www.wikidata.id-id.nina.az

Aturan kosinus Dalam trigonometri aturan kosinus rumus kosinus hukum kosinus atau rumus al Kāshī adalah persamaan yang m

Aturan kosinus

Dalam trigonometri, aturan kosinus, rumus kosinus, hukum kosinus, atau rumus al-Kāshī, adalah persamaan yang memberikan hubungan antara panjang sisi-sisi segitiga dengan kosinus sudut pada segitiga tersebut. Menggunakan notasi pada Gambar 1, aturan kosinus menyatakan

Gambar 1 – Label-label yang disesuaikan dengan hukum kosinus. Sudut α (juga A), β (juga B), dan γ (juga C) masing-masing adalah sudut yang menghadap sisi a, b, dan c.
dengan γ menyatakan besar sudut yang diapit oleh sisi a dan b, dan yang menghadap sisi c. Dengan menggunakan gambar yang sama, dua persamaan lain dapat diperoleh:
Aturan kosinus memperumum teorema Pythagoras, yang hanya berlaku untuk segitiga siku-siku: jika sudut γ siku-siku (nilainya 90 derajat atau π2 radian), maka nilai cos γ = 0, dan akibatnya aturan kosinus berubah menjadi teorema Pythagoras,
Aturan kosinus berguna untuk mencari panjang sisi ketiga dari segitiga jika hanya diketahui panjang dua sisi dan besar sudut yang diapit dua sisi tersebut. Penggunaan lain dari aturan ini adalah untuk menentukan besar sudut pada segitiga jika semua panjang sisinya diketahui.

Sejarah sunting

Gambar 2 – Segitiga tumpul ABC dengan sisi BH yang tegak lurus dengan sisi AC

Walaupun konsep kosinus belum dikembangkan pada masanya, Euklides dalam bukunya Elemen (sekitar 300 SM), memberikan teorema geometrik yang hampir sama dengan aturan kosinus. Dalam buku tersebut membahas dua kasus: segitiga lancip dan segitiga tumpul, yang masing-masing bersesuaian dengan kasus nilai kosinus positif dan nilai kosinus negatif. Menggunakan notasi yang tertera pada Gambar 2, teorema oleh Euklides dapat ditulis sebagai

Rumus tersebut dapat diubah menjadi aturan kosinus dengan mensubtitusi CH = (CB) cos(π − γ) = −(CB) cos γ.

Perkembangan trigonometri di zaman keemasan Islam memperluas cakupan dan memperbaiki bentuk dari teorema oleh Euklides tersebut. Pada abad kesepuluh, Al-Battani memperumum hasil perolehan Euklid untuk geometri bola. Pada abad kelima belas, dengan telah dikenalnya fungsi trigonometri, Jamshīd al-Kāshī untuk pertama kalinya menyatakan aturan kosinus dalam rumus yang mudah dipakai dalam proses triangulasi. Rumus ini dipopulerkan di dunia barat oleh François Viète pada abad keenam belas. Selanjutnya pada awal abad ke-19, penggunaan notasi aljabar yang modern memungkinkan aturan kosinus ditulis dalam bentuk yang dikenal saat ini.


Penerapan sunting

Gambar 3 – Aturan kosinus dapat digunakan untuk menentukan panjang sisi maupun besar sudut yang tidak diketahui.

Aturan kosinus dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah triangulasi. Ada beberapa kasus yang dapat diselesaikan secara langsung dengan aturan ini (lihat Gambar 3):

  • Menentukan panjang sisi ketiga dari segitiga, jika diketahui panjang kedua sisi lainnya dan besar sudut yang diapit oleh dua sisi tersebut:
  • Besar titik sudut pada segitiga (dalam radian) jika panjang semua sisi diketahui:

Persamaan-persamaan ini menghasilkan galat pembulatan yang besar jika segitiga sangat lancip, maksudnya panjang c jauh lebih kecil daripada panjang a dan b, atau sudut γ jauh lebih kecil daripada 1.

Bukti sunting

Menggunakan teorema Phytagoras sunting

Perhatikan gambar berikut. Dengan teorema Pythagoras dapat ditulis

dan

akibatnya diperoleh

dapat diturunkan

Dari definisi kosinus, dapat ditulis . Sehingga bentuk persamaan di atas dapat ditulis

Lihat pula sunting

Rujukan sunting

  1. Pickover, Clifford A. (2009). The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics (dalam bahasa Inggris). Sterling Publishing Company, Inc. hlm. 106. ISBN 9781402757969. 
  2. Computing : a historical and technical perspective. Igarashi, Yoshihide. Boca Raton, Florida. 2014-05-27. hlm. 78. ISBN 9781482227413. OCLC 882245835. 
  3. Ilija Baruk (2008). Causality I. A Theory of Energy, Time and Space, Volume 2. hlm. 174. 
wikipedia, wiki, buku, buku, perpustakaan, artikel, baca, unduh, gratis, unduh gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, gambar, musik, lagu, film, buku, permainan, permainan.
Tanggal penerbitan:
Dalam trigonometri aturan kosinus rumus kosinus hukum kosinus atau rumus al Kashi adalah persamaan yang memberikan hubungan antara panjang sisi sisi segitiga dengan kosinus sudut pada segitiga tersebut Menggunakan notasi pada Gambar 1 aturan kosinus menyatakanGambar 1 Label label yang disesuaikan dengan hukum kosinus Sudut a juga A b juga B dan g juga C masing masing adalah sudut yang menghadap sisi a b dan c c 2 a 2 b 2 2 a b cos g displaystyle c 2 a 2 b 2 2ab cos gamma dengan g menyatakan besar sudut yang diapit oleh sisi a dan b dan yang menghadap sisi c Dengan menggunakan gambar yang sama dua persamaan lain dapat diperoleh a 2 b 2 c 2 2 b c cos a displaystyle a 2 b 2 c 2 2bc cos alpha b 2 a 2 c 2 2 a c cos b displaystyle b 2 a 2 c 2 2ac cos beta Aturan kosinus memperumum teorema Pythagoras yang hanya berlaku untuk segitiga siku siku jika sudut g siku siku nilainya 90 derajat atau p 2 radian maka nilai cos g 0 dan akibatnya aturan kosinus berubah menjadi teorema Pythagoras c 2 a 2 b 2 displaystyle c 2 a 2 b 2 Aturan kosinus berguna untuk mencari panjang sisi ketiga dari segitiga jika hanya diketahui panjang dua sisi dan besar sudut yang diapit dua sisi tersebut Penggunaan lain dari aturan ini adalah untuk menentukan besar sudut pada segitiga jika semua panjang sisinya diketahui Daftar isi 1 Sejarah 2 Penerapan 3 Bukti 3 1 Menggunakan teorema Phytagoras 4 Lihat pula 5 RujukanSejarah sunting nbsp Gambar 2 Segitiga tumpul ABC dengan sisi BH yang tegak lurus dengan sisi AC Walaupun konsep kosinus belum dikembangkan pada masanya Euklides dalam bukunya Elemen sekitar 300 SM memberikan teorema geometrik yang hampir sama dengan aturan kosinus Dalam buku tersebut membahas dua kasus segitiga lancip dan segitiga tumpul yang masing masing bersesuaian dengan kasus nilai kosinus positif dan nilai kosinus negatif Menggunakan notasi yang tertera pada Gambar 2 teorema oleh Euklides dapat ditulis sebagaiA B 2 C A 2 C B 2 2 C A C H displaystyle AB 2 CA 2 CB 2 2 CA CH nbsp Rumus tersebut dapat diubah menjadi aturan kosinus dengan mensubtitusi CH CB cos p g CB cos g Perkembangan trigonometri di zaman keemasan Islam memperluas cakupan dan memperbaiki bentuk dari teorema oleh Euklides tersebut Pada abad kesepuluh Al Battani memperumum hasil perolehan Euklid untuk geometri bola Pada abad kelima belas dengan telah dikenalnya fungsi trigonometri Jamshid al Kashi untuk pertama kalinya menyatakan aturan kosinus dalam rumus yang mudah dipakai dalam proses triangulasi 1 2 3 Rumus ini dipopulerkan di dunia barat oleh Francois Viete pada abad keenam belas Selanjutnya pada awal abad ke 19 penggunaan notasi aljabar yang modern memungkinkan aturan kosinus ditulis dalam bentuk yang dikenal saat ini Penerapan sunting nbsp Gambar 3 Aturan kosinus dapat digunakan untuk menentukan panjang sisi maupun besar sudut yang tidak diketahui Aturan kosinus dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah triangulasi Ada beberapa kasus yang dapat diselesaikan secara langsung dengan aturan ini lihat Gambar 3 Menentukan panjang sisi ketiga dari segitiga jika diketahui panjang kedua sisi lainnya dan besar sudut yang diapit oleh dua sisi tersebut c a 2 b 2 2 a b cos g displaystyle c sqrt a 2 b 2 2ab cos gamma nbsp Besar titik sudut pada segitiga dalam radian jika panjang semua sisi diketahui g arccos a 2 b 2 c 2 2 a b displaystyle gamma arccos left frac a 2 b 2 c 2 2ab right nbsp Persamaan persamaan ini menghasilkan galat pembulatan yang besar jika segitiga sangat lancip maksudnya panjang c jauh lebih kecil daripada panjang a dan b atau sudut g jauh lebih kecil daripada 1 Bukti suntingMenggunakan teorema Phytagoras sunting nbsp Perhatikan gambar berikut Dengan teorema Pythagoras dapat ditulis c 2 a 1 2 h 2 displaystyle c 2 a 1 2 h 2 nbsp atau c 2 a a 2 2 h 2 displaystyle c 2 a a 2 2 h 2 nbsp dan b 2 h 2 a 2 2 displaystyle b 2 h 2 a 2 2 nbsp akibatnya diperoleh h 2 c 2 a a 2 2 b 2 a 2 2 displaystyle h 2 c 2 a a 2 2 b 2 a 2 2 nbsp dapat diturunkan c 2 b 2 a a 2 2 a 2 2 b 2 a 2 2 a a 2 a 2 2 a 2 2 b 2 a 2 2 a a 2 displaystyle begin aligned c 2 amp b 2 a a 2 2 a 2 2 amp b 2 a 2 2aa 2 a 2 2 a 2 2 amp b 2 a 2 2aa 2 end aligned nbsp Dari definisi kosinus dapat ditulis a 2 b cos g displaystyle a 2 b cos gamma nbsp Sehingga bentuk persamaan di atas dapat ditulis c 2 b 2 a 2 2 a b cos g displaystyle c 2 b 2 a 2 2ab cos gamma nbsp Lihat pula suntingTriangulasi Hukum sinusRujukan sunting Pickover Clifford A 2009 The Math Book From Pythagoras to the 57th Dimension 250 Milestones in the History of Mathematics dalam bahasa Inggris Sterling Publishing Company Inc hlm 106 ISBN 9781402757969 Computing a historical and technical perspective Igarashi Yoshihide Boca Raton Florida 2014 05 27 hlm 78 ISBN 9781482227413 OCLC 882245835 Ilija Baruk 2008 Causality I A Theory of Energy Time and Space Volume 2 hlm 174 Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Aturan kosinus amp oldid 19584293