www.wikidata.id-id.nina.az

Ketertutupan matematika Untuk kegunaan lain lihat Ketertutupan disambiguasi Dalam matematika himpunan dikatakan tertutup

Ketertutupan (matematika)

Untuk kegunaan lain, lihat Ketertutupan (disambiguasi).

Dalam matematika, himpunan dikatakan tertutup pada suatu operasi adalah apabila operasi tersebut diberlakukan pada anggota himpunan tersebut hasilnya selalu merupakan anggota dari himpunan tersebut. Misalnya, bilangan bulat positif tertutup terhadap penambahan, tetapi tidak terhadap pengurangan: bukan bilangan bulat positif meskipun dan adalah bilangan bulat positif. Contoh lain adalah himpunan yang hanya memuat bilangan nol, himpunan ini tertutup terhadap penambahan, pengurangan dan perkalian (karena , , dan ).

Demikian pula, suatu himpunan dikatakan tertutup terhadap kumpulan operasi apabila himpunan itu tertutup terhadap setiap masing-masing operasi.

Sifat dasar Sunting

Satu himpunan yang tertutup pada suatu operasi atau kumpulan operasi dikatakan memenuhi sifat ketertutupan. Sifat ketertutupan diperkenalkan sebagai aksioma, yang kemudian biasanya disebut aksioma ketertutupan. Definisi teori himpunan modern biasanya mendefinisikan operasi sebagai peta antar himpunan, menambahkan ketertutupan ke struktur sebagai aksioma sebenarnya berlebihan; namun dalam praktiknya, operasi sering kali didefinisikan pada awalnya pada superhimpunan dari himpunan tersebut dan bukti ketertutupan diperlukan untuk menetapkan bahwa operasi tersebut diterapkan pada relasi dari himpunan tersebut hanya darab. Misalnya, himpunan bilangan bulat genap ketertutupan dengan penambahan, tetapi himpunan bilangan bulat ganjil tidak.

Ketika sebuah himpunan bukan termasuk ketertutupan pada beberapa operasi, biasanya dapat menemukan himpunan terkecil yang merupakan ketertutupan. Himpunan ketertutupan terkecil ini disebut ketertutupan dari (dengan operasi relasi). Misalnya, ketertutupan terhadap pengurangan himpunan bilangan asli, dipandang sebagai bagian dari bilangan riil, adalah himpunan bilangan bulat. Contoh penting adalah ketertutupan topologi. Gagasan tentang ketertutupan digeneralisasikan oleh koneksi Galois, dan selanjutnya oleh monad.

Himpunan S menjadi bagian dari himpunan ketertutupan agar operasi ketertutupan tersebut dapat ditentukan. Dalam contoh sebelumnya, penting bahwa riil ketertutupan terhadap pengurangan; dalam domain pengurangan bilangan asli tidak selalu ditentukan.

Kedua penggunaan kata "ketertutupan" tidak perlu disamakan. Penggunaan sebelumnya mengacu pada sifat ketertutupan, dan yang terakhir mengacu pada himpunan ketertutupan terkecil salah satu yang mungkin bukan ketertutupan. Singkatnya, ketertutupan satu himpunan memenuhi sifat ketertutupan.

Himpunan tertutup Sunting

Himpunan ketertutupan terhadap operasi jika operasi anggota kumpulan saat dievaluasi pada anggota himpunan. Kadang-kadang persyaratan bahwa operasi dinilai dalam suatu himpunan dinyatakan secara eksplisit, yang dalam hal ini dikenal sebagai aksioma ketertutupan. Misalnya, seseorang dapat mendefinisikan grup sebagai himpunan dengan operator darab biner yang mematuhi beberapa aksioma, termasuk aksioma bahwa darab dari dua unsur grup adalah agai. Namun definisi modern dari sebuah operasi membuat aksioma ini menjadi berlebihan; sebuah operasi ary- pada S hanyalah himpunan bagian dari . Menurut definisinya, operator pada himpunan tidak dapat memiliki nilai di luar himpunan.

Namun demikian, properti closure dari operator pada suatu himpunan masih memiliki beberapa kegunaan. ketertutupan pada satu himpunan tidak selalu berarti ketertutupan pada semua himpunan bagian. Jadi subgrup dari grup adalah himpunan bagian di mana darab biner dan operasi uner dari balikan memenuhi aksioma ketertutupan.

Operasi jenis yang berbeda adalah menemukan titik batas dari himpunan bagian dari ruang topologis. Himpunan yang ditutup terhadap operasi ini biasanya disebut sebagai himpunan tertutup dalam konteks topologi. Tanpa kualifikasi lebih lanjut, frasa tersebut biasanya berarti tertutup dalam pengertian ini. selang tertutup seperti ditutup dalam pengertian ini.

Himpunan bagian dari himpunan yang diurutkan sebagian adalah himpunan tertutup ke bawah (disebut sebagai himpunan bawah) jika untuk setiap unsur dari himpunan tersebut, semua unsurnya juga di himpunan bagian. Ini berlaku misalnya untuk selang real dan , dan untuk bilangan ordinal diwakili sebagai selang . Setiap himpunan bilangan ordinal tertutup ke bawah dengan sendirinya merupakan bilangan ordinal. Himpunan tertutup ke atas (juga disebut himpunan atas) didefinisikan dengan cara yang sama.

Contoh Sunting

  • Dalam topologi dan cabang terkait, operasi yang relevan dengan batasan. ketertutupan topologi dari himpunan adalah operator ketertutupan yang sesuai. Aksioma ketertutupan Kuratowski mencirikan operasi ini.
  • Dalam aljabar linear, rentang linear dari himpunan vektor adalah ketertutupan dari himpunan; bagian terkecil dari ruang vektor yang menyertakan dan ketertutupan dengan operasi kombinasi linear. Bagian ini adalah subruang.
  • Dalam teori matroid, ketertutupan merupakan superhimpunan terbesar dari yang memiliki rank sama dengan X.
  • Dalam teori himpunan, ketertutupan transitif dari himpunan.
  • Dalam teori himpunan, ketertutupan transitif dari relasi biner.
  • Dalam aljabar, ketertutupan aljabar dari medan.
  • Dalam aljabar komutatif, operasi ketertutupan untuk ideal, seperti ketertutupan integral dan ketertutupan ketat.
  • Dalam geometri, selubung cembung dari himpunan titik adalah himpunan cembung terkecil di mana adalah himpunan bagian.
  • Dalam bahasa formal, ketertutupan Kleene dari suatu bahasa dapat dijelaskan sebagai kumpulan untai yang dapat dibuat dengan menggabungkan nol untai atau lebih dari bahasa tersebut.
  • Dalam teori grup, ketertutupan sekawan atau ketertutupan normal dari himpunan unsur grup adalah subgrup normal terkecil yang berisi himpunan tersebut.
  • Dalam analisis matematika dan dalam teori probabilitas, ketertutupan kumpulan himpunan bagian terhadap operasi himpunan banyak tercacahkan disebut aljabar sigma

Lihat pula Sunting

Referensi Sunting

  1. Weisstein, Eric W. "Set Closure". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-07-25. Penutupan himpunan A adalah himpunan tertutup terkecil yang termasuk A. 
  2. Weisstein, Eric W. "Set Closure". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-07-25. Himpunan S dan operator biner * dikatakan menunjukkan penutupan jika menerapkan operator biner ke dua elemen S mengembalikan nilai yang merupakan anggota S. 
  3. ^ Weisstein, Eric W. "Transitive Closure". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-07-25. 
  4. Weisstein, Eric W. "Algebraic Closure". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-07-25. 
  5. Bernstein, Dennis S. (2005). Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas with Application to Linear Systems Theory (dalam bahasa Inggris). Princeton University Press. hlm. 25. ISBN 978-0-691-11802-4. ...cembung lambung S, dilambangkan dengan coS, adalah himpunan cembung terkecil yang berisi S. 
wikipedia, wiki, buku, buku, perpustakaan, artikel, baca, unduh, gratis, unduh gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, gambar, musik, lagu, film, buku, permainan, permainan.
Tanggal penerbitan:
Untuk kegunaan lain lihat Ketertutupan disambiguasi Dalam matematika himpunan dikatakan tertutup pada suatu operasi adalah apabila operasi tersebut diberlakukan pada anggota himpunan tersebut hasilnya selalu merupakan anggota dari himpunan tersebut Misalnya bilangan bulat positif tertutup terhadap penambahan tetapi tidak terhadap pengurangan 1 2 displaystyle 1 2 bukan bilangan bulat positif meskipun 1 displaystyle 1 dan 2 displaystyle 2 adalah bilangan bulat positif Contoh lain adalah himpunan yang hanya memuat bilangan nol himpunan ini tertutup terhadap penambahan pengurangan dan perkalian karena 0 0 0 displaystyle 0 0 0 0 0 0 displaystyle 0 0 0 dan 0 0 0 displaystyle 0 times 0 0 Demikian pula suatu himpunan dikatakan tertutup terhadap kumpulan operasi apabila himpunan itu tertutup terhadap setiap masing masing operasi Daftar isi 1 Sifat dasar 2 Himpunan tertutup 3 Contoh 4 Lihat pula 5 ReferensiSifat dasar SuntingSatu himpunan yang tertutup pada suatu operasi atau kumpulan operasi dikatakan memenuhi sifat ketertutupan Sifat ketertutupan diperkenalkan sebagai aksioma yang kemudian biasanya disebut aksioma ketertutupan Definisi teori himpunan modern biasanya mendefinisikan operasi sebagai peta antar himpunan menambahkan ketertutupan ke struktur sebagai aksioma sebenarnya berlebihan namun dalam praktiknya operasi sering kali didefinisikan pada awalnya pada superhimpunan dari himpunan tersebut dan bukti ketertutupan diperlukan untuk menetapkan bahwa operasi tersebut diterapkan pada relasi dari himpunan tersebut hanya darab Misalnya himpunan bilangan bulat genap ketertutupan dengan penambahan tetapi himpunan bilangan bulat ganjil tidak Ketika sebuah himpunan S displaystyle S nbsp bukan termasuk ketertutupan pada beberapa operasi biasanya dapat menemukan himpunan terkecil S displaystyle S nbsp yang merupakan ketertutupan Himpunan ketertutupan terkecil ini disebut ketertutupan dari S displaystyle S nbsp dengan operasi relasi 1 Misalnya ketertutupan terhadap pengurangan himpunan bilangan asli dipandang sebagai bagian dari bilangan riil adalah himpunan bilangan bulat Contoh penting adalah ketertutupan topologi Gagasan tentang ketertutupan digeneralisasikan oleh koneksi Galois dan selanjutnya oleh monad Himpunan S menjadi bagian dari himpunan ketertutupan agar operasi ketertutupan tersebut dapat ditentukan Dalam contoh sebelumnya penting bahwa riil ketertutupan terhadap pengurangan dalam domain pengurangan bilangan asli tidak selalu ditentukan Kedua penggunaan kata ketertutupan tidak perlu disamakan Penggunaan sebelumnya mengacu pada sifat ketertutupan dan yang terakhir mengacu pada himpunan ketertutupan terkecil salah satu yang mungkin bukan ketertutupan Singkatnya ketertutupan satu himpunan memenuhi sifat ketertutupan Himpunan tertutup SuntingHimpunan ketertutupan terhadap operasi jika operasi anggota kumpulan saat dievaluasi pada anggota himpunan 2 Kadang kadang persyaratan bahwa operasi dinilai dalam suatu himpunan dinyatakan secara eksplisit yang dalam hal ini dikenal sebagai aksioma ketertutupan Misalnya seseorang dapat mendefinisikan grup sebagai himpunan dengan operator darab biner yang mematuhi beberapa aksioma termasuk aksioma bahwa darab dari dua unsur grup adalah agai Namun definisi modern dari sebuah operasi membuat aksioma ini menjadi berlebihan sebuah operasi ary n displaystyle n nbsp pada S hanyalah himpunan bagian dari S n 1 displaystyle S n 1 nbsp Menurut definisinya operator pada himpunan tidak dapat memiliki nilai di luar himpunan Namun demikian properti closure dari operator pada suatu himpunan masih memiliki beberapa kegunaan ketertutupan pada satu himpunan tidak selalu berarti ketertutupan pada semua himpunan bagian Jadi subgrup dari grup adalah himpunan bagian di mana darab biner dan operasi uner dari balikan memenuhi aksioma ketertutupan Operasi jenis yang berbeda adalah menemukan titik batas dari himpunan bagian dari ruang topologis Himpunan yang ditutup terhadap operasi ini biasanya disebut sebagai himpunan tertutup dalam konteks topologi Tanpa kualifikasi lebih lanjut frasa tersebut biasanya berarti tertutup dalam pengertian ini selang tertutup seperti 1 2 x 1 x 2 displaystyle 1 2 x colon 1 leq x leq 2 nbsp ditutup dalam pengertian ini Himpunan bagian dari himpunan yang diurutkan sebagian adalah himpunan tertutup ke bawah disebut sebagai himpunan bawah jika untuk setiap unsur dari himpunan tersebut semua unsurnya juga di himpunan bagian Ini berlaku misalnya untuk selang real p displaystyle infty p nbsp dan p displaystyle infty p nbsp dan untuk bilangan ordinal p displaystyle p nbsp diwakili sebagai selang 0 p displaystyle 0 p nbsp Setiap himpunan bilangan ordinal tertutup ke bawah dengan sendirinya merupakan bilangan ordinal Himpunan tertutup ke atas juga disebut himpunan atas didefinisikan dengan cara yang sama Contoh SuntingDalam topologi dan cabang terkait operasi yang relevan dengan batasan ketertutupan topologi dari himpunan adalah operator ketertutupan yang sesuai Aksioma ketertutupan Kuratowski mencirikan operasi ini Dalam aljabar linear rentang linear dari himpunan X displaystyle X nbsp vektor adalah ketertutupan dari himpunan bagian terkecil dari ruang vektor yang menyertakan X displaystyle X nbsp dan ketertutupan dengan operasi kombinasi linear Bagian ini adalah subruang Dalam teori matroid ketertutupan X displaystyle X nbsp merupakan superhimpunan terbesar dari X displaystyle X nbsp yang memiliki rank sama dengan X Dalam teori himpunan ketertutupan transitif dari himpunan 3 Dalam teori himpunan ketertutupan transitif dari relasi biner 3 Dalam aljabar ketertutupan aljabar dari medan 4 Dalam aljabar komutatif operasi ketertutupan untuk ideal seperti ketertutupan integral dan ketertutupan ketat Dalam geometri selubung cembung dari himpunan titik S displaystyle S nbsp adalah himpunan cembung terkecil di mana S displaystyle S nbsp adalah himpunan bagian 5 Dalam bahasa formal ketertutupan Kleene dari suatu bahasa dapat dijelaskan sebagai kumpulan untai yang dapat dibuat dengan menggabungkan nol untai atau lebih dari bahasa tersebut Dalam teori grup ketertutupan sekawan atau ketertutupan normal dari himpunan unsur grup adalah subgrup normal terkecil yang berisi himpunan tersebut Dalam analisis matematika dan dalam teori probabilitas ketertutupan kumpulan himpunan bagian X displaystyle X nbsp terhadap operasi himpunan banyak tercacahkan disebut aljabar sigmaLihat pula SuntingHimpunan terbuka Himpunan buka tertutupReferensi Sunting nbsp Portal Matematika Weisstein Eric W Set Closure mathworld wolfram com dalam bahasa Inggris Diakses tanggal 2020 07 25 Penutupan himpunan A adalah himpunan tertutup terkecil yang termasuk A Parameter url status yang tidak diketahui akan diabaikan bantuan Weisstein Eric W Set Closure mathworld wolfram com dalam bahasa Inggris Diakses tanggal 2020 07 25 Himpunan S dan operator biner dikatakan menunjukkan penutupan jika menerapkan operator biner ke dua elemen S mengembalikan nilai yang merupakan anggota S Parameter url status yang tidak diketahui akan diabaikan bantuan a b Weisstein Eric W Transitive Closure mathworld wolfram com dalam bahasa Inggris Diakses tanggal 2020 07 25 Weisstein Eric W Algebraic Closure mathworld wolfram com dalam bahasa Inggris Diakses tanggal 2020 07 25 Bernstein Dennis S 2005 Matrix Mathematics Theory Facts and Formulas with Application to Linear Systems Theory dalam bahasa Inggris Princeton University Press hlm 25 ISBN 978 0 691 11802 4 cembung lambung S dilambangkan dengan coS adalah himpunan cembung terkecil yang berisi S Inggris Weisstein Eric W Algebraic Closure MathWorld Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Ketertutupan matematika amp oldid 18563855