Untuk kegunaan lain lihat Sinus disambiguasi Dalam trigonometri aturan sinus rumus sinus atau hukum sinus adalah sebuah persamaan yang memperbandingan panjang sisi sisi segitiga terhadap sinus sudut sudutnya Aturan ini menyatakan bahwaAturan SinusDengan lingkaran luarTanpa lingkaran luarSegitiga yang diberi label menyesuaikan dengan aturan sinus Nilai sudut a b dan g masing masing berasosiasi dengan titik sudut A B dan C Huruf kecil a b dan c adalah panjang dari sisi yang menghadap sudut sudut tersebut sisi a menghadap sudut a dst a sin a b sin b c sin g 2 R displaystyle frac a sin alpha frac b sin beta frac c sin gamma 2R dengan a b dan c menyatakan panjang panjang sisi dari segitiga dan a b dan g adalah besar sudut sudut yang menghadap sisi sisi tersebut lihat gambar sebagai ilustrasi sedangkan R adalah radius dari lingkaran luar segitiga Jika radius lingkaran tidak digunakan aturan sinus terkadang dinyatakan dalam bentuksin a a sin b b sin g c displaystyle frac sin alpha a frac sin beta b frac sin gamma c Aturan sinus berguna untuk menghitung sisi yang belum diketahui dari suatu segitiga apabila besar dua sudut dan panjang satu sisinya diketahui Ini adalah masalah yang umum terjadi ketika melakukan triangulasi Rumus ini juga dapat digunakan bila diketahui panjang dua sisi dan besar sudut yang tak diapit kedua sisi tersebut Dalam kasus ini data mungkin tidak dapat menghasilkan segitiga yang unik sehingga rumus dapat memberikan dua nilai yang mungkin untuk sudut yang diapit Aturan sinus juga dapat dipakai untuk menghitung jari jari lingkaran luar segitiga Aturan sinus adalah salah satu dari dua persamaan trigonometrik yang umum digunakan untuk menentukan besar panjang dan sudut pada segitiga persamaan lain yang digunakan adalah aturan kosinus Aturan sinus dapat diperumum ke dimensi yang lebih tinggi yakni pada permukaan dengan kurvatur yang bernilai konstan 1 Daftar isi 1 Sejarah 2 Bukti 3 Kasus ambigu 4 Contoh 5 Hubungan dengan lingkaran luar segitiga 5 1 Bukti 5 2 Hubungan dengan luas segitiga 6 Kasus hiperbolik 7 Pada permukaan bola 8 Pada permukaan dengan kurvatur konstan 9 Lihat pula 10 Catatan 11 RujukanSejarah suntingHukum sinus bagi segitiga yang terletak pada bola ditemukan pada abad ke 10 Penemuan ini banyak diatribusikan kepada Abu Mahmud Khojandi Abul Wafa Muhammad Al Buzjani Nashiruddin ath Thusi dan Abu Nashr Mansur 2 Pada abad ke 11 buku Ibn Muʿadh al Jayyani mengandung hukum sinus secara umum 3 4 Hukum sinus pada bidang datar kemudian dinyatakan oleh Nashiruddin ath Thusi pada abad ke 13 4 Dalam karyanya Tentang Gambar Sektor ia menuliskan hukum sinus untuk bidang datar dan untuk permukaan bola dan memberikan rumus untuk kedua hukum ini 5 Pada abad ke 15 matematikawan Jerman Regiomontanus menggunakan hukum sinus sebagai fondasi solusi tentang masalah yang berkaitan dengan segitiga siku siku Solusi yang tertulis pada Buku IV nya pada gilirannya menjadi dasar solusi masalah yang berkaitan dengan segitiga secara umum 6 Bukti sunting nbsp Perhatikan segitiga dengan sisi a b dan c dan sudut yang berhadapan A B dan C Tarik garis tinggi h dari sudut C ke sisi c sehingga segitiga ABC terbagi menjadi dua segitiga siku siku Dapat diamati bahwa sin A h b displaystyle sin A frac h b nbsp dansin B h a displaystyle sin B frac h a nbsp Dari persamaan tersebut dapat diturunkan dua bentuk dari h h b sin A a sin B displaystyle h b sin A a sin B nbsp sehingga diperoleh sin A a sin B b displaystyle frac sin A a frac sin B b nbsp Memperlakukan garis tinggi dari sudut A dengan cara yang sama kemudian akan diperoleh sin B b sin C c displaystyle frac sin B b frac sin C c nbsp Kasus ambigu suntingKetika menggunakan aturan sinus untuk menentukan panjang sisi suatu segitiga kasus ambigu dapat terjadi ketika terdapat dua segitiga dapat dibuat dari informasi yang diketahui dengan kata lain akan menghasilkan dua solusi berbeda Kasus ini mungkin saja terjadi karena ada dua nilai sudut yang benar antara 0 dan 180 yang memiliki nilai sinus yang sama nbsp Kasus ambigu penggunaan aturan sinus untuk mencari panjang sisi segitiga Apabila diberikan besar sudut a displaystyle alpha nbsp juga panjang sisi a displaystyle a nbsp dan c displaystyle c nbsp maka kedua dua segitiga ABC dan ABC adalah benar Untuk sembarang segitiga kasus ambigu terjadi apabila kondisi kondisi berikut terpenuhi Informasi yang tersedia tentang segitiga hanyalah sudut a dan panjang a dan c Sudut a lancip yakni besar sudut a lt 90 Sisi a lebih pendek daripada sisi c yakni besar a lt c Sisi a lebih panjang daripada ketinggian h ketika diukur dari titik B artinya a gt h dengan nilai h c sin a Jika semua kondisi tersebut terpenuhi maka sudut b dan b menghasilkan dua segitiga yang valid tapi berbeda mengartikan dua persamaan berikut benar g arcsin c sin a a atau g p arcsin c sin a a displaystyle gamma arcsin frac c sin alpha a quad text atau quad gamma pi arcsin frac c sin alpha a nbsp Dari persamaan di atas dapat ditentukan besar sudut b dan panjang sisi b atau besar sudut b dan panjang sisi b jika diperlukan Contoh sunting nbsp Contoh 1Diberikan informasi panjang sisi a 20 sisi c 24 dan sudut g 40 sedangkan nilai sudut a ingin dicari Menggunakan aturan sinus disimpulkan bahwasin a 20 sin 40 24 displaystyle frac sin alpha 20 frac sin 40 circ 24 nbsp Sehingga dengan menggunakan invers dari fungsi sinus arcsinus didapatkan a arcsin 20 sin 40 24 32 39 displaystyle alpha arcsin left frac 20 sin 40 circ 24 right approx 32 39 circ nbsp Solusi lain dari arcsin adalah nilai a 147 61 Namun ini tidak digunakan karena akan menghasilkan solusi dengan total sudut segitiga a b g gt 180 Hubungan dengan lingkaran luar segitiga suntingPada identitasa sin a b sin b c sin g displaystyle frac a sin alpha frac b sin beta frac c sin gamma nbsp ketiga pecahan tersebut memiliki nilai yang sama dengan panjang diameter dari lingkaran luar segitiga Bukti mengenai hal ini dapat ditelusuri sampai ke Ptolemy 7 8 Bukti sunting nbsp Membuktikan nilai rasio pada aturan sinus sama dengan panjang diameter lingkaran luar segitiga Perhatikan bahwa segitiga ADB melalui pusat lingkaran yang berdiameter d Seperti terlihat pada gambar misalkan ada sebuah lingkaran yang memuat segitiga A B C displaystyle triangle ABC nbsp dan memuat segitiga lain A D B displaystyle triangle ADB nbsp yang sisinya melewati pusat lingkaran O nb 1 Sudut A O D displaystyle angle AOD nbsp memiliki sudut pusat sebesar 180 displaystyle 180 circ nbsp sehingga sudut A B D 90 displaystyle angle ABD 90 circ nbsp Karena merupakan segitiga siku siku pada segitiga A B D displaystyle triangle ABD nbsp berlakusin d depan miring c 2 R displaystyle sin delta frac text depan text miring frac c 2R nbsp dengan R d 2 textstyle R frac d 2 nbsp adalah jari jari dari lingkaran yang memuat segitiga 8 Sudut g displaystyle gamma nbsp dan d displaystyle delta nbsp memiliki sudut pusat yang sama sehingga besar sudut mereka sama g d displaystyle gamma delta nbsp Maka disimpulkan sin d sin g c 2 R displaystyle sin delta sin gamma frac c 2R nbsp Dengan menyusun kembali suku suku dihasilkan2 R c sin g displaystyle 2R frac c sin gamma nbsp Proses di atas dapat diulangi dengan membentuk A D B displaystyle triangle ADB nbsp yang berbeda sehingga menghasilkan persamaan a sin a b sin b c sin g 2 R displaystyle frac a sin alpha frac b sin beta frac c sin gamma 2R nbsp Hubungan dengan luas segitiga sunting Menggunakan notasi yang sama dengan bagian sebelumnya luas dari segitiga A B C displaystyle triangle ABC nbsp adalah L 1 2 a b sin g textstyle L frac 1 2 ab sin gamma nbsp dengan g displaystyle gamma nbsp adalah sudut yang diapit oleh sisi a dan b Mensubtitusi aturan sinus pada persamaan luas segitiga menghasilkan 9 L 1 2 a b c 2 R a b c 4 R displaystyle L frac 1 2 ab cdot frac c 2R frac abc 4R nbsp Dapat ditunjukkan bahwa persamaan tersebut mengimplikasikana b c 2 L a b c 2 s s a s b s c 2 a b c a 2 b 2 c 2 2 2 a 4 b 4 c 4 displaystyle begin aligned frac abc 2L amp frac abc 2 sqrt s s a s b s c 6pt amp frac 2abc sqrt a 2 b 2 c 2 2 2 a 4 b 4 c 4 end aligned nbsp dengan s displaystyle s nbsp adalah panjang setengah keliling segitiga yakni s a b c 2 textstyle s frac a b c 2 nbsp Persamaan ini dapat disederhanakan menjadi rumus Heron untuk menghitung luas segitiga Aturan sinus juga dapat digunakan untuk menghasilkan rumus berikut untuk menghitung luas lingkaran Dengan menyatakan S sin A sin B sin C 2 textstyle S frac sin A sin B sin C 2 nbsp dapat ditunjukkan 10 T 4 R 2 S S sin A S sin B S sin C displaystyle T 4R 2 sqrt S left S sin A right left S sin B right left S sin C right nbsp Kasus hiperbolik suntingLihat pula segitiga hiperbolik Dalam geometri hiperbolik dengan kurvatur bernilai 1 aturan sinus berubah menjadisin A sinh a sin B sinh b sin C sinh c displaystyle frac sin A sinh a frac sin B sinh b frac sin C sinh c nbsp Pada kasus khusus dengan B berupa sudut siku siku dihasilkansin C sinh c sinh b displaystyle sin C frac sinh c sinh b nbsp yang mirip dengan rumus pada geometri Euklides yang menyatakan sinus sebagai perbandingan panjang sisi berlawanan dengan sisi hipotenusa Pada permukaan bola sunting nbsp Ilustrasi dari setiap label untuk aturan sinus pada permukaan bola Aturan sinus pada permukaan bola memberikan hubungan trigonometrik pada segitiga yang sisi sisinya berupa lingkaran besar Misalkan radius dari bola adalah 1 Misalkan pula a b dan c adalah panjang dari segmen segmen lingkaran besar yang menjadi sisi sisi segitiga Karena bola berupa bola satuan panjang a b dan c sama dengan besar besar sudut dalam radian dari pusat bola yang membentuk segmen segmen lingkaran besar Misalkan juga A B dan C adalah sudut sudut yang berhadapan dengan masing masing sisi segitiga Aturan sinus pada permukaan bola menyatakan bahwasin A sin a sin B sin b sin C sin c displaystyle frac sin A sin a frac sin B sin b frac sin C sin c nbsp Pada permukaan dengan kurvatur konstan suntingPada permukaan secara umum fungsi sinus dapat diperumum sebagai berikut sin K x x K x 3 3 K 2 x 5 5 K 3 x 7 7 displaystyle sin K x x frac Kx 3 3 frac K 2 x 5 5 frac K 3 x 7 7 cdots nbsp yang nilainya juga bergantung kurvatur K di posisi x displaystyle x nbsp berada Aturan sinus pada permukaan kurvatur bernilai konstan K menyatakan bahwa 1 sin A sin K a sin B sin K b sin C sin K c displaystyle frac sin A sin K a frac sin B sin K b frac sin C sin K c nbsp Mensubtitusi nilai K 0 K 1 dan K 1 secara berurutan akan menghasilkan aturan sinus pada permukaan Euklides bola dan hiperbolik yang dijelaskan pada bagian bagian sebelumnya Misalkan pK r menyatakan keliling lingkaran berdiameter r pada ruang dengan kurvatur konstan K Maka pK r 2p sinK r Akibatnya aturan sinus juga dapat ditulis ulang sebagai sin A p K a sin B p K b sin C p K c displaystyle frac sin A p K a frac sin B p K b frac sin C p K c nbsp Rumus ini ditemukan oleh Janos Bolyai 11 Lihat pula suntingTriangulasi Aturan kosinusCatatan sunting Memuat dalam artian semua titik sudut segitiga terletak pada lingkaran Rujukan sunting a b Generalized law of sines mathworld Sesiano hanya mencatat al Wafa sebagai seorang kontributor Sesiano Jacques 2000 Islamic mathematics pp 137 157 dalam Selin Helaine D Ambrosio Ubiratan 2000 Mathematics Across Cultures The History of Non western Mathematics Springer ISBN 1 4020 0260 2 Spherical geometry was based on Menelaus s Spherics and in particular its theorem IIIJ 1 and gave rise through Abu l Wafii al Buzjani 940 997 8 to the law of sines for spherical triangles sin a sin a sin b sin b sin c sin g displaystyle frac sin a sin alpha frac sin b sin beta frac sin c sin gamma nbsp where a b c displaystyle a b c nbsp are the sides and a b g displaystyle alpha beta gamma nbsp the opposite angles O Connor John J Robertson Edmund F Abu Abd Allah Muhammad ibn Muadh Al Jayyani Arsip Sejarah Matematika MacTutor Universitas St Andrews a b Histoire des sciences arabes Rushdi Rashid Regis Morelon Paris 1997 ISBN 2 02 030355 8 OCLC 37996126 Berggren J Lennart 2007 Mathematics in Medieval Islam The Mathematics of Egypt Mesopotamia China India and Islam A Sourcebook Princeton University Press hlm 518 ISBN 978 0 691 11485 9 Glen Van Brummelen 2009 The mathematics of the heavens and the earth the early history of trigonometry Princeton University Press p 259 ISBN 0 691 12973 8 Coxeter H S M and Greitzer S L Geometry Revisited Washington DC Math Assoc Amer pp 1 3 1967 a b Law of Sines www pballew net Diarsipkan dari versi asli tanggal 2018 09 10 Diakses tanggal 2018 09 18 Mr T s Math Videos 2015 06 10 Area of a Triangle and Radius of its Circumscribed Circle diarsipkan dari versi asli tanggal 2021 12 11 diakses tanggal 2018 09 18 Parameter url status yang tidak diketahui akan diabaikan bantuan Mitchell Douglas W A Heron type area formula in terms of sines Mathematical Gazette 93 March 2009 108 109 Katok Svetlana 1992 Fuchsian groups nbsp Chicago University of Chicago Press hlm 22 ISBN 0 226 42583 5 Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Aturan sinus amp oldid 24215622
