi sebaliknya mematuhi aksioma dari medan terurut. Setiap medan yang diurut dapat disematkan ke dalam bilangan surreal.

Sifat medan terurut Sunting

Sifat
Sifat

Untuk setiap di:

  • Antara −a ≤ 0 ≤ a atau a ≤ 0 ≤ −a.
  • Salah satu dapat "menambahkan pertidaksamaan": jika dan , maka .
  • Salah satu dapat "mengalikan pertidaksamaan dengan elemen positif": jika dan , maka .
  • Transitivitas dari pertidaksamaan: jika dan , maka .
  • Jika dan , maka .
  • Medan terurut memiliki karakteristik 0. (Karena 1> 0, maka , dan , dll. Jika medan memiliki karakteristik p > 0, maka −1 akan menjadi jumlah dari satuan, tetapi tidak positif.) Khususnya, medan hingga tidak dapat diurut.
  • Bilangan kuadrat tidak negatif: untuk semua di .
  • Setiap jumlah taktrivial dari kuadrat adalah bukan nol. Setara:

Setiap submedan dari medan terurut juga merupakan medan terurut (mewarisi pengurutan yang diinduksi). Submedan terkecil adalah isomorfik ke rasional (seperti untuk medan lain dengan karakteristik 0), dan urutan pada submedan rasional ini sama dengan urutan rasional itu sendiri. Jika setiap elemen medan terurut terletak di antara dua elemen submedan rasionalnya, maka medan tersebut dikatakan sebagai Archimedes . Jika tidak, medan tersebut adalah medan terurut takArchimedes dan berisi Infinitesimal. Misalnya, bilangan real membentuk medan Archimedes, tetapi bilangan hiperreal membentuk medan takArchimedes, karena meluas bilangan riil dengan elemen lebih besar.

medan terurut isomorfik dengan medan bilangan real jika setiap himpunan bagian yang tidak kosong dari dengan batas atas di memiliki batas atas terkecil di .

Ruang vektor atas medan terurut Sunting

Ruang vektor (khususnya, ruang-n) atas medan terurut menunjukkan beberapa sifat khusus dan memiliki beberapa struktur khusus, yaitu: orientasi, konveksitas, dan darab dalam tentu positif. Lihat Ruang koordinat riil#Sifat dan penggunaan geometris untuk diskusi tentang sifat tersebut Rn, yang dapat dirampatkan ke ruang vektor atas medan terurut lainnya.

Medan mana yang bisa diurutkan? Sunting

Setiap medan yang diurutkan adalah medan riil secara formal, yaitu, 0 tidak dapat ditulis sebagai jumlah dari kuadrat bukan nol.

Sebaliknya, setiap medan yang secara formal nyata dapat dilengkapi dengan tatanan total yang serasi, yang akan mengubahnya menjadi medan yang teratur. (Urutan ini tidak perlu ditentukan secara unik). Buktinya menggunakan Lemma Zorn.

medan hingga dan yang lebih umum medan positif karakteristik tidak dapat diubah menjadi medan terurut, karena pada karakteristik p, elemen −1 dapat ditulis sebagai penjumlahan dari (p - 1) menguadratkan 12. Bilangan kompleks juga tidak dapat diubah menjadi medan terurut, karena −1 adalah kuadrat (dari bilangan imajiner i ) dan karenanya akan menjadi positif. Selain itu, nomor p-adic tidak dapat diurut, karena menurut Lemma Hensel Q2 mengandung akar kuadrat dari −7, jadi 12+12+12+22+(√−7)2=0, dan Qp (p > 2) mengandung akar kuadrat dari 1 - p , jadi (p−1)⋅12+(√1−p)2=0.

Topologi diinduksi oleh urutan Sunting

Jika dilengkapi dengan topologi tatanan yang muncul dari tatanan total ≤, maka aksioma menjamin bahwa operasi + dan × adalah kontinu, sehingga adalah medan topologi.

Topologi Harrison Sunting

Topologi Harrison adalah topologi pada himpunan urutan XF dari medan formal yang nyata F . Setiap urutan dapat dianggap sebagai homomorfisme kelompok perkalian dari F∗ ke ± 1. Memberikan ± 1 topologi diskret dan ±1F topologi produk menginduksi topologi subruang XF. Himpunan Harrison membentuk subbasis untuk topologi Harrison. Produknya adalah Ruang Boole (padat, Hausdorff dan terputus), dan XF adalah himpunan bagian tertutup Boolean.

Lihat pula Sunting

Catatan Sunting

  1. ^ Lam (2005) hlm. 41
  2. ^ Lam (2005) hlm. 232
  3. Bair, Jaques; Henry, Valérie. "Implicit differentiation with microscopes" (PDF). University of Liege. Diakses tanggal 2013-05-04. 
  4. Lam (2005) hlm. 236
  5. Lam (2005) p. 271
  6. Lam (1983) pp. 1–2

Referensi Sunting

wikipedia, wiki, buku, buku, perpustakaan, artikel, baca, unduh, gratis, unduh gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, gambar, musik, lagu, film, buku, permainan, permainan.
Tanggal penerbitan:
Dalam matematika medan terurut atau lapangan terurut adalah medan yang urutan total elemen elemennya serasi dengan operasi pada medan tersebut Contoh sederhana dari medan terurut adalah medan bilangan real dan setiap medan terurut lengkap Dedekind bersifat isomorfik ke real Setiap submedan dari medan terurut juga merupakan medan terurut dalam urutan yang diwariskan Setiap medan terurut berisi submedan terurut yaitu isomorfik ke bilangan rasional Kuadrat selalu bukan negatif dalam medan berurutan Ini berarti bahwa bilangan kompleks tidak dapat diurut karena kuadrat dari unit imajineriadalah 1 medan hingga tidak dapat diurutkan Secara historis aksiomatisasi medan terurut disarikan secara bertahap dari bilangan real oleh ahli matematika termasuk David Hilbert Otto Holder dan Hans Hahn Hal ini akhirnya berkembang menjadi Teori Artin Schreier medan terurut dan secara formal medan riil Daftar isi 1 Contoh medan terurut 2 Sifat medan terurut 2 1 Ruang vektor atas medan terurut 3 Medan mana yang bisa diurutkan 4 Topologi diinduksi oleh urutan 5 Topologi Harrison 6 Lihat pula 7 Catatan 8 ReferensiContoh medan terurut SuntingContoh medan terurut adalah bilangan rasional bilangan real submedan apa pun dari medan terurut seperti bilangan aljabar atau bilangan terhitungkan real medan fungsi rasional nyata p x q x displaystyle frac p x q x nbsp dimana p x displaystyle p x nbsp dan q x displaystyle q x nbsp adalah polinomial dengan koefisien nyata q x 0 displaystyle q x neq 0 nbsp dapat dibuat menjadi sebuah field berurutan dimana polinomial p x x displaystyle p x x nbsp lebih besar dari polinomial tetapan dengan mendefinisikan p x q x gt 0 displaystyle frac p x q x gt 0 nbsp maka p 0 q 0 gt 0 displaystyle frac p 0 q 0 gt 0 nbsp pada p x p 0 x n displaystyle p x p 0 cdot x n cdots nbsp dan q x q 0 x m displaystyle q x q 0 cdot x m cdots nbsp medan terurut ini bukan Archimedes medan R x displaystyle mathbb R x nbsp dari deret Laurent formal dengan koefisien real di mana xdianggap sangat kecil dan positif transderet medan tertutup riil bilangan superriil bilangan hiperiilBilangan surreal membentuk kelas yang tepat daripada himpunan tetapi sebaliknya mematuhi aksioma dari medan terurut Setiap medan yang diurut dapat disematkan ke dalam bilangan surreal Sifat medan terurut Sunting nbsp Sifat a gt 0 x lt y a x lt a y displaystyle a gt 0 land x lt y Rightarrow ax lt ay nbsp nbsp Sifat x lt y a x lt a y displaystyle x lt y Rightarrow a x lt a y nbsp Untuk setiap a b c d displaystyle a b c d nbsp diF displaystyle F nbsp Antara a 0 a atau a 0 a Salah satu dapat menambahkan pertidaksamaan jika a b displaystyle a leq b nbsp dan c d displaystyle c leq d nbsp maka a c b d displaystyle a c leq b d nbsp Salah satu dapat mengalikan pertidaksamaan dengan elemen positif jika a b displaystyle a leq b nbsp dan 0 c displaystyle 0 leq c nbsp maka a c b c displaystyle ac leq bc nbsp Transitivitas dari pertidaksamaan jika a lt b displaystyle a lt b nbsp dan b lt c displaystyle b lt c nbsp maka a lt c displaystyle a lt c nbsp Jika a lt b displaystyle a lt b nbsp dan a b gt 0 displaystyle a b gt 0 nbsp maka 1 b lt 1 a displaystyle frac 1 b lt frac 1 a nbsp Medan terurut memiliki karakteristik 0 Karena 1 gt 0 maka 1 1 gt 0 displaystyle 1 1 gt 0 nbsp dan 1 1 1 gt 0 displaystyle 1 1 1 gt 0 nbsp dll Jika medan memiliki karakteristik p gt 0 maka 1 akan menjadi jumlah dari p 1 displaystyle p 1 nbsp satuan tetapi 1 displaystyle 1 nbsp tidak positif Khususnya medan hingga tidak dapat diurut Bilangan kuadrat tidak negatif 0 a 2 displaystyle 0 leq a 2 nbsp untuk semua a displaystyle a nbsp di F displaystyle F nbsp Setiap jumlah taktrivial dari kuadrat adalah bukan nol Setara k 1 n a k 2 0 k a k 0 displaystyle sum k 1 n a k 2 0 Longrightarrow forall k colon a k 0 nbsp 1 2 Setiap submedan dari medan terurut juga merupakan medan terurut mewarisi pengurutan yang diinduksi Submedan terkecil adalah isomorfik ke rasional seperti untuk medan lain dengan karakteristik 0 dan urutan pada submedan rasional ini sama dengan urutan rasional itu sendiri Jika setiap elemen medan terurut terletak di antara dua elemen submedan rasionalnya maka medan tersebut dikatakan sebagai Archimedes Jika tidak medan tersebut adalah medan terurut takArchimedes dan berisi Infinitesimal Misalnya bilangan real membentuk medan Archimedes tetapi bilangan hiperreal membentuk medan takArchimedes karena meluas bilangan riil dengan elemen lebih besar 3 medan terurut F displaystyle F nbsp isomorfik dengan medan bilangan real R displaystyle mathbb R nbsp jika setiap himpunan bagian yang tidak kosong dari F displaystyle F nbsp dengan batas atas di F displaystyle F nbsp memiliki batas atas terkecil di F displaystyle F nbsp Ruang vektor atas medan terurut Sunting Ruang vektor khususnya ruang n atas medan terurut menunjukkan beberapa sifat khusus dan memiliki beberapa struktur khusus yaitu orientasi konveksitas dan darab dalam tentu positif Lihat Ruang koordinat riil Sifat dan penggunaan geometris untuk diskusi tentang sifat tersebut Rn yang dapat dirampatkan ke ruang vektor atas medan terurut lainnya Medan mana yang bisa diurutkan SuntingSetiap medan yang diurutkan adalah medan riil secara formal yaitu 0 tidak dapat ditulis sebagai jumlah dari kuadrat bukan nol 1 2 Sebaliknya setiap medan yang secara formal nyata dapat dilengkapi dengan tatanan total yang serasi yang akan mengubahnya menjadi medan yang teratur Urutan ini tidak perlu ditentukan secara unik Buktinya menggunakan Lemma Zorn 4 medan hingga dan yang lebih umum medan positif karakteristik tidak dapat diubah menjadi medan terurut karena pada karakteristik p elemen 1 dapat ditulis sebagai penjumlahan dari p 1 menguadratkan 12 Bilangan kompleks juga tidak dapat diubah menjadi medan terurut karena 1 adalah kuadrat dari bilangan imajiner i dan karenanya akan menjadi positif Selain itu nomor p adic tidak dapat diurut karena menurut Lemma Hensel Q2 mengandung akar kuadrat dari 7 jadi 12 12 12 22 7 2 0 dan Qp p gt 2 mengandung akar kuadrat dari 1 p jadi p 1 12 1 p 2 0 Topologi diinduksi oleh urutan SuntingJika F displaystyle F nbsp dilengkapi dengan topologi tatanan yang muncul dari tatanan total maka aksioma menjamin bahwa operasi dan adalah kontinu sehingga F displaystyle F nbsp adalah medan topologi Topologi Harrison SuntingTopologi Harrison adalah topologi pada himpunan urutan XF dari medan formal yang nyata F Setiap urutan dapat dianggap sebagai homomorfisme kelompok perkalian dari F ke 1 Memberikan 1 topologi diskret dan 1F topologi produk menginduksi topologi subruang XF Himpunan Harrison H a P X F a P displaystyle H a P in X F a in P nbsp membentuk subbasis untuk topologi Harrison Produknya adalah Ruang Boole padat Hausdorff dan terputus dan XF adalah himpunan bagian tertutup Boolean 5 6 Lihat pula SuntingGelanggang terurut Ruang vektor terurut Medan praurutanCatatan Sunting a b Lam 2005 hlm 41 a b Lam 2005 hlm 232 Bair Jaques Henry Valerie Implicit differentiation with microscopes PDF University of Liege Diakses tanggal 2013 05 04 Lam 2005 hlm 236 Lam 2005 p 271 Lam 1983 pp 1 2Referensi SuntingLam T Y 1983 Orderings valuations and quadratic forms nbsp CBMS Regional Conference Series in Mathematics 52 American Mathematical Society ISBN 0 8218 0702 1 Zbl 0516 12001 Lam Tsit Yuen 2005 Introduction to Quadratic Forms over Fields Graduate Studies in Mathematics 67 American Mathematical Society ISBN 0 8218 1095 2 Zbl 1068 11023 Templat Lang Algebra Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Medan terurut amp oldid 22335689