www.wikidata.id-id.nina.az

Relasi kekongruenan Artikel ini sudah memiliki daftar referensi bacaan terkait atau pranala luar tetapi sumbernya belum

Relasi kekongruenan

Untuk istilah dalam geometri, lihat Kongruen.

Dalam aljabar abstrak, relasi kekongruenan (juga disebut dengan kekongruenan atau kongruen) adalah relasi ekuivalensi pada struktur aljabar (seperti grup, gelanggang, atau ruang vektor) yang sesuai dengan struktur yang bersangkutan; dalam artian hasil operasi aljabar dari elemen yang ekuivalen akan menghasilkan elemen yang ekuivalen. Setiap relasi kekongruenan memiliki kelas-kelas kesetaraan (atau kelas-kelas kekongruenan) yang bersesuaian untuk relasi tersebut.

Definisi Sunting

Kekongruenan memiliki definisi yang bergantung pada tipe struktur aljabar yang sedang dibahas. Definisi kekongruenan yang spesifik dapat dibentuk untuk grup, gelanggang, semigrup, modul, dan lain-lainnya. Tema yang umum dari definisi kekongruenan adalah suatu relasi ekuivalensi pada objek aljabar yang tetap berlaku pada struktur aljabar yang bersangkutan; dalam artian operasi untuk anggota struktur tersebut terdefinisi dengan baik untuk kelas-kelas ekuivalennya. Sebagai contoh, sebuah grup adalah objek aljabar berisi himpunan yang dilengkapi oleh sebuah operasi biner, yang memenuhi aksioma-aksioma tertentu. Untuk sebuah grup dengan operasi , relasi kekongruenan pada adalah relasi ekuivalensi pada elemen-elemen yang memenuhi

untuk setiap , , , . Untuk kekongruenan pada sebuah grup, kelas kesetaraan yang mengandung elemen identitas selalu merupakan subgrup normal, dan kelas-kelas ekuvalen lainnya adalah coset dari subgrup ini. Secara keseluruhan, kelas-kelas kesetaraan ini adalah elemen dari grup hasil bagi.

Jika struktur aljabar memiliki lebih dari satu operasi, relasi kekongruenan perlu berlaku untuk setiap operasi. Sebagai contoh, sebuah gelanggang memiliki operasi penjumlahan dan perkalian, sehingga relasi kekongruenan perlu memenuhi

untuk setiap . Untuk kekongruenan pada sebuah gelanggang, kelas kesetaraan yang mengandung unsur 0 selalu merupakan ideal dua sisi; dan dua operasi pada himpunan kelas-kelas kesetaraan, dapat mendefinisikan gelanggang hasil bagi yang bersangkutan.

Bentuk umum relasi kekongruenan dapat didefinisikan secara formal dalam konteks aljabar universal, sebuah bidang ilmu yang mempelajari sifat-sifat yang dimiliki semua struktur aljabar. Dalam bidang ini, relasi kekongruenan adalah relasi ekuivalensi pada struktur aljabar yang memenuhi

untuk setiap operasi -ary , dan untuk semua elemen dengan untuk setiap

Contoh Sunting

bagian ini berisi artikel tentang notasi (mod n). Untuk operasi biner mod, lihat operasi modulo.

Contoh umum dari relasi kekongruenan adalah kekongruenan modulo pada himpunan bilangan bulat. Untuk sebuah bilangan bulat positif , dua bilangan bulat dan dikatakan (saling) kongruen modulo , dan dituliskan sebagai

jika habis dibagi oleh (dalam kata lain, jika dan memiliki sisa pembagian yang sama ketika dibagi oleh ).

Sebagai contoh, dan saling kongruen modulo , dan dituliskan sebagai

karena adalah kelipatan dari ; atau secara ekuivalen, karena dan memiliki sisa pembagian ketika dibagi oleh .

sifat penjumlahan dan perkalian bilangan bulat masih berlaku dalam kekongruenan modulo (untuk yang tetap). Hal ini mengartikan jika

maka

Penjumlahan dan perkalian untuk kelas-kelas kesetaraan ini dikenal sebagai aritmetika modular. Dari sudut pandang aljabar abstrak, kekongruenan modulo adalah relasi kekongruenan pada gelanggang bilangan bulat, dan operasi modulo terjadi pada gelanggang hasil bagi yang bersangkutan.

Hubungan dengan homomorfisma Sunting

Jika adalah homomorfisma antara dua struktur aljabar (seperti homomorfisma pada grup, atau sebuah pemetaan linear antar ruang vektor), maka relasi yang didefinisikan sebagai

adalah relasi kekongruenan. Berdasarkan teorema isomorfisma yang pertama, adalah substruktur dari yang isomorfik kepada hasil bagi dari oleh kekongruenan ini.

Kekongruenan grup, subgrup normal, dan ideal Sunting

Dalam kasus khusus berupa grup, relasi kekongruenan dapat dideskripsikan dalam kondisi-kondisi sederhana berikut. Untuk grup (dengan elemen identitas dan operasi ), relasi biner adalah kekongruenan jika dan hanya jika:

  • Untuk setiap , (reflektif).
  • Untuk setiap , jika maka (simetris).
  • Untuk setiap , jika dan , maka (transitif).
  • Untuk setiap , jika dan , maka .
  • Untuk setiap , jika maka (kondisi ini redundan karena dapat dibuktikan dari empat kondisi lainnya

Tiga kondisi pertama mengatakan bahwa adalah sebuah relasi ekuivalensi. Kekongruenan ditentukan seluruhnya dari himpunan elemen yang kongruen dengan elemen identitas, dan himpunan ini termasuk subgrup normal. Secara khusus, jika dan hanya jika . Hal ini menyebabkan kekongruenan lebih sering merujuk pada subgrup normal dari grup ketimbang pada grup; faktanya, setiap kekongruenan berkorespodensi dengan subgrup normal yang unik.

Catatan Sunting

  1. Hungerford, Thomas W.. Algebra. Springer-Verlag, 1974, p. 27
  2. Hungerford, 1974, p. 26

Referensi Sunting

  • Horn and Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2. (Section 4.5 discusses congruency of matrices.)
  • Rosen, Kenneth H (2012). Discrete Mathematics and Its Applications. McGraw-Hill Education. ISBN 978-0077418939. 
wikipedia, wiki, buku, buku, perpustakaan, artikel, baca, unduh, gratis, unduh gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, gambar, musik, lagu, film, buku, permainan, permainan.
Tanggal penerbitan:
Artikel ini sudah memiliki daftar referensi bacaan terkait atau pranala luar tetapi sumbernya belum jelas karena belum menyertakan kutipan pada kalimat Mohon tingkatkan kualitas artikel ini dengan memasukkan rujukan yang lebih mendetail bila perlu Pelajari cara dan kapan saatnya untuk menghapus pesan templat ini Untuk istilah dalam geometri lihat Kongruen Dalam aljabar abstrak relasi kekongruenan juga disebut dengan kekongruenan atau kongruen adalah relasi ekuivalensi pada struktur aljabar seperti grup gelanggang atau ruang vektor yang sesuai dengan struktur yang bersangkutan dalam artian hasil operasi aljabar dari elemen yang ekuivalen akan menghasilkan elemen yang ekuivalen 1 Setiap relasi kekongruenan memiliki kelas kelas kesetaraan atau kelas kelas kekongruenan yang bersesuaian untuk relasi tersebut 2 Daftar isi 1 Definisi 2 Contoh 3 Hubungan dengan homomorfisma 4 Kekongruenan grup subgrup normal dan ideal 5 Catatan 6 ReferensiDefinisi SuntingKekongruenan memiliki definisi yang bergantung pada tipe struktur aljabar yang sedang dibahas Definisi kekongruenan yang spesifik dapat dibentuk untuk grup gelanggang semigrup modul dan lain lainnya Tema yang umum dari definisi kekongruenan adalah suatu relasi ekuivalensi pada objek aljabar yang tetap berlaku pada struktur aljabar yang bersangkutan dalam artian operasi untuk anggota struktur tersebut terdefinisi dengan baik untuk kelas kelas ekuivalennya Sebagai contoh sebuah grup adalah objek aljabar berisi himpunan yang dilengkapi oleh sebuah operasi biner yang memenuhi aksioma aksioma tertentu Untuk sebuah grup G displaystyle G nbsp dengan operasi displaystyle ast nbsp relasi kekongruenan pada G displaystyle G nbsp adalah relasi ekuivalensi displaystyle equiv nbsp pada elemen elemen G displaystyle G nbsp yang memenuhig 1 g 2 dan h 1 h 2 g 1 h 1 g 2 h 2 displaystyle g 1 equiv g 2 text dan h 1 equiv h 2 implies g 1 ast h 1 equiv g 2 ast h 2 nbsp untuk setiap g 1 displaystyle g 1 nbsp g 2 displaystyle g 2 nbsp h 1 displaystyle h 1 nbsp h 2 G displaystyle h 2 in G nbsp Untuk kekongruenan pada sebuah grup kelas kesetaraan yang mengandung elemen identitas selalu merupakan subgrup normal dan kelas kelas ekuvalen lainnya adalah coset dari subgrup ini Secara keseluruhan kelas kelas kesetaraan ini adalah elemen dari grup hasil bagi Jika struktur aljabar memiliki lebih dari satu operasi relasi kekongruenan perlu berlaku untuk setiap operasi Sebagai contoh sebuah gelanggang memiliki operasi penjumlahan dan perkalian sehingga relasi kekongruenan perlu memenuhi r 1 s 1 r 2 s 2 dan r 1 s 1 r 2 s 2 displaystyle r 1 s 1 equiv r 2 s 2 text dan r 1 s 1 equiv r 2 s 2 nbsp untuk setiap r 1 r 2 dan s 1 s 2 displaystyle r 1 equiv r 2 text dan s 1 equiv s 2 nbsp Untuk kekongruenan pada sebuah gelanggang kelas kesetaraan yang mengandung unsur 0 selalu merupakan ideal dua sisi dan dua operasi pada himpunan kelas kelas kesetaraan dapat mendefinisikan gelanggang hasil bagi yang bersangkutan Bentuk umum relasi kekongruenan dapat didefinisikan secara formal dalam konteks aljabar universal sebuah bidang ilmu yang mempelajari sifat sifat yang dimiliki semua struktur aljabar Dalam bidang ini relasi kekongruenan adalah relasi ekuivalensi displaystyle equiv nbsp pada struktur aljabar yang memenuhi m a 1 a 2 a n m a 1 a 2 a n displaystyle mu left a 1 text a 2 text ldots text a n right equiv mu left a 1 text a 2 text ldots text a n right nbsp untuk setiap operasi n displaystyle n nbsp ary m displaystyle mu nbsp dan untuk semua elemen a 1 a n a 1 a n displaystyle a 1 text ldots text a n text a 1 text ldots text a n nbsp dengan a i a i displaystyle a i equiv a i nbsp untuk setiap i 1 n displaystyle i 1 n nbsp Contoh Suntingbagian ini berisi artikel tentang notasi mod n Untuk operasi biner mod lihat operasi modulo Contoh umum dari relasi kekongruenan adalah kekongruenan modulo n displaystyle n nbsp pada himpunan bilangan bulat Untuk sebuah bilangan bulat positif n displaystyle n nbsp dua bilangan bulat a displaystyle a nbsp dan b displaystyle b nbsp dikatakan saling kongruen modulo n displaystyle n nbsp dan dituliskan sebagaia b mod n displaystyle a equiv b pmod n nbsp jika a b displaystyle a b nbsp habis dibagi oleh n displaystyle n nbsp dalam kata lain jika a displaystyle a nbsp dan b displaystyle b nbsp memiliki sisa pembagian yang sama ketika dibagi oleh n displaystyle n nbsp Sebagai contoh 37 displaystyle 37 nbsp dan 57 displaystyle 57 nbsp saling kongruen modulo 10 displaystyle 10 nbsp dan dituliskan sebagai 37 57 mod 10 displaystyle 37 equiv 57 pmod 10 nbsp karena 37 57 20 displaystyle 37 57 20 nbsp adalah kelipatan dari 10 displaystyle 10 nbsp atau secara ekuivalen karena 37 displaystyle 37 nbsp dan 57 displaystyle 57 nbsp memiliki sisa pembagian 7 displaystyle 7 nbsp ketika dibagi oleh 10 displaystyle 10 nbsp sifat penjumlahan dan perkalian bilangan bulat masih berlaku dalam kekongruenan modulo n displaystyle n nbsp untuk n displaystyle n nbsp yang tetap Hal ini mengartikan jika a 1 a 2 mod n displaystyle a 1 equiv a 2 pmod n nbsp dan b 1 b 2 mod n displaystyle b 1 equiv b 2 pmod n nbsp maka a 1 b 1 a 2 b 2 mod n displaystyle a 1 b 1 equiv a 2 b 2 pmod n nbsp and a 1 b 1 a 2 b 2 mod n displaystyle a 1 b 1 equiv a 2 b 2 pmod n nbsp Penjumlahan dan perkalian untuk kelas kelas kesetaraan ini dikenal sebagai aritmetika modular Dari sudut pandang aljabar abstrak kekongruenan modulo n displaystyle n nbsp adalah relasi kekongruenan pada gelanggang bilangan bulat dan operasi modulo n displaystyle n nbsp terjadi pada gelanggang hasil bagi yang bersangkutan Hubungan dengan homomorfisma SuntingJika f A B displaystyle f A rightarrow B nbsp adalah homomorfisma antara dua struktur aljabar seperti homomorfisma pada grup atau sebuah pemetaan linear antar ruang vektor maka relasi R displaystyle R nbsp yang didefinisikan sebagai a 1 R a 2 displaystyle a 1 R a 2 nbsp jika dan hanya jika f a 1 f a 2 displaystyle f left a 1 right f left a 2 right nbsp adalah relasi kekongruenan Berdasarkan teorema isomorfisma yang pertama f A displaystyle f A nbsp adalah substruktur dari B displaystyle B nbsp yang isomorfik kepada hasil bagi dari A displaystyle A nbsp oleh kekongruenan ini Kekongruenan grup subgrup normal dan ideal SuntingDalam kasus khusus berupa grup relasi kekongruenan dapat dideskripsikan dalam kondisi kondisi sederhana berikut Untuk grup G displaystyle G nbsp dengan elemen identitas e displaystyle e nbsp dan operasi displaystyle nbsp relasi biner displaystyle equiv nbsp adalah kekongruenan jika dan hanya jika Untuk setiap a G displaystyle a in G nbsp a a displaystyle a equiv a nbsp reflektif Untuk setiap a b G displaystyle a b in G nbsp jika a b displaystyle a equiv b nbsp maka b a displaystyle b equiv a nbsp simetris Untuk setiap a b c G displaystyle a b c in G nbsp jika a b displaystyle a equiv b nbsp dan b c displaystyle b equiv c nbsp maka a c displaystyle a equiv c nbsp transitif Untuk setiap a b a b G displaystyle a b a b in G nbsp jika a a displaystyle a equiv a nbsp dan b b displaystyle b equiv b nbsp maka a b a b displaystyle a b equiv a b nbsp Untuk setiap a a G displaystyle a a in G nbsp jika a a displaystyle a equiv a nbsp maka a 1 a 1 displaystyle a 1 equiv a 1 nbsp kondisi ini redundan karena dapat dibuktikan dari empat kondisi lainnyaTiga kondisi pertama mengatakan bahwa displaystyle equiv nbsp adalah sebuah relasi ekuivalensi Kekongruenan displaystyle equiv nbsp ditentukan seluruhnya dari himpunan a G a e displaystyle a in G a equiv e nbsp elemen G displaystyle G nbsp yang kongruen dengan elemen identitas dan himpunan ini termasuk subgrup normal Secara khusus a b displaystyle a equiv b nbsp jika dan hanya jika b 1 a e displaystyle b 1 a equiv e nbsp Hal ini menyebabkan kekongruenan lebih sering merujuk pada subgrup normal dari grup ketimbang pada grup faktanya setiap kekongruenan berkorespodensi dengan subgrup normal G displaystyle G nbsp yang unik Catatan Sunting Hungerford Thomas W Algebra Springer Verlag 1974 p 27 Hungerford 1974 p 26Referensi SuntingHorn and Johnson Matrix Analysis Cambridge University Press 1985 ISBN 0 521 38632 2 Section 4 5 discusses congruency of matrices Rosen Kenneth H 2012 Discrete Mathematics and Its Applications McGraw Hill Education ISBN 978 0077418939 Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Relasi kekongruenan amp oldid 22812804