Dalam matematika sebuah elips atau oval yang beraturan adalah gambar yang menyerupai lingkaran yang telah dipanjangkan ke satu arah Elips adalah salah satu contoh dari irisan kerucut dan dapat didefinisikan sebagai lokus dari semua titik dalam satu bidang yang memiliki jumlah jarak yang sama dari dua titik tetap yang telah ditentukan sebelumnya disebut fokus Elips dan sifat sifat matematisnyaIrisan kerucut dalam suatu bidang datar dapat membentuk elipsElips merah diperoleh sebagai persimpangan kerucut dengan bidang miring Elips notasiElips contoh dengan eksentrisitas yang meningkatDalam bahasa Indonesia selain istilah elips atau oval yang beraturan juga sering dikenal istilah sepadan yakni bulat lonjong atau lonjong saja bulat bujur dan bulat panjang Daftar isi 1 Definisi sebagai lokus poin 2 Sistem Koordinat Kartesius 2 1 Persamaan standar 2 2 Keliling 2 2 1 Sumbu semi mayor dan semi minor 2 2 2 Eksentritas linear 2 3 Keanehan 2 3 1 Rektum semi lektur 2 4 Garis singgung 2 5 Elips bergeser 3 Luas elips 4 Keliling elips 5 Lihat pula 6 Referensi 7 Pranala luarDefinisi sebagai lokus poin Sunting Elips definisi dengan jumlah jarak ke fokus Elips definisi berdasarkan fokus dan directrix melingkarElips dapat didefinisikan secara geometris sebagai satu set atau lokus titik dalam bidang Euclidean Diberi dua poin tetap F 1 F 2 displaystyle F 1 F 2 disebut fokus dan jarak 2 a displaystyle 2a yang lebih besar dari jarak antara fokus elips adalah himpunan poin P displaystyle P sedemikian rupa sehingga jumlah dari jarak P F 1 P F 2 displaystyle PF 1 PF 2 adalah sama dengan 2 a displaystyle 2a E P R 2 P F 2 P F 1 2 a displaystyle E P in mathbb R 2 mid PF 2 PF 1 2a Titik tengah C displaystyle C dari segmen garis yang bergabung dengan fokus disebut pusat elips Garis melalui fokus disebut sumbu utama dan garis tegak lurus melalui pusat adalah sumbu minor Sumbu utama memotong elips pada titik titik simpul V 1 V 2 displaystyle V 1 V 2 yang memiliki jarak a displaystyle a ke pusat Jarak c displaystyle c dari fokus ke pusat disebut jarak fokus atau eksentrisitas linier Hasil bagi e c a displaystyle e tfrac c a adalah eksentrisitas Kasus F 1 F 2 displaystyle F 1 F 2 dapat dilihat dengan cara yang berbeda lihat gambar Jika c 2 displaystyle c 2 adalah lingkaran dengan titik tengah 2 a displaystyle 2a maka jarak suatu titik P displaystyle P ke lingkaran c 2 displaystyle c 2 sama dengan jarak ke fokus F 1 displaystyle F 1 P F 1 P c 2 displaystyle PF 1 Pc 2 dd c 2 displaystyle c 2 disebut directrix melingkar terkait dengan fokus F 2 displaystyle F 2 of the ellipse 1 2 Properti ini tidak boleh disamakan dengan definisi elips menggunakan garis directrix di bawah ini Dengan menggunakan bola Dandelin orang dapat membuktikan bahwa setiap bagian bidang kerucut dengan bidang adalah elips dengan asumsi bidang tidak mengandung puncak dan memiliki kemiringan kurang dari garis pada kerucut Sistem Koordinat Kartesius SuntingLihat pula Koordinat Kartesius pada Elips Persamaan standar Sunting Bentuk standar elips dalam koordinat Cartesian mengasumsikan bahwa asal adalah pusat elips x sumbu adalah sumbu utama dan fokus adalah poinnyaF 1 c 0 F 2 c 0 displaystyle F 1 c 0 F 2 c 0 simpulnya adalah V 1 a 0 V 2 a 0 displaystyle V 1 a 0 V 2 a 0 Untuk titik arbitrer x y displaystyle x y jarak ke fokus c 0 displaystyle c 0 adalah x c 2 y 2 displaystyle sqrt x c 2 y 2 dan ke fokus lainnya x c 2 y 2 displaystyle sqrt x c 2 y 2 Karena itu intinya x y displaystyle x y is on the ellipse whenever x c 2 y 2 x c 2 y 2 2 a displaystyle sqrt x c 2 y 2 sqrt x c 2 y 2 2a Menghapus radikal dengan squarings yang sesuai dan menggunakan b 2 a 2 c 2 displaystyle b 2 a 2 c 2 menghasilkan persamaan standar elips x 2 a 2 y 2 b 2 1 displaystyle frac x 2 a 2 frac y 2 b 2 1 atau memecahkan y y b a a 2 x 2 a 2 x 2 1 e 2 displaystyle y pm frac b a sqrt a 2 x 2 pm sqrt left a 2 x 2 right left 1 e 2 right Keliling lebar dan tinggi a b displaystyle a b disebut sumbu semi mayor dan semi minor Poin atas dan bawah V 3 0 b V 4 0 b displaystyle V 3 0 b V 4 0 b Ini mengikuti dari persamaan bahwa elips simetris sehubungan dengan sumbu koordinat dan karenanya sehubungan dengan asal Keliling Sunting Sumbu semi mayor dan semi minor Sunting Sepanjang artikel ini a displaystyle a Sebuah adalah sumbu semi mayor yaitu a b gt 0 displaystyle a geq b gt 0 Secara umum persamaan elips kanonik x 2 a 2 y 2 b 2 1 displaystyle tfrac x 2 a 2 tfrac y 2 b 2 1 mungkin a lt b displaystyle a lt b dan karenanya elips akan lebih tinggi daripada lebar dalam bentuk ini sumbu semi mayor akan menjadi b displaystyle b Formulir ini dapat dikonversi ke formulir standar dengan mentransposisi nama variabel Eksentritas linear Sunting Ini adalah jarak dari pusat ke fokus c a 2 b 2 displaystyle c sqrt a 2 b 2 Keanehan Sunting Eksentrisitas dapat dinyatakan sebagai e c a 1 b a 2 displaystyle e frac c a sqrt 1 left frac b a right 2 Rektum semi lektur Sunting Panjang akord melalui satu fokus tegak lurus terhadap sumbu utama disebut rektum latus Separuh di antaranya adalah rektum semi latus ℓ displaystyle ell Perhitungan menunjukkan ℓ b 2 a a 1 e 2 displaystyle ell frac b 2 a a left 1 e 2 right 3 Garis singgung Sunting Garis arbitrer g displaystyle g memotong sebuah elips pada 0 1 atau 2 poin masing masing disebut garis eksterior garis singgung dan garis potong Melalui setiap titik elips ada garis singgung yang unik Garis singgung pada suatu titik x 1 y 1 displaystyle x 1 y 1 dari elips x 2 a 2 y 2 b 2 1 displaystyle tfrac x 2 a 2 tfrac y 2 b 2 1 memiliki persamaan koordinat x 1 a 2 x y 1 b 2 y 1 displaystyle frac x 1 a 2 x frac y 1 b 2 y 1 Persamaan parametrik vektor garis singgung adalah x x 1 y 1 s y 1 a 2 x 1 b 2 displaystyle vec x begin pmatrix x 1 y 1 end pmatrix s begin pmatrix y 1 a 2 x 1 b 2 end pmatrix with s R displaystyle s in mathbb R Bukti Biarkan x 1 y 1 displaystyle x 1 y 1 be a point on an ellipse and x x 1 y 1 s u v textstyle vec x begin pmatrix x 1 y 1 end pmatrix s begin pmatrix u v end pmatrix menjadi persamaan garis apa pun g displaystyle g mengandung x 1 y 1 displaystyle x 1 y 1 Memasukkan persamaan garis ke dalam persamaan elips dan menghormati x 1 2 a 2 y 1 2 b 2 1 displaystyle frac x 1 2 a 2 frac y 1 2 b 2 1 yields x 1 s u 2 a 2 y 1 s v 2 b 2 1 2 s x 1 u a 2 y 1 v b 2 s 2 u 2 a 2 v 2 b 2 0 displaystyle frac left x 1 su right 2 a 2 frac left y 1 sv right 2 b 2 1 quad Longrightarrow quad 2s left frac x 1 u a 2 frac y 1 v b 2 right s 2 left frac u 2 a 2 frac v 2 b 2 right 0 Elips bergeser Sunting Jika elips standar digeser untuk memiliki pusat x y displaystyle left x circ y circ right persamaannya adalah x x 2 a 2 y y 2 b 2 1 displaystyle frac left x x circ right 2 a 2 frac left y y circ right 2 b 2 1 Sumbu masih sejajar dengan sumbu x dan y Luas elips SuntingLuas elips adalah L p a b displaystyle L pi ab Keliling elips SuntingKeliling elips adalah Keliling I K 2 p a 2 b 2 2 displaystyle K approx 2 pi sqrt frac a 2 b 2 2 Keliling II model Ramanujan K p 3 a b 3 a b a 3 b p 3 a b 10 a b 3 a 2 b 2 displaystyle K approx pi left 3 a b sqrt 3a b a 3b right pi left 3 a b sqrt 10ab 3 a 2 b 2 right dan K p a b 1 3 h 10 4 3 h displaystyle K approx pi left a b right left 1 frac 3h 10 sqrt 4 3h right di mana h a b 2 a b 2 displaystyle h frac a b 2 a b 2 Keliling III model integral K 2 p a 1 n 1 2 n 1 2 n 2 e 2 n 2 n 1 displaystyle K 2 pi a left 1 sum n 1 infty left frac 2n 1 2n right 2 frac e 2n 2n 1 right dan K p a b 1 n 1 2 n 1 2 n n 2 h n 2 n 1 2 displaystyle K pi a b left 1 sum n 1 infty left frac 2n 1 2 n n right 2 frac h n 2n 1 2 right Lihat pula SuntingElipsoidReferensi Sunting Apostol Tom M Mnatsakanian Mamikon A 2012 New Horizons in Geometry The Dolciani Mathematical Expositions 47 The Mathematical Association of America hlm 251 ISBN 978 0 88385 354 2 Istilah Jerman untuk lingkaran ini adalah Leitkreis yang dapat diterjemahkan sebagai Lingkaran Direktur tetapi istilah itu memiliki arti yang berbeda dalam literatur bahasa Inggris lihat Director circle Protter amp Morrey 1970 hlm 304 APP 28 Pranala luar Sunting Wikimedia Commons memiliki media mengenai Ellipses Elips matematika di Encyclopaedia Britannica Elips di PlanetMath org The Shape and History of The Ellipse in Washington D C oleh Clark Kimberling Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Elips amp oldid 21106158
