Dalam matematika, analisis kompleks (bahasa Inggris: complex analysis), merupakan cabang analisis matematis yang membahas fungsi dari bilangan kompleks (yakni mengkaji tidak hanya satu bilangan, melainkan dua bilangan, yakni bilangan riil dan bilangan imajiner).
Analisis kompleks biasanya dikenal sebagai teori fungsi variabel kompleks atau teori fungsi peubah kompleks.
Konsep analisis kompleks Sunting
Konsep analisis kompleks ini hampir mirip dengan konsep analisis real. Berikut ini merupakan konsep-konsep analisis kompleks, diantaranya
Bilangan kompleks Sunting
Dalam matematika, khususnya analisis kompleks, bilangan kompleks merupakan himpunan bilangan yang terdiri dua himpunan bilangan, yakni bilangan riil dan imajiner. Mengenai definisi bilangan kompleks, kita misalkan adalah bilangan kompleks, sehingga dapat didefinisikan
serta himpunannya didefinisikan sebagai
dimana adalah bagian riil, dinotasikan dan adalah bagian imajiner, dinotasikan , atau dan .
Fungsi elementer Sunting
Pada konsep ini akan diperkenalkan fungsi elementer, yakni fungsi suku banyak, fungsi rasional, fungsi eksponensial, fungsi trigonometri, fungsi hiperbolik, fungsi logaritma (beserta inversnya), dan fungsi aljabar dan transenden.
Fungsi suku banyak Sunting
Dalam analisis kompleks, fungsi suku banyak didefinisikan sebagai
dimana , adalah konstanta kompleks dan adalah bilangan bulat positif yang dinamakan derajat suku polinom . Mengingat kembali, fungsi rasional adalah fungsi yang mana setiap pembilang dan penyebutnya berupa fungsi polinomial. Misalkan dan adalah fungsi polinomial dengan variabel kompleks sehingga
adalah fungsi rasional bilangan kompleks, dengan kasus khusus diperoleh
adalah suatu transformasi linear atau dinamakan transformasi bilinear.
Fungsi eksponensial Sunting
Dalam cabang ini, eksponensial dapat memperluas deret kuasa fungsi eksponensial dari bilangan riil ke bilangan kompleks. Untuk suatu bilangan riil ,
Karena dan (lihat disini mengenai hubungan fungsi trigonometri dengan deret), maka
Hubungan fungsi eksponensial dengan bilangan kompleks ini dapat kita sebut sebagai rumus Euler.
Fungsi trigonometri dan fungsi hiperbolik beserta inversnya Sunting
Mengenai fungsi trigonometri cukup kita turunan rumus Euler, sehingga didapati
Sifat-sifat mengenai fungsi trigonometri dalam bilangan riil berlaku juga dalam bilangan kompleks. Karena fungsi trigonometri dan fungsi hiperbolik (beserta inversnya) berhubungan, maka berlaku juga dalam bilangan kompleks.
Fungsi logaritma Sunting
Dalam konsep ini, fungsi ini berupa generalisasi logaritma alami terhadap bilangan kompleks bukan nol. Misalkan , dimana dan persamaan ini ekuivalen dengan
Dengan substitusi, maka diperoleh
dimana .
Limit dan kekontinuan Sunting
Suatu fungsi terdefinisi atau mempunyai limit untuk mendekati dituliskan sebagai
Definisi limit dapat kita agak-agihkan lebih lanjut menggunakan definsi limit (ε,δ).
Teorema — Jika nilai mendekati untuk setiap mendekati , maka untuk setiap bilangan real positif sangat kecil , dapat ditemukan bilangan real positif sangat kecil yang bergantung pada sedemikian rupa sehingga untuk setiap di dalam lengkungan kecuali pada , diperoleh . Secara simbolik dituliskan sebagai berikut.
Turunan Sunting
Turunan dalam analisis kompleks mirip dengan turunan dalam analisis riil. Namun, karena halaman ini membahas tentang analisis kompleks, kita akan menganggap adalah bilangan kompleks. Menurut definisi, jika diturunkan di , maka turunan dirumuskan
Integral Sunting
Dalam analisis kompleks, integral mirip dengan analisis riil (termasuk juga dengan kalkulus), yakni cabang dari analisis matematis yang menyelidiki fungsi dari bilangan kompleks. Dengan memisalkan adalah fungsi kompleks dengan variabel riil dimana sehingga dan kontinu di interval . Kita dapat menuliskannya sebagai
Integral dalam cabang ini dibagi menjadi:
- Integral lintasan, yaitu suatu integral yang didefinisikan dalam bentuk sepanjang lintasan dari hingga ke . Ini dapat ditulis sebagai
atau .
- Integral kontur, metode menghitung integral tertentu di sepanjang lintasan dalam bidang kompleks.
- Teorema integral Cauchy atau dikenal teorema Cauchy–Goursat adalah pernyataan penting tentang integral garis terhadap fungsi holomorfik dalam bidang kompleks. Teorema ini berbunyi
Bila analitik di dalam dan pada kontur tertutup sederhana arah positif dan bila suatu titik di dalam maka
jika dan hanya jika
Residu Sunting
Residu dalam analisis kompleks ialah bilangan kompleks yang sebanding dengan integral kontur dari fungsi meromorfik di sepanjang lintasan yang melintasi salah satu singularitasnya. Biasanya dilambangkan sebagai atau . Misal adalah fungsi yang analitik di titik , yang dapat diekspansi ke dalam deret Laurent yang berbentuk
Pada koefisien , terdapat pada suku deret Laurent yang berbentuk dinamakan residu pada . Ini ditulis dengan
Teorema residu Cauchy Sunting
Teorema residu (kadangkala disebut teorema residu Cauchy) merupakan teorema yang cukup penting untuk menghitung integral garis fungsi analitik terhadap kurva tertutup dan kerap kala dipakai untuk menghitung integral riil dan deret takhingga juga. Diberikan adalah lintasan tertutup sederhana yang berorientasi positif, dengan eksepsi pada berhingga banyaknya titik yang masing-masing merupakan singularitas terasing . Maka,
atau kita tuliskan sebagai
Pemetaan konformal Sunting
Pemetaan konformal (terkadang disebut juga sebagai transformasi konformal atau pemetaan bihomorfik) merupakan suatu pemetaan yang mempertahankan besar dan arah sudut. Pemetaan ini juga didefinisikan sebagai suatu teknik dalam matematika (terutama analisis kompleks) yang digunakan untuk mentransformasikan suatu permasalahan matematika beserta penyelesaiannya ke bentuk lain.
Dengan meninjau diberikan suatu pemetaan, , beserta sebarang dua kurva , pada bidang berpotongan pada titik dipetakan berturut-turut sebagai kurva dan pada bidang yang berpotongan di antara kurva dan , maka pemetaan konformal pada .
Dimensi fraktal dalam bilangan kompleks Sunting
Dimensi fraktal merupakan dimensi dengan rasio yang memberikan kompleksitas indeks statistik dengan membandingkan bagaimana detail dalam pola fraktal berubah skalanya pada saat diukur. Namun, halaman ini membahas dimensi fraktal dalam bilangan kompleks, salah satu himpunan yang terkenal adalah himpunan Julia dan himpunan Mandelbrot.
Himpunan Julia Sunting
Himpunan Julia, himpunan yang pertama kali diselidiki matematikawan Prancis, Gaston Julia, merupakan salah satu contoh himpunan fraktal yang didefinisikan pada bilangan kompleks dan dibangun dari iterasi-iterasi fungsi kompleks. Salah satu fungsi yang sederhana yang membangun himpunan Julia adalah
Dalam dinamika kompleks, himpunan Julia sangat terkait erat dengan himpunan Mandelbrot.
Himpunan Mandelbrot Sunting
Himpunan Mandelbrot, dinamai dari Benoît Mandelbrot (matematikawan berkebangsaan Prancis dan Amerika Serikat) merupakan kumpulan titik-titik pada bidang kompleks yang dibangun dengan mengiterasikan fungsi dengan nilai awal bernilai .
Hubungan analisis kompleks dengan cabang lainnya Sunting
Analisis kompleks berguna terhadap cabang matematika lainnya, diantaranya: geometri aljabar, hubungan dimana metode transendental ke geometri aljabar, bersama dengan lebih banyak aspek geometri analisis kompleks, yaitu geometri kompleks; teori bilangan, salah satunya hipotesis Riemann, berasal dari Masalah Milenium. Masalah ini diperluas ke seluruh bidang kompleks melalui kontinuasi analitik.; dan kombinatorik analitik, dimana cabang ini dapat diterapkan pada ekspansi binomial pada bilangan kompleks, seperti deret Taylor, deret Laurent, dan teorema binomial.
Namun, hubungan analisis kompleks masih berkaitan dengan cabang fisika, di antaranya: hidrodinamika atau dinamika fluida, dimana bilangan kompleks dapat diterapkan ke dalam kasus penghitungan potensial untuk aliran inkompresibel dimensi 2.; termodinamika, dimana hipotesis Riemann berhubungan dengan mekanika statistik, lihat gas Riemann bebas (en); dan mekanika kuantum, bilangan kompleks dapat diterapkan pada dualitas gelombang partikel, kontroversi kucing Schrödinger, studi kasus spin dan dadu, percobaan celah ganda (berupa contoh pedagogik), dan lain sebagainya.
Lihat pula Sunting
- Analisis real atau analisis riil, cabang yang membahas analisis mengenai bilangan riil.
- Daftar topik analisis kompleks, meliputi topik yang berkenaan dengan analisis kompleks.
Referensi Sunting
- Fitri Aryani (2014). Sifat Subkelas Fungsi Univalen, hlm. 1
- ^ Ahmad Lubab M.Si., Fungsi kompleks, Buku Perkuliahan Program S-1 Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Tarbiyah IAIN Sunan Ampel Surabaya. hlm. 6
- ^ Endang Dedy, M.Si, Encum Sumianti, M.Si, Fungsi Variabel Kompleks. PT Bumi Aksara, hlm. 1. ISBN 978-602-444-713-7
- ^ M.Pd., Dr. Kadir (Februari 2016). Fungsi Peubah Kompleks (PDF). UIN JAKARTA PRESS. hlm. 61. ISBN 978-602-346-028-1.
- Ahlfors, Lars V. Complex Analysis, An Introduction to the Theory of Analytic Functions of One Complex Variable, Third Edition (PDF). hlm. 30.
- M. Pd., Dr. Kadir (Februari 2016). Fungsi Peubah Kompleks. UIN JAKARTA PRESS. hlm. 62. ISBN 978-602-346-028-1.
- ^ Howie, John. M. (January 2003). Complex Analysis. hlm. 24.
- M.Pd., Dr. Kadir (Februari 2016). Fungsi Peubah Kompleks (PDF). UIN JAKARTA PRESS. hlm. 70. ISBN 978-602-346-028-1.
- M. Pd., Dr. Kadir (Februari 2016). Fungsi Peubah Kompleks (PDF). UIN JAKARTA PRESS. hlm. 77. ISBN 978-602-346-028-1.
- M. Pd., Dr. Kadir (Februari 2016). Fungsi Peubah Kompleks (PDF). UIN JAKARTA PRESS. hlm. 86. ISBN 978-602-346-028-1.
- Ahlfors, Lars V. Complex Analysis, An Introduction to the Theory of Analytic Functions of One Complex Variable, Third Edition. hlm. 46.
- M.Pd., Dr. Kadir (Februari 2016). Fungsi Peubah Kompleks (PDF). UIN JAKARTA PRESS. hlm. 97. ISBN 978-602-346-028-1.
- M.Pd., Dr. Kadir (Februari 2016). Fungsi Peubah Kompleks (PDF). UIN JAKARTA PRESS. hlm. 97. ISBN 978-602-346-028-1.
- M.Pd., Dr. Kadir (Februari 2016). Fungsi Peubah Kompleks (PDF). UIN JAKARTA PRESS. hlm. 116. ISBN 978-602-346-028-1.
- Nurwan, S.Pd. M.Si, 2019, Integral Kompleks, hlm. 1
- Drs. Bainnudin Yani, M.S., M.Pd. Dr. Anwar, Drs. Syahjuzar M.Si, Pengantar Analisis Kompleks, Syiah Kuala Universitas Press, hlm. 127. ISBN 978-602-5679-03-2
- Stalker, John (1998). Complex Analysis: Fundamentals of the Classical Theory of Functions. Springer. hlm. 77. ISBN 0-8176-4038-X.
- Bak, Joseph; Newman, Donald J. (1997). "Chapters 11 & 12". Complex Analysis. Springer. hlm. 130–156. ISBN 0-387-94756-6.
- Krantz, Steven George (1999). "Chapter 2". Handbook of Complex Variables. Springer. ISBN 0-8176-4011-8.
- Dra. Retno Marsitin, M.Pd, Fungsi Kompleks, Yayasan Edelweis, hlm. 122. ISBN 978-602-14916-3-8
- Dian Devita Yohanie, Aplikasi Teori Rsidu Dalam Perhitungan Suatu Integral, hlm. 17.
- Dian Devita Yohanie, Aplikasi Teori Rsidu Dalam Perhitungan Suatu Integral, hlm. 20 (teorema 1).
- Residu dan Pole, hlm. 5.
- H. A. Parhusip, Sulistyono, Pemetaan Konformal Dan Modifikasinya Untuk Suatu Bidang Persegi, hlm. AA-43.
- Yohanes Dimas Nugrahanto Wibowo, Dimensi Hausdorff dari Beberapa Bangun Fraktal 2021-10-23 di Wayback Machine., hlm. 75.
- ^ Titik Murwani, Dimensi Fraktal Himpunan Julia 2021-10-27 di Wayback Machine., hlm. 63.
- Endang Ekowati, Pewarnaan Himpunan Mandelbrot, hlm. 4.
- Hendra Gunawan, Fungsi zeta Riemann & Hipotesis Riemann.
- Siti Ayu Setia Nastiti, Fungsi Pembangkit dari Polinomial Chebyshev Berdasarkan Ekspansi Binomial , hlm. 11.
- Evita Chandra, Aplikasi Bilangan Kompleks pada Dinamika Fluida.
- Hendradi Hardhienata, Tutorial Mekanika Kuantum, (ver.1.1 [16.01.14] Vol. I.