Algoritma

Dalam matematika dan ilmu komputer, algoritme (serapan dari bahasa Belanda: algoritme) adalah rangkaian terbatas dari instruksi-instruksi yang rumit, yang biasanya digunakan untuk menyelesaikan atau menjalankan suatu kelompok masalah komputasi tertentu. Algoritma digunakan sebagai spesifikasi untuk melakukan perhitungan dan pemrosesan data. Algoritma yang lebih mutakhir dapat melakukan deduksi otomatis (disebut sebagai penalaran otomatis) dan menggunakan tes matematis dan logis untuk mengarahkan eksekusi kode melalui berbagai rute (disebut sebagai pengambilan keputusan otomatis). Penggunaan karakteristik manusia sebagai deskriptor mesin secara metaforis telah dipraktekkan oleh Alan Turing dengan terminologi seperti "memory", "search" dan "stimulus".

Diagram alur dari sebuah algoritme (Algoritme Euclid) untuk menghitung faktor persekutuan terbesar (f.p.b.) dari dua angka a dan b dalam lokasi bernama A dan B. Algoritme dijalankan dengan pengurangan berturut-turut dalam dua pengulangan: JIKA pengujian B >= A menghasilkan "ya" (atau benar) (lebih akuratnya angka b dalam lokasi B lebih besar atau sama dengan angka a dalam lokasi A) MAKA, algoritme menentukan B ← B - A (artinya angka b - a menggantikan b sebelumnya). Hal yang sama, JIKA A > B, MAKA A ← A - B. Proses tersebut berhenti saat (isi dari) B adalah 0, menghasilkan f.p.k. dalam A. (Algoritme tersebut diambil dari Scott 2009:13; simbol dan gaya penggambaran dari Tausworthe 1977).

Sebaliknya, heuristika adalah pendekatan untuk pemecahan masalah komputasi yang mungkin tidak sepenuhnya terspesifikasi atau tidak menjamin hasil yang benar atau optimal, terutama dalam ranah masalah komputasi yang mana tidak ada hasil yang benar atau optimal yang terdefinisi dengan baik.

Sebagai metode yang efektif, algoritma dapat diekspresikan dalam jumlah ruang dan waktu yang terbatas, dan dalam bahasa formal yang terdefinisi dengan baik untuk menghitung suatu fungsi. Dimulai dari tataran awal dan input awal (bisa jadi kosong), instruksi-instruksi yang ada menggambarkan sebuah komputasi yang, ketika dieksekusi, berjalan melalui sejumlah tataran dengan jumlah terhingga yang terdefinisi dengan baik, yang pada akhirnya menghasilkan "output" dan berakhir pada tataran final akhir. Transisi dari satu tataran ke tataran berikutnya tidak selalu bersifat menentukan; beberapa algoritme, yang dikenal sebagai algoritme acak, menggabungkan input acak.

Sejarah

Konsep algoritma telah ada sejak zaman prasejarah. Algoritma aritmatika, seperti algoritma divisi, digunakan oleh matematikawan Babilonia kuno sekitar tahun 2500 SM dan matematikawan Mesir sekitar tahun 1550 SM. Matematikawan Yunani kemudian juga menggunakan algoritma pada 240 SM sebagaimana yang terdapat pada Tapis Eratosthenes untuk menemukan bilangan prima, dan Algoritma Euklides untuk menemukan pembagi persekutuan terbesar dari dua bilangan. Matematikawan Arab seperti al-Kindi pada abad ke-9 menggunakan algoritma kriptografi untuk pemecahan kode, berdasarkan analisis frekuensi.

Kata algoritma berasal dari nama matematikawan Persia abad ke-9, Muḥammad bin Mūsā al-Khwārizmī, yang nisbah-nya (yang mengidentifikasikannya sebagai seseorang yang berasal dari Khwarezmia) dilatinkan sebagai Algoritmi (bahasa Persia yang diarabkan: الخوارزمی sekitar: 780-850). Namanya bermakna 'yang berasal dari (daerah) Khwarezmia', sebuah daerah yang dulunya merupakan bagian dari Iran Raya dan sekarang sebagai bagian dari Uzbekistan. Sekitar tahun 825, Al-Khwarizmi menulis sebuah risalah berbahasa Arab tentang sistem angka Hindu-Arab, yang diterjemahkan ke dalam bahasa Latin selama abad ke-12. Naskah ini dimulai dengan frasa Dixit Algorizmi ('Maka berkatalah Al-Khwarizmi'), di mana "Algorizmi" di sini adalah Latinisasi penerjemah akan nama Al-Khwarizmi. Bukunya yang bernama Aljabar menjadi salah satu buku matematikawan yang paling banyak dibaca di Eropa pada abad pertengahan. Dalam bahasa Latin abad pertengahan, kata algorismus, yang merupakan pengadaptasian dari namanya, menjadi kata yang bermakna "sistem bilangan desimal". Pada abad ke-15, di bawah pengaruh kata Yunani ἀριθμός (arithmos), 'angka' (lih. 'aritmatika'), kata Latin-nya diubah menjadi algorithmus. Dalam bahasa Inggris, kata algorithm pertama kali digunakan pada sekitar tahun 1230 dan kemudian oleh Chaucer pada 1391. Bahasa Inggris mengadopsi istilah tersebut dari bahasa Prancis, akan tetapi baru pada abad ke-19 lah kata "algorithm" mulai memiliki makna seperti sekarang yang ada dalam bahasa Inggris modern.

Matematika India pada awalnya sebagian besar berbentuk algoritmik. Algoritma yang mewakili tradisi matematika India berkisar dari Śhulba Sūtrā dari beberapa abad sebelum masehi hingga teks-teks abad pertengahan dari Sekolah Kerala akan Astronomi dan Matematika.

Pemakaian awal lainnya dari kata ini berasal dari tahun 1240, dalam sebuah manual berjudul Carmen de Algorismo yang disusun oleh Alexandre de Villedieu. Yang kalimatnya diawali dengan:

Haec algorismus ars praesens dicitur, in qua / Talibus Indorum fruimur bis quinque figuris.

yang bermakna:

Algorisme adalah ilmu yang saat ini kita gunakan untuk menghitung dengan angka-angka India, yang jumlahnya ada dua kali lima (sepuluh).

Puisi ini panjangnya beberapa ratus baris dan merangkum ilmu menghitung dengan angka-angka yang diadopsi dari India.

Formalisasi parsial dari konsep algoritma modern dimulai dengan upaya untuk memecahkan Entscheidungsproblem (masalah pengambilan keputusan) yang diajukan oleh David Hilbert pada tahun 1928. Formalisasi selanjutnya dibingkai sebagai upaya untuk mendefinisikan "kalkulabilitas efektif" atau "metode efektif". Formalisasi tersebut termasuk fungsi rekursif Gödel-Herbrand-Kleene pada tahun 1930, 1934 dan 1935, kalkulus lambda Alonzo Church pada tahun 1936, Formulasi 1 Emil Post pada tahun 1936, dan mesin Turing-nya Alan Turing pada tahun 1936-37 dan 1939.

Definisi informal

Untuk penjelasan lebih rinci dari berbagai sudut pandang mengenai definisi "algoritme", lihat Karakterisasi Algoritme.

Definisi informalnya bisa berarti "sekumpulan aturan yang secara tepat menentukan seurutan operasi". yang mengikutkan semua program komputer, termasuk program yang tidak melakukan perhitungan numerik. Secara umum, sebuah program hanyalah sebuah algoritme jika ia akan berhenti nantinya.

Sebuah contoh prototipikal dari suatu algoritme adalah algoritme Euclid untuk menentukan bilangan pembagi terbesar dari dua integer; sebagai contohnya (ada contoh yang lain) dijelaskan dengan diagram alur di atas dan sebagai contoh di bagian lanjut.

(Boolos & Jeffrey 1974, 1999) memberikan sebuah makna informal dari kata algoritme dalam persamaan berikut:

Tidak ada manusia yang dapat menulis begitu cepat, atau begitu lama, atau begitu kecil ("kecil, dan lebih kecil tanpa batas ... anda mungkin mencoba menulis di atas molekul, atom, elektron") untuk mencatat semua anggota dari kumpulan bilangan tak terbatas dengan menuliskan namanya, bergantian, dalam suatu notasi. Tapi manusia bisa melakukan sesuatu yang sama bergunanya, pada kasus kumpulan bilangan tak terbatas: Mereka dapat memberikan instruksi jelas untuk menentukan anggota ke-n dari set, untuk n terbatas acak. Instruksi tersebut diberikan secara eksplisit, dalam bentuk yang dapat diikuti oleh mesin penghitung, atau oleh manusia yang mampu melakukan hanya operasi-operasi dasar dengan simbol-simbol.

Suatu "bilangan tak-terbatas" adalah bilangan yang elemen-elemenya bisa berkorespondensi satu-ke-satu dengan integer. Maka, Boolos dan Jeffrey mengatakan bahwa sebuah algoritme berarti instruksi bagi sebuah proses yang "membuat" keluaran integer dari sebuah "masukan" acak integer yang, secara teori, bisa sangat besar. Maka sebuah algoritme dapat berupa persamaan aljabar seperti y = m + n -- dua variabel masukan m dan n yang menghasikan keluaran y. Tapi berbagai penulis yang mencoba mendefinisikan persamaan tersebut mengatakan bahwa kata algoritme mengandung lebih dari itu, sesuatu yang kurang lebih (untuk contoh penjumlahan):

Konsep dari algoritme juga digunakan untuk mendefinisikan notasi dari desidabilitas. Notasi tersebut adalah pusat untuk menjelaskan bagaimana sistem formal berasal dari sejumlah kecil aksioma dan aturan. Dalam logika, waktu dari sebuah algoritme untuk selesai tidak dapat dihitung, karena tidak berelasi dengan dimensi fisik kita. Dari ketidakpastian tersebut, yang mengkarakteristikan pekerjaan yang sedang berjalan, timbulah ketidak-tersediannya definisi algoritme yang sesuai dengan konkret (pada tingkat tertentu) dan penggunaan secara abstrak dari istilah tersebut.

Formalisasi

Algoritme sangat penting bagi cara komputer mengolah data. Banyak program komputer mengandung algoritme memberikan rincian pada instruksi khusus yang komputer harus lakukan (dengan urutan tertentu) untuk menjalankan pekerjaan tertentu, seperti menghitung gaji karyawan atau mencetak kartu rapor siswa. Maka, sebuah algoritme bisa dianggap sebagai urutan operasi yang bisa disimulasikan oleh sebuah sistem Turing-lengkap. Penulis yang mendukung tesis ini termasuk Minsky (1967), Savage (1987), dan Gurevich (2000):

Minsky: "Tapi kita juga menjaga, dengan Turing ... bahwa setiap prosedur yang "secara alami" disebut efektif, bisa dinyatakan oleh mesin (sederhana). Walaupun tampaknya ekstrem, alasan tersebut ... sukar disanggah".

Gurevich: "... argumen informal Turing untuk menyokong tesis ini membenarkan tesis yang lebih kuat: setiap algoritme bisa disimulasikan oleh sebuah mesin Turing ... menurut Savage [1987], sebuah algoritme adalah sebuah proses penghitungan yang ditentukan oleh sebuah mesin Turing".

Biasanya, bila sebuah algoritme dihubungkan dengan pengolahan informasi, data dibaca dari sumber masukan, ditulis ke perangkat keluaran, dan/atau disimpan untuk pengolahan selanjutnya. Data simpanan dianggap sebagai bagian dari keadaan internal dari entitas yang melakukan algoritme. Pada praktiknya, keadaan tersebut disimpan pada satu atau lebih struktur data.

Untuk beberapa proses komputasi, algoritme harus ditentukan secara teliti: dijabarkan dengan cara ia bakal berlaku untuk semua kemungkinan yang dapat timbul. Yaitu, setiap langkah tambahan harus secara sistematis dihadapi, kasus-per-kasus; Kriteria bagi setiap kasus harus jelas (dan bisa dihitung).

Karena sebuah algoritme adalah kumpulan dari langkah-langkah yang tepat, urutan dari komputasi selalu penting bagi berfungsinya algoritme. Instruksi biasanya diasumsikan terdaftar secara eksplisit, dan dijelaskan dimulai "dari atas" dan terus "ke bawah", sebuah gambaran yang dijelaskan secara formal oleh alur kontrol

Sejauh ini, diskusi tentang formalisasi algoritme telah mengasumsikan premis dari pemrograman imperatif. Hal ini merupakan konsepsi umum, yang mencoba menjelaskan sebuah pekerjaan dalam makna diskrit dan "mekanis". Keunikan dari konsepsi formalisasi algoritme adalah operasi penetapan, mengatur nilai dari sebuah variabel. Ia berasal dari intuisi "ingatan" sebagai kertas buram. Contoh operasi penetapan tersebut ada di bawah.

Untuk konsepsi yang lain dari apa yang membentuk sebuah algoritme lihat pemrograman fungsional dan pemrograman logika.

Menggambarkan algoritme

Algoritme dapat digambarkan dengan banyak notasi, termasuk bahasa alamiah, pseudokode, diagram alur, bagan drakon, bahasa pemrograman atau tabel kontrol (diproses oleh penerjemah). Ekspresi bahasa alamiah terhadap algoritme condong lebih banyak dan rancu, dan jarang digunakan untuk algoritme yang kompleks dan teknis. Pseudokode, diagram alur, bagan drakon, dan tabel kontrol adalah cara yang terstruktur untuk menggambarkan algoritme yang mencegah banyaknya kerancuan pada pernyataan-pernyataan bahasa alamiah. Bahasa pemrograman ditujukan untuk mengekspresikan algoritme dalam sebuah bentuk yang dapat dieksekusi oleh komputer, tetapi sering kali digunakan sebagai suatu cara untuk menentukan atau mendokumentasikan algoritme.

Ada banyak macam kemungkinan representasi dan seseorang dapat mengekspresikan sebuah program mesin Turing sebagai urutan dari tabel-tabel mesin (lihat lebih lanjut di mesin kondisi-terbatas, tabel transisi kondisi dan tabel kontrol), sebagai diagram alur dan bagan drakon (lihat lebih lanjut di diagram kondisi), atau sebagai bentuk kode mesin atau kode assembly dasar yang dikenal "kumpulan lipat empat" (lihat lebih lanjut di mesin Turing).

Representasi dari algoritme dapat dikelompokan ke dalam tiga tingkatan dari deskripsi mesin Turing:

Sebagai contoh dari algoritme sederhana "Penjumlahan m+n" dijelaskan dalam tiga tingkatan tersebut lihat contoh algoritme.

Implementasi

Kebanyakan algoritme ditujukan untuk diimplementasikan sebagai program komputer. Namun, algoritme juga diimplementasikan dengan tujuan lain, seperti dalam jaringan saraf biologis (sebagai contohnya, otak manusia yang mengimplementasikan aritmetika atau sebuah serangga yang melihat makanan), dalam sirkuit elektris, atau dalam sebuah perangkat mekanis.

Algoritme komputer

Contoh diagram alur dari struktur Bohm-Jacopini: URUTAN (segi empat), WHILE-DO dan IF-THEN-ELSE. Ketiga struktur dibentuk dari kondisi primitif GOTO ( IF test=true THEN GOTO step xxx ) (wajik), GOTO tak bersyarat (segi empat), berbagai operator penetapan (segi empat), dan HALT (bujursangkar). Memasukan struktur tersebut ke dalam blok-penetapan menghasilkan diagram yang kompleks (cf Tausworthe 1977:100,114).

Dalam sistem komputer, sebuah algoritme pada dasarnya adalah instansi dari logika ditulis dalam perangkat lunak oleh pengembang perangkat lunak supaya efektif untuk komputer yang "ditargetkan" untuk mesin tertentu untuk menghasilkan keluaran dari masukan yang diberikan (kemungkinan nul).

Program yang "elegan" (padat), program yang "baik" (cepat): Pernyataan dari "sederhana dan elegan" muncul secara informal dalam buku Knuth dan dalam Chaitin:

Chaitin membuka definisinya dengan: "Saya akan perlihatkan bahwa anda tidak dapat membuktikan sebuah program adalah 'elegan'"—bukti tersebut akan menyelesaikan permasalahan perhentian (ibid).

Algoritme terhadap fungsi yang dapat dihitung oleh algoritme: Untuk sebuah fungsi bisa ada beberapa algoritme. Hal ini benar, bahkan tanpa mengembangkan kumpulan instruksi yang ada bagi programmer. Rogers mengamati bahwa "Sangat ... penting untuk membedakan antara pengertian algoritme, misalnya prosedur dan pernyataan fungsi yang dihitung oleh algoritme, misalnya pemetaan hasil dari prosedur. Fungsi yang sama bisa memiliki beberapa algoritme berbeda".

Sayangnya ada pertukaran antara kebaikan (kecepatan) dan elegan (kepadatan) -- sebuah program yang elegan bisa melakukan lebih banyak langkah untuk menyelesaikan sebuah komputasi daripada yang kurang elegan. Sebuah contoh yang menggunakan algoritme Euclid bisa dilihat di bawah.

Komputer (dan komputor), model dari komputasi: Sebuah komputer (atau manusia "komputor" ) adalah tipe terbatas dari mesin, sebuah "perangkat mekanis deterministik diskrit" yang secara buta mengikuti instruksinya. Model primitif dari Melzak dan Lambek mereduksi pemikiran tersebut menjadi empat elemen: (i) diskrit, lokasi yang bisa dibedakan, (ii) diskrit, penghitung yang tak bisa dibedakan (iii) sebuah agen, dan (iv) sebuah daftar instruksi yang efektif relatif terhadap kemampuan dari agen.

Minsky menjelaskan variasi yang lebih sesuai dari model "abacus"-nya Lambek dalam "Basis Komputabilitas Paling Sederhana". Mesin Minsky memproses secara berurutan lewat lima (atau enam tergantung bagaimana seseorang menghitungnya) instruksi kecuali baik sebuah kondisi IF-THEN GOTO atau GOTO tak bersyarat mengubah alur program keluar dari urutan. Selain HALT, mesin Minsky mengikutkan tiga operasi penetapan (penggantian, substitusi): ZERO (misalnya, isi dari lokasi diganti oleh 0: L ← 0), SUCCESSOR (misalnya, L ← L+1), dan DECREMENT (misalnya, L ← L-1). Jarang seorang programer harus menulis "kode" dengan kumpulan instruksi terbatas. Tapi Minsky memperlihatkan (sebagaimana Melzak dan Lambek) bahwa mesinnya adalah Turing komplet dengan hanya empat tipe instruksi utama: GOTO kondisional, GOTO tak bersyarat, penetapan/penggantian/substitusi, dan HALT.

Simulasi dari sebuah algoritme: bahasa komputer (komputor): Knuth menganjurkan pembaca bahwa "cara terbaik untuk belajar algoritme dalah mencobanya ... langsung ambil pulpen dan kertas dan bekerja lewat contoh". Lalu bagaimana dengan simulasi atau eksekusi yang sebenarnya? Programmer harus menerjemahkan algoritme ke dalam bahasa yang mana simulator/komputer/komputor dapat mengeksekusi secara efektif. Stone memberikan contoh dari hal ini: saat menghitung akar dari persamaan kuadrat si komputor harus tahu bagaimana mendapatkan akar kuadrat. Jika tidak maka supaya algoritme dapat efektif ia harus menyediakan sejumlah aturan untuk mengekstrak akar kuadrat.

Hal ini berarti programer harus tahu sebuah "bahasa" yang efektif relatif terhadap target pada agen komputasi (komputer/komputor).

Lalu model apa yang seharusnya digunakan untuk simulasi? Van Emde Boas mengamati "bahkan bila kita mendasari teori kompleksitas dengan mesin abstrak bukannya mesin kongkrit, kesembarangan dari pemilihan model masih tetap ada. Pada titik itulah mulainya pemikiran simulasi". Bila kecepatan yang dihitung, jumlah instruksi berpengaruh. Sebagai contohnya, subprogram dalam algoritme Euclid untuk menghitung sisa akan berjalan lebih cepat jika programmer memiliki instruksi "modulus" (sisa pembagian) bukannya dengan pengurangan (atau lebih parah: hanya "penurunan").

Pemrograman terstruktur, struktur kanonikal: Menurut Tesis Church-Turing setiap algoritme bisa dihitung dengan sebuah model yang dikenal Turing komplet, dan menurut demonstrasi Minsky kekomplitan Turing membutuhkan hanya empat tipe instruksi—GOTO bersyarat, GOTO tak bersyarat, penetapan, HALT. Kemeny dan Kurtz mengamati bahwa saat penggunaan GOTO tak bersyarat yang "tak disiplin" dan IF-THEN GOTO bersyarat bisa menghasilkan "kode spageti" seorang programer bisa menulis program terstruktur menggunakan instruksi tersebut; di lain sisi "juga memungkinkan, dan tidak begitu sulit, untuk menulis sebuah program terstruktur yang buruk dalam sebuah bahasa terstruktur". Tausworthe menambahkan tiga struktur kanon Bohm-Jacopini: SEQUENCE, IF-THEN-ELSE, dan WHILE-DO, dengan dua lagi: DO-WHILE dan CASE. Keuntungan dari program terstruktur adalah ia cocok dengan pembuktian kebenaran menggunakan induksi matematika.

Simbol diagram alur: Pembantu grafik yang disebut diagram alur memberikan suatu cara untuk menjelaskan dan mendokumentasikan sebuah algoritme (dan program komputer). Seperti alur program dari mesin Minsky, sebuah diagram alur selalu mulai dari atas dan terus ke bawah. Simbol utamanya hanya 4: arah panah memperlihatkan alur program, segi empat (SEQUENCE, GOTO), wajik (IF-THEN-ELSE), dan titik (OR). Struktur kanonikal Bohm-Jacopini dibuat dari bentuk-bentuk primitif tersebut. Sub-struktur bisa "bersarang" dalam segi empat hanya jika jalan keluar tunggal terjadi pada super-struktur. Simbol dan penggunaannya untuk membangun struktur kanonikal diperlihatkan dalam diagram.

Contoh

Info lebih lanjut: Contoh algoritme

Contoh Algoritme

Animasi dari algoritme quicksort mengurutkan larik dari nilai acak. Batang merah menandakan elemen pivot; pada awal animasi, elemen paling kanan dipilih sebagai pivot.

Salah satu dari algoritme sederhana adalah menemukan bilangan terbesar dalam sebuah deretan angka (tak berurut). Solusinya membutuhkan pemeriksaan setiap angka dalam deret, tetapi hanya sekali. Dari hal ini munculah algoritme sederhana, yang bisa dinyatakan dalam kalimat bahasa deskripsi tingkat-tinggi, sebagai:

Deskripsi tingkat-tinggi:

1. Jika tidak ada angka dalam deret makan tidak ada bilangan terbesar.
2. Asumsikan item pertama dalam deret adalah yang terbesar.
3. Untuk setiap sisa angka dalam deret, jika angka tersebut besar dari angka terbesar sekarang, anggap angka tersebut menjadi yang terbesar dalam deret.
4. Bila tidak ada lagi angka yang tersisa pada deret untuk diperiksa, anggap angka terbesar sekarang menjadi angka yang terbesar dalam deret.

Deskripsi (Quasi-)formal: Ditulis dalam kalimat yang lebih dekat dengan bahasa tingkat-tinggi dari program komputer, berikut ini adalah kode formal dari algoritme dalam pseudokode atau kode pijin:

Algoritma LargestNumber Masukan: Deret angka L. Keluaran: Angka terbesar dalam daftar L. 

 terbesar ← Lnull untuk setiap item dalam L, lakukan jika item > terbesar, maka terbesar ← item kembalikan terbesar 

• "←" adalah singkatan untuk "diubah menjadi". Misalnya, "terbesar ← item" artinya nilai dari terbesar diubah menjadi nilai dari item.
• "kembalikan" mengakhiri algoritma dan mengeluarkan nilai kembalian.

Algoritme Euclid

Info lebih lanjut: Algoritme Euklid

Contoh diagram dari algoritme Euclid dari T.L. Health 1908 dengan rincian tambahan. Euclid tidak sampai pada penghitungan ketiga dan tidak memberikan contoh numeris. Nocomachus memberikan contoh dari 49 dan 21: "Saya mengurangi yang kecil dari yang besar; 28 adalah yang kiri; kemudian saya kurangi lagi 21 (hal ini memungkinkan); tersisa 7, tetapi 7 tidak bisa dikurangi dari 7." Heath berkomentar bahwa, "Kalimat terakhir terdengar aneh, tetapi maknanya sangat jelas, begitu juga makna dari kalimat tentang mengakhiri 'dengan satu dan angka yang sama'."(Heath 1908:300).

Algoritme Euclid muncul sebagai Proposisi II dalam Book VII ("Elementary Number Theory") dari Elements. Euclid mengajukan permasalahan: "Ambil dua angka bukan prima, untuk mencari bilangan pembagi terbesar". Dia menentukan "Sebuah angka [merupakan] besaran yang terdiri dari unit-unit": angka penghitung, integer positif kecuali 0. Dan "mengukur" adalah menempatkan ukuran panjang terkecil s dengan tepat (q kali) di antara ukuran terpanjang l sampai sisa r lebih kecil dari panjang terkecil s. Dalam dunia modern, sisa r = l - q*s, q sebagai hasil bagi, atau sisa r adalah "modulus", bagian sisa-integer yang tersisa setelah pembagian.

Supaya metode Euclid berhasil, panjang awalnya harus memenuhi dua kebutuhan: (i) panjangnya tidak 0, DAN (ii) hasil pengurangan harus "lebih", sebuah pengujian harus menjamin bahwa bilangan terkecil dari dua angka adalah hasil pengurangan dari yang terbesar (cara lain, keduanya bisa sama sehingga pengurangan menghasilkan 0).

Pembuktian asli Euclid mengikutkan kebutuhan yang ketiga: kedua panjang bukanlah bilangan prima. Euclid menentukan hal ini supaya dia bisa membentuk sebuah bukti reductio ad absurdum bahwa dua pembagi dua angka adalah yang terbesar. Walau algoritme Nicomachus sama dengan Euclid, bila kedua bilangan prima maka menghasilkan angka "1" untuk bilangan pembagi terbesar. Jadi untuk lebih jelasnya algoritme berikut adalah algoritme Nicomachus.

Contoh

Ekspresi grafik dari algoritme Euclid menggunakan contoh dengan 1599 dan 650.

9778 = 650*2 + 299 650 = 299*2 + 52 299 = 52*5 + 39 52 = 39*1 + 13 39 = 13*3 + 0 

Bahasa komputer untuk algoritme Euclid

Hanya beberapa tipe instruksi yang dibutuhkan untuk mengeksekusi algoritme—beberapa tes logika (GOTO bersyarat), GOTO tak bersyarat, penetapan (penggantian), dan pengurangan.

• Sebuah lokasi disimbolkan dengan huruf besar, misalnya, S, A, dll.
• Kuantitas beragam (angka) dalam sebuah lokasi ditulis dengan huruf kecil dan (biasanya) dihubungkan dengan nama lokasi. Sebagai contohnya, lokasi L pada awal bisa mengandung angka l = 3009.

Program yang kurang elegan (inelegan) untuk algoritme Euclid

"Inelegan" adalah terjemahan dari versi Knuth terhadap algoritme berdasarkan pengulangan-sisa mengganti pembagian (atau instruksi "modulus"). Diambil dari Knuth 1973:2-4. Bergantung pada kedua angka "Inelegan" bisa menghitung f.p.k dengan sedikit langkah daripada "elegan".

Algoritme berikut disebut sebagai versi Euclid dan Nichomachus 4-langkah-nya Knuth, tetapi bukannya menggunakan pembagi untuk menentukan sisa ia menggunakan pengurangan berturut-turut dari panjang terkecil s dari sisa panjang r sampai r kurang dari s. Deskripsi tingkat-tinggi, diperlihatkan dengan tulisan tebal, diadaptasi dari Knuth 1973:2-4:

INPUT:

1 [Kedalam dua lokasi L dan S taruh angka l dan s yang merepresentasikan kedua panjang]: INPUT L, S 2 [Inisialisasi R: buat supaya sisa panjang r sama dengan panjang awal l] R ← L 

E0: [Pastikan r ≥ s.]

3 [Pastikan angka terkecil dari kedua angka ada dalam S dan yang terbesar di R]: IF R > S THEN isi dari L adalah angka terbesar jadi lewati langkah 4, 5 dan 6: GOTO step 6 ELSE tukar isi R dan S. 4 L ← R (langkah pertama ini berlebih, tetapi berguna untuk diskusi nanti). 5 R ← S 6 S ← L 

E1: [Cari sisa]: Sampai sisa panjang r di R kurang dari panjang terkecil s pada S, kurangi angka s dalam S berulang kali dari sisa panjang r dalam R.

7 IF S > R THEN selesai mengukur jadi GOTO 10 ELSE ukur lagi, 8 R ← R - S 9 [Pengulangan-sisa]: GOTO 7. 

E2: [Apakah sisa 0?]: APAKAH (i) pengukuran terakhir adalah sama dan sisa di R adalah 0 program dapat berhenti, ATAU (ii) algoritme harus terus jalan: hasil pengukuran meninggalkan sisa di R kurang dari angka pengukuran dalam S.

10 IF R = 0 THEN selesai jadi GOTO langkah 15 ELSE lanjut ke langkah 11, 

E3: [Interchange s dan r]: Sulitnya algoritme Euclid. Menggunakan sisa r untuk mengukur angka terkecil sebelumnya s:; L sebagai lokasi sementara.

11 L ← S 12 R ← S 13 S ← L 14 [Ulang proses pengukuran]: GOTO 7 

OUTPUT:

15 [Selesai. S berisi faktor persekutuan terbesar]: PRINT S 

DONE:

16 HALT, END, STOP. 

Program elegan untuk algoritme Euclid

Versi algoritme Euclid berikut hanya membutuhkan 6 instruksi inti untuk melakukan 13 langkah pada solusi "inelegan"; parahnya, "inelegan" membutuhkan tipe instruksi lebih banyak. Diagram alur dari "elegan" bisa dilihat pada bagian atas artikel ini. Dalam bahasa Basic (tak terstruktur) langkahnya diberi nomor, dan instruksi LET [] = [] adalah instruksi penetapan disimbolkan dengan ←.

 5 REM Algoritme Euclid untuk faktor persekuturan terbesar 6 PRINT "Masukan dua integer besar dari 0" 10 INPUT A,B 20 IF B=0 THEN GOTO 80 30 IF A > B THEN GOTO 60 40 LET B=B-A 50 GOTO 20 60 LET A=A-B 70 GOTO 20 80 PRINT A 90 END 

Bagaimana cara kerja "Elegan": Sebagai pengganti "pengulangan Euclid" luar, "Elegan" mengulang antara dua pengulangan, pengulangan A > B yang menghitung A ← A - B, dan pengualang B ≤ A yang menghitung B ← B - A. Hal ini bekerja karena, saat yang dikurang M lebih kecil pengurang S ( Selisih = pengurang - yang_di_kurang ), yang_dikurang bisa menjadi s (panjang pengukuran yang baru) dan pengurang bisa menjadi r yang baru (panjang yang akan diukur); dengan kata lain "arti" dari pengurangan dibalik.

Menguji algoritme Euclid

Apakah algoritme berjalan seperti yang penulis inginkan? Beberapa kasus uji cukup menentukan fungsi inti. Sumber pertama menggunakan 3009 dan 884. Knuth menyarankan 40902, 24140. Kasus menarik lainnya yaitu dua angka relatif prima 14157 dan 5950.

Tapi kasus pengecualian harus teridentifikasi dan diuji. Apakah "inelegan" berjalan benar saat R > S, S > R, R = S? Sama juga dengan "Elegan": B > A, A > B, A = B? (Semuanya benar). Apa yang terjadi bila salah satu bilangan nol, atau keduanya nol? ("Inelegan" terus berjalan pada kedua kasus; "elegan" terus berjalan saat A = 0.) Apa yang terjadi bila angka negatif dimasukan? Angka desimal? Bila angka masukan, misalnya domain dari fungsi yang dihitung oleh algoritme/program, mengikutkan hanya integer positif termasuk 0, maka kegagalan pada nol mengindikasikan bahwa algoritme (dan program instansiasinya) adalah sebuah fungsi parsial bukannya fungsi total. Kesalahan yang terkenal karena eksepsi adalah kegagalan roket Ariane V.

Bukti dari kebenaran program menggunakan induksi matematika: Knuth mendemonstrasikan penggunaan induksi matematika untuk versi "pengembangan" dari algoritme Euclid, dan dia mengajukan "metode umum yang digunakan untuk membuktikan validitas dari setiap algoritme." Tausworthe mengajukan bahwa sebuah pengukuran dari kompleksitas dari sebuah program adalah panjang dari pembuktian kebenarannya.

Menghitung dan meningkatkan algoritme Euclid

Elegan (kepadatan) lawan kebaikan (kecepatan): Dengan hanya 6 instruksi dasar, "Elegan" adalah jelas pemenang dibandingkan dengan instruksi "inelegan" dengan 13 instruksi. Namun, "inelegan" lebih cepat (ia sampai pada HALT dengan langkah lebih sedikit). Analisis algoritme mengindikasikan kenapa hal tersebut terjadi: "Elegan" melakukan pengujian kondisi dua kali disetiap pengulangan pengurangan, sementara "inelegan" hanya sekali. Bila algoritme (biasanya) membutuhkan banyak pengulangan, secara rata-rata lebih banyak waktu yang terbuang saat melakukan tes "B = 0?" yang hanya diperlukan saat sisa sudah dihitung.

Bisakah algoritme ditingkatkan?: Bila programmer sudah menilai sebuah program "cocok" dan "efektif"—yaitu, ia menghitung fungsi yang ditujukan oleh penulisnya—maka pertanyaannya menjadi, bisakah ditingkatkan?

Kepadatan dari "inelegan" bisa ditingkatkan dengan menghilangkan 5 langkah. Tapi Chaitin membuktikan bahwa memadatkan algoritme tidak bisa diotomatiskan dengan algoritme generalisasi; tapi, ia bisa dilakukan secara heuristik, misalnya dengan pencarian menyeluruh (contohnya bisa ditemukan di Berang sibuk), coba dan gagal, kecerdasan, kedalaman, penggunaan penalaran induktif, dll. Bisa diamati bahwa langkah 4, 5, dan 6 diulang pada langkah 11, 12, dan 13. Pembandingan dengan "Elegan" menyediakan petunjuk langkah-langkah tersebut dengan langkah 2 dan 3 dapat dihilangkan. Hal ini mereduksi jumlah instruksi dasar dari 13 menjadi 8, yang membuatnya "lebih elegan" dari "Elegan" dengan 9 langkah.

Kecepatan "Elegan" bisa ditingkatkan dengan memindahkan tes B=0? keluar dari pengulangan. Perubahan ini memerlukan penambahan 3 instruksi (B=0?, A=0?, GOTO). Sekarang "Elegant" menghitung contoh-angka lebih cepat; untuk setiap angka pada A, B dan R, S hal ini selalu merupakan kasus yang membutuhkan analisis yang mendalam.

Analisis Algoritme

Artikel utama: Analisis algoritme

Sangat penting untuk mengetahui berapa banyak sumber tertentu (seperti waktu dan tempat penyimpanan) secara teoretis diperlukan untuk sebuah algoritme. Metode-metode telah dikembangkan untuk analisis algoritme untuk mendapatkan jawaban kuantitatif (estimasi); sebagai contohnya, algoritme pengurutan di atas memerlukan waktu O(n), menggunakan notasi O besar dengan n sebagai panjang deret (yang akan diurut). Setiap saat algoritme hanya perlu mengingat dua nilai: nilai terbesar yang ditemukan, dan posisinya sekarang dideretan input. Oleh karena itu dikatakan memiliki kebutuhan ruang O(1), jika ruang yang dibutuhkan untuk menyimpan angka masukan tidak dihitung, atau O(n) jika dihitung.

Algoritme berbeda mungkin menyelesaikan pekerjaan yang sama dengan kumpulan instruksi yang berbeda dengan waktu, ruang, atau 'usaha' lebih sedikit atau banyak dari yang lain. Sebagai contohnya, algoritme pencairan binari biasanya mengungguli pencarian berderet secara paksa bila digunakan untuk tabel pencarian pada deret terurut.

Formal lawan empiris

Artikel utama: Algoritme empiris, Profiling (pemrograman komputer), dan Optimisasi program

Analisis dan kajian algoritme adalah bidang dari ilmu komputer, dan biasanya dilakukan secara abstrak tanpa menggunakan bahasa pemrograman tertentu atau implementasi. Dalam artian, analisis algoritme mirip dengan bidang matematika lainnya yang mana fokus pada properti yang mendasari algoritme dan bukan pada implementasi tertentu. Biasanya pseudokode digunakan pada analisis karena merupakan representasi paling umum dan sederhana. Namun, pada akhirnya, kebanyakan algoritme diimplementasikan di perangkat keras / lunak tertentu dan efisiensi algoritmik mereka akhirnya diuji menggunakan kode yang sebenarnya. Untuk solusi dari sebuah masalah, efisiensi dari algoritme tertentu mungkin tidak terlalu berpengaruh (kecuali n sangat besar) tetapi bagi algoritme yang dirancang untuk kecepatan interaktif, komersial, atau penggunaan ilmiah jangka panjang ia bisa saja kritikal. Meningkatkan n dari kecil ke n yang besar biasanya menunjukan ketak efisienan algoritme yang tidak berbahaya.

Pengujian empiris berguna karena bisa membuka interaksi tak terduga yang mempengaruhi performa. Benchmark bisa digunakan untuk membandingkan potensi kenaikan sebelum/sesudah algoritme setelah optimisasi program dilakukan.

Efisiensi eksekusi

Artikel utama: Efisiensi algoritmik

Untuk menggambarkan kemungkinan potensi peningkatan bahkan pada algoritme yang sudah teruji, inovasi terbaru, berkaitan dengan algoritme FFT (banyak digunakan di bidang pemrosesan gambar), bisa menurunkan waktu pemrosesan dengan faktor sampai 1.000 untuk aplikasi seperti pencitraan medis. Secara umum, peningkatan kecepatan bergantung pada properti khusus dari permasalahan, yang mana sangat umum pada aplikasi praktis. Percepatan dengan tingkat seperti itu membolehkan perangkat komputasi yang sering menggunakan pemrosesan gambar (seperti kamera digital dan peralatan medis) menghabiskan daya yang lebih sedikit.

Klasifikasi

Salah satu cara mengklasifikasikan algoritme yaitu dengan cara implementasi.

Paradigma secara rancangan

Cara lain mengklasifikasikan algoritme adalah dengan metodologi rancangannya atau paradigma. Ada sejumlah paradigma, tiap-tiapnya berbeda dari yang lain. Lebih lanjut, setiap kategori tersebut mengikutkan banyak tipe algoritme yang berbeda. Beberapa paradigma umum termasuk:

1. Algoritme Monte Carlo mengembalikan jawaban yang benar dengan probabilitas-tinggi. Misalnya, RP adalah sub-klas dari algoritme ini yang berjalan dalam waktu polinomial)
2. Algoritme Las Vegas selalu mengembalikan jawaban yang benar, tetapi waktu prosesnya adalah hanya terikat secara probabilistik, misalnya ZPP.

Permasalahan optimisasi

Berdasarkan bidang kajian

Lihat pula: Daftar algoritme

Setiap bidang sains memiliki permasalahannya sendiri dan membutuhkan algoritme yang efisien. Masalah yang berkaitan di satu bidang terkadang dipelajari bersama. Beberapa contoh yaitu algoritme pencarian, algoritme penggabungan, algoritme numerik, algoritme grafik, algoritme deret, algoritme komputasi geometri, algoritme kombinatorial, algoritmas medis, mesin belajar, kriptografi, algoritme kompresi data dan teknik penguraian.

Terkadang bidang-bidang tersebut saling tumpang tindih, dan perkembangan algoritme di satu bidang bisa meningkatkan bidang lainnya yang terkadang tidak berkaitan. Sebagai contohnya, pemrograman dinamis ditemukan untuk optimisasi konsumsi sumber daya dalam industri, tetapi sekarang digunakan untuk menyelesaikan sejumlah besar permasalahan dalam banyak bidang.

Berdasarkan kompleksitas

Lihat pula: kelas kompleksitas dan Kompleksitas parameterisasi

Algoritme bisa diklasifikasikan berdasarkan jumlah waktu yang dibutuhkan untuk selesai dibandingkan dengan ukuran inputnya. Ada berbagai varietas: beberapa algoritme selesai dalam waktu linear relatif terhadap ukuran input, beberapa selesai dalam jumlah waktu yang eksponensial atau lebih buruh, dan beberapa berhenti. Sebagai tambahan, beberapa masalah bisa memiliki berbagai algoritme dengan kompleksitas yang berbeda, sementara permasalahan yang lain bisa saja tidak memiliki algoritme atau tidak diketahui algoritmanya yang efisien. Ada juga pemetaan dari beberapa algoritme terhadap permasalahan lain. Karena itu, lebih cocok untuk mengklasifikasikan permasalahan itu sendiri bukannya algoritme menjadi kelas-kelas yang sama berdasarkan kompleksitas dari kemungkinan algoritme terbaik baginya.

Burgin (2005, p. 24) menggunakan definisi algoritme secara umum yang melonggarkan kebutuhan bersama yang keluaran dari algoritme yang menjalankan sebuah fungsi harus ditentukan setelah sejumlah langkah. Dia mendefinisikan kelas super-rekursif dari algoritme sebagai "sebuah kelas algoritme yang mana memungkinkan untuk menghitung fungsi yang tidak bisa dihitung oleh mesin Turing manapun" (Burgin 2005, p. 107). Hal ini berkaitan dekat dengan kajian dari metode hiperkomputasi.

Berdasarkan tipe evaluatif

Lihat pula: Keragaman evaluatif

Untuk menjaga keseimbangan saat mengintegrasikan mesin ke dalam masyarakat, seseorang bisa mengklasifikasikan algoritme berdasarkan tipe dari evaluasi yang mereka lakukan. Sejumlah filsuf telah berhipotesis bahwa masyarakat diuntungkan dari keragaman evaluatif seperti mereka diuntungkan keragaman jender dan tipe darah (misalnya, Dean 2012, Sober & Wilson 1998) Hertzke & McConkey 1998, dan Bellah 1985). Teknologi dapat mengancam ekosistem moral tersebut seperi spesies invasif jika ia mengganggu campuran keragaman. Wallach & Allen (2008) mengklasifikasikan algoritme pembuat-keputusan menjadi tiga tipe evaluatif: Algoritme bottom-up membuat penilaian tidak terprediksi bagi pemrogram (misalnya, perangkat lunak yang berevolusi). Yang lainnya (top-down) dibagi menjadi deontologikal (yang dapat bergantung pada implementasi aturan pemrograman) lawan consequensialis (yang mengandalkan pada memaksimalkan perkiraan pemrograman). Sebagai contohnya, sebuah kalkulator standar termasuk deontologikal, sementara mesin pembelajaran untuk perdagangan saham termasuk consequensialis.

Santos-Lang mengganti nama deontologikal dan consequensialis menjadi kelas "institusional" dan "negosiator" dengan tujuan untuk menghindari implikasi bahwa semua teori-teori etika deontologikal dan consequensialis bisa diimplementasikan sebagai algoritme, dan membagi kelas bottom-up menjadi "pengganggu" (algoritme yang tidak terprediksi karena menggunakan generator pengacakan) lawan "relasional" (algoritme yang tidak terprediksi karena efek jaringan). Seorang mutator dalam komputasi evolusioner bisa menjadi contoh dari pengganggu, sementara kelas 3 atau 4 dari otomata sellular adalah contoh dari mesin relasional. Santos-Lang mencatat bahwa algoritme terkadang memiliki subkomponen dari tipe lainnya. Sebagai contohnya, negosiator perdagangan saham bisa mengimplementasikan sebuah algoritme genetik, dan memiliki mutator pengganggu, dan mutator bisa memiliki subkomponen institusional dan relasional, semua komputasi adalah relasional pada tingkat di jajaran kimiawi (Santos-Lang 2014).

Algoritme berkelanjutan

Kata sifat "berkelanjutan" bila diterapkan pada kata "algoritme" bisa berarti:

• Sebuah algoritme beroperasi pada data yang merepresentasikan kuantitas yang berkelanjutan, walaupun data tersebut direpresentasikan oleh pendekatan diskrit—seperti algoritme yang dipelajari dalam analisis numerik; atau
• Sebuah algoritme dalam bentuk dari persamaan diferensial yang beroperasi secara berkelanjutan terhadap data, berjalan dalam sebuah komputer analog.

Isu legalitas

Algoritme biasanya tidak dipatenkan. Di Amerika Serikat, sebuah klaim yang terdiri hanya dari manipulasi sederhana dari konsep abstrak, angka, atau sinyal tidak berarti suatu "process" (SPTO 2006), dan oleh karena itu algoritme tidak bisa dipatenkan (sebagaimana dalam Gottschalk v. Benson). Namun, penerapan praktis dari algoritme terkadang dipatenkan. Sebagai contohnya, dalam Diamond v. Diehr, aplikasi dari algoritme umpan-balik sederhana untuk membantu dalam menyembuhkan karet sintetis dianggap dapat dipatenkan. Mematenkan perangkat lunak sangat kontroversial, dan ada paten yang mengikutkan algoritme yang sangat dikritisi, terutama algoritme kompresi data, seperti Format Grafiknya Unisys.

Sebagai tambahan, beberapa algoritme kriptografi memiliki batasan ekspor (lihat ekspor dari kriptografi).

Etimologi

Kata "Algoritme", atau "Algorisma" pada versi penulisan lain, datang dari nama al-Khwarizmi. dieja dalam Arab klasik sebagai Al-Khwarithmi. Al-khwarizmi (bahasa Persia: خوارزمي, 780-850) adalah matematikawan, ahli astronomi, ahli geografi dari Persia dan sarjana House of Wisdom di Baghdad, yang arti namanya "penduduk asli Khwarezm", sebuah kota yang merupakan bagian dari Wilayah Iran pada masanya dan sekarang Uzbekistan. Sekitar tahun 825, dia menulis risalah dalam bahasa Arab, yang diterjemahkan dalam Latin pada abad ke-12 dengan judul Algoritmi de numero Indorum. Judul ini artinya "Algoritmi pada bilangan India", di mana "Algoritmi" adalah pelatinan penerjemah dari nama Al-Khwarizmi. Al-Khwarizmi dulunya adalah matematikawan yang paling banyak dibaca di Eropa pada akhir Abad Pertengahan, pada umum lewat bukunya yang lain, Aljabar. Pada akhir abad pertengahan, algorismus, perubahan dari namanya, berarti "sistem bilangan desimal" yang masih merupakan arti dari kata Inggris modern algorism. Pada abad ke-17 Prancis kata tersebut berubah, tetapi tidak maknanya, menjadi algorithme. Inggris mengadopsi Prancis setelahnya, tetapi tidak pada akhir abad ke-19 lah "Algorithm" mengambil makna dari kata Inggris masa sekarang.

Etimologi alternatif mengklaim asal mulanya dari istilah algebra (aljabar) dari makna abad pertengahan "aritmetika Arab" dan arithmos istilah Yunani untuk angka (yang secara harfiah berarti "bilangan Arab" atau "perhitungan Arab"). Karya algoritme Al-Kharizmi bukan berbentuk seperti pada masa modern sekarang tetapi sebagai tipe dari pengulangan kalkulus (disini disebutkan bahwa karya fundamentalnya yang dikenal sebagai algebra pada awalnya berjudul "Buku Ringkasan tentang Kalkulasi dengan Penyempurnaan dan Pengimbangan" menjelaskan tipe-tipe dari pengulangan perhitungan dan persamaan kuadrat). Dalam makna tersebut, algoritima dikenal di Eropa jauh sebelum Al-Kharizmi. Algoritme paling tua yang dikenal sekarang adalah Algoritme Euklid (lihat juga Pengembangan algoritme Euklid). Sebelum ditemukan istilah algorithm orang Yunani menyebutnya anthyphairesis secara harfiah berarti anti-substraksi atau substraksi timbal-balik (untuk bacaan lebih lanjut disini dan ini 2013-11-03 di Wayback Machine.. Algoritme dikenal oleh orang Yunani berabad sebelum Euclid. Bukannya kata algebra orang Yunani menggunakan istilah arithmetica(ἀριθμητική, yaitu dalam karya Diophantus yang dikenal "bapak dari Aljabar" - lihat juga artikel Wikipedia persamaan Diophantine dan Eudoxos).

Sejarah: Perkembangan dari kata "algoritme"

Asal mula

Bukti terawal tentang algoritma ditemukan dalam matematika Babilonia di Mesopotamia kuno (saat ini merupakan bagian dari Irak). Sebuah tablet tanah liat Sumeria yang ditemukan di Shuruppak dekat Baghdad dan berasal dari sekitar tahun 2500 SM menjelaskan algoritma divisi yang paling awal. Selama dinasti Hammurabi sekitar 1800-1600 SM, tablet tanah liat Babilonia menjabarkan algoritma untuk rumus-rumus komputasi. Algoritma juga digunakan dalam astronomi Babilonia. Tablet tanah liat Babilonia menguraikan dan menggunakan prosedur algoritmik untuk menghitung waktu dan tempat peristiwa astronomi yang signifikan.

Algoritma untuk aritmatika juga ditemukan dalam matematika Mesir kuno, yang terdapat pada Papirus Matematika Rhind yang berasar dari sekitar tahun 1550 SM. Algoritma kemudian digunakan dalam matematika Helenistik kuno. Dua contohnya adalah Tapis Eratosthenes, yang dijelaskan dalam Pengenalan Aritmatika oleh Nicomachus,^{:Ch 9.2} dan Algoritma Euklides, yang pertama kali dipaparkan dalam Euclid's Elements (sekitar 300 SM).^{:Ch 9.1}

Simbol diskrit dan yang dapat dibedakan

Penanda-penghitung: Untuk mencatat hewan gembalaan, kumpulan biji dan uang mereka orang dahulu menggunakan penghitung: akumulasi batu atau tanda yang ditoreh pada tongkat, atau membuat simbol diskrit di kerang. Sampai orang Babilonia dan Mesir menggunakan tanda dan simbol, pada akhirnya bilangan Roma dan abakus berkembang (Dilson, p. 16-41). Penanda penghitung muncul dalam sistem bilangan operan aritmetika digunakan dalam mesin Turing dan komputasi mesin Post-Turing.

Manipulasi simbol sebagai "penampung" bilangan: aljabar

Karya dari Geometer Yunani kuno (algoritme Euklid), matematikawan India Brahmagupta, dan matematikawan Persia Al-Khwarizmi (yang darinya isitlah "algorism" dan "algoritme" diturunkan), dan matematikawan Eropa Barat memuncak dalam notasi Leibniz dari rasiosinator kalkulus (sekitar 1680-an):

Abad yang baik dan setengah lebih maju dari masanya, Leibniz mengajukan logika aljabar, sebuah aljabar yang akan menentukan aturan-aturan untuk memanipulasi konsep logika dengan cara yang aljabar biasa menentukan aturan untuk manipulasi angka.

Rancangan mekanis dengan tingkat diskrit

Jam: Bolter memuji penemuan jam gaya-berat sebagai "Kunci penemuan dari Eropa pada Abad Pertengahan", khususnya pada ambang pelarian yang menyediakan kita dengan tik dan tak dari jam mekanis. "Mesin otomatis yang akurat" mengarah langsung pada "otomata mekanis" dimulai pada abad ke-13 dan terakhir pada "mesin komputasi" -- motor berbeda dan motor analitik dari Charles Babbage dan bangsawan Ada Lovelace, pertengahan abad ke-19. Lovelace dikreditkan sebagai yang pertama menciptakan algoritme yang ditujukan untuk diproses di komputer—motor analitis Babbage, perangkat pertama yang dianggap komputer Turing-sempurna sebenarnya bukan hanya sebuah kalkulator—dan terkadang dikenal "programmer pertama dalam sejarah", walaupun implementasi penuh dari perangkat Babbage kedua tidak terealisasi sampai beberapa dekade setelah masanya.

Mesin logika 1870 - Stanley Jevons "sempoa logika" dan "mesin logika": Masalah teknisnya adalah untuk mereduksi persamaan boolean bila ditampilkan dalam sebuah bentuk yang pada masa sekarang dikenal sebagai pemetaan Karnaugh. Jevons (1880) pertama menjelaskan "sempoa" sederhana dari "potongan kayu dilengkapi dengan penyemat, dibuat supaya bagian atau kelas kombinasi logika manapun dapat dipilih secara mekanis ... Baru-baru ini Saya telah mereduksi sistem menjadi bentuk yang secara sempurna mekanis, dan membuatnya mewujudkan keseluruhan proses inferensi tak langsung dalam apa yang disebut sebuah Mesin Logika" Mesinnya dilengkapi dengan "beberapa tangkai kayu yang bisa dipindahkan" dan "di bawah ada 21 kunci seperti pada piano [dll] ...". Dengan mesin ini dia dapat menganalis sebuah "silogisme atau argumen logika sederhana apapun".

Mesin tenun Jacquard, kartu berlobangnya Hollerith, telegraf dan telepon -- penyiaran elektromekanis: Bell dan Newell (1971) mengindikasikan bahwa mesin tenun Jacquard (1801), pelopor dari kartu Hollerith (kartu berlobang, 1887), dan "teknologi alih telepon" adalah akar dari sebuah pohon yang mengarah pada perkembangan dari komputer pertama. Pada pertengahan abad ke-19 telegraf, pelopor dari telepon, digunakan diseluruh dunia, pengkodean diskrit dan pembedaan huruf sebagai "titik dan strip". Pada akhir abad ke-19 pita telegraf (sekitar 1870-an) digunakan, sebagaimana juga kartu Hollerith pada sensus Amerika 1890. Kemudian muncullah teleprinter (sekitar 1910-an) dengan kerta-berlobang menggunakan kode Baudot di pita.

Jaringan alih-telepon dari penyiaran elektromekanis (ditemukan 1835) adalah karya dair George Stibitz (1937), penemu dari perangkat penghitungan digital. Saat bekerja di laboratorium Bell, dia mengamati "beratnya" penggunaan kalkulator mekanis dengan geligi. "Dia pulang ke rumah pada suatu malam 1937 berniat untuk menguji idenya ... Saat mengatik selesai, Stibitz telah membangun perangkat hitung digital".

Davis (2000) mengamati pentingnya penyiaran elektromekanis (dengan "keadaan binari"-nya buka dan tutup):

Matematika selama abad 19 sampai pertengahan abad 20

Simbol dan aturan: Dengan cepat berkembangnya matematika dari George Boole (1847, 1854), Gottlob Frege (1897), dan Giuseppe Peano (1888-1889) mereduksi aritmetika menjadi serangkaian simbol dimanipulasi oleh aturan-aturan. The Principles of arithmetic, presented by a new method-nya Peano (1888) adalah "usaha pertama mengaksiomakan matematika dalam sebuah bahasa simbolik".

Tapi Heijenoort memberi pujian pada Frege (1879): Frege "merupakan karya tulis paling penting mengenai logika. ... yang mana kita lihat sebuah "'bahasa formula', yaitu sebuah lingua characterica, sebuah bahasa ditulis dengan simbol-simbol khusus, "untuk berpikir murni", yaiut, bebas dari hiasan retorikal ... dibangun dari simbol-simbol tertentu yang dimanipulasi menurut aturan-aturan terbatas". Karya dari Frege lebih lanjut disederhanakan dan diperkuat oleh Alfred North Whitehead dan Bertrand Russell dalam Principia Mathematical (1910-1913).

Paradoks: Pada masa yang sama sejumlah paradoks yang mengganggu muncul dalam literatur, pada khususnya paradoks Burali-Forti (1987), paradoks Russell (1902-03), dan Paradoks Richard. Hasilnya mengarah ke makalah Kurt Godel (1931) -- dia secara khusus merujuk paradoks pembohong—yang mereduksi aturan dari rekursi pada angka.

Penghitungan Efektif: Dalam usaha untuk menyelesaikan permasalahan keputusan yang didefinisikan oleh Hilbert tahun 1928, matematikawan pertama mendefinisikan apa arti dari "metode efektif" atau "kalkulasi efektif" (misalnya, sebuah kalkulasi yang akan sukses). Dalam waktu yang cepat hal berikut muncul: kalkulus-λ oleh Alonzo Church, Stephen Kleene, dan J.B. Rosser definisi dari "rekursi umum" yang benar-benar diasah dari karya Godel berdasarkan saran dari Jacquard Herbrand (cf. kuliah Godel di Princeton tahun 1934) dan penyederhaan selanjutnya oleh Kleene. Church membuktikan bahwa permasalahan keputusan tidak terpecahkan, definisi Emil Post tentang penghitungan efektif yaitu sebagai pekerja yang tanpa berpikir mengikuti suatu daftar instruksi untuk bergerak ke kiri atau kanan lewat sederetan ruangan dan bersamaan dengan itu bisa menandai atau menghapus kertas atau mengamati kertas dan membuat pilihan ya-tidak tentang instruksi selanjutnya. Pembuktian Alan Turing bahwa permasalahan keputusan tidak terpecahkan dengan menggunakan "sebuah mesin [otomatis]"-nya dengan efek yang mirip dengan "formulasi"-nya Post, definisi J. Barkley Rosser tentang "metode efektif" dalam makna "sebuah mesin". Proposal S. C. Kleene dari pelopor "Tesis Church" yang disebutnya "Thesis I", dan beberapa tahun kemudian Kleene menamakan tesisnya "Tesis Church" dan mengajukan "Tesis Turing".

Emil Post (1936) dan Alan Turing (1936-37, 1939)

Berikut adalah kebetulan yang luar biasa dari dua orang yang tidak saling mengenal tetapi mendeskripsikan sebuah proses orang-sebagai-komputer mengerjakan perhitungan—dan mereka menghasilkan definisi yang mirip.

Emil Post (1936) mendeskripsikan aksi dari sebuah "komputer" (manusia) sebagai berikut:

Simbol ruangnya yaitu

Turing—model dari komputasinya sekarang dikenal dengan mesin Turing—memulai, sebagaimana Post, dengan analisis dari komputer manusia yang ia sederhanakan menjadi sekumpulan gerakan dasar sederhana dan "keadaan pikiran". Tapi dia terus maju selangkah ke depan dan membuat sebuah mesin sebagai model dari komputasi angka.

Reduksi Turing menghasilkan hal berikut:

"Bisa saja beberapa dari perubahan tersebut menyebabkan perubahan keadaan pikiran. Operasi tunggal paling umum oleh karena itu harus diambil jadi salah satu hal berikut:

Beberapa tahun kemudian, Turing mengembangkan analisisnya (tesis, secara definisi) dengan ekspresi kuat berikut:

Walau sangat mudah menangkap ide ini, namun ia membutuhkan beberapa definisi matematikan terbatas yang bisa diekspresikan . . . [dia mendiskusikan sejarah dari definisi seperti di atas dengan menghormati Godel, Herbrand, Kleen, Church, Turing dan Post] ... Kita mungkin gunakan pernyataan tersebut secara harfiah, memahami murni dengan proses mekanis yang mana dapat dilakukan oleh sebuah mesin. Memungkinkan untuk memberikan deskripsi matematis, dalam beberapa bentuk normal, dari struktur mesin tersebut. Perkembangan dari ide ini mengarah pada definisi penulis dari sebuah fungsi yang dapat dihitung, dan untuk mengidentifikasi komputibilitas † dengan penghitungan yang efektif . . . .

J. B. Rosser (1939) dan S. C. Kleene (1943)

J. Barkley Rosser mendefinisikan 'metode [matematis] efektif' dengan cara berikut (kemiringan ditambahkan):

Catatan kaki Rosser #5 merujuk karya dari (1) Church dan Kleene dan definisi dari definabiliti-λ, secara khusus Church menggunakannya dalam An Unsolvable Problem of Elementary Number Theory-nya (1936); (2) Herbrand dan Godel dan penggunaan rekursi mereka terutama Godel menggunakannya dalam makalah terkenalnya On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems I (1931); dan (3) Post (1936) dan Turing (1936-7) dalam model mekanisme komputasi mereka.

Stephen C. Kleene didefinisikan sebagai "Thesis I"-nya yang terkenal yang dikenal sebagai tesis Church-Turing. Tapi dia melakukan hal tersebut dalam konteks berikut (penebalan dari aslinya):

Sejarah setelah 1950

Sejumlah usaha telah diarahkan untuk memperbaiki lebih lanjut definisi dari "algoritme", dan aktivitas tersebut masih terus berjalan karena isu-isu yang mengelilinginya, terutama, fondasi matematika (khususnya tesis Church-Turing) dan filsafat pikiran (khususnya argumen menyangkut kecerdasan buatan). Lebih lanjut, lihat karakterisasi algoritme.

Lihat juga

• Pemerintahan algoritmik
• Mesin abstrak
• Rekayasa algoritme
• Komposisi algoritmik
• Sintesis algoritmik
• Algoritme trading
• Sampah masuk, sampah keluar
• Pendahuluan untuk Algoritme
• Daftar topik algoritme umum
• Daftar publikasi penting dalam ilmu komputer teoretis - Algoritme
• Numerical Mathematics Consortium
• Teori komputasi
  • Teori komputabilitas
  • Teori kompleksitas Komputasi

Referensi

1. Blair, Ann, Duguid, Paul, Goeing, Anja-Silvia and Grafton, Anthony. Information: A Historical Companion, Princeton: Princeton University Press, 2021. p. 247
2. David A. Grossman, Ophir Frieder, Information Retrieval: Algorithms and Heuristics, 2nd edition, 2004, ISBN 1402030045
3. "Any classical mathematical algorithm, for example, can be described in a finite number of English words" (Rogers 1987:2).
4. Well defined with respect to the agent that executes the algorithm: "There is a computing agent, usually human, which can react to the instructions and carry out the computations" (Rogers 1987:2).
5. "an algorithm is a procedure for computing a function (with respect to some chosen notation for integers) ... this limitation (to numerical functions) results in no loss of generality", (Rogers 1987:1).
6. "An algorithm has zero or more inputs, i.e., quantities which are given to it initially before the algorithm begins" (Knuth 1973:5).
7. "A procedure which has all the characteristics of an algorithm except that it possibly lacks finiteness may be called a 'computational method'" (Knuth 1973:5).
8. "An algorithm has one or more outputs, i.e. quantities which have a specified relation to the inputs" (Knuth 1973:5).
9. Whether or not a process with random interior processes (not including the input) is an algorithm is debatable. Rogers opines that: "a computation is carried out in a discrete stepwise fashion, without the use of continuous methods or analogue devices ... carried forward deterministically, without resort to random methods or devices, e.g., dice" (Rogers 1987:2).
10. Cooke, Roger L. (2005). The History of Mathematics: A Brief Course. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-46029-0. 
11. . www-history.mcs.st-andrews.ac.uk. Diarsipkan dari versi asli tanggal August 2, 2019. Diakses tanggal May 3, 2017.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
12. . Chambers Dictionary. Diarsipkan dari versi asli tanggal March 31, 2019. Diakses tanggal December 13, 2016.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
13. Hogendijk, Jan P. (1998). . Pythagoras. 38 (2): 4–5. Diarsipkan dari versi asli tanggal April 12, 2009.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
14. Oaks, Jeffrey A. . University of Indianapolis. Diarsipkan dari versi asli tanggal July 18, 2011. Diakses tanggal May 30, 2008.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
15. Brezina, Corona (2006). Al-Khwarizmi: The Inventor Of Algebra. The Rosen Publishing Group. ISBN 978-1-4042-0513-0. 
16. Foremost mathematical texts in history June 9, 2011, di Wayback Machine., according to Carl B. Boyer.
17. , The Free Dictionary, diarsipkan dari versi asli tanggal December 21, 2019, diakses tanggal 2019-11-14  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
18. Oxford English Dictionary, Third Edition, 2012 s.v.
19. Mehri, Bahman (2017). "From Al-Khwarizmi to Algorithm". Olympiads in Informatics. 11 (2): 71–74. doi:10.15388/ioi.2017.special.11. 
20. Sriram, M. S. (2005). "Algorithms in Indian Mathematics". Dalam Emch, Gerard G.; Sridharan, R.; Srinivas, M. D. Contributions to the History of Indian Mathematics (dalam bahasa Inggris). Springer. hlm. 153. ISBN 978-93-86279-25-5. 
21. . members.peak.org. Diarsipkan dari versi asli tanggal August 21, 2019. Diakses tanggal 2019-11-14.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
22. Kleene 1943 in Davis 1965:274
23. Rosser 1939 in Davis 1965:225
24. Stone 1973:4
25. Stone secara sederhana membutuhkan "harus berhenti dalam sejumlah langkah" (Stone 1973:7-8).
26. Boolos and Jeffrey 1974, 1999:19
27. cf Stone 1972:5
28. Knuth 1973:7 menyatakan: "Pada praktiknya kita tidak hanya menginginkan algoritme, kita menginginkan algoritam yang baik ... salah satu kriteria dari kebaikannya adalah lama waktu yang digunakan untuk menjalankan algoritme ... kriteria lainnya adalah kemampuan adaptasi dari algoritme ke komputer, kesederhanaan dan elegan, dll."
29. cf Stone 1973:6
30. Stone 1973:7-8 menyatakan bahwa harus ada, "... sebuah prosedur yang robot [yaitu komputer] bisa ikuti supaya dapat menentukan secara tepat bagaimana mengikuti instruksi tersebut." Stone menambahkan keterbatasan dari proses, dan kepastian (tidak memiliki kerancuan pada instruksi) pada definisi tersebut.
31. Knuth, loc. cit
32. Minsky 1967:105
33. Gurevich 2000:1, 3
34. Sipser 2006:157
35. Knuth 1973:7
36. Chaitin 2005:32
37. Rogers 1987:1-2
38. Dalam esainya "Calculations by Man and Machine: Conceptual Analysis" Seig 2002:390 memuji perbedaan ini oleh Robin Gandy, cf Wilfred Seig, dll., 2002 Reflections on the foundations of mathematics: Essays in honor of Solomon Feferman, Association for Symbolic Logic, A. K Peters Ltd, Natick, MA.
39. cf gandy 1980:126, robin gandy church's thesis and principles for mechanisms appearing on pp. 123–148 in j. barwise et al. 1980 the kleene symposium, north-holland publishing company.
40. Sebuah "robot": "Sebuah komputer adalah sebuah robot yang melakukan setiap tugas yang dapat dijelaskan sebagai urutan dari instruksi." cf Stone 1972:3
41. "abacus"-nya Lambek adalah "sejumlah lokasi tak terbatas yang bisa dihitung (lubang, kabel, dll.) berikut dengan persediaan penghitung yang tak terbatas (kerikil, remah roti, dll). Lokasinya bisa dibedakan, penghitungnya tidak". Lubangnya memiliki kapasitas tak terbatas, dan digerakan oleh agen yang memahami dan mampu menjalankan sejumlah instruksi" (Lambek 1961:295). Lambek mengacu Melzak yang mendefinisikan mesin-Q nya sebagai "sejumlah lokasi yang besar tanpa batas ... persediaan penghitung yang tanpa batas yang terdistribusi di antara lokasi-lokasi tersebut, sebuah program, dan sebuah operator yang tujuan satu-satunya yaitu menjalankan program." (Melzak 1961:283). B-B-J (loc. cit.) menambahkan syarat bahwa lubang tersebut "mampu menyimpan sejumlah batu" (p. 46). Melzak dan Lambek muncul di The Canadian Mathematical Bulletin, vol. 4, no. 3, September 1961.
42. Jika tidak ada kebingungan yang dihasilkan, kata "penghitung" bisa dihiraukan, dan sebuah lokasi bisa dikatakan mengandung sebuah "angka".
43. "Kita mengatakan bahwa instruksi adalah efektif bila ada sebuah prosedur yang robot dapat ikuti supaya dapat menentukan secara tepat bagaimana mematuhi instruksi." (Stone 1972:6)
44. cf Minsky 1967: Chapter 11 "Computer models" and Chapter 14 "Very Simple Bases for Computability" pp. 255–281 in particular
45. cf Knuth 1973:3.
46. Tapi selalu diikuti oleh IF-THEN untuk menghindari pengurangan yang tidak sesuai.
47. Namun, beberapa instruksi penetapan berbeda (misalnya, DECREMENT, INCREMENT, dan ZERO/CLEAR/EMPTY untuk mesin Minsky) juga dibutuhkan untuk kekomplitan-Turing; spesifikasi lengkapnya tergantung kepada perancang. GOTO tak bersyarat cukup mudah; ia dapat dibentuk dengan menginisialisasi suatu lokasi tertentu dengan nol, misalnya, instruksi "Z ← 0"; oleh karena itu instruksi IF Z=0 THEN GOTO xxx adalah tak bersyarat.
48. Knuth 1973:4
49. Strone 1972:5. Metode untuk mendapatkan akar tidaklah biasa: lihat Metode untuk menghitung akar kuadrat.
50. Leeuwen, Jan (1990). Handbook of Theoretical Computer Science: Algorithms and complexity. Volume A. Elsevier. hlm. 85. ISBN 978-0-444-88071-0. 
51. John G. Kemeny and Thomas E. Kurtz 1985 Back to Basic: The History, Corruption, and Future of the Language, Addison-Wesley Publishing Company, Inc. Reading, MA, ISBN 0-201-13433-0.
52. Tausworthe 1977:101
53. Tausworthe 1977:142
54. Knuth 1973 bagian 1.2.1, dikembangkan oleh Tausworthe 1977 di halaman 100ff dan Bab 9.1
55. cf Tausworthe 1977
56. Heath 1908:300; Hawking's Dover 2005 edisi diambil dari Heath.
57. "'Biarkan CD, mengukur BF, meninggalkan FA kurang darinya.' Hal ini merupakan singkatan cerdik untuk mengatakan, ukur pada BA panjang yang sama dengan CD sampai titik F sehingga sisa panjang FA kurang dari CD; dengan kata lain, misalkan BF adalah yang kelipatan terbesar dari CD yang terdapat dalam BA" (Heath 1908:297)
58. Untuk percobaan moden menggunakan pembagian dalam algoritme lihat Hardy dan Wright 1979:180, Knuth 1973:2 (Volume 1), ditambah diskusi tentang algoritme Euclid dalam Knuth 1969:293-297 (Volume 2).
59. Euclid mengungkapkan pertanyaan ini dalam Proposisi 1 nya.
60. "Euclid's Elements, Book VII, Proposition 2". Aleph0.clarku.edu. Diakses tanggal May 20, 2012. 
61. Knuth 1973:13-18. Dia memuji "formulasi pembuktian-algoritme dalam makan asersi dan induksi" kepada R. W. Floyd, Peter Naur, C. A. R. Hoare, H. H. Goldstine dan J. von Neumann. Tausworth 1977 meminjam contoh Euclid Knuth dan mengembangkan metode Knuth di bab 9.1 dari Formal Proofs (pages 288–298).
62. Tausworthe 1997:294
63. cf Knuth 1973:7 (Vol. I), and his more-detailed analyses on pp. 1969:294-313 (Vol II).
64. Kesalahan terjadi saat sebuah algoritme mencoba memadatkan dirinya sendiri. Keberhasilan akan memecahkan permasalahan perhentian.
65. Gillian Conahan (January 2013). "Better Math Makes Faster Data Networks". discovermagazine.com. 
66. Haitham Hassanieh, Piotr Indyk, Dina Katabi, and Eric Price , "ACM-SIAM Symposium On Discrete Algorithms (SODA) 2013-07-04 di Wayback Machine. , Kyoto, January 2012. Lihat juga sFFT Web Page.
67. Kowalski 1979
68. Carroll, Sue; Daughtrey, Taz (July 4, 2007). Fundamental Concepts for the Software Quality Engineer. American Society for Quality. hlm. 282 et seq. ISBN 978-0-87389-720-4. 
69. Misalnya, volume dari suatu politop kompleks (dijelaskan menggunakan sebuah keanggotaan oracle) dapat diperkirakan sampai keakuratan yang tinggi dengan mengacak algoritme waktu polinomial, bukan dengan deterministik; lihat Dyer, Martin; Frieze, Alan; Kannan, Ravi (January 1991), "A Random Polynomial-time Algorithm for Approximating the Volume of Convex Bodies", J. ACM, New York, NY, USA: ACM, 38 (1): 1–17, doi:10.1145/102782.102783 .
70. George B. Dantzig and Mukund N. Thapa. 2003. Linear Programming 2: Theory and Extensions. Springer-Verlag.
71. Tsypkin (1971). Adaptation and learning in automatic systems. Academic Press. hlm. 54. ISBN 978-0-08-095582-7. 
72. Hogendijk, Jan P. (1998). . Pythagoras. 38 (2): 4–5. ISSN 0033-4766. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2008-03-19. Diakses tanggal 2014-08-28. 
73. Oaks, Jeffrey A. "Was al-Khwarizmi an applied algebraist?". University of Indianapolis. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2010-11-15. Diakses tanggal 2008-05-30. 
74. Brezina, Corona (2006). Al-Khwarizmi: The Inventor Of Algebra. The Rosen Publishing Group. ISBN 978-1-4042-0513-0. 
75. Foremost mathematical texts in history, according to Carl B. Boyer.
76. Etymology of algorithm at Dictionary.Reference.com
77. Becker O (1933). "Eudoxus-Studien I. Eine voreuklidische Proportionslehre und ihre Spuren bei Aristoteles und Euklid". Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik B 2: 311–333.
78. Chabert, Jean-Luc (2012). A History of Algorithms: From the Pebble to the Microchip. Springer Science & Business Media. hlm. 7–8. ISBN 9783642181924. 
79. Knuth, Donald E. (1972). (PDF). Commun. ACM. 15 (7): 671–677. doi:10.1145/361454.361514. ISSN 0001-0782. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2012-12-24.  Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan); Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
80. Aaboe, Asger (2001), Episodes from the Early History of Astronomy, New York: Springer, hlm. 40–62, ISBN 978-0-387-95136-2 
81. Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Springer Science & Business Media2
82. Ast, Courtney. . Wichita State University: Department of Mathematics and Statistics. Diarsipkan dari versi asli tanggal February 27, 2015. Diakses tanggal February 27, 2015.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
83. Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Cooke20052
84. Davis 2000:18
85. Bolter 1984:24
86. Bolder 1984:26
87. Bolter 1984:33–34, 204–206.
88. All quotes from W. Stanley Jevons 1880 Elementary Lessons in Logic: Deductive and Inductive, Macmillan and Co., London and New York. Republished as a googlebook; cf Jevons 1880:199–201. Louis Couturat 1914 the Algebra of Logic, The Open Court Publishing Company, Chicago and London. Republished as a googlebook; cf Couturat 1914:75–76 gives a few more details; interestingly he compares this to a typewriter as well as a piano. Jevons states that the account is to be found at Jan . 20, 1870 The Proceedings of the Royal Society.
89. Bell and Newell diagram 1971:39, cf. Davis 2000
90. * Melina Hill, Valley News Correspondent, A Tinkerer Gets a Place in History, Valley News West Lebanon NH, Thursday March 31, 1983, page 13.
91. Davis 2000:14
92. van Heijenoort 1967:81ff
93. van Heijenoort's commentary on Frege's Begriffsschrift, a formula language, modeled upon that of arithmetic, for pure thought in van Heijenoort 1967:1
94. Dixon 1906, cf. Kleene 1952:36–40
95. cf. footnote in Alonzo Church 1936a in Davis 1965:90 and 1936b in Davis 1965:110
96. Kleene 1935–6 in Davis 1965:237ff, Kleene 1943 in Davis 1965:255ff
97. Church 1936 in Davis 1965:88ff
98. cf. "Formulation I", Post 1936 in Davis 1965:289–290
99. Turing 1936–7 in Davis 1965:116ff
100. Rosser 1939 in Davis 1965:226
101. Kleene 1943 in Davis 1965:273–274
102. Kleene 1952:300, 317
103. Kleene 1952:376
104. Turing 1936–7 in Davis 1965:289–290
105. Turing 1936 in Davis 1965, Turing 1939 in Davis 1965:160
106. Hodges, p. 96
107. Turing 1936–7:116
108. Turing 1936–7 in Davis 1965:136
109. Turing 1939 in Davis 1965:160

Bacaan lanjutan

• Axt, P. (1959) On a Subrecursive Hierarchy and Primitive Recursive Degrees, Transactions of the American Mathematical Society 92, pp. 85–105
• Bell, C. Gordon and Newell, Allen (1971), Computer Structures: Readings and Examples, McGraw-Hill Book Company, New York. ISBN 0-07-004357-4.
• Bellah, Robert Neelly (1985). Habits of the Heart: Individualism and Commitment in American Life. Berkeley: University of California Press. ISBN 978-0-520-25419-0. 
• Blass, Andreas; Gurevich, Yuri (2003). "Algorithms: A Quest for Absolute Definitions" (PDF). Bulletin of European Association for Theoretical Computer Science. 81.  Includes an excellent bibliography of 56 references.
• Boolos, George; Jeffrey, Richard (1974, 1999). Computability and Logic (edisi ke-4th). Cambridge University Press, London. ISBN 0-521-20402-X.  Periksa nilai tanggal di: |year= (bantuan): cf. Chapter 3 Turing machines where they discuss "certain enumerable sets not effectively (mechanically) enumerable".
• Burgin, Mark (2004). Super-Recursive Algorithms. Springer. ISBN 978-0-387-95569-8. 
• Campagnolo, M.L., Moore, C., and Costa, J.F. (2000) An analog characterization of the subrecursive functions. In Proc. of the 4th Conference on Real Numbers and Computers, Odense University, pp. 91–109
• Church, Alonzo (1936a). "An Unsolvable Problem of Elementary Number Theory". The American Journal of Mathematics. 58 (2): 345–363. doi:10.2307/2371045. JSTOR 2371045.  Reprinted in The Undecidable, p. 89ff. The first expression of "Church's Thesis". See in particular page 100 (The Undecidable) where he defines the notion of "effective calculability" in terms of "an algorithm", and he uses the word "terminates", etc.

Pranala luar

Lihat informasi mengenai algoritma di Wiktionary.

Wikibooks memiliki buku di:

Algorithma

• (Indonesia) Pengertian Algoritme^{[pranala nonaktif permanen]}
• (Inggris) Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Algorithm", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Algorithms di Curlie (dari DMOZ)
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Algorithm". MathWorld. 
• (Inggris) Dictionary of Algorithms and Data Structures—National Institute of Standards and Technology
• (Inggris) Algorithms and Data Structures by Dr Nikolai Bezroukov