www.wikidata.id-id.nina.az

Matriks idempoten Dalam aljabar linear matriks idempoten adalah sebuah matriks yang tidak berubah nilainya ketika dikali

Matriks idempoten

Dalam aljabar linear, matriks idempoten adalah sebuah matriks yang tidak berubah nilainya ketika dikalikan dengan dirinya sendiri. Dengan kata lain, matriks dikatakan idempoten jika dan hanya jika . Agar hasil perkalian terdefinisi, harus berupa matriks persegi. Matriks idempoten dapat dipandang sebagai unsur idempoten pada sebuah gelanggang matriks.

Contoh sunting

Contoh dari matriks idempoten ukuran adalah:

Contoh dari matriks idempoten ukuran adalah:

Matriks riil ukuran 2 × 2 sunting

Jika sebuah matriks riil idempoten , maka entri-entrinya memiliki hubungan berikut:

  • mensyaratkan sehingga atau
  • mensyaratkan sehingga atau

Dengan demikian, syarat perlu bagi matriks 2 × 2 dikatakan idempoten adalah berupa matriks diagonal atau terasnya bernilai 1. Untuk matriks diagonal idempoten, nilai dan harus bernilai 1 atau bernilai 0.

Jika , matriks akan idempoten ketika . Persamaan kuadrat tersebut dapat diubah bentuknya menjadi

atau ,

yakni persamaan lingkaran dengan titik pusat (1/2, 0) dan radius 1/2. Menuliskan solusi dalam bentuk derajat θ, matriks

bersifat idempoten. Namun, pada matriks di atas bukanlah syarat perlu: setiap matriks

dengan adalah matriks idempoten.

Sifat sunting

Singularitas dan regularitas sunting

Satu-satunya matriks idempoten yang tidak singular adalah matriks identitas. Hal ini dapat terlihat dari menuliskan persamaan ; dengan mengasumsikan memiliki peringkat penuh (tidak singular), dan mengalikan kedua ruas dengan , akan didapatkan bentuk . Hal ini juga mengartikan bahwa matriks idempoten yang bukan matriks identitas, memiliki jumlah baris (dan jumlah kolom) yang saling bebas linear lebih sedikit daripada total jumlah baris (dan kolom) pada matriks.

Ketika matriks identitas dikurangi dengan matriks idempoten, hasilnya juga berupa matriks idempoten, karena

Jika sebuah matriks idempoten, maka untuk setiap bilangan bulat positif akan berlaku . Hal ini dapat dibuktikan dengan menggunakan induksi matematika: Jelas hal ini berlaku untuk , karena . Anggap bahwa . Selanjutnya dapat dituliskan sebagai , karena idempoten. Berdasarkan prinsip induksi, pernyataan terbukti.

Nilai eigen sunting

Matriks idempoten selalu dapat didiagonalkan dan nilai eigennya selalu bernilai 0 atau 1.

Teras sunting

Nilai teras dari sebuah matriks idempoten — yakni jumlah semua elemen pada diagonal utamanya — sama dengan nilai peringkat dari matriks dan selalu berupa bilangan bulat. Hal ini memberikan cara mudah untuk menghitung nilai peringkat, atau sebagai cara alternatif menghitung teras dari matriks yang entri-entrinya tidak diketahui secara pasti. Dalam statistika, sebagai contoh, hal tersebut dipakai dalam menentukan derajat bias ketika menggunakan variansi sampel sebagai estimator variansi populasi.

Aplikasi sunting

Matriks idempoten sering muncul dalam analisis regresi dan ekonometrika. Sebagai contoh, dalam ordinary least squares, permasalahan regresi adalah mencari vektor koefisien sehingga dapat meminimunkan kuadrat residu (prediksi yang salah). Permasalahan ini dapat ditulis dalam bentuk matriks,

dengan adalah vektor dari variabel terikat hasil observasi, dan adalah sebuah matriks dengan setiap kolomnya adalah variabel-variabel bebas dalam observasi. Estimator untuk vektor adalah

dengan simbol menunjukkan operasi transpos; vektor residu dari observasi adalah

Dalam persamaan ini, baik matriks dan adalah matriks idempoten sekaligus matriks simetris, yang dapat digunakan untuk menyederhanakan perhitungan jumlah kuadrat residu:

Sifat idempoten dari juga dipakai untuk menyederhanakan perhitungan lainnya, contohnya dalam menentukan variansi dari estimator .

Referensi sunting

  1. Chiang, Alpha C. (1984). Fundamental Methods of Mathematical Economics (edisi ke-3rd). New York: McGraw–Hill. hlm. 80. ISBN 0070108137. 
  2. ^ Greene, William H. (2003). Econometric Analysis (edisi ke-5th). Upper Saddle River, NJ: Prentice–Hall. hlm. 808–809. ISBN 0130661899. 
  3. Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1990). Matrix analysis. Cambridge University Press. hlm. 148. ISBN 0521386322. every idempotent matrix is diagonalizable 
wikipedia, wiki, buku, buku, perpustakaan, artikel, baca, unduh, gratis, unduh gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, gambar, musik, lagu, film, buku, permainan, permainan.
Tanggal penerbitan:
Dalam aljabar linear matriks idempoten adalah sebuah matriks yang tidak berubah nilainya ketika dikalikan dengan dirinya sendiri 1 2 Dengan kata lain matriks A displaystyle A dikatakan idempoten jika dan hanya jika A 2 A displaystyle A 2 A Agar hasil perkalian A 2 displaystyle A 2 terdefinisi A displaystyle A harus berupa matriks persegi Matriks idempoten dapat dipandang sebagai unsur idempoten pada sebuah gelanggang matriks Daftar isi 1 Contoh 2 Matriks riil ukuran 2 2 3 Sifat 3 1 Singularitas dan regularitas 3 2 Nilai eigen 3 3 Teras 4 Aplikasi 5 ReferensiContoh suntingContoh dari matriks idempoten ukuran 2 2 displaystyle 2 times 2 nbsp adalah 1 0 0 1 3 6 1 2 displaystyle begin bmatrix 1 amp 0 0 amp 1 end bmatrix qquad begin bmatrix 3 amp 6 1 amp 2 end bmatrix nbsp Contoh dari matriks idempoten ukuran 3 3 displaystyle 3 times 3 nbsp adalah 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 2 4 1 3 4 1 2 3 displaystyle begin bmatrix 1 amp 0 amp 0 0 amp 1 amp 0 0 amp 0 amp 1 end bmatrix qquad begin bmatrix 2 amp 2 amp 4 1 amp 3 amp 4 1 amp 2 amp 3 end bmatrix nbsp Matriks riil ukuran 2 2 suntingJika sebuah matriks riil idempoten a b c d displaystyle begin pmatrix a amp b c amp d end pmatrix nbsp maka entri entrinya memiliki hubungan berikut a a 2 b c displaystyle a a 2 bc nbsp b a b b d displaystyle b ab bd nbsp mensyaratkan b 1 a d 0 displaystyle b 1 a d 0 nbsp sehingga b 0 displaystyle b 0 nbsp atau d 1 a displaystyle d 1 a nbsp c c a c d displaystyle c ca cd nbsp mensyaratkan c 1 a d 0 displaystyle c 1 a d 0 nbsp sehingga c 0 displaystyle c 0 nbsp atau d 1 a displaystyle d 1 a nbsp d b c d 2 displaystyle d bc d 2 nbsp Dengan demikian syarat perlu bagi matriks 2 2 dikatakan idempoten adalah berupa matriks diagonal atau terasnya bernilai 1 Untuk matriks diagonal idempoten nilai a displaystyle a nbsp dan d displaystyle d nbsp harus bernilai 1 atau bernilai 0 Jika b c displaystyle b c nbsp matriks a b b 1 a displaystyle begin pmatrix a amp b b amp 1 a end pmatrix nbsp akan idempoten ketika a 2 b 2 a displaystyle a 2 b 2 a nbsp Persamaan kuadrat tersebut dapat diubah bentuknya menjadia 2 a b 2 0 displaystyle a 2 a b 2 0 nbsp atau a 1 2 2 b 2 1 4 displaystyle left a frac 1 2 right 2 b 2 frac 1 4 nbsp yakni persamaan lingkaran dengan titik pusat 1 2 0 dan radius 1 2 Menuliskan solusi dalam bentuk derajat 8 matriksA 1 2 1 cos 8 sin 8 sin 8 1 cos 8 displaystyle A frac 1 2 begin pmatrix 1 cos theta amp sin theta sin theta amp 1 cos theta end pmatrix nbsp bersifat idempoten Namun b c displaystyle b c nbsp pada matriks di atas bukanlah syarat perlu setiap matriks a b c 1 a displaystyle begin pmatrix a amp b c amp 1 a end pmatrix nbsp dengan a 2 b c a displaystyle a 2 bc a nbsp adalah matriks idempoten Sifat suntingSingularitas dan regularitas sunting Satu satunya matriks idempoten yang tidak singular adalah matriks identitas Hal ini dapat terlihat dari menuliskan persamaan A 2 A displaystyle A 2 A nbsp dengan mengasumsikan A displaystyle A nbsp memiliki peringkat penuh tidak singular dan mengalikan kedua ruas dengan A 1 displaystyle A 1 nbsp akan didapatkan bentuk A I A A 1 A 2 A 1 A I displaystyle A IA A 1 A 2 A 1 A I nbsp Hal ini juga mengartikan bahwa matriks idempoten yang bukan matriks identitas memiliki jumlah baris dan jumlah kolom yang saling bebas linear lebih sedikit daripada total jumlah baris dan kolom pada matriks Ketika matriks identitas dikurangi dengan matriks idempoten hasilnya juga berupa matriks idempoten karena I A I A I A A A 2 I A A A I A displaystyle I A I A I A A A 2 I A A A I A nbsp Jika sebuah matriks A displaystyle A nbsp idempoten maka untuk setiap bilangan bulat positif n displaystyle n nbsp akan berlaku A n A displaystyle A n A nbsp Hal ini dapat dibuktikan dengan menggunakan induksi matematika Jelas hal ini berlaku untuk n 1 displaystyle n 1 nbsp karena A 1 A displaystyle A 1 A nbsp Anggap bahwa A k 1 A displaystyle A k 1 A nbsp Selanjutnya A k displaystyle A k nbsp dapat dituliskan sebagai A k A k 1 A A A A displaystyle A k A k 1 A AA A nbsp karena A displaystyle A nbsp idempoten Berdasarkan prinsip induksi pernyataan terbukti Nilai eigen sunting Matriks idempoten selalu dapat didiagonalkan dan nilai eigennya selalu bernilai 0 atau 1 3 Teras sunting Nilai teras dari sebuah matriks idempoten yakni jumlah semua elemen pada diagonal utamanya sama dengan nilai peringkat dari matriks dan selalu berupa bilangan bulat Hal ini memberikan cara mudah untuk menghitung nilai peringkat atau sebagai cara alternatif menghitung teras dari matriks yang entri entrinya tidak diketahui secara pasti Dalam statistika sebagai contoh hal tersebut dipakai dalam menentukan derajat bias ketika menggunakan variansi sampel sebagai estimator variansi populasi Aplikasi suntingMatriks idempoten sering muncul dalam analisis regresi dan ekonometrika Sebagai contoh dalam ordinary least squares permasalahan regresi adalah mencari vektor koefisien b displaystyle beta nbsp sehingga dapat meminimunkan kuadrat residu e i displaystyle e i nbsp prediksi yang salah Permasalahan ini dapat ditulis dalam bentuk matriks Minimumkan y X b T y X b displaystyle y X beta textsf T y X beta nbsp dengan y displaystyle y nbsp adalah vektor dari variabel terikat hasil observasi dan X displaystyle X nbsp adalah sebuah matriks dengan setiap kolomnya adalah variabel variabel bebas dalam observasi Estimator untuk vektor b displaystyle beta nbsp adalah b X T X 1 X T y displaystyle hat beta left X textsf T X right 1 X textsf T y nbsp dengan simbol T displaystyle textsf T nbsp menunjukkan operasi transpos vektor residu dari observasi adalah 2 e y X b y X X T X 1 X T y I X X T X 1 X T y M y displaystyle hat e y X hat beta y X left X textsf T X right 1 X textsf T y left I X left X textsf T X right 1 X textsf T right y My nbsp Dalam persamaan ini baik matriks M displaystyle M nbsp dan X X T X 1 X T displaystyle X left X textsf T X right 1 X textsf T nbsp adalah matriks idempoten sekaligus matriks simetris yang dapat digunakan untuk menyederhanakan perhitungan jumlah kuadrat residu e T e M y T M y y T M T M y y T M M y y T M y displaystyle hat e textsf T hat e My textsf T My y textsf T M textsf T My y textsf T MMy y textsf T My nbsp Sifat idempoten dari M displaystyle M nbsp juga dipakai untuk menyederhanakan perhitungan lainnya contohnya dalam menentukan variansi dari estimator b displaystyle hat beta nbsp Referensi sunting Chiang Alpha C 1984 Fundamental Methods of Mathematical Economics edisi ke 3rd New York McGraw Hill hlm 80 ISBN 0070108137 a b Greene William H 2003 Econometric Analysis edisi ke 5th Upper Saddle River NJ Prentice Hall hlm 808 809 ISBN 0130661899 Horn Roger A Johnson Charles R 1990 Matrix analysis Cambridge University Press hlm 148 ISBN 0521386322 every idempotent matrix is diagonalizable Parameter url status yang tidak diketahui akan diabaikan bantuan Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Matriks idempoten amp oldid 21014713