www.wikidata.id-id.nina.az

Gelanggang pembagian Dalam aljabar sebuah gelanggang pembagian disebut juga medan miring adalah gelanggang dimana pembag

Gelanggang pembagian

Dalam aljabar, sebuah gelanggang pembagian disebut juga medan miring, adalah gelanggang dimana pembagian dimungkinkan. Secara khusus, ini adalah gelanggang bukan nol dimana setiap elemen bukan nol a memiliki invers perkalian, yaitu elemen yang umumnya dilambangkan a–1, misalnya a a–1 = a–1 a = 1. Jadi, pembagian dapat didefinisikan a / b = a b–1, tetapi notasi ini umumnya jarang digunakan, misalnya a b–1 ≠ b–1 a.

Gelanggang pembagian umumnya merupakan gelanggang nonkomutatif. Komutatif, jika dan hanya jika medan, dalam hal ini istilah "gelanggang pembagian" jarang digunakan, kecuali untuk sifat gelanggang pembagian yang benar meskipun bersifat komutatif atau dalam bukti gelanggang pembagian tertentu bersifat komutatif. Misalnya, teorema kecil Wedderburn yang menyatakan bahwa semua gelanggang pembagian hingga adalah komutatif dan medan hingga.

Semua gelanggang pembagian adalah sederhana. Artinya, mereka tidak memiliki dua sisi ideal selain nol ideal dan sendiri.

Relasi dengan medan dan aljabar linear Sunting

Semua medan adalah gelanggang pembagian; contoh yang menarik adalah gelanggang pembagian non-komutatif. Contoh paling terkenal adalah gelanggang kuaternion H. Jika koefisien rasional dari riil dalam konstruksi kuaternion, maka memperoleh gelanggang pembagian yang lain. Secara umum, jika R adalah gelanggang dan S adalah modul sederhana di atas R, maka, lemma Schur dan gelanggang endomorfisme dari S adalah gelanggang pembagian, setiap gelanggang pembagian muncul dengan cara ini dari beberapa modul sederhana.

Banyak dari aljabar linear dirumuskan, dan tetap benar, untuk modul di atas gelanggang pembagian D sebagai alihan ruang vektor di atas medan. Melakukanya harus ditentukan apakah seseorang sedang mempertimbangkan modul kanan atau kiri, dan beberapa kehati-hatian diperlukan dalam membedakan kiri dan kanan dengan benar dalam rumus. Bekerja dalam koordinat, elemen modul kanan dimensi hingga diwakili oleh vektor kolom, yang dapat dikalikan di kanan dengan skalar, dan di sebelah kiri oleh matriks (mewakili peta linier), untuk elemen modul kiri berdimensi hingga, vektor baris harus digunakan yang dikalikan di kiri dengan skalar, dan di kanan dengan matriks. Rangkap dari modul kanan adalah modul kiri, dan sebaliknya. Transposisi matriks dilihat sebagai matriks di atas gelanggang pembagian Dop dalam tatanan berlawanan (AB)T = BTAT untuk tetap valid.

Setiap modul di atas gelanggang pembagian adalah bebas; yaitu, memiliki basis, dan semua basis modul memiliki jumlah elemen yang sama. Peta linear antara modul berdimensi hingga di atas gelanggang pembagian dijelaskan dengan matriks; fakta bahwa peta linear dengan definisi perjalanan dengan perkalian skalar paling mudah diwakilankan dalam notasi dengan menuliskannya pada berlawanan sisi vektor sebagai skalar. Algoritma eliminasi Gaussian tetap dapat diterapkan. Peringkat kolom dari matriks adalah dimensi modul kanan yang dihasilkan oleh kolom, dan peringkat baris adalah dimensi modul kiri yang dihasilkan oleh baris; bukti yang sama untuk kasus ruang vektor dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa peringkat ini sama, dan menentukan peringkat matriks.

Faktanya, konversinya ini memberikan karakterisasi gelanggang pembagian melalui kategori modul: Gelanggang unital R adalah gelanggang pembagian jika dan hanya jika setiap modul-R adalah bebas.

Pusat dari gelanggang pembagian adalah komutatif dan oleh karena itu merupakan medan. Oleh karena itu, setiap gelanggang pembagian adalah sebuah aljabar pembagian di atas pusatnya. Cincin pembagian dapat diklasifikasikan menurut dimensi hingga atau dimensi tak hingga di atas pusat. Pertama yang disebut hingga secara pusat dan yang terakhir tidak hingga secara pusat. Setiap medan, tentu saja satu dimensi di atas pusat. Gelanggang kuaternion Hamiltonian membentuk aljabar 4 dimensi di atas pusat yang isomorfik terhadap bilangan riil.

Contoh Sunting

  • Seperti yang disebutkan di atas, semua medan adalah gelanggang pembagian.
  • Kuaternion membentuk gelanggang pembagian nonkomutatif.
  • Himpunan bagian dari kuaternion a + bi + cj + dk, maka a, b, c, dan d termasuk dalam sub-medan tetap bagian bilangan riil, adalah gelanggang pembagian nonkomutatif. Jika subbidang ini adalah bidang bilangan rasional, ini adalah gelanggang pembagian dari kuaternion rasional.
  • Maka sebagai medan automorfisme . Maka menunjukkan gelanggang deret Laurent formal dengan koefisien kompleks, dimana perkalian didefinisikan sebagai berikut: alihan hanya mengizinkan koefisien untuk komutatif secara langsung dengan tak tentu , untuk , menjelaskan untuk setiap indeks . Jika adalah automorfisme non-trivial dari bilangan kompleks (sebagai konjugasi), maka gelanggang yang dihasilkan dari deret Laurent adalah gelanggang pembagian nonkomutatif ketat yang dikenal sebagai gelanggang pembagian Laurent miring ; jika σ = id maka fitur perkalian standar deret formal. Konsep ini dapat digeneralisasikan ke gelanggang deret Laurent di atas medan tetap , diberikan nontrivial automorfisme- .

Teorema utama Sunting

Teorema kecil Wedderburn: Semua gelanggang pembagian hingga adalah komutatif dan oleh karena itu medan hingga. Ernst Witt salah satu yang memberikan bukti sederhana.

Teorema Frobenius: Satu-satunya aljabar pembagian asosiatif berdimensi-hingga di atas riil adalah riil sendiri, bilangan kompleks, dan kuaternion.

Gagasan terkait Sunting

Gelanggang pembagian dulu disebut "medan" dalam penggunaan yang lebih lama. Dalam banyak bahasa, kata yang berarti "tubuh" digunakan untuk gelanggang pembagian, dalam beberapa bahasa menunjuk gelanggang pembagian komutatif atau non-komutatif, sementara di tempat lain secara khusus menunjuk gelanggang pembagian komutatif, dalam bahasa Indonesia yang sekarang kita sebut adalah "Medan". Perbandingan yang lebih lengkap ditemukan dalam artikel di medan.

Nama "Medan miring" memiliki fitur semantik yang menarik: pengubah (di sini "skew") memperluas cakupan istilah dasar (di sini "medan"). Jadi, medan adalah jenis medan miring tertentu, dan tidak semua medan miring adalah medan.

Sedangkan gelanggang pembagian dan aljabar seperti yang dibahas di sini diasumsikan memiliki perkalian asosiatif, aljabar pembagian non asosiatif sebagai oktonion.

Medan dekat adalah struktur aljabar yang mirip dengan gelanggang pembagian, kecuali hanya memiliki satu dari dua hukum distributif.

Catatan Sunting

  1. Dalam artikel ini, gelanggang hanya memiliki 1.
  2. Lam (2001), Schur's Lemma, hlm. 33, di Google Books .
  3. Grillet, Pierre Antoine. Aljabar abstrak. Vol. 242. Springer Science & Business Media, 2007; bukti dapat ditemukan di sini 2021-04-22 di Wayback Machine.
  4. Gelanggang komutatif sederhana adalah medan. Lihat Lam (2001), simple commutative rings, hlm. 39, di Google Books dan latihan 3.4, hlm. 45, di Google Books .
  5. Lam (2001), p. 10

Lihat pula Sunting

  • Identitas Hua

Referensi Sunting

  • Lam, Tsit-Yuen (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics. 131 (edisi ke-2nd). Springer. ISBN 0-387-95183-0. Zbl 0980.16001. dari versi asli tanggal 2023-07-29. Diakses tanggal 2021-05-06. 

Bacaan lebih lanjut Sunting

Pranala luar Sunting

wikipedia, wiki, buku, buku, perpustakaan, artikel, baca, unduh, gratis, unduh gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, gambar, musik, lagu, film, buku, permainan, permainan.
Tanggal penerbitan:
Dalam aljabar sebuah gelanggang pembagian disebut juga medan miring adalah gelanggang dimana pembagian dimungkinkan Secara khusus ini adalah gelanggang bukan nol 1 dimana setiap elemen bukan nol a memiliki invers perkalian yaitu elemen yang umumnya dilambangkan a 1 misalnya a a 1 a 1 a 1 Jadi pembagian dapat didefinisikan a b a b 1 tetapi notasi ini umumnya jarang digunakan misalnya a b 1 b 1 a Gelanggang pembagian umumnya merupakan gelanggang nonkomutatif Komutatif jika dan hanya jika medan dalam hal ini istilah gelanggang pembagian jarang digunakan kecuali untuk sifat gelanggang pembagian yang benar meskipun bersifat komutatif atau dalam bukti gelanggang pembagian tertentu bersifat komutatif Misalnya teorema kecil Wedderburn yang menyatakan bahwa semua gelanggang pembagian hingga adalah komutatif dan medan hingga Semua gelanggang pembagian adalah sederhana Artinya mereka tidak memiliki dua sisi ideal selain nol ideal dan sendiri Daftar isi 1 Relasi dengan medan dan aljabar linear 2 Contoh 3 Teorema utama 4 Gagasan terkait 5 Catatan 6 Lihat pula 7 Referensi 8 Bacaan lebih lanjut 9 Pranala luarRelasi dengan medan dan aljabar linear SuntingSemua medan adalah gelanggang pembagian contoh yang menarik adalah gelanggang pembagian non komutatif Contoh paling terkenal adalah gelanggang kuaternion H Jika koefisien rasional dari riil dalam konstruksi kuaternion maka memperoleh gelanggang pembagian yang lain Secara umum jika R adalah gelanggang dan S adalah modul sederhana di atas R maka lemma Schur dan gelanggang endomorfisme dari S adalah gelanggang pembagian 2 setiap gelanggang pembagian muncul dengan cara ini dari beberapa modul sederhana Banyak dari aljabar linear dirumuskan dan tetap benar untuk modul di atas gelanggang pembagian D sebagai alihan ruang vektor di atas medan Melakukanya harus ditentukan apakah seseorang sedang mempertimbangkan modul kanan atau kiri dan beberapa kehati hatian diperlukan dalam membedakan kiri dan kanan dengan benar dalam rumus Bekerja dalam koordinat elemen modul kanan dimensi hingga diwakili oleh vektor kolom yang dapat dikalikan di kanan dengan skalar dan di sebelah kiri oleh matriks mewakili peta linier untuk elemen modul kiri berdimensi hingga vektor baris harus digunakan yang dikalikan di kiri dengan skalar dan di kanan dengan matriks Rangkap dari modul kanan adalah modul kiri dan sebaliknya Transposisi matriks dilihat sebagai matriks di atas gelanggang pembagian Dop dalam tatanan berlawanan AB T BTAT untuk tetap valid Setiap modul di atas gelanggang pembagian adalah bebas yaitu memiliki basis dan semua basis modul memiliki jumlah elemen yang sama Peta linear antara modul berdimensi hingga di atas gelanggang pembagian dijelaskan dengan matriks fakta bahwa peta linear dengan definisi perjalanan dengan perkalian skalar paling mudah diwakilankan dalam notasi dengan menuliskannya pada berlawanan sisi vektor sebagai skalar Algoritma eliminasi Gaussian tetap dapat diterapkan Peringkat kolom dari matriks adalah dimensi modul kanan yang dihasilkan oleh kolom dan peringkat baris adalah dimensi modul kiri yang dihasilkan oleh baris bukti yang sama untuk kasus ruang vektor dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa peringkat ini sama dan menentukan peringkat matriks Faktanya konversinya ini memberikan karakterisasi gelanggang pembagian melalui kategori modul Gelanggang unital R adalah gelanggang pembagian jika dan hanya jika setiap modul R adalah bebas 3 Pusat dari gelanggang pembagian adalah komutatif dan oleh karena itu merupakan medan 4 Oleh karena itu setiap gelanggang pembagian adalah sebuah aljabar pembagian di atas pusatnya Cincin pembagian dapat diklasifikasikan menurut dimensi hingga atau dimensi tak hingga di atas pusat Pertama yang disebut hingga secara pusat dan yang terakhir tidak hingga secara pusat Setiap medan tentu saja satu dimensi di atas pusat Gelanggang kuaternion Hamiltonian membentuk aljabar 4 dimensi di atas pusat yang isomorfik terhadap bilangan riil Contoh SuntingSeperti yang disebutkan di atas semua medan adalah gelanggang pembagian Kuaternion membentuk gelanggang pembagian nonkomutatif Himpunan bagian dari kuaternion a bi cj dk maka a b c dan d termasuk dalam sub medan tetap bagian bilangan riil adalah gelanggang pembagian nonkomutatif Jika subbidang ini adalah bidang bilangan rasional ini adalah gelanggang pembagian dari kuaternion rasional Maka s C C displaystyle sigma mathbb C to mathbb C nbsp sebagai medan automorfisme C displaystyle mathbb C nbsp Maka C z s displaystyle mathbb C z sigma nbsp menunjukkan gelanggang deret Laurent formal dengan koefisien kompleks dimana perkalian didefinisikan sebagai berikut alihan hanya mengizinkan koefisien untuk komutatif secara langsung dengan tak tentu z displaystyle z nbsp untuk a C displaystyle alpha in mathbb C nbsp menjelaskan z i a s i a z i displaystyle z i alpha sigma i alpha z i nbsp untuk setiap indeks i Z displaystyle i in mathbb Z nbsp Jika s displaystyle sigma nbsp adalah automorfisme non trivial dari bilangan kompleks sebagai konjugasi maka gelanggang yang dihasilkan dari deret Laurent adalah gelanggang pembagian nonkomutatif ketat yang dikenal sebagai gelanggang pembagian Laurent miring 5 jika s id maka fitur perkalian standar deret formal Konsep ini dapat digeneralisasikan ke gelanggang deret Laurent di atas medan tetap F displaystyle F nbsp diberikan nontrivial automorfisme F displaystyle F nbsp s displaystyle sigma nbsp Teorema utama SuntingTeorema kecil Wedderburn Semua gelanggang pembagian hingga adalah komutatif dan oleh karena itu medan hingga Ernst Witt salah satu yang memberikan bukti sederhana Teorema Frobenius Satu satunya aljabar pembagian asosiatif berdimensi hingga di atas riil adalah riil sendiri bilangan kompleks dan kuaternion Gagasan terkait SuntingGelanggang pembagian dulu disebut medan dalam penggunaan yang lebih lama Dalam banyak bahasa kata yang berarti tubuh digunakan untuk gelanggang pembagian dalam beberapa bahasa menunjuk gelanggang pembagian komutatif atau non komutatif sementara di tempat lain secara khusus menunjuk gelanggang pembagian komutatif dalam bahasa Indonesia yang sekarang kita sebut adalah Medan Perbandingan yang lebih lengkap ditemukan dalam artikel di medan Nama Medan miring memiliki fitur semantik yang menarik pengubah di sini skew memperluas cakupan istilah dasar di sini medan Jadi medan adalah jenis medan miring tertentu dan tidak semua medan miring adalah medan Sedangkan gelanggang pembagian dan aljabar seperti yang dibahas di sini diasumsikan memiliki perkalian asosiatif aljabar pembagian non asosiatif sebagai oktonion Medan dekat adalah struktur aljabar yang mirip dengan gelanggang pembagian kecuali hanya memiliki satu dari dua hukum distributif Catatan Sunting Dalam artikel ini gelanggang hanya memiliki 1 Lam 2001 Schur s Lemma hlm 33 di Google Books Grillet Pierre Antoine Aljabar abstrak Vol 242 Springer Science amp Business Media 2007 bukti dapat ditemukan di sini Diarsipkan 2021 04 22 di Wayback Machine Gelanggang komutatif sederhana adalah medan Lihat Lam 2001 simple commutative rings hlm 39 di Google Books dan latihan 3 4 hlm 45 di Google Books Lam 2001 p 10Lihat pula SuntingIdentitas HuaReferensi SuntingLam Tsit Yuen 2001 A first course in noncommutative rings Graduate Texts in Mathematics 131 edisi ke 2nd Springer ISBN 0 387 95183 0 Zbl 0980 16001 Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023 07 29 Diakses tanggal 2021 05 06 Bacaan lebih lanjut SuntingCohn P M 1995 Skew fields Theory of general division rings nbsp Encyclopedia of Mathematics and Its Applications 57 Cambridge Cambridge University Press ISBN 0 521 43217 0 Zbl 0840 16001 Pranala luar SuntingBukti Teorema Wedderburn di Planet Math Diarsipkan 2021 05 06 di Wayback Machine Aljabar Abstrak Grillet karakterisasi bagian VIII 5 dari gelanggang pembagian melalui modul bebas Diarsipkan 2023 07 29 di Wayback Machine Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Gelanggang pembagian amp oldid 23925062