www.wikidata.id-id.nina.az

Teorema binomial Dalam aljabar elementer teorema binomial adalah teorema yang menjelaskan mengenai pengembangan eksponen

Teorema binomial

Dalam aljabar elementer, teorema binomial adalah teorema yang menjelaskan mengenai pengembangan eksponen dari penjumlahan antara dua variabel (binomial). Berdasarkan teorema ini, dimungkinkan untuk mengembangkan eksponen (x + y)n menjadi sebuah penjumlahan dari suku-suku dengan bentuk axbyc, dimana eksponen b dan c adalah bilangan bulat non negatif dengan b + c = n, dan koefisien a dari setiap suku adalah bilangan bulat positif tertentu tergantung pada n dan b. Ketika suatu eksponen adalah nol, faktor yang bereksponen nol tersebut biasanya dihilangkan dari sukunya. Contohnya,

Koefisien binomial dapat dilihat pada segitiga Pascal dimana setiap entri adalah hasil penjumlahan dua angka di atasnya.

Koefisien a pada suku axbyc dikenal sebagai koefisien binomial atau (keduanya memiliki nilai yang sama). Koefisien untuk setiap variasi n dan b dapat disusun membentuk segitiga Pascal. Angka-angka ini juga muncul dalam kombinatorika, dimana menunjukkan banyaknya kombinasi yang berbeda dari unsur b yang dapat dipilih dari suatu himpunan dengan unsur sebanyak n.

Sejarah Sunting

Peristiwa-peristiwa khusus terkait teorema binomial yang diketahui sejak zaman kuno diikhtisarkan berikut ini:

Abad ke-4 SM [[matematikawan Yunani]] Euklides menyebutkan kasus khusus teorema binomial untuk eksponen 2. Ada bukti bahwa teorema binomial untuk kubus telah diketahui pada abad ke-6 di India.

Koefisien binomial, seperti jumlah kombinasi yang menunjukkan banyak cara untuk memilih k objek dari n tanpa penggantian, telah menjadi perhatian orang-orang Hindu kuno. Referensi paling awal yang diketahui mengenai permasalahan kombinasi ini adalah Chandaḥśāstra karya penulis Hindu, Pingala (sekitar 200 SM), yang memuat suatu metode untuk solusinya.:230 Seorang peneliti bernama Halayudha dari abad ke-10 M menjelaskan mengenai metode ini menggunakan yang kini dikenal sebagai segitiga Pascal. Pada abad ke-6 M, matematikawan Hindu mungkin telah mengetahui cara menunjukkannya dalam sebuah persamaan , dan suatu pernyataan yang jelas mengenai aturan ini dapat ditemukan dalam naskah abad ke-12 Lilavati karya Bhaskara.

Teorema binomial yang sama dapat ditemukan pada hasil tulisan matematikawan Persia abad ke-11, Al-Karaji, yang menggambarkan pola segitiga dari koefisien binomial. Ia juga memberikan pembuktian matematika dari teorema binomial dan segitiga dengan menggunakan suatu bentuk sederhana dari induksi matematika. Penyari dan matematikawan Persia Umar Khayyām mungkin telah akrab dengan rumus-rumus dengan pangkat yang lebih tinggi, meskipun banyak karya-karya matematikanya hilang. Ekspansi binomial dengan derajat kecil telah diketahui oleh matematikawan abad ke-13 bernama Yang Hui dan Zhu Shijie. Yang Hui menghubungkan metode itu dengan naskah yang jauh lebih awal berasal dari abad ke-11 tulisan Jia Xian, meskipun tulisan-tulisannya kini juga hilang.:142

Pernyataan teorema Sunting

Berdasarkan teorema binomial, dimungkinkan untuk mengembangkan setiap eksponen dari x + y menjadi suatu penjumlahan dengan bentuk

dimana setiap adalah bilangan bulat positif tertentu yang dikenal sebagai koefisien binomial. Rumus ini dikenal juga sebagai rumus binomial atau identitas binomial. Dengan menggunakan notasi penjumlahan, rumus itu dapat ditulis

Ekspresi akhir mengikuti ekspresi sebelumnya dengan cara menukar letak x dan y dari ekspresi pertama, dan dengan perbandingan keduanya diketahui bahwa urutan koefisien binomial dalam rumus tersebut adalah simetris.

Sebuah varian sederhana dari rumus binomial diperoleh dengan mensubstitusi y dengan 1, sehingga hanya terdapat satu variabel. Dengan bentuk ini, rumus akan menjadi

atau ekuivalen

Contoh Sunting

Segitiga Pascal

Contoh paling dasar teorema binomial adalah rumus untuk x + y kuadrat

Koefisien binomial 1, 2, 1 muncul dalam pengembangan ini sesuai dengan baris ketiga dari segitiga Pascal. Koefisien tingkat yang lebih tinggi dari x + y sesuai dengan baris selanjutnya dari segitiga itu:

Perhatikan bahwa:

  1. Eksponen dari menurun hingga mencapai 0 () dengan nilai awal adalah n (n pada ).
  2. Eksponen dari naik dari 0 () hingga mencapai n (juga n pada ).
  3. Baris ke-n pada segitiga Pascal akan menjadi koefisien binomial yang dikembangkan (perhatikan bahwa puncaknya adalah baris 0).
  4. Untuk setiap baris, jumlah semua unsur (yaitu jumlah dari koefisien) sama dengan .
  5. Untuk setiap baris, banyaknya unsur sama dengan .

Teorema binomial dapat diterapkan ke eksponen dari binomial apapun. Contohnya,

Untuk binomial dalam pengurangan, teorema binomial dapat diterapkan dengan menggunakan rumus (x − y)n = (x + (−y))n. Rumus ini memberikan pengaruh berubahnya tanda pada setiap suku yang jika dikembangkan:

Penjelasan geometris Sunting

Visualisasi ekspansi binomial hingga pangkat 4

Untuk setiap a dan b bernilai positif, teorema binomial dengan n = 2 adalah fakta bukti geometris bahwa sebuah bujur sangkat dengan sisi a + b dapat dipotong menjadi sebuah bujur sangkar dengan sisi a, sebuah bujur sangkar dengan sisi b, dan dua persegi panjang dengan sisi a dan b. Dengan n = 3, teorema binomial menyatakan bahwa sebuah kubus dengan sisi a + b dapat dipotong-potong menjadi sebuah kubus dengan sisi a, sebuah kubus dengan sisi b, tiga buah kotak persegi panjang berdimensi a×a×b, dan tiga buah kotak persegi panjang berdimensi a×b×b.

Dalam kalkulus, gambar ini juga memberikan bukti geometris bahwa turunan jika ditentukan dan dengan menginterpretasi b sebagai suatu perubahan yang sangat kecil (mendekati nol) dalam a, maka gambar ini menunjukkan perubahan yang sangat kecil (mendekati nol) dalam volume sebuah hiperkubus berdimensi n, dengan suku koefisien linearnya (dalam ) adalah wilayah dengan n permukaan, dimensi masing-masing

Dengan menggantinya menjadi suatu turunan melalui suatu kuosien diferensiasi dan memasukkan limit berarti bahwa suku berpangkat lebih tinggi – dan lebih tinggi – sehingga diabaikan, dan menghasilkan rumus yang diinterpretasikan sebagai

Catatan Sunting

  1. ^ Weisstein, Eric W. "Binomial Theorem". Wolfram MathWorld. 
  2. ^ Coolidge, J. L. (1949). "The Story of the Binomial Theorem". The American Mathematical Monthly. 56 (3): 147–157. doi:10.2307/2305028. 
  3. ^ Jean-Claude Martzloff; S.S. Wilson; J. Gernet; J. Dhombres (1987). A history of Chinese mathematics. Springer. 
  4. ^ Biggs, N. L. (1979). "The roots of combinatorics". Historia Math. 6 (2): 109–136. doi:10.1016/0315-0860(79)90074-0. 
  5. ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji", Arsip Sejarah Matematika MacTutor, Universitas St Andrews .
  6. Landau, James A. (1999-05-08). . Archives of Historia Matematica. Diarsipkan dari versi asli (mailing list email) tanggal 2021-02-24. Diakses tanggal 2007-04-13. 
  7. Barth, Nils R. (2004). "Computing Cavalieri's Quadrature Formula by a Symmetry of the n-Cube". The American Mathematical Monthly. Mathematical Association of America. 111 (9): 811–813. doi:10.2307/4145193. ISSN 0002-9890. JSTOR 4145193, salinan penulis, penjelasan dan sumber lebih lanjut 

Referensi Sunting

  • Bag, Amulya Kumar (1966). "Binomial theorem in ancient India". Indian J. History Sci. 1 (1): 68–74. 
  • Barth, N. R. (2004). "Computing Cavalieri's quadrature formula by a symmetry of the n-cube". The American Mathematical Monthly. 111 (9): 811–813. doi:10.2307/4145193. 
  • Graham, Ronald; Knuth, Donald; Patashnik, Oren (1994). "(5) Binomial Coefficients". Concrete Mathematics (edisi ke-2nd). Addison Wesley. hlm. 153–256. ISBN 0-201-55802-5. OCLC 17649857. 
wikipedia, wiki, buku, buku, perpustakaan, artikel, baca, unduh, gratis, unduh gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, gambar, musik, lagu, film, buku, permainan, permainan.
Tanggal penerbitan:
Dalam aljabar elementer teorema binomial adalah teorema yang menjelaskan mengenai pengembangan eksponen dari penjumlahan antara dua variabel binomial Berdasarkan teorema ini dimungkinkan untuk mengembangkan eksponen x y n menjadi sebuah penjumlahan dari suku suku dengan bentuk axbyc dimana eksponen b dan c adalah bilangan bulat non negatif dengan b c n dan koefisien a dari setiap suku adalah bilangan bulat positif tertentu tergantung pada n dan b Ketika suatu eksponen adalah nol faktor yang bereksponen nol tersebut biasanya dihilangkan dari sukunya Contohnya Koefisien binomial dapat dilihat pada segitiga Pascal dimana setiap entri adalah hasil penjumlahan dua angka di atasnya x y 4 x 4 y 0 4 x 3 y 6 x 2 y 2 4 x y 3 x 0 y 4 displaystyle x y 4 x 4 y 0 4x 3 y 6x 2 y 2 4xy 3 x 0 y 4 x y 4 x 4 4 x 3 y 6 x 2 y 2 4 x y 3 y 4 displaystyle x y 4 x 4 4x 3 y 6x 2 y 2 4xy 3 y 4 Koefisien a pada suku axbyc dikenal sebagai koefisien binomial n b displaystyle tbinom n b atau n c displaystyle tbinom n c keduanya memiliki nilai yang sama Koefisien untuk setiap variasi n dan b dapat disusun membentuk segitiga Pascal Angka angka ini juga muncul dalam kombinatorika dimana n b displaystyle tbinom n b menunjukkan banyaknya kombinasi yang berbeda dari unsur b yang dapat dipilih dari suatu himpunan dengan unsur sebanyak n Daftar isi 1 Sejarah 2 Pernyataan teorema 3 Contoh 3 1 Penjelasan geometris 4 Catatan 5 ReferensiSejarah SuntingPeristiwa peristiwa khusus terkait teorema binomial yang diketahui sejak zaman kuno diikhtisarkan berikut ini Abad ke 4 SM matematikawan Yunani Euklides menyebutkan kasus khusus teorema binomial untuk eksponen 2 1 2 Ada bukti bahwa teorema binomial untuk kubus telah diketahui pada abad ke 6 di India 1 2 Koefisien binomial seperti jumlah kombinasi yang menunjukkan banyak cara untuk memilih k objek dari n tanpa penggantian telah menjadi perhatian orang orang Hindu kuno Referensi paling awal yang diketahui mengenai permasalahan kombinasi ini adalah Chandaḥsastra karya penulis Hindu Pingala sekitar 200 SM yang memuat suatu metode untuk solusinya 3 230 Seorang peneliti bernama Halayudha dari abad ke 10 M menjelaskan mengenai metode ini menggunakan yang kini dikenal sebagai segitiga Pascal 3 Pada abad ke 6 M matematikawan Hindu mungkin telah mengetahui cara menunjukkannya dalam sebuah persamaan n n k k displaystyle frac n n k k nbsp 4 dan suatu pernyataan yang jelas mengenai aturan ini dapat ditemukan dalam naskah abad ke 12 Lilavati karya Bhaskara 4 Teorema binomial yang sama dapat ditemukan pada hasil tulisan matematikawan Persia abad ke 11 Al Karaji yang menggambarkan pola segitiga dari koefisien binomial 5 Ia juga memberikan pembuktian matematika dari teorema binomial dan segitiga dengan menggunakan suatu bentuk sederhana dari induksi matematika 5 Penyari dan matematikawan Persia Umar Khayyam mungkin telah akrab dengan rumus rumus dengan pangkat yang lebih tinggi meskipun banyak karya karya matematikanya hilang 2 Ekspansi binomial dengan derajat kecil telah diketahui oleh matematikawan abad ke 13 bernama Yang Hui 6 dan Zhu Shijie 2 Yang Hui menghubungkan metode itu dengan naskah yang jauh lebih awal berasal dari abad ke 11 tulisan Jia Xian meskipun tulisan tulisannya kini juga hilang 3 142Pernyataan teorema SuntingBerdasarkan teorema binomial dimungkinkan untuk mengembangkan setiap eksponen dari x y menjadi suatu penjumlahan dengan bentuk x y n n 0 x n y 0 n 1 x n 1 y 1 n 2 x n 2 y 2 n n 1 x 1 y n 1 n n x 0 y n displaystyle x y n n choose 0 x n y 0 n choose 1 x n 1 y 1 n choose 2 x n 2 y 2 cdots n choose n 1 x 1 y n 1 n choose n x 0 y n nbsp dimana setiap n k displaystyle tbinom n k nbsp adalah bilangan bulat positif tertentu yang dikenal sebagai koefisien binomial Rumus ini dikenal juga sebagai rumus binomial atau identitas binomial Dengan menggunakan notasi penjumlahan rumus itu dapat ditulis x y n k 0 n n k x n k y k k 0 n n k x k y n k displaystyle x y n sum k 0 n n choose k x n k y k sum k 0 n n choose k x k y n k nbsp Ekspresi akhir mengikuti ekspresi sebelumnya dengan cara menukar letak x dan y dari ekspresi pertama dan dengan perbandingan keduanya diketahui bahwa urutan koefisien binomial dalam rumus tersebut adalah simetris Sebuah varian sederhana dari rumus binomial diperoleh dengan mensubstitusi y dengan 1 sehingga hanya terdapat satu variabel Dengan bentuk ini rumus akan menjadi 1 x n n 0 x 0 n 1 x 1 n 2 x 2 n n 1 x n 1 n n x n displaystyle 1 x n n choose 0 x 0 n choose 1 x 1 n choose 2 x 2 cdots n choose n 1 x n 1 n choose n x n nbsp atau ekuivalen 1 x n k 0 n n k x k displaystyle 1 x n sum k 0 n n choose k x k nbsp Contoh Sunting nbsp Segitiga PascalContoh paling dasar teorema binomial adalah rumus untuk x y kuadrat x y 2 x 2 2 x y y 2 displaystyle x y 2 x 2 2xy y 2 nbsp Koefisien binomial 1 2 1 muncul dalam pengembangan ini sesuai dengan baris ketiga dari segitiga Pascal Koefisien tingkat yang lebih tinggi dari x y sesuai dengan baris selanjutnya dari segitiga itu x y 3 x 3 3 x 2 y 3 x y 2 y 3 x y 4 x 4 4 x 3 y 6 x 2 y 2 4 x y 3 y 4 x y 5 x 5 5 x 4 y 10 x 3 y 2 10 x 2 y 3 5 x y 4 y 5 x y 6 x 6 6 x 5 y 15 x 4 y 2 20 x 3 y 3 15 x 2 y 4 6 x y 5 y 6 x y 7 x 7 7 x 6 y 21 x 5 y 2 35 x 4 y 3 35 x 3 y 4 21 x 2 y 5 7 x y 6 y 7 displaystyle begin aligned 8pt x y 3 amp x 3 3x 2 y 3xy 2 y 3 8pt x y 4 amp x 4 4x 3 y 6x 2 y 2 4xy 3 y 4 8pt x y 5 amp x 5 5x 4 y 10x 3 y 2 10x 2 y 3 5xy 4 y 5 8pt x y 6 amp x 6 6x 5 y 15x 4 y 2 20x 3 y 3 15x 2 y 4 6xy 5 y 6 8pt x y 7 amp x 7 7x 6 y 21x 5 y 2 35x 4 y 3 35x 3 y 4 21x 2 y 5 7xy 6 y 7 end aligned nbsp Perhatikan bahwa Eksponen dari x displaystyle x nbsp menurun hingga mencapai 0 x 0 1 displaystyle x 0 1 nbsp dengan nilai awal adalah n n pada x y n displaystyle x y n nbsp Eksponen dari y displaystyle y nbsp naik dari 0 y 0 1 displaystyle y 0 1 nbsp hingga mencapai n juga n pada x y n displaystyle x y n nbsp Baris ke n pada segitiga Pascal akan menjadi koefisien binomial yang dikembangkan perhatikan bahwa puncaknya adalah baris 0 Untuk setiap baris jumlah semua unsur yaitu jumlah dari koefisien sama dengan 2 n displaystyle 2 n nbsp Untuk setiap baris banyaknya unsur sama dengan n 1 displaystyle n 1 nbsp Teorema binomial dapat diterapkan ke eksponen dari binomial apapun Contohnya x 4 3 x 3 3 x 2 4 3 x 4 2 4 3 x 3 12 x 2 48 x 64 displaystyle begin aligned x 4 3 amp x 3 3x 2 4 3x 4 2 4 3 amp x 3 12x 2 48x 64 end aligned nbsp Untuk binomial dalam pengurangan teorema binomial dapat diterapkan dengan menggunakan rumus x y n x y n Rumus ini memberikan pengaruh berubahnya tanda pada setiap suku yang jika dikembangkan x y 3 x 3 3 x 2 y 3 x y 2 y 3 displaystyle x y 3 x 3 3x 2 y 3xy 2 y 3 nbsp Penjelasan geometris Sunting nbsp Visualisasi ekspansi binomial hingga pangkat 4Untuk setiap a dan b bernilai positif teorema binomial dengan n 2 adalah fakta bukti geometris bahwa sebuah bujur sangkat dengan sisi a b dapat dipotong menjadi sebuah bujur sangkar dengan sisi a sebuah bujur sangkar dengan sisi b dan dua persegi panjang dengan sisi a dan b Dengan n 3 teorema binomial menyatakan bahwa sebuah kubus dengan sisi a b dapat dipotong potong menjadi sebuah kubus dengan sisi a sebuah kubus dengan sisi b tiga buah kotak persegi panjang berdimensi a a b dan tiga buah kotak persegi panjang berdimensi a b b Dalam kalkulus gambar ini juga memberikan bukti geometris bahwa turunan x n n x n 1 displaystyle x n nx n 1 nbsp 7 jika ditentukan a x displaystyle a x nbsp dan b D x displaystyle b Delta x nbsp dengan menginterpretasi b sebagai suatu perubahan yang sangat kecil mendekati nol dalam a maka gambar ini menunjukkan perubahan yang sangat kecil mendekati nol dalam volume sebuah hiperkubus berdimensi n x D x n displaystyle x Delta x n nbsp dengan suku koefisien linearnya dalam D x displaystyle Delta x nbsp adalah n x n 1 displaystyle nx n 1 nbsp wilayah dengan n permukaan dimensi masing masing n 1 displaystyle n 1 nbsp x D x n x n n x n 1 D x n 2 x n 2 D x 2 displaystyle x Delta x n x n nx n 1 Delta x tbinom n 2 x n 2 Delta x 2 cdots nbsp Dengan menggantinya menjadi suatu turunan melalui suatu kuosien diferensiasi dan memasukkan limit berarti bahwa suku berpangkat lebih tinggi D x 2 displaystyle Delta x 2 nbsp dan lebih tinggi sehingga diabaikan dan menghasilkan rumus x n n x n 1 displaystyle x n nx n 1 nbsp yang diinterpretasikan sebagai tingkat perubahan sangat kecil dalam volume suatu kubus dengan panjang sisi n bervariasi pada rentang n dari permukaannya yang berdimensi n 1 displaystyle n 1 nbsp Catatan Sunting a b Weisstein Eric W Binomial Theorem Wolfram MathWorld a b c d Coolidge J L 1949 The Story of the Binomial Theorem The American Mathematical Monthly 56 3 147 157 doi 10 2307 2305028 a b c Jean Claude Martzloff S S Wilson J Gernet J Dhombres 1987 A history of Chinese mathematics Springer a b Biggs N L 1979 The roots of combinatorics Historia Math 6 2 109 136 doi 10 1016 0315 0860 79 90074 0 a b O Connor John J Robertson Edmund F Abu Bekr ibn Muhammad ibn al Husayn Al Karaji Arsip Sejarah Matematika MacTutor Universitas St Andrews Landau James A 1999 05 08 Historia Matematica Mailing List Archive Re HM Pascal s Triangle Archives of Historia Matematica Diarsipkan dari versi asli mailing list email tanggal 2021 02 24 Diakses tanggal 2007 04 13 Barth Nils R 2004 Computing Cavalieri s Quadrature Formula by a Symmetry of the n Cube The American Mathematical Monthly Mathematical Association of America 111 9 811 813 doi 10 2307 4145193 ISSN 0002 9890 JSTOR 4145193 salinan penulis penjelasan dan sumber lebih lanjut Referensi SuntingBag Amulya Kumar 1966 Binomial theorem in ancient India Indian J History Sci 1 1 68 74 Barth N R 2004 Computing Cavalieri s quadrature formula by a symmetry of the n cube The American Mathematical Monthly 111 9 811 813 doi 10 2307 4145193 Graham Ronald Knuth Donald Patashnik Oren 1994 5 Binomial Coefficients Concrete Mathematics edisi ke 2nd Addison Wesley hlm 153 256 ISBN 0 201 55802 5 OCLC 17649857 Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Teorema binomial amp oldid 22513426