Dalam matematika, elemen penyerap (atau elemen pemusnah) adalah tipe khusus dari elemen himpunan dengan operasi biner pada himpunan. Hasil penggabungan elemen penyerap dengan elemen himpunan adalah elemen penyerap sendiri. Dalam teori semigrup, elemen penyerap disebut elemen nol karena tidak ada risiko kebingungan dengan pengertian lain nol, dengan pengecualian penting: di bawah notasi aditif nol, secara alami, menunjukkan elemen netral sebuah monoid. Dalam artikel ini, "elemen nol" dan "elemen penyerap" sama artinya.
Definisi sunting
Secara resmi, maka (S, •) adalah himpunan S dengan operasi biner tertutup • di atas (dikenal sebagai magma). Elemen nol adalah elemen z sehingga untuk semua s dalam S, z • s = s • z = z. Perbaikan adalah pengertian dari kiri nol, dimana z • s = z, dan nol kanan, dimana s • z = z.
Elemen penyerap sangat penting untuk semigrup, terutama semigrup perkalian dari semigelanggang. Dalam kasus semigelanggang dengan 0, definisi elemen penyerap terkadang dilonggarkan sehingga tidak diperlukan untuk menyerap 0; jika tidak, 0 akan menjadi satu-satunya elemen penyerap.
Sifat sunting
- Jika magma menggunakan nol kiri z dan nol kanan z′, maka magma menggunakan nol, karena z = z • z′ = z′.
- Magma menggunakan lebih dari satu elemen nol.
Contoh sunting
- Contoh paling terkenal dari elemen penyerap adalah aljabar elementer, dimana bilangan dikalikan dengan nol sama dengan nol. Nol dengan demikian merupakan elemen penyerap.
- Nol dari setiap gelanggang merupakan elemen penyerap. Untuk elemen r dari sebuah gelanggang R, r=r(1+0)=r+r0, so r0=0, karena nol adalah elemen unik a dimana r+a=r untuk setiap r dalam gelanggang R.
- Titik mengambang aritmetika didefinisikan dalam standar IEEE-754 mengandung nilai khusus yang disebut Not-a-Number ("NaN"). Elemen penyerap untuk setiap operasi; yaitu, x + NaN = NaN + x = NaN, x − NaN = NaN − x = NaN, dll.
- Himpunan relasi biner di atas himpunan X, dengan komposisi relasi membentuk monoid dengan nol, dimana elemen nol adalah relasi kosong (himpunan kosong).
- Interval tertutup H = [0, 1] dengan x • y = min(x, y) sebagai monoid dengan nol, dan elemen nol adalah 0.
- Contoh lainnya:
| Domain | Operasi | Penyerap | ||
|---|---|---|---|---|
| Bilangan riil | ⋅ | Perkalian | 0 | |
| Bilangan bulat | Pembagi persekutuan terbesar | 1 | ||
| Persegi matriks n-oleh-n | Perkalian matriks | lMatriks semua nol | ||
| Bilangan riil ekstensi | Minimum/infimum | −∞ | ||
| Maximum/supremum | +∞ | |||
| Himpunan | ∩ | Persimpangan | ∅ | Himpunan kosong |
| Himpunan bagian dari himpunan M | ∪ | Union | M | |
| Logika Boolean | ∧ | Logika dan | ⊥ | Falsiti |
| ∨ | Logika atau | ⊤ | Truth |
Lihat pula sunting
- Idempoten (teori gelanggang) – elemen x dari gelanggang x2 = x
- Elemen identitas
- Semigrup nol
Catatan sunting
- J.M. Howie, pp. 2–3
- ^ M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev pp. 14–15
- J.S. Golan p. 67
Referensi sunting
- Howie, John M. (1995). Fundamentals of Semigroup Theory. Clarendon Press. ISBN 0-19-851194-9.
- M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7.
- Golan, Jonathan S. (1999). Semirings and Their Applications. Springer. ISBN 0-7923-5786-8.
Pranala luar sunting
- Elemen penyerap di PlanetMath