www.wikidata.id-id.nina.az

Produk dot Hasil kali skalar beralih ke halaman ini Untuk hasil kali skalar abstrak lihat Hasil kali dalam Untuk hasil k

Produk dot

"Hasil kali skalar" beralih ke halaman ini. Untuk hasil kali skalar abstrak, lihat Hasil kali dalam. Untuk hasil kali vektor dan skalar, lihat Perkalian skalar.

Produk dot, juga disebut darab bintik (bahasa Inggris: Dot product) atau produk skalar, juga disebut darab skalar (bahasa Inggris: scalar product), juga disebut inner product (="produk dalam") dalam konteks ruang Euclid) dalam matematika adalah suatu operasi aljabar yang memasukkan dua urutan bilangan dengan panjang yang sama (biasanya vektor koordinat) dan menghasilkan suatu bilangan tunggal. Operasi ini dapat didefinisikan menurut aljabar maupun geometri. Menurut aljabar, produk skalar merupakan jumlah dari produk-produk masukan yang bersangkutan dari bilangan-bilangan pada dua urutan tersebut. Menurut geometri, produk skalar adalah produk dari "besaran Euclidean" atau "panjang vektor" dua vektor dan kosinus sudut di antara keduanya. Nama "produk dot" diambil dari tanda dot, yaitu "tanda titik di tengah", " · " yang sering digunakan untuk melambangkan operasi ini; nama "produk skalar" menekankan sifat skalar hasilnya (bukan vektorial).

Dalam ruang tiga dimensi, produk skalar dikontraskan dengan produk silang (cross product) dua vektor, yang menghasilkan suatu pseudovector. Produk skalar berkaitan langsung dengan kosinus sudut yang dibentuk oleh dua vektor dalam ruang Euclidean dari seberapapun banyaknya dimensi.

Definisi Sunting

Produk skalar sering didefinisikan menurut satu dari dua cara: menurut aljabar atau menurut geometri. Definisi geometris didasarkan pada pengertian sudut dan jarak (besaran vektor). Persamaan dua definisi ini bergantung pada memiliki sistem koordinat Kartesius untuk ruang Euklides.

Dalam presentasi modern geometri Euclidean, titik-titik ruang ditentukan berdasarkan koordinat Cartesiannya, dan ruang Euclidean itu sendiri umumnya diidentifikasikan dengan ruang kordinat nyata Rn. Dalam presentasi seperti itu, pengertian panjang dan sudut tidaklah primitif. Mereka ditentukan melalui perkalian titik: panjang vektor didefinisikan sebagai akar kuadrat dari hasil kali titik vektor itu sendiri, dan kosinus dari (tidak berorientasi) sudut dua vektor dengan panjang satu didefinisikan sebagai perkalian titik mereka. Jadi kesetaraan dari dua definisi hasil perkalian titik adalah bagian dari kesetaraan klasik dan formulasi modern geometri Euklides.

Definisi menurut aljabar Sunting

Produk skalar dua vektor A = [A1, A2, ..., An] dan B = [B1, B2, ..., Bn] didefinisikan sebagai:

di mana Σ melambangkan summation notation dan n adalah dimensi ruang vektor. Misalnya, dalam ruang tiga dimensi, produk skalar vektor-vektor [1, 3, −5] dan [4, −2, −1] adalah:

Definisi menurut geometri Sunting

Dalam ruang Euclidean, suatu vektor Euclidean adalah sebuah objek geometri yang memiliki baik besaran (magnitude) dan arah (direction). Sebuah vektor dapat digambarkan seperti sebuah anak panah. Besarannya adalah panjangnya, sedangkan arahnya adalah yang ditunjuk oleh ujung panah. Besaran vektor A dilambangkan dengan . Produk skalar dua vektor Euclidean A dan B didefinisikan sebagai

di mana θ adalah sudut di antara A dan B.

Secara khusus, jika A dan B adalah ortogonal, maka sudut di antara keduanya adalah 90° dan

Pada keadaan ekstrem lain, jika kedua vektor itu mempunyai arah yang sama (codirectional), maka sudut di antara keduanya adalah 0° dan

Ini menyiratkan bahwa produk skalar suatu vektor A dengan dirinya sendiri adalah

yang menghasilkan

rumus untuk panjang Euclidean vektor itu.

Sifat Sunting

Produk skalar memenuhi sifat-sifat berikut jika a, b, dan c adalah vektor real dan r adalah suatu bilangan skalar.

  1. Komutatif:
  2. Distributif over vector addition:
  3. Bilinear:
  4. Perkalian skalar:
  5. Ortogonal:
  6. Tidak ada cancellation:
  7. Product Rule: Jika a dan b adalah suatu fungsi, maka turunan (dilambangkan oleh tanda prime ′) dari a ⋅ b adalah a′ ⋅ b + a ⋅ b′.

Generalisasi Sunting

Tensor Sunting

Produk skalar antar suatu tensor pada ordo n dan suatu tensor pada ordo m adalah tensor pada ordo n + m − 2

Lihat pula Sunting

Referensi Sunting

  1. ^ S. Lipschutz, M. Lipson (2009). Linear Algebra (Schaum’s Outlines) (edisi ke-4th). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-154352-1. 
  2. ^ M.R. Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman (2009). Vector Analysis (Schaum’s Outlines) (edisi ke-2nd). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7. 

Pranala luar Sunting

Templat:Linear algebra

wikipedia, wiki, buku, buku, perpustakaan, artikel, baca, unduh, gratis, unduh gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, gambar, musik, lagu, film, buku, permainan, permainan.
Tanggal penerbitan:
Hasil kali skalar beralih ke halaman ini Untuk hasil kali skalar abstrak lihat Hasil kali dalam Untuk hasil kali vektor dan skalar lihat Perkalian skalar Produk dot juga disebut darab bintik bahasa Inggris Dot product atau produk skalar juga disebut darab skalar bahasa Inggris scalar product juga disebut inner product produk dalam dalam konteks ruang Euclid dalam matematika adalah suatu operasi aljabar yang memasukkan dua urutan bilangan dengan panjang yang sama biasanya vektor koordinat dan menghasilkan suatu bilangan tunggal Operasi ini dapat didefinisikan menurut aljabar maupun geometri Menurut aljabar produk skalar merupakan jumlah dari produk produk masukan yang bersangkutan dari bilangan bilangan pada dua urutan tersebut Menurut geometri produk skalar adalah produk dari besaran Euclidean atau panjang vektor dua vektor dan kosinus sudut di antara keduanya Nama produk dot diambil dari tanda dot yaitu tanda titik di tengah yang sering digunakan untuk melambangkan operasi ini nama produk skalar menekankan sifat skalar hasilnya bukan vektorial Dalam ruang tiga dimensi produk skalar dikontraskan dengan produk silang cross product dua vektor yang menghasilkan suatu pseudovector Produk skalar berkaitan langsung dengan kosinus sudut yang dibentuk oleh dua vektor dalam ruang Euclidean dari seberapapun banyaknya dimensi Daftar isi 1 Definisi 1 1 Definisi menurut aljabar 1 2 Definisi menurut geometri 2 Sifat 3 Generalisasi 3 1 Tensor 4 Lihat pula 5 Referensi 6 Pranala luarDefinisi SuntingProduk skalar sering didefinisikan menurut satu dari dua cara menurut aljabar atau menurut geometri Definisi geometris didasarkan pada pengertian sudut dan jarak besaran vektor Persamaan dua definisi ini bergantung pada memiliki sistem koordinat Kartesius untuk ruang Euklides Dalam presentasi modern geometri Euclidean titik titik ruang ditentukan berdasarkan koordinat Cartesiannya dan ruang Euclidean itu sendiri umumnya diidentifikasikan dengan ruang kordinat nyata Rn Dalam presentasi seperti itu pengertian panjang dan sudut tidaklah primitif Mereka ditentukan melalui perkalian titik panjang vektor didefinisikan sebagai akar kuadrat dari hasil kali titik vektor itu sendiri dan kosinus dari tidak berorientasi sudut dua vektor dengan panjang satu didefinisikan sebagai perkalian titik mereka Jadi kesetaraan dari dua definisi hasil perkalian titik adalah bagian dari kesetaraan klasik dan formulasi modern geometri Euklides Definisi menurut aljabar Sunting Produk skalar dua vektor A A1 A2 An dan B B1 B2 Bn didefinisikan sebagai 1 A B i 1 n A i B i A 1 B 1 A 2 B 2 A n B n displaystyle mathbf A cdot mathbf B sum i 1 n A i B i A 1 B 1 A 2 B 2 cdots A n B n nbsp di mana S melambangkan summation notation dan n adalah dimensi ruang vektor Misalnya dalam ruang tiga dimensi produk skalar vektor vektor 1 3 5 dan 4 2 1 adalah 1 3 5 4 2 1 1 4 3 2 5 1 4 6 5 3 displaystyle begin aligned 1 3 5 cdot 4 2 1 amp 1 4 3 2 5 1 amp 4 6 5 amp 3 end aligned nbsp Definisi menurut geometri Sunting Dalam ruang Euclidean suatu vektor Euclidean adalah sebuah objek geometri yang memiliki baik besaran magnitude dan arah direction Sebuah vektor dapat digambarkan seperti sebuah anak panah Besarannya adalah panjangnya sedangkan arahnya adalah yang ditunjuk oleh ujung panah Besaran vektor A dilambangkan dengan A displaystyle mathbf A nbsp Produk skalar dua vektor Euclidean A dan B didefinisikan sebagai 2 A B A B cos 8 displaystyle mathbf A cdot mathbf B mathbf A mathbf B cos theta nbsp di mana 8 adalah sudut di antara A dan B Secara khusus jika A dan B adalah ortogonal maka sudut di antara keduanya adalah 90 dan A B 0 displaystyle mathbf A cdot mathbf B 0 nbsp Pada keadaan ekstrem lain jika kedua vektor itu mempunyai arah yang sama codirectional maka sudut di antara keduanya adalah 0 dan A B A B displaystyle mathbf A cdot mathbf B mathbf A mathbf B nbsp Ini menyiratkan bahwa produk skalar suatu vektor A dengan dirinya sendiri adalah A A A 2 displaystyle mathbf A cdot mathbf A mathbf A 2 nbsp yang menghasilkan A A A displaystyle mathbf A sqrt mathbf A cdot mathbf A nbsp rumus untuk panjang Euclidean vektor itu Sifat SuntingProduk skalar memenuhi sifat sifat berikut jika a b dan c adalah vektor real dan r adalah suatu bilangan skalar 1 2 Komutatif a b b a displaystyle mathbf a cdot mathbf b mathbf b cdot mathbf a nbsp which follows from the definition 8 is the angle between a and b a b a b cos 8 b a cos 8 b a displaystyle mathbf a cdot mathbf b mathbf a mathbf b cos theta mathbf b mathbf a cos theta mathbf b cdot mathbf a nbsp Distributif over vector addition a b c a b a c displaystyle mathbf a cdot mathbf b mathbf c mathbf a cdot mathbf b mathbf a cdot mathbf c nbsp Bilinear a r b c r a b a c displaystyle mathbf a cdot r mathbf b mathbf c r mathbf a cdot mathbf b mathbf a cdot mathbf c nbsp Perkalian skalar c 1 a c 2 b c 1 c 2 a b displaystyle c 1 mathbf a cdot c 2 mathbf b c 1 c 2 mathbf a cdot mathbf b nbsp Ortogonal Dua vektor bukan nol a dan b adalah ortogonal jika dan hanya jika a b 0 Tidak ada cancellation Berbeda dengan perkalian angka biasa di mana jika ab ac maka b selalu sama dengan c kecuali a sama dengan nol produk skalar tidak menuruti cancellation law Jika a b a c dan a 0 maka dapat ditulis a b c 0 dengan hukum distributif hasil di atas mengatakan bahwa ini hanya berarti a tegak lurus dengan b c di mana masih mengizinkan b c 0 sehingga b c Product Rule Jika a dan b adalah suatu fungsi maka turunan dilambangkan oleh tanda prime dari a b adalah a b a b Generalisasi SuntingTensor Sunting Produk skalar antar suatu tensor pada ordo n dan suatu tensor pada ordo m adalah tensor pada ordo n m 2Lihat pula SuntingPertidaksamaan Cauchy Schwarz Perkalian matriks Perkalian silang Perkalian skalar Perkalian vektorReferensi Sunting a b S Lipschutz M Lipson 2009 Linear Algebra Schaum s Outlines edisi ke 4th McGraw Hill ISBN 978 0 07 154352 1 a b M R Spiegel S Lipschutz D Spellman 2009 Vector Analysis Schaum s Outlines edisi ke 2nd McGraw Hill ISBN 978 0 07 161545 7 Pemeliharaan CS1 Banyak nama authors list link Pranala luar SuntingHazewinkel Michiel ed 2001 1994 Inner product Encyclopedia of Mathematics Springer Science Business Media B V Kluwer Academic Publishers ISBN 978 1 55608 010 4 Weisstein Eric W Dot product MathWorld Explanation of dot product including with complex vectors Dot Product by Bruce Torrence Wolfram Demonstrations Project 2007 Templat Linear algebra Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Produk dot amp oldid 21357657