www.wikidata.id-id.nina.az

Ekstensi bidang Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dari Field extension di en wikipedia org Is

Ekstensi bidang

Dalam matematika, khususnya dalam aljabar, ekstensi bidang adalah sepasang bidang sedemikian rupa sehingga operasi E adalah operasi F dibatasi hingga E . Pada kasus ini, F adalah 'bidang ekstensi' dari E dan E adalah subbidang dari F . Misalnya, di bawah pengertian umum penambahan dan perkalian, bilangan kompleks adalah bidang ekstensi dari bilangan riil; bilangan real adalah subbidang dari bilangan kompleks.

Perluasan bidang sangat penting dalam teori bilangan aljabar, dan dalam studi akar polinomial hingga teori Galois, dan banyak digunakan dalam geometri aljabar.

Peringatan Sunting

Notasi L / K murni formal dan tidak menyiratkan pembentukan cincin hasil bagi atau grup hasil bagi atau jenis pembagian lainnya. Sebaliknya garis miring mengungkapkan kata "berakhir". Dalam beberapa literatur digunakan notasi L : K .

Sering kali diinginkan untuk membicarakan tentang perluasan bidang dalam situasi di mana bidang kecil sebenarnya tidak terkandung dalam bidang yang lebih besar, tetapi secara alami tertanam. Untuk tujuan ini, seseorang secara abstrak mendefinisikan ekstensi bidang sebagai injeksi gelanggang homomorfisma antara dua bidang. Setiap homomorfisme cincin bukan-nol antara bidang bersifat injektif karena bidang tidak memiliki cita-cita nontrivial yang tepat, sehingga ekstensi bidang justru merupakan morfisme dalam kategori bidang

Untuk selanjutnya, kami akan menekan homomorfisme injeksi dan menganggap bahwa kami berurusan dengan subbidang yang sebenarnya.

Contoh Sunting

Bidang bilangan kompleks adalah bidang ekstensi dari bidang bilangan riil dan pada gilirannya adalah bidang perpanjangan dari bidang bilangan rasional Jelaslah, juga merupakan ekstensi lapangan. Kita punya karena adalah dasar, jadi perpanjangannya terbatas. Ini adalah ekstensi sederhana karena (the kardinalitas kontinum), jadi perluasan ini tidak terbatas.

Bidang

adalah bidang ekstensi dari juga jelas merupakan ekstensi sederhana. Derajatnya 2 karena bisa menjadi dasar.

Bidang

adalah bidang ekstensi dari keduanya dan derajat 2 dan 4 masing-masing. Ini juga merupakan ekstensi sederhana, seperti yang dapat ditunjukkan

Ekstensi terbatas dari juga disebut bidang bilangan aljabar dan penting dalam teori bilangan. Bidang ekstensi lain dari rasional, yang juga penting dalam teori bilangan, meskipun bukan perluasan hingga, adalah bidang bilangan p-adic untuk bilangan prima p .

Generalisasi Sunting

Ekstensi bidang dapat digeneralisasikan menjadi cincin ekstensi yang terdiri dari cincin dan salah satu subgelanggang nya. Analog non-komutatif yang lebih dekat adalah aljabar sederhana pusat s (CSA) - ekstensi cincin di atas bidang, yang merupakan aljabar sederhana (tidak ada cita-cita 2-sisi non-sepele, seperti untuk lapangan) dan di mana pusat cincin persis sama dengan lapangan. Misalnya, satu-satunya ekstensi bidang hingga dari bilangan real adalah bilangan kompleks, sedangkan quaternions adalah aljabar sederhana pusat di atas real, dan semua CSA di atas real setara Brauer ke real atau quaternions. CSA dapat digeneralisasikan lebih lanjut menjadi Azumaya aljabar, di mana bidang dasar diganti dengan gelanggang lokal komutatif.

Perpanjangan skalar Sunting

Artikel utama: Perpanjangan skalar

Dengan adanya ekstensi bidang, seseorang dapat "memperluas skalar" pada objek aljabar terkait. Misalnya, diberi ruang vektor nyata, seseorang dapat menghasilkan ruang vektor kompleks melalui kompleksifikasi. Selain ruang vektor, seseorang dapat melakukan ekstensi skalar untuk aljabar asosiatif yang ditentukan di atas bidang, seperti polinomial atau aljabar grup dan representasi grup terkait. Perpanjangan skalar polinomial sering digunakan secara implisit, dengan hanya mempertimbangkan koefisien sebagai elemen dari bidang yang lebih besar, tetapi juga dapat dipertimbangkan secara lebih formal. Ekstensi skalar memiliki banyak aplikasi, seperti yang dibahas di ekstensi skalar: aplikasi.

Lihat pula Sunting

  • Teori medan
  • Glosarium teori medan
  • Menara ladang
  • Ekstensi utama
  • Ekstensi beraturan

Catatan Sunting

  1. (Fraleigh 1976, hlm. 293)
  2. (Herstein 1964, hlm. 167)
  3. (McCoy 1968, hlm. 116)

Referensi Sunting

  • Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (edisi ke-2nd), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1 
  • Herstein, I. N. (1964), Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016 
  • Templat:Lang Algebra
  • McCoy, Neal H. (1968), Introduction To Modern Algebra, Revised Edition, Boston: Allyn and Bacon, LCCN 68015225 

Pranala luar Sunting

wikipedia, wiki, buku, buku, perpustakaan, artikel, baca, unduh, gratis, unduh gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, gambar, musik, lagu, film, buku, permainan, permainan.
Tanggal penerbitan:
Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dari Field extension di en wikipedia org Isinya masih belum akurat karena bagian yang diterjemahkan masih perlu diperhalus dan disempurnakan Jika Anda menguasai bahasa aslinya harap pertimbangkan untuk menelusuri referensinya dan menyempurnakan terjemahan ini Anda juga dapat ikut bergotong royong pada ProyekWiki Perbaikan Terjemahan Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat Lihat pula panduan penerjemahan artikel Dalam matematika khususnya dalam aljabar ekstensi bidang adalah sepasang bidang E F displaystyle E subseteq F sedemikian rupa sehingga operasi E adalah operasi F dibatasi hingga E Pada kasus ini F adalah bidang ekstensi dari E dan E adalah subbidang dari F 1 2 3 Misalnya di bawah pengertian umum penambahan dan perkalian bilangan kompleks adalah bidang ekstensi dari bilangan riil bilangan real adalah subbidang dari bilangan kompleks Perluasan bidang sangat penting dalam teori bilangan aljabar dan dalam studi akar polinomial hingga teori Galois dan banyak digunakan dalam geometri aljabar Daftar isi 1 Peringatan 2 Contoh 3 Generalisasi 4 Perpanjangan skalar 5 Lihat pula 6 Catatan 7 Referensi 8 Pranala luarPeringatan SuntingNotasi L K murni formal dan tidak menyiratkan pembentukan cincin hasil bagi atau grup hasil bagi atau jenis pembagian lainnya Sebaliknya garis miring mengungkapkan kata berakhir Dalam beberapa literatur digunakan notasi L K Sering kali diinginkan untuk membicarakan tentang perluasan bidang dalam situasi di mana bidang kecil sebenarnya tidak terkandung dalam bidang yang lebih besar tetapi secara alami tertanam Untuk tujuan ini seseorang secara abstrak mendefinisikan ekstensi bidang sebagai injeksi gelanggang homomorfisma antara dua bidang Setiap homomorfisme cincin bukan nol antara bidang bersifat injektif karena bidang tidak memiliki cita cita nontrivial yang tepat sehingga ekstensi bidang justru merupakan morfisme dalam kategori bidangUntuk selanjutnya kami akan menekan homomorfisme injeksi dan menganggap bahwa kami berurusan dengan subbidang yang sebenarnya Contoh SuntingBidang bilangan kompleks C displaystyle mathbb C nbsp adalah bidang ekstensi dari bidang bilangan riil R displaystyle mathbb R nbsp dan R displaystyle mathbb R nbsp pada gilirannya adalah bidang perpanjangan dari bidang bilangan rasional Q displaystyle mathbb Q nbsp Jelaslah C Q displaystyle mathbb C mathbb Q nbsp juga merupakan ekstensi lapangan Kita punya C R 2 displaystyle mathbb C mathbb R 2 nbsp karena 1 i displaystyle 1 i nbsp adalah dasar jadi perpanjangannya C R displaystyle mathbb C mathbb R nbsp terbatas Ini adalah ekstensi sederhana karena C R i displaystyle mathbb C mathbb R i nbsp R Q c displaystyle mathbb R mathbb Q mathfrak c nbsp the kardinalitas kontinum jadi perluasan ini tidak terbatas Bidang Q 2 a b 2 a b Q displaystyle mathbb Q sqrt 2 left left a b sqrt 2 right a b in mathbb Q right nbsp adalah bidang ekstensi dari Q displaystyle mathbb Q nbsp juga jelas merupakan ekstensi sederhana Derajatnya 2 karena 1 2 displaystyle 1 sqrt 2 nbsp bisa menjadi dasar Bidang Q 2 3 Q 2 3 a b 3 a b Q 2 a b 2 c 3 d 6 a b c d Q displaystyle begin aligned mathbb Q sqrt 2 sqrt 3 amp mathbb Q sqrt 2 sqrt 3 amp left left a b sqrt 3 right a b in mathbb Q sqrt 2 right amp left left a b sqrt 2 c sqrt 3 d sqrt 6 right a b c d in mathbb Q right end aligned nbsp adalah bidang ekstensi dari keduanya Q 2 displaystyle mathbb Q sqrt 2 nbsp dan Q displaystyle mathbb Q nbsp derajat 2 dan 4 masing masing Ini juga merupakan ekstensi sederhana seperti yang dapat ditunjukkan Q 2 3 Q 2 3 a b 2 3 c 2 3 2 d 2 3 3 a b c d Q displaystyle begin aligned mathbb Q sqrt 2 sqrt 3 amp mathbb Q sqrt 2 sqrt 3 amp left left a b sqrt 2 sqrt 3 c sqrt 2 sqrt 3 2 d sqrt 2 sqrt 3 3 right a b c d in mathbb Q right end aligned nbsp Ekstensi terbatas dari Q displaystyle mathbb Q nbsp juga disebut bidang bilangan aljabar dan penting dalam teori bilangan Bidang ekstensi lain dari rasional yang juga penting dalam teori bilangan meskipun bukan perluasan hingga adalah bidang bilangan p adic Q p displaystyle mathbb Q p nbsp untuk bilangan prima p Generalisasi SuntingEkstensi bidang dapat digeneralisasikan menjadi cincin ekstensi yang terdiri dari cincin dan salah satu subgelanggang nya Analog non komutatif yang lebih dekat adalah aljabar sederhana pusat s CSA ekstensi cincin di atas bidang yang merupakan aljabar sederhana tidak ada cita cita 2 sisi non sepele seperti untuk lapangan dan di mana pusat cincin persis sama dengan lapangan Misalnya satu satunya ekstensi bidang hingga dari bilangan real adalah bilangan kompleks sedangkan quaternions adalah aljabar sederhana pusat di atas real dan semua CSA di atas real setara Brauer ke real atau quaternions CSA dapat digeneralisasikan lebih lanjut menjadi Azumaya aljabar di mana bidang dasar diganti dengan gelanggang lokal komutatif Perpanjangan skalar SuntingArtikel utama Perpanjangan skalar Dengan adanya ekstensi bidang seseorang dapat memperluas skalar pada objek aljabar terkait Misalnya diberi ruang vektor nyata seseorang dapat menghasilkan ruang vektor kompleks melalui kompleksifikasi Selain ruang vektor seseorang dapat melakukan ekstensi skalar untuk aljabar asosiatif yang ditentukan di atas bidang seperti polinomial atau aljabar grup dan representasi grup terkait Perpanjangan skalar polinomial sering digunakan secara implisit dengan hanya mempertimbangkan koefisien sebagai elemen dari bidang yang lebih besar tetapi juga dapat dipertimbangkan secara lebih formal Ekstensi skalar memiliki banyak aplikasi seperti yang dibahas di ekstensi skalar aplikasi Lihat pula SuntingTeori medan Glosarium teori medan Menara ladang Ekstensi utama Ekstensi beraturanCatatan Sunting Fraleigh 1976 hlm 293 Herstein 1964 hlm 167 McCoy 1968 hlm 116 Referensi SuntingFraleigh John B 1976 A First Course In Abstract Algebra edisi ke 2nd Reading Addison Wesley ISBN 0 201 01984 1 Herstein I N 1964 Topics In Algebra Waltham Blaisdell Publishing Company ISBN 978 1114541016 Templat Lang Algebra McCoy Neal H 1968 Introduction To Modern Algebra Revised Edition Boston Allyn and Bacon LCCN 68015225 Pranala luar SuntingHazewinkel Michiel ed 2001 1994 Extension of a field Encyclopedia of Mathematics Springer Science Business Media B V Kluwer Academic Publishers ISBN 978 1 55608 010 4 Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Ekstensi bidang amp oldid 22361952