www.wikidata.id-id.nina.az

Persamaan parametrik Artikel ini sedang dalam perbaikan Untuk menghindari konflik penyuntingan mohon jangan melakukan pe

Persamaan parametrik

Dalam matematika, Persamaan Parametrik mendefinisikan sekelompok kuantitas sebagai fungsi dari satu atau lebih variabel independen yang disebut parameter. Persamaan Parametrik biasanya digunakan untuk menyatakan koordinat dari titik-titik yang membentuk objek geometris seperti kurva atau permukaan, dalam hal ini persamaan representasi parametrik atau parameterization (sebagai alternatif dieja sebagai parametrisation) of the object.

kurva kupu-kupu dapat didefinisikan dengan persamaan parametrik x dan y.

Contohnya persamaan

membentuk representasi parametrik dari lingkaran satuan, di mana t adalah parameternya: Sebuah titik (x, y) ada di lingkaran satuan, jika nilai t sehingga keduanya sama. Kadang-kadang persamaan parametrik untuk variabel keluaran individu skalar digabungkan menjadi satu persamaan parametrik di vektor:

Representasi parametrik umumnya tidak unik (lihat bagian "Contoh dalam dua dimensi" di bawah), jadi jumlah yang sama dapat diekspresikan dengan sejumlah parameterisasi yang berbeda.

Selain kurva dan permukaan, persamaan parametrik dapat menggambarkan manifold dan varisi aljabar yang lebih tinggi dimensi, dengan jumlah parameter yang sama dengan dimensi manifold atau variasi, dan jumlah persamaan yang sama dengan dimensi ruang di mana manifold atau variasi dipertimbangkan (untuk kurva dimensi adalah satu dan parameter satu digunakan, untuk parameter dimensi permukaan dua dan dua, dll.).

Persamaan parametrik umumnya digunakan dalam kinematika, di mana lintasan suatu benda diwakili oleh persamaan bergantung pada waktu sebagai parameternya. Karena aplikasi ini, parameter tunggal sering kali diberi label t; namun, parameter dapat mewakili besaran fisik lainnya (seperti variabel geometris) atau dapat dipilih secara sewenang-wenang demi kenyamanan. Parameterisasi tidak unik; lebih dari satu set persamaan parametrik dapat menentukan kurva yang sama.

Aplikasi sunting

Kinematics sunting

Dalam kinematika, jalur objek melalui ruang biasanya digambarkan sebagai kurva parametrik, dengan setiap koordinat spasial bergantung secara eksplisit pada parameter independen (biasanya waktu). Digunakan dengan cara ini, himpunan persamaan parametrik untuk koordinat objek secara kolektif membentuk fungsi bernilai vektor untuk posisi. Kurva parametrik tersebut kemudian dapat menjadi terintegrasi dan terdiferensiasi termwise. Jadi, jika posisi partikel dijelaskan secara parametrik sebagai

maka kecepatan dapat ditemukan sebagai

dan percepatan sebagai

Desain dengan bantuan komputer sunting

Penggunaan penting lain dari persamaan parametrik adalah dalam bidang desain dengan bantuan komputer (CAD). Contohnya, pertimbangkan tiga representasi berikut, yang semuanya biasanya digunakan untuk mendeskripsikan kurva planar.

Tipe Bentuk Contoh Deskripsi
1. Eksplisit Garis
2. Implisit Lingkaran
3. Parametrik ;


Garis

Lingkaran

Setiap representasi memiliki kelebihan dan kekurangan untuk aplikasi CAD. Representasi eksplisit mungkin sangat rumit, atau bahkan mungkin tidak ada. Selain itu, ia tidak berperilaku baik di bawah transformasi geometris, dan khususnya di bawah rotasi. Di sisi lain, karena persamaan parametrik dan persamaan implisit dapat dengan mudah disimpulkan dari representasi eksplisit, ketika representasi eksplisit sederhana ada, itu memiliki keuntungan dari keduanya. Representasi implisit mungkin menyulitkan untuk menghasilkan titik kurva, dan bahkan untuk memutuskan apakah ada titik nyata. Di sisi lain, mereka sangat cocok untuk memutuskan apakah suatu titik tertentu berada pada kurva, atau apakah itu di dalam atau di luar kurva tertutup. Keputusan semacam itu mungkin sulit dengan representasi parametrik, tetapi representasi parametrik paling cocok untuk menghasilkan titik pada kurva, dan untuk memplotnya.

Geometri bilangan bulat sunting

Banyak masalah dalam geometri bilangan bulat dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan parametrik. Solusi klasik seperti itu adalah parametrikisasi Euklides dari segitiga siku-siku sedemikian rupa sehingga panjang sisinya a, b dan sisi miringnya c adalah bilangan bulat coprime. Karena a dan b tidak genap (sebaliknya a, b dan c tidak akan menjadi coprime), seseorang dapat menukarnya dengan memiliki a bahkan, dan parameterisasi kemudian

dimana parameternya m dan n adalah bilangan bulat coprime positif yang tidak keduanya ganjil.

Dengan mengalikan a, b dan c dengan bilangan bulat positif yang berubah-ubah, seseorang mendapatkan parametrization dari semua segitiga siku-siku yang ketiga sisinya memiliki panjang bilangan bulat.

Implisitisasi sunting

Contoh dalam dua dimensi sunting

Contoh dalam tiga dimensi sunting

Heliks Parametrik animasi

Helix sunting

Heliks parametrik

Persamaan parametrik cocok untuk menggambarkan kurva dalam ruang berdimensi lebih tinggi. Sebagai contoh:

mendeskripsikan kurva tiga dimensi, heliks, dengan jari-jari a dan naik 2πb unit per putaran. Persamaan di bidang identik dengan persamaan lingkaran. Ekspresi seperti di atas biasanya ditulis sebagai

dimana r adalah vektor tiga dimensi.

Permukaan parametrik sunting

Artikel utama: Permukaan parametrik

Sebuah torus dengan radius mayor R dan minor radius r dapat didefinisikan secara parametrik sebagai

dimana dua parameter t dan u keduanya bervariasi antara 0 dan 2π.

Karena u bervariasi dari 0 hingga 2π, titik di permukaan bergerak mengelilingi lingkaran pendek melewati lubang di torus. Karena t bervariasi dari 0 hingga 2π, titik di permukaan bergerak membentuk lingkaran panjang mengelilingi lubang di torus.

Contoh dengan vektor sunting

Persamaan parametrik garis yang melewati titik dan sejajar dengan vektor is

Lihat pula sunting

  • Melengkung
  • Estimasi parametrik
  • Vektor posisi
  • Fungsi bernilai vektor
  • Parametriisasi menurut panjang busur
  • Turunan parametrik

Catatan sunting

  1. ^ Weisstein, Eric W. "Parametric Equations". MathWorld. 
  2. Thomas, George B.; Finney, Ross L. (1979). Calculus and Analytic Geometry (edisi ke-fifth). Addison-Wesley. hlm. 91. 
  3. Nykamp, Duane. "Plane parametrization example". mathinsight.org. Diakses tanggal 2017-04-14. 
  4. Spitzbart, Abraham (1975). Kalkulus dengan Geometri Analitik. Gleview, IL: Scott, Foresman and Company. ISBN 0-673-07907-4. Diakses tanggal Agustus 30, 2015. 
  5. Stewart, James (2003). Calculus (edisi ke-5th). Belmont, CA: Thomson Learning, Inc. hlm. 687–689. ISBN 0-534-39339-X. 
  6. Shah, Jami J.; Martti Mantyla (1995). Parametric and feature-based CAD/CAM: concepts, techniques, and applications. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. hlm. 29–31. ISBN 0-471-00214-3. 
  7. Kalkulus: Tunggal dan Multivariabel. John Wiley. 2012-10-29. hlm. 919. ISBN 9780470888612. OCLC 828768012. 

Pranala luar sunting

wikipedia, wiki, buku, buku, perpustakaan, artikel, baca, unduh, gratis, unduh gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, gambar, musik, lagu, film, buku, permainan, permainan.
Tanggal penerbitan:
Artikel ini sedang dalam perbaikan Untuk menghindari konflik penyuntingan mohon jangan melakukan penyuntingan selama pesan ini ditampilkan Halaman ini terakhir disunting oleh Kim Nansa Kontrib Log 106 hari 1223 menit lalu Dalam matematika Persamaan Parametrik mendefinisikan sekelompok kuantitas sebagai fungsi dari satu atau lebih variabel independen yang disebut parameter 1 Persamaan Parametrik biasanya digunakan untuk menyatakan koordinat dari titik titik yang membentuk objek geometris seperti kurva atau permukaan dalam hal ini persamaan representasi parametrik atau parameterization sebagai alternatif dieja sebagai parametrisation of the object 1 2 3 kurva kupu kupu dapat didefinisikan dengan persamaan parametrik x dan y Contohnya persamaan x cos t y sin t displaystyle begin aligned x amp cos t y amp sin t end aligned membentuk representasi parametrik dari lingkaran satuan di mana t adalah parameternya Sebuah titik x y ada di lingkaran satuan jika nilai t sehingga keduanya sama Kadang kadang persamaan parametrik untuk variabel keluaran individu skalar digabungkan menjadi satu persamaan parametrik di vektor x y cos t sin t displaystyle x y cos t sin t Representasi parametrik umumnya tidak unik lihat bagian Contoh dalam dua dimensi di bawah jadi jumlah yang sama dapat diekspresikan dengan sejumlah parameterisasi yang berbeda 1 Selain kurva dan permukaan persamaan parametrik dapat menggambarkan manifold dan varisi aljabar yang lebih tinggi dimensi dengan jumlah parameter yang sama dengan dimensi manifold atau variasi dan jumlah persamaan yang sama dengan dimensi ruang di mana manifold atau variasi dipertimbangkan untuk kurva dimensi adalah satu dan parameter satu digunakan untuk parameter dimensi permukaan dua dan dua dll Persamaan parametrik umumnya digunakan dalam kinematika di mana lintasan suatu benda diwakili oleh persamaan bergantung pada waktu sebagai parameternya Karena aplikasi ini parameter tunggal sering kali diberi label t namun parameter dapat mewakili besaran fisik lainnya seperti variabel geometris atau dapat dipilih secara sewenang wenang demi kenyamanan Parameterisasi tidak unik lebih dari satu set persamaan parametrik dapat menentukan kurva yang sama 4 Daftar isi 1 Aplikasi 1 1 Kinematics 1 2 Desain dengan bantuan komputer 1 3 Geometri bilangan bulat 2 Implisitisasi 3 Contoh dalam dua dimensi 4 Contoh dalam tiga dimensi 4 1 Helix 4 2 Permukaan parametrik 5 Contoh dengan vektor 6 Lihat pula 7 Catatan 8 Pranala luarAplikasi suntingKinematics sunting Dalam kinematika jalur objek melalui ruang biasanya digambarkan sebagai kurva parametrik dengan setiap koordinat spasial bergantung secara eksplisit pada parameter independen biasanya waktu Digunakan dengan cara ini himpunan persamaan parametrik untuk koordinat objek secara kolektif membentuk fungsi bernilai vektor untuk posisi Kurva parametrik tersebut kemudian dapat menjadi terintegrasi dan terdiferensiasi termwise Jadi jika posisi partikel dijelaskan secara parametrik sebagai r t x t y t z t displaystyle mathbf r t x t y t z t nbsp maka kecepatan dapat ditemukan sebagai v t r t x t y t z t displaystyle mathbf v t mathbf r t x t y t z t nbsp dan percepatan sebagai a t r t x t y t z t displaystyle mathbf a t mathbf r t x t y t z t nbsp Desain dengan bantuan komputer sunting Penggunaan penting lain dari persamaan parametrik adalah dalam bidang desain dengan bantuan komputer CAD 5 Contohnya pertimbangkan tiga representasi berikut yang semuanya biasanya digunakan untuk mendeskripsikan kurva planar Tipe Bentuk Contoh Deskripsi 1 Eksplisit y f x displaystyle y f x nbsp y m x b displaystyle y mx b nbsp Garis 2 Implisit f x y 0 displaystyle f x y 0 nbsp x a 2 y b 2 r 2 displaystyle left x a right 2 left y b right 2 r 2 nbsp Lingkaran 3 Parametrik x g t w t displaystyle x frac g t w t nbsp y h t w t displaystyle y frac h t w t nbsp x a 0 a 1 t displaystyle x a 0 a 1 t nbsp y b 0 b 1 t displaystyle y b 0 b 1 t nbsp x a r cos t displaystyle x a r cos t nbsp y b r sin t displaystyle y b r sin t nbsp Garis Lingkaran Setiap representasi memiliki kelebihan dan kekurangan untuk aplikasi CAD Representasi eksplisit mungkin sangat rumit atau bahkan mungkin tidak ada Selain itu ia tidak berperilaku baik di bawah transformasi geometris dan khususnya di bawah rotasi Di sisi lain karena persamaan parametrik dan persamaan implisit dapat dengan mudah disimpulkan dari representasi eksplisit ketika representasi eksplisit sederhana ada itu memiliki keuntungan dari keduanya Representasi implisit mungkin menyulitkan untuk menghasilkan titik kurva dan bahkan untuk memutuskan apakah ada titik nyata Di sisi lain mereka sangat cocok untuk memutuskan apakah suatu titik tertentu berada pada kurva atau apakah itu di dalam atau di luar kurva tertutup Keputusan semacam itu mungkin sulit dengan representasi parametrik tetapi representasi parametrik paling cocok untuk menghasilkan titik pada kurva dan untuk memplotnya 6 Geometri bilangan bulat sunting Banyak masalah dalam geometri bilangan bulat dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan parametrik Solusi klasik seperti itu adalah parametrikisasi Euklides dari segitiga siku siku sedemikian rupa sehingga panjang sisinya a b dan sisi miringnya c adalah bilangan bulat coprime Karena a dan b tidak genap sebaliknya a b dan c tidak akan menjadi coprime seseorang dapat menukarnya dengan memiliki a bahkan dan parameterisasi kemudian a 2 m n b m 2 n 2 c m 2 n 2 displaystyle a 2mn b m 2 n 2 c m 2 n 2 nbsp dimana parameternya m dan n adalah bilangan bulat coprime positif yang tidak keduanya ganjil Dengan mengalikan a b dan c dengan bilangan bulat positif yang berubah ubah seseorang mendapatkan parametrization dari semua segitiga siku siku yang ketiga sisinya memiliki panjang bilangan bulat Implisitisasi suntingContoh dalam dua dimensi suntingContoh dalam tiga dimensi sunting source source source source source source source source source Heliks Parametrik animasi Helix sunting nbsp Heliks parametrik Persamaan parametrik cocok untuk menggambarkan kurva dalam ruang berdimensi lebih tinggi Sebagai contoh x a cos t y a sin t z b t displaystyle begin aligned x amp a cos t y amp a sin t z amp bt end aligned nbsp mendeskripsikan kurva tiga dimensi heliks dengan jari jari a dan naik 2pb unit per putaran Persamaan di bidang identik dengan persamaan lingkaran Ekspresi seperti di atas biasanya ditulis sebagai r t x t y t z t a cos t a sin t b t displaystyle mathbf r t x t y t z t a cos t a sin t bt nbsp dimana r adalah vektor tiga dimensi Permukaan parametrik sunting Artikel utama Permukaan parametrik Sebuah torus dengan radius mayor R dan minor radius r dapat didefinisikan secara parametrik sebagai x cos t R r cos u y sin t R r cos u z r sin u displaystyle begin aligned x amp cos t left R r cos u right y amp sin t left R r cos u right z amp r sin u end aligned nbsp dimana dua parameter t dan u keduanya bervariasi antara 0 dan 2p nbsp R 2 r 1 2 Karena u bervariasi dari 0 hingga 2p titik di permukaan bergerak mengelilingi lingkaran pendek melewati lubang di torus Karena t bervariasi dari 0 hingga 2p titik di permukaan bergerak membentuk lingkaran panjang mengelilingi lubang di torus Contoh dengan vektor suntingPersamaan parametrik garis yang melewati titik x 0 y 0 z 0 displaystyle left x 0 y 0 z 0 right nbsp dan sejajar dengan vektor a i b j c k displaystyle a vec i b vec j c vec k nbsp is 7 x x 0 a t y y 0 b t z z 0 c t displaystyle begin aligned x amp x 0 a cdot t y amp y 0 b cdot t z amp z 0 c cdot t end aligned nbsp Lihat pula suntingMelengkung Estimasi parametrik Vektor posisi Fungsi bernilai vektor Parametriisasi menurut panjang busur Turunan parametrikCatatan sunting a b c Weisstein Eric W Parametric Equations MathWorld Thomas George B Finney Ross L 1979 Calculus and Analytic Geometry edisi ke fifth Addison Wesley hlm 91 Nykamp Duane Plane parametrization example mathinsight org Diakses tanggal 2017 04 14 Spitzbart Abraham 1975 Kalkulus dengan Geometri Analitik nbsp Gleview IL Scott Foresman and Company ISBN 0 673 07907 4 Diakses tanggal Agustus 30 2015 Stewart James 2003 Calculus edisi ke 5th Belmont CA Thomson Learning Inc hlm 687 689 ISBN 0 534 39339 X Shah Jami J Martti Mantyla 1995 Parametric and feature based CAD CAM concepts techniques and applications New York NY John Wiley amp Sons Inc hlm 29 31 ISBN 0 471 00214 3 Kalkulus Tunggal dan Multivariabel John Wiley 2012 10 29 hlm 919 ISBN 9780470888612 OCLC 828768012 Pranala luar suntingGraphing Software di Curlie dari DMOZ Web application to draw parametric curves on the plane Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Persamaan parametrik amp oldid 25154318