www.wikidata.id-id.nina.az

Sistem koordinat bola Artikel utama Bola geometri Persamaan Dalam matematika Sistem Koordinat Bola adalah sistem koordin

Sistem koordinat bola

Artikel utama: Bola (geometri) § Persamaan

Dalam matematika, Sistem Koordinat Bola adalah sistem koordinat untuk ruang tiga dimensi di mana posisi suatu titik ditentukan oleh tiga angka dari jarak radial titik tersebut dari titik asal tetap dan nilai sudut kutub tersebut yang diukur dari arah puncak yang tetap dan ketika sudut azimut tersebut dari hasil proyeksi ortogonal pada bidang referensi yang melewati asal dan ortogonal untuk zenit, diukur dari arah referensi tetap di pesawat itu. Ini dapat dilihat sebagai versi tiga dimensi dari sistem koordinat kutub.

Sistem koordinat bola (r, θ, φ) digunakan dalam bidang fisika (ISO 80000-2:2019): Jarak radial r, sudut θ (theta), dan sudut azimuthal φ (phi). Simbol ρ (rho) r.
Spherical coordinates (r, θ, φ) as often used in mathematics: radial distance r, azimuthal angle θ, and polar angle φ. The meanings of θ and φ have been swapped compared to the physics convention.
A globe showing the radial distance, polar angle and azimuthal angle of a point P with respect to a unit sphere, in the mathematics convention. In this image, r equals 4/6, θ equals 90°, and φ equals 30°.

Persamaan pada Sistem Koordinat Bola Sunting

Dua jari-jari ortogonal dari suatu bola
Lihat pula: Bola (geometri)

Dalam geometri analitik , bola dengan pusat (x0, y0, z0) dan jari jari r adalah lokus titik (x, y, z) sedemikian rupa sehingga

biarkan a, b, c, d, e bilangan real dengan sebuah a ≠ 0 dan put

Lalu persamaan

tidak memiliki poin nyata sebagai solusi jika dan disebut persamaan bola imajiner. Jika , satu-satunya solusi adalah intinya dan persamaannya disebut persamaan titik bola. Akhirnya, dalam kasus ini , adalah persamaan bola yang pusatnya adalah dan yang radiusnya adalah .

Jika a dalam persamaan di atas adalah nol maka f(x, y, z) = 0 adalah persamaan suatu bidang. Dengan demikian, sebuah pesawat dapat dianggap sebagai bola jari-jari tak terbatas yang pusatnya adalah titik tak terhingga.

Titik-titik di bola dengan jari-jari dan pusat dapat diparameterisasi via

Keliling dapat dikaitkan dengan sudut yang dihitung positif dari arah z positif- sumbu melalui pusat ke radius-vektor, dan keliling dapat dikaitkan dengan sudut yang dihitung positif dari arah x- positif positif melalui pusat ke proyeksi vektor-jari-jari pada xy- plane.

Bola dari jari-jari yang berpusat di nol adalah permukaan integral dari bentuk diferensial berikut:

Persamaan ini mencerminkan bahwa vektor posisi dan kecepatan suatu titik,(x, y, z) dan (dx, dy, dz), yang berjalan di bola selalu ortogonal satu sama lain.

Sebuah bola juga dapat dibangun sebagai permukaan yang dibentuk dengan memutar lingkaran tentang semua diameternya . Karena lingkaran adalah jenis elips khusus , bola adalah jenis elips khusus revolusi . Mengganti lingkaran dengan elips yang diputar pada sumbu utamanya , bentuknya menjadi spheroid prolate ; diputar tentang sumbu minor, sebuah spheroid oblate.

Konveksi utama Sunting

Dalam Koordinat Kartesius Sunting

Koordinat bola dari suatu titik dalam konvensi ISO anda bisa melihat catatan dibawah ini, yaitu (khususnya untuk fisika):

  • r adalah jari-jari.
  • a adalah kemiringan.
  • φ adalah azimut koordinat Kartesius pada Koordinat Bola.

Anda dapat memporoleh dari hasil koordinat kartesius pada nilai ( x, y, z ) dengan rumusnya adalah:

Garis singgung iversi dilambangkan dengan nilai φ = arctan yx harus didefinisikan dengan tepat cara mempertimbangkan kuadran yang benar dari nilai (x, y).

Sebaliknya, koordinat kartesius dapat diambil dari koordinat bola yaitu lihat catatan dibawah ini:

  • r jari jari.
  • θ inklinasi.
  • φ azimut.

darimana r ∈ [0, ∞), θ ∈ [0, π], φ ∈ [0, 2π) adalah ...,oleh

Sistem Koordinat Tabung Sunting

Templat:Stub-matematika

Artikel utama: Sistem Koordinat Tabung

Koordinat bola yang dimodifikasi Sunting

Kemungkinan cara modifikasi pada elipsoid adalah dengan menggunakan versi koordinat bola yang dimodifikasi.

Misalkan P adalah ellipsoid yang ditentukan oleh nilai level

Koordinat yang dimodifikasi oleh koordinat bola dari titik P saat konvensi ISO dapat diperoleh dari koordinat kartesius pada nilai (x, y, z) oleh karena itu rumusnya adalah:

Elemen volume yang sangat kecil diberikan oleh:

Faktor akar kuadrat yang berasal dari properti determinan yang memungkinkan sebuah konstanta ditarik oleh kolom:

Integrasi dan diferensiasi dalam koordinat bola Sunting

- Dalam pengembangan -

Jarak dalam Koordinat Bulat Sunting

- Dalam pengembangan -

Kinematika Sunting

- Dalam pengembangan -

Referensi Sunting

  1. Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Albert54
  2. Woods 1961, p. 266.
  3. (Kreyszig 1972, hlm. 342).
  4. Albert 2016, p. 60.
wikipedia, wiki, buku, buku, perpustakaan, artikel, baca, unduh, gratis, unduh gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, gambar, musik, lagu, film, buku, permainan, permainan.
Tanggal penerbitan:
Artikel utama Bola geometri Persamaan Dalam matematika Sistem Koordinat Bola adalah sistem koordinat untuk ruang tiga dimensi di mana posisi suatu titik ditentukan oleh tiga angka dari jarak radial titik tersebut dari titik asal tetap dan nilai sudut kutub tersebut yang diukur dari arah puncak yang tetap dan ketika sudut azimut tersebut dari hasil proyeksi ortogonal pada bidang referensi yang melewati asal dan ortogonal untuk zenit diukur dari arah referensi tetap di pesawat itu Ini dapat dilihat sebagai versi tiga dimensi dari sistem koordinat kutub Sistem koordinat bola r 8 f digunakan dalam bidang fisika ISO 80000 2 2019 Jarak radial r sudut 8 theta dan sudut azimuthal f phi Simbol r rho r Spherical coordinates r 8 f as often used in mathematics radial distance r azimuthal angle 8 and polar angle f The meanings of 8 and f have been swapped compared to the physics convention A globe showing the radial distance polar angle and azimuthal angle of a point P with respect to a unit sphere in the mathematics convention In this image r equals 4 6 8 equals 90 and f equals 30 Daftar isi 1 Persamaan pada Sistem Koordinat Bola 2 Konveksi utama 3 Dalam Koordinat Kartesius 4 Sistem Koordinat Tabung 5 Koordinat bola yang dimodifikasi 6 Integrasi dan diferensiasi dalam koordinat bola 7 Jarak dalam Koordinat Bulat 8 Kinematika 9 ReferensiPersamaan pada Sistem Koordinat Bola Sunting nbsp Dua jari jari ortogonal dari suatu bolaLihat pula Bola geometri Dalam geometri analitik bola dengan pusat x0 y0 z0 dan jari jari r adalah lokus titik x y z sedemikian rupa sehingga x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 r 2 displaystyle x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 r 2 nbsp biarkan a b c d e bilangan real dengan sebuah a 0 dan put x 0 b a y 0 c a z 0 d a r b 2 c 2 d 2 a e a 2 displaystyle x 0 frac b a quad y 0 frac c a quad z 0 frac d a quad rho frac b 2 c 2 d 2 ae a 2 nbsp Lalu persamaan f x y z a x 2 y 2 z 2 2 b x c y d z e 0 displaystyle f x y z a x 2 y 2 z 2 2 bx cy dz e 0 nbsp tidak memiliki poin nyata sebagai solusi jika r lt 0 displaystyle rho lt 0 nbsp dan disebut persamaan bola imajiner Jika r 0 displaystyle rho 0 nbsp satu satunya solusi f x y z 0 displaystyle f x y z 0 nbsp adalah intinya P 0 x 0 y 0 z 0 displaystyle P 0 x 0 y 0 z 0 nbsp dan persamaannya disebut persamaan titik bola Akhirnya dalam kasus ini r gt 0 displaystyle rho gt 0 nbsp f x y z 0 displaystyle f x y z 0 nbsp adalah persamaan bola yang pusatnya adalah P 0 displaystyle P 0 nbsp dan yang radiusnya adalah r displaystyle sqrt rho nbsp 1 Jika a dalam persamaan di atas adalah nol maka f x y z 0 adalah persamaan suatu bidang Dengan demikian sebuah pesawat dapat dianggap sebagai bola jari jari tak terbatas yang pusatnya adalah titik tak terhingga 2 Titik titik di bola dengan jari jari r gt 0 displaystyle r gt 0 nbsp dan pusat x 0 y 0 z 0 displaystyle x 0 y 0 z 0 nbsp dapat diparameterisasi via x x 0 r sin 8 cos f y y 0 r sin 8 sin f 0 8 p 0 f lt 2 p z z 0 r cos 8 displaystyle begin aligned x amp x 0 r sin theta cos varphi y amp y 0 r sin theta sin varphi qquad 0 leq theta leq pi 0 leq varphi lt 2 pi z amp z 0 r cos theta end aligned nbsp 3 Keliling 8 displaystyle theta nbsp dapat dikaitkan dengan sudut yang dihitung positif dari arah z positif sumbu melalui pusat ke radius vektor dan keliling f displaystyle varphi nbsp dapat dikaitkan dengan sudut yang dihitung positif dari arah x positif positif melalui pusat ke proyeksi vektor jari jari pada xy plane Bola dari jari jari yang berpusat di nol adalah permukaan integral dari bentuk diferensial berikut x d x y d y z d z 0 displaystyle x dx y dy z dz 0 nbsp Persamaan ini mencerminkan bahwa vektor posisi dan kecepatan suatu titik x y z dan dx dy dz yang berjalan di bola selalu ortogonal satu sama lain Sebuah bola juga dapat dibangun sebagai permukaan yang dibentuk dengan memutar lingkaran tentang semua diameternya Karena lingkaran adalah jenis elips khusus bola adalah jenis elips khusus revolusi Mengganti lingkaran dengan elips yang diputar pada sumbu utamanya bentuknya menjadi spheroid prolate diputar tentang sumbu minor sebuah spheroid oblate 4 Konveksi utama SuntingKonveksi utama Koordinat arah geografis lokal yang sesuai Z X Y Bagian Bahasa Inggris r 8inc faz right U S E right r faz right 8el U E N right r 8el faz right U N E leftDalam Koordinat Kartesius SuntingKoordinat bola dari suatu titik dalam konvensi ISO anda bisa melihat catatan dibawah ini yaitu khususnya untuk fisika r adalah jari jari a adalah kemiringan f adalah azimut koordinat Kartesius pada Koordinat Bola Anda dapat memporoleh dari hasil koordinat kartesius pada nilai x y z dengan rumusnya adalah r x 2 y 2 z 2 f arctan y x 8 arccos z x 2 y 2 z 2 arccos z r arctan x 2 y 2 z displaystyle begin aligned r amp sqrt x 2 y 2 z 2 varphi amp arctan frac y x theta amp arccos frac z sqrt x 2 y 2 z 2 arccos frac z r arctan frac sqrt x 2 y 2 z end aligned nbsp Garis singgung iversi dilambangkan dengan nilai f arctan y x harus didefinisikan dengan tepat cara mempertimbangkan kuadran yang benar dari nilai x y Sebaliknya koordinat kartesius dapat diambil dari koordinat bola yaitu lihat catatan dibawah ini r jari jari 8 inklinasi f azimut darimana r 0 8 0 p f 0 2p adalah oleh x r sin 8 cos f y r sin 8 sin f z r cos 8 displaystyle begin aligned x amp r sin theta cos varphi y amp r sin theta sin varphi z amp r cos theta end aligned nbsp Sistem Koordinat Tabung SuntingTemplat Stub matematika Artikel utama Sistem Koordinat Tabung r r 2 z 2 8 arctan r z arccos z r 2 z 2 f f displaystyle begin aligned r amp sqrt rho 2 z 2 theta amp arctan frac rho z arccos frac z sqrt rho 2 z 2 varphi amp varphi end aligned nbsp r r sin 8 f f z r cos 8 displaystyle begin aligned rho amp r sin theta varphi amp varphi z amp r cos theta end aligned nbsp Koordinat bola yang dimodifikasi SuntingKemungkinan cara modifikasi pada elipsoid adalah dengan menggunakan versi koordinat bola yang dimodifikasi Misalkan P adalah ellipsoid yang ditentukan oleh nilai level a x 2 b y 2 c z 2 d displaystyle ax 2 by 2 cz 2 d nbsp Koordinat yang dimodifikasi oleh koordinat bola dari titik P saat konvensi ISO dapat diperoleh dari koordinat kartesius pada nilai x y z oleh karena itu rumusnya adalah x 1 a r sin 8 cos f y 1 b r sin 8 sin f z 1 c r cos 8 r a x 2 b y 2 c z 2 displaystyle begin aligned x amp frac 1 sqrt a r sin theta cos varphi y amp frac 1 sqrt b r sin theta sin varphi z amp frac 1 sqrt c r cos theta r amp ax 2 by 2 cz 2 end aligned nbsp Elemen volume yang sangat kecil diberikan oleh d V x y z r 8 f 1 a b c r 2 sin 8 d r d 8 d f 1 a b c r 2 d r d W displaystyle mathrm d V left frac partial x y z partial r theta varphi right frac 1 sqrt abc r 2 sin theta mathrm d r mathrm d theta mathrm d varphi frac 1 sqrt abc r 2 mathrm d r mathrm d Omega nbsp Faktor akar kuadrat yang berasal dari properti determinan yang memungkinkan sebuah konstanta ditarik oleh kolom k a b c k d e f k g h i k a b c d e f g h i displaystyle begin vmatrix ka amp b amp c kd amp e amp f kg amp h amp i end vmatrix k begin vmatrix a amp b amp c d amp e amp f g amp h amp i end vmatrix nbsp Integrasi dan diferensiasi dalam koordinat bola Sunting Dalam pengembangan Jarak dalam Koordinat Bulat Sunting Dalam pengembangan Kinematika Sunting Dalam pengembangan Referensi Sunting Kesalahan pengutipan Tag lt ref gt tidak sah tidak ditemukan teks untuk ref bernama Albert54 Woods 1961 p 266 Kreyszig 1972 hlm 342 Albert 2016 p 60 Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Sistem koordinat bola amp oldid 22786456