www.wikidata.id-id.nina.az

Medan bilangan aljabar Dalam matematika medan bilangan aljabar atau lebih sederhana bilangan medan F adalah derajat dan

Medan bilangan aljabar

Dalam matematika, medan bilangan aljabar (atau lebih sederhana bilangan medan) F adalah derajat (dan karenanya aljabar) ekstensi medan dari medan dari bilangan rasional. Jadi F adalah medan yang berisi dan memiliki dimensi jika dianggap sebagai ruang vektor atas ' .

Studi tentang medan bilangan aljabar, dan, secara lebih umum, perluasan aljabar medan bilangan rasional, adalah topik utama teori bilangan aljabar.

Definisi sunting

Prasyarat sunting

Artikel utama: Medan dan Ruang vektor

Pengertian medan bilangan aljabar bergantung pada konsep sebuah medan. Medan terdiri dari himpunan elemen bersama-sama dengan dua operasi, yaitu penambahan, dan perkalian, dan beberapa asumsi distributivitas. Contoh medan yang menonjol adalah medan bilangan rasional, biasanya dilambangkan , bersama dengan operasi penjumlahan dan perkaliannya yang biasa.

Gagasan lain yang diperlukan untuk mendefinisikan medan bilangan aljabar adalah ruang vektor. Sejauh yang dibutuhkan di sini, ruang vektor dapat dianggap terdiri dari urutan (atau rbilanganp)

yang entri adalah elemen dari medan tetap, seperti medan . Dua urutan seperti itu dapat ditambahkan dengan menambahkan entri satu per satu. Selanjutnya, urutan apa pun dapat dikalikan dengan satu elemen c dari medan tetap. Kedua operasi ini dikenal sebagai penambahan vektor dan perkalian skalar memenuhi sejumlah sifat yang berfungsi untuk mendefinisikan ruang vektor secara abstrak. Ruang vektor diperbolehkan untuk menjadi "berdimensi tak hingga", artinya deretan yang menyusun ruang vektor memiliki panjang tak hingga. Namun, jika ruang vektor terdiri dari urutan hingga

ruang vektor dikatakan berhingga dimensi, n.

Definisi sunting

Medan bilangan aljabar (atau hanya medan bilangan) adalah terbatas dari derajat ekstensi medan dari medan bilangan rasional. Di sini derajat berarti dimensi medan sebagai ruang vektor atas .

Contoh sunting

  • Medan bilangan terkecil dan paling dasar adalah medan dari bilangan rasional. Banyak sifat medan bilangan umum dimodelkan himpunanelah sifat .
  • Bilangan rasional Gauss, dilambbilangann (dibaca sebagai " berdampingan "), membentuk contoh taktrivial pertama dari medan bilangan. Unsur-unsurnya adalah ekspresi bentuk
  • Secara lebih umum, untuk bilangan bulat bebas kuadrat d , medan kuadrat adalah medan bilangan yang diperoleh dengan menghubungkan akar kuadrat d dengan medan bilangan rasional. Operasi aritmetika dalam medan ini didefinisikan dalam analogi dengan kasus bilangan rasional Gauss, d = − 1.
  • medan siklotomik
  • Bilangan riil, , dan bilangan kompleks, , adalah medan yang memiliki dimensi tak hingga sebagai pada ruang vektor, oleh karena itu, medan tersebut adalah medan bilangan bukan . Ini mengikuti dari terhitung dari dan sebagai himpunan, sedangkan setiap medan bilangan harus dihitung.
  • Himpunan dari pasangan terurut bilangan rasional, dengan penambahan dan perkalian entrywise adalah aljabar komutatif dua dimensi . Namun, ini bukan medan, karena memiliki pembagi nol:

Fungsi-, fungsi- dan rumus bilangan kelas sunting

Kegagalan faktorisasi unik diukur dengan bilangan kelas, biasanya dilambangkan dengan , kardinalitas dari apa yang disebut grup kelas ideal. Grup ini selalu terhingga. Gelanggang bilangan bulat memiliki faktorisasi unik jika dan hanya jika itu adalah gelanggang utama atau, setara, jika F memiliki bilangan kelas 1. Mengingat medan bilangan, nomor kelas sering kali sulit dihitung. Masalah bilangan kelas, kembali ke Gauss, berkaitan dengan keberadaan medan bilangan kuadrat imajiner (yaitu, ) dengan nomor kelas yang ditentukan. Rumus nomor kelas menghubungkan h dengan invarian dasar lainnya dari F . Ini melibatkan Fungsi zeta Dedekind , berfungsi dalam variabel kompleks s, didefinisikan oleh

(Produk melampaui semua cita-cita utama OF, menunjukkan norma ideal prima atau, setara, jumlah elemen (terbatas) dalam medan residu . Produk tak terbatas hanya menyatu untuk Re(s) > 1, secara umum kelanjutan analitik dan persamaan fungsional untuk fungsi zeta diperlukan untuk mendefinisikan fungsi untuk semua 's'). Fungsi Dedekind zeta menggeneralisasi fungsi zeta Riemann .

Rumus nomor kelas menyatakan itu ζF(s) memiliki tiang sederhana pada dan pada titik ini residu diberikan oleh

Lihat juga sunting

  • Teorema satuan Dirichlet, Satuan-S
  • Perluasan Kummer
  • Teorema Minkowski, Bilangan geometri
  • Teorema kepadatan Chebotarev
  • Grup kelas Ray
  • Grup penguraian
  • Medan genus

Catatan sunting


Referensi sunting

  • Cohn, Harvey (1988), A Classical Invitation to Algebraic Numbers and Class Fields, Universitext, New York: Springer-Verlag 
  • Conrad, Keith http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/gradnumthy/unittheorem.pdf
  • Janusz, Gerald J. (1996), Algebraic Number Fields (edisi ke-2nd), Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0429-2 
  • Helmut Hasse, Number Theory, Springer Classics in Mathematics Series (2002)
  • Serge Lang, Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000
  • Richard A. Mollin, Algebraic Number Theory, CRC, 1999
  • Ram Murty, Problems in Algebraic Number Theory, Second Edition, Springer, 2005
  • Narkiewicz, Władysław (2004), Elementary and analytic theory of algebraic numbers, Springer Monographs in Mathematics (edisi ke-3), Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-21902-6, MR 2078267 
  • Neukirch, Jürgen (1999), Algebraic number theory, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 322, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65399-8, MR 1697859, Zbl 0956.11021 
  • Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196, Zbl 1136.11001 
  • André Weil, Basic Number Theory, third edition, Springer, 1995
wikipedia, wiki, buku, buku, perpustakaan, artikel, baca, unduh, gratis, unduh gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, gambar, musik, lagu, film, buku, permainan, permainan.
Tanggal penerbitan:
Dalam matematika medan bilangan aljabar atau lebih sederhana bilangan medan F adalah derajat dan karenanya aljabar ekstensi medan dari medan dari bilangan rasionalQ displaystyle mathbb Q Jadi F adalah medan yang berisi Q displaystyle mathbb Q dan memiliki dimensi jika dianggap sebagai ruang vektor atas Q displaystyle mathbb Q Studi tentang medan bilangan aljabar dan secara lebih umum perluasan aljabar medan bilangan rasional adalah topik utama teori bilangan aljabar Daftar isi 1 Definisi 1 1 Prasyarat 1 2 Definisi 2 Contoh 3 Fungsi UNIQ postMath 00000021 QINU fungsi UNIQ postMath 00000022 QINU dan rumus bilangan kelas 4 Lihat juga 5 Catatan 6 ReferensiDefinisi suntingPrasyarat sunting Artikel utama Medan dan Ruang vektor Pengertian medan bilangan aljabar bergantung pada konsep sebuah medan Medan terdiri dari himpunan elemen bersama sama dengan dua operasi yaitu penambahan dan perkalian dan beberapa asumsi distributivitas Contoh medan yang menonjol adalah medan bilangan rasional biasanya dilambangkan Q displaystyle mathbb Q nbsp bersama dengan operasi penjumlahan dan perkaliannya yang biasa Gagasan lain yang diperlukan untuk mendefinisikan medan bilangan aljabar adalah ruang vektor Sejauh yang dibutuhkan di sini ruang vektor dapat dianggap terdiri dari urutan atau rbilanganp x 1 x 2 displaystyle x 1 x 2 dots nbsp yang entri adalah elemen dari medan tetap seperti medan Q displaystyle mathbb Q nbsp Dua urutan seperti itu dapat ditambahkan dengan menambahkan entri satu per satu Selanjutnya urutan apa pun dapat dikalikan dengan satu elemen c dari medan tetap Kedua operasi ini dikenal sebagai penambahan vektor dan perkalian skalar memenuhi sejumlah sifat yang berfungsi untuk mendefinisikan ruang vektor secara abstrak Ruang vektor diperbolehkan untuk menjadi berdimensi tak hingga artinya deretan yang menyusun ruang vektor memiliki panjang tak hingga Namun jika ruang vektor terdiri dari urutan hingga x 1 x 2 x n displaystyle x 1 x 2 dots x n nbsp ruang vektor dikatakan berhingga dimensi n Definisi sunting Medan bilangan aljabar atau hanya medan bilangan adalah terbatas dari derajat ekstensi medan dari medan bilangan rasional Di sini derajat berarti dimensi medan sebagai ruang vektor atas Q displaystyle mathbb Q nbsp Contoh suntingMedan bilangan terkecil dan paling dasar adalah medan Q displaystyle mathbb Q nbsp dari bilangan rasional Banyak sifat medan bilangan umum dimodelkan himpunanelah sifat Q displaystyle mathbb Q nbsp Bilangan rasional Gauss dilambbilangann Q i displaystyle mathbb Q i nbsp dibaca sebagai Q displaystyle mathbb Q nbsp berdampingan i displaystyle i nbsp membentuk contoh taktrivial pertama dari medan bilangan Unsur unsurnya adalah ekspresi bentuka b i displaystyle a bi nbsp dd di mana a displaystyle a nbsp dan b displaystyle b nbsp adalah bilangan rasional dan i displaystyle i nbsp adalah satuan imajiner Ekspresi seperti itu dapat ditambahkan dikurangi dan dikalikan sesuai dengan aturan aritmetika biasa dan kemudian disederhanakani 2 1 displaystyle i 2 1 nbsp dd Secara eksplisit a bi c di a c b d i a bi c di ac bd ad bc i dd Bilangan rasional Gauss bukan nol adalah terbalikkan yang dapat dilihat dari identitasnya a b i a a 2 b 2 b a 2 b 2 i a b i a b i a 2 b 2 1 displaystyle a bi left frac a a 2 b 2 frac b a 2 b 2 i right frac a bi a bi a 2 b 2 1 nbsp dd Oleh karena itu rasio Gauss membentuk medan bilangan yang berdimensi dua sebagai vektor ruang Q displaystyle mathbb Q nbsp Secara lebih umum untuk bilangan bulat bebas kuadrat d medan kuadrat Q d displaystyle mathbb Q sqrt d nbsp adalah medan bilangan yang diperoleh dengan menghubungkan akar kuadrat d dengan medan bilangan rasional Operasi aritmetika dalam medan ini didefinisikan dalam analogi dengan kasus bilangan rasional Gauss d 1 medan siklotomikQ z n displaystyle mathbb Q zeta n nbsp dimana z n exp 2 p i n displaystyle zeta n exp left frac 2 pi i n right nbsp dd adalah medan bilangan yang diperoleh dari Q displaystyle mathbb Q nbsp dengan menyatukan akar kesatuan primitif ke n zn medan ini berisi semua akar kesatuan yang kompleks dan dimensinya Q displaystyle mathbb Q nbsp adalah sama dengan f n di mana f adalah Fungsi phi Euler Bilangan riil R displaystyle mathbb R nbsp dan bilangan kompleks C displaystyle mathbb C nbsp adalah medan yang memiliki dimensi tak hingga sebagai Q displaystyle mathbb Q nbsp pada ruang vektor oleh karena itu medan tersebut adalah medan bilangan bukan Ini mengikuti dari terhitung dari R displaystyle mathbb R nbsp dan C displaystyle mathbb C nbsp sebagai himpunan sedangkan setiap medan bilangan harus dihitung Himpunan Q 2 displaystyle mathbb Q 2 nbsp dari pasangan terurut bilangan rasional dengan penambahan dan perkalian entrywise adalah aljabar komutatif dua dimensi Q displaystyle mathbb Q nbsp Namun ini bukan medan karena memiliki pembagi nol 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 Fungsi z displaystyle zeta fungsi L displaystyle L dan rumus bilangan kelas suntingKegagalan faktorisasi unik diukur dengan bilangan kelas biasanya dilambangkan dengan h displaystyle h nbsp kardinalitas dari apa yang disebut grup kelas ideal Grup ini selalu terhingga Gelanggang bilangan bulat O F displaystyle O F nbsp memiliki faktorisasi unik jika dan hanya jika itu adalah gelanggang utama atau setara jika F memiliki bilangan kelas 1 Mengingat medan bilangan nomor kelas sering kali sulit dihitung Masalah bilangan kelas kembali ke Gauss berkaitan dengan keberadaan medan bilangan kuadrat imajiner yaitu Q d d 1 displaystyle mathbb Q sqrt d d geq 1 nbsp dengan nomor kelas yang ditentukan Rumus nomor kelas menghubungkan h dengan invarian dasar lainnya dari F Ini melibatkan Fungsi zeta Dedekind z F s displaystyle zeta F s nbsp berfungsi dalam variabel kompleks s didefinisikan oleh z F s p 1 1 N p s displaystyle zeta F s prod mathfrak p frac 1 1 N mathfrak p s nbsp Produk melampaui semua cita cita utama OF N p displaystyle N mathfrak p nbsp menunjukkan norma ideal prima atau setara jumlah elemen terbatas dalam medan residu O F p displaystyle O F mathfrak p nbsp Produk tak terbatas hanya menyatu untuk Re s gt 1 secara umum kelanjutan analitik dan persamaan fungsional untuk fungsi zeta diperlukan untuk mendefinisikan fungsi untuk semua s Fungsi Dedekind zeta menggeneralisasi fungsi zeta Riemann z Q s z s displaystyle zeta mathbb Q s zeta s nbsp Rumus nomor kelas menyatakan itu zF s memiliki tiang sederhana pada s 1 displaystyle s 1 nbsp dan pada titik ini residu diberikan oleh 2 r 1 2 p r 2 h Reg w D displaystyle frac 2 r 1 cdot 2 pi r 2 cdot h cdot operatorname Reg w cdot sqrt D nbsp Lihat juga suntingTeorema satuan Dirichlet Satuan S Perluasan Kummer Teorema Minkowski Bilangan geometri Teorema kepadatan Chebotarev Grup kelas Ray Grup penguraian Medan genusCatatan suntingReferensi suntingCohn Harvey 1988 A Classical Invitation to Algebraic Numbers and Class Fields Universitext New York Springer Verlag Conrad Keith http www math uconn edu kconrad blurbs gradnumthy unittheorem pdf Janusz Gerald J 1996 Algebraic Number Fields edisi ke 2nd Providence R I American Mathematical Society ISBN 978 0 8218 0429 2 Helmut Hasse Number Theory Springer Classics in Mathematics Series 2002 Serge Lang Algebraic Number Theory second edition Springer 2000 Richard A Mollin Algebraic Number Theory CRC 1999 Ram Murty Problems in Algebraic Number Theory Second Edition Springer 2005 Narkiewicz Wladyslaw 2004 Elementary and analytic theory of algebraic numbers Springer Monographs in Mathematics edisi ke 3 Berlin Springer Verlag ISBN 978 3 540 21902 6 MR 2078267 Neukirch Jurgen 1999 Algebraic number theory Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 322 Berlin New York Springer Verlag ISBN 978 3 540 65399 8 MR 1697859 Zbl 0956 11021 Neukirch Jurgen Schmidt Alexander Wingberg Kay 2000 Cohomology of Number Fields Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 323 Berlin New York Springer Verlag ISBN 978 3 540 66671 4 MR 1737196 Zbl 1136 11001 Andre Weil Basic Number Theory third edition Springer 1995 Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Medan bilangan aljabar amp oldid 19648390