www.wikidata.id-id.nina.az

Persamaan medan Einstein Untuk persamaan E mc2 lihat Ekuivalensi massa energi Dalam teori relativitas umum persamaan med

Persamaan medan Einstein

Untuk persamaan E = mc2, lihat Ekuivalensi massa–energi.

Dalam teori relativitas umum, persamaan medan Einstein (bahasa Inggris: Einstein's field equations, disingkat EFE; juga disebut persamaan Einstein) menghubungkan geometri dari ruang waktu dengan distribusi materi di dalamnya.

Persamaan ini pertama kali diterbitkan oleh Einstein pada tahun 1915 dalam bentuk persamaan tensor yang menghubungkan lengkungan ruang waktu lokal (diekspresikan dengan tensor Einstein) dengan energi dan momentum lokal di dalam ruang waktu tersebut (diekspresikan dengan tensor tegangan–energi).

Sebagaimana medan elektromagnetik ditentukan menggunakan muatan dan arus melalui persamaan Maxwell, persamaan ini digunakan untuk menentukan geometri ruang waktu yang dihasilkan dari keberadaan massa–energi dan momentum linear, dengan kata lain, mereka menentukan tensor metrik dari ruang waktu untuk suatu susunan tegangan–energi dalam ruang waktu. Hubungan antara tensor metrik dan tensor Einstein memungkinkan persamaan EFE ditulis sebagai sehimpunan persamaan diferensial parsial non-linear apabila digunakan seperti ini. Penyelesaian dari persamaan EFE adalah komponen dari tensor metrik. Lintasan inersia dari partikel dan radiasi (geodesik) dalam geometri yang dihasilkan kemudian dihitung menggunakan persamaan geodesik.

Selain mematuhi kekekalan energi–momentum lokal, persamaan EFE bisa disederhanakan menjadi hukum gravitasi universal Newton apabila medan gravitasinya lemah dan kecepatannya jauh lebih kecil daripada laju cahaya.

Penyelesaian eksak untuk EFE hanya bisa ditemukan menggunakan asumsi untuk menyederhanakannya misalnya simetri. Kasus-kasus khusus untuk penyelesaian-penyelesaian eksak lebih sering dipelajari karena mereka memodelkan banyak fenomena gravitasi, seperti lubang hitam yang berotasi dan perluasan alam semesta. Penyederhanaan lebih lanjut diperoleh dengan menyerhanakan ruang waktu menjadi ruang waktu yang datar dengan sedikit penyimpangan, menghasilkan EFE terlinear. Persamaan-persamaan ini digunakan untuk mempelajari fenomena-fenomena seperti gelombang gravitasi.

Bentuk matematis Sunting

Persamaan medan Einstein bisa ditulis dalam bentuk:

Persamaan EFE di sebuah dinding di Leiden

di mana Rμν adalah tensor lengkungan Ricci, R adalah lengkungan skalar, gμν adalah tensor metrik, Λ adalah konstanta kosmologis, G adalah konstanta gravitasi Newton, c adalah laju cahaya dalam ruang hampa, dan Tμν adalah tensor tegangan–energi.

Persamaan EFE merupakan sebuah persamaan tensor yang menghubungkan sehimpunan tensor 4 × 4 yang simetris. Masing-masing tensor memiliki 10 komponen saling lepas. Keempat identitas Bianchi mengurangi banyak persamaan saling lepas dari 10 menjadi 6, memberikan metrik empat derajat kebebasan yang menentukan gauge, yang bersesuaian dengan kebebasan memilih sistem koordinat.

Meskipun persamaan medan Einstein awalnya dirumuskan dalam konteks teori empat dimensi, beberapa teoretikus telah mencoba mencari tahu konsekuensi persamaan tersebut dalam n dimensi. Persamaan tersebut dalam konteks di luar relativitas umum tetap disebut sebagai persamaan medan Einstein. Persamaan medan vakum (didapatkan ketika T identik dengan nol) mendefinisikan manifol Einstein.

Meskipun persamaannya tampak sederhana, persamaan ini sebenarnya cukup rumit. Jika diberikan distribusi materi dan energi dalam bentuk tensor tegangan–energi, maka persamaan EFE akan menjadi persamaan untuk tensor metrik gμν, karena tensor Ricci dan lengkungan skalar bergantung pada metrik tersebut dalam cara nonlinear yang rumit. Bahkan, jika dituliskan sepenuhnya, persamaan EFE merupakan sebuah sistem sepuluh persamaan diferensial parsial bertautan, nonlinear dan hiperbolik-eliptis.

Persamaan EFE bisa ditulis dalam bentuk yang lebih pendek dengan mendefinisikan tensor Einstein

yang merupakan sebuah tensor simetris rank dua yang merupakan fungsi dari metrik. Setelah itu, persamaan EFE bisa ditulis

Dalam satuan standar, masing-masing suku di sisi kiri memiliki satuan 1/panjang2. Jika konstanta Einstein dipilih sebagai 8πG/c4, maka tensor tegangan–energi di sisi kanan persamaan harus ditulis dengan setiap komponennya bersatuan kerapatan energi (energi per volume).

Jika menggunakan satuan tergeometrisasi di mana G = c = 1, ini bisa ditulis ulang sebagai

Ekspresi di sisi kiri melambangkan kelengkungan ruang waktu sebagaimana ditentukan oleh metrik; ekspresi di sisi kanan melambangkan isi materi/energi dari ruang waktu. Persamaan EFE bisa ditafsirkan sebagai sehimpunan persamaan yang mengatur bagaimana materi/energi memengaruhi kelengkungan ruang waktu.

Persamaan ini, bersama dengan persamaan geodesik, yang mengatur bagaimana materi yang jatuh bebas bergerak melalui ruang waktu, membentuk inti dari perumusan matematis relativitas umum.

Konvensi tanda Sunting

Bentuk EFE di atas adalah standar yang ditentukan olehy Misner, Thorne, dan Wheeler. Para penulis tersebut menganalisa semua konvensi yang ada dan mengelompokkan mereka berdasarkan tiga tanda (S1, S2, S3):

Tanda ketiga di atas berkaitan dengan pilihan konvensi untuk tensor Ricci:

Dengan definisi-definisi di atas Misner, Thorne, dan Wheeler mengelompokkan diri mereka sebagai (+ + +), sedangkan Weinberg (1972) tergolong (+ − −), Peebles (1980) dan Efstathiou dll. (1990) tergolong (− + +), Collins Martin & Squires (1989) dan Peacock (1999) tergolong (− + −).

Beberapa penulis seperti Einstein menggunakan tanda yang berbeda dalam definisi mereka untuk tensor Ricci yang menyebabkan tanda di sisi kanan menjadi negatif

Tanda dari suku kosmologis (yang sangat kecil) akan berubah di kedua versi apabila konvensi tanda metrik (+ − − −) digunakan bukannya konvensi tandam metrik MTW (− + + +) yang digunakan di sini.

Perumusan ekuivalen Sunting

Jika diambil teras terhadap metrik dari kedua sisi EFE, maka akan diperoleh

di mana D adalah dimensi ruang waktu. Ekspresi ini juga bisa ditulis sebagai

Jika ditambahkan −12gμν dikali ini ke EFE, maka akan diperoleh bentuk "teras terbalik" yang ekuivalen berikut

Contohnya, dalam D = 4 dimensi, ini disederhanakan menjadi

Membalikkan terasnya lagi akan mengembalikan EFE yang awal. Bentuk teras terbalik bisa jadi lebih nyaman digunakan dalam beberapa kasus (contohnya, ketika ingin membatasi untuk medan yang lemah dan bisa mengganti gμν dalam ekspresi di sisi kanan dengan metrik Minkowski tanpa kehilangan akurasi yang signifikan).

Lihat pula Sunting

  • Kalkulus Ricci
  • Matematika relativitas umum
  • Penyelesaian eksak dalam relativitas umum
  • Persamaan Hamilton–Jacobi–Einstein
  • Prinsip ekuivalensi
  • Relativitas numerik
  • Sejarah relativitas umum
  • Tindakan Einstein–Hilbert

Referensi Sunting

  1. ^ Einstein, Albert (1916). . Annalen der Physik. 354 (7): 769. Bibcode:1916AnP...354..769E. doi:10.1002/andp.19163540702. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2012-02-06. 
  2. Einstein, Albert (November 25, 1915). "Die Feldgleichungen der Gravitation". Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin: 844–847. Diakses tanggal 2017-08-21. 
  3. Misner, Thorne & Wheeler (1973), hlm. 916 [ch. 34].
  4. Carroll, Sean (2004). Spacetime and Geometry – An Introduction to General Relativity. hlm. 151–159. ISBN 0-8053-8732-3. 
  5. Grøn, Øyvind; Hervik, Sigbjorn (2007). Einstein's General Theory of Relativity: With Modern Applications in Cosmology (edisi ke-illustrated). Springer Science & Business Media. hlm. 180. ISBN 978-0-387-69200-5. 
  6. Stephani, Hans; Kramer, D.; MacCallum, M.; Hoenselaers, C.; Herlt, E. (2003). Exact Solutions of Einstein's Field Equations. Cambridge University Press. ISBN 0-521-46136-7. 
  7. Alan D. Rendall,“Theorems on Existence and Global Dynamics for the Einstein Equations”,Living Rev. Relativity,8, (2005), 6. [Online Article]: cited [2019-12-10],http://www.livingreviews.org/lrr-2005-6
  8. Weinberg, Steven (1993). Dreams of a Final Theory: the search for the fundamental laws of nature. Vintage Press. hlm. 107, 233. ISBN 0-09-922391-0. 
  9. Misner, Thorne & Wheeler (1973), hlm. 501ff.
  10. Weinberg (1972).
  11. Peebles, Phillip James Edwin (1980). The Large-scale Structure of the Universe. Princeton University Press. ISBN 0-691-08239-1. 
  12. Efstathiou, G.; Sutherland, W. J.; Maddox, S. J. (1990). "The cosmological constant and cold dark matter". Nature. 348 (6303): 705. Bibcode:1990Natur.348..705E. doi:10.1038/348705a0. 
  13. Collins, P. D. B.; Martin, A. D.; Squires, E. J. (1989). Particle Physics and Cosmology. New York: Wiley. ISBN 0-471-60088-1. 
  14. Peacock (1999).

Pranala luar Sunting

wikipedia, wiki, buku, buku, perpustakaan, artikel, baca, unduh, gratis, unduh gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, gambar, musik, lagu, film, buku, permainan, permainan.
Tanggal penerbitan:
Untuk persamaan E mc2 lihat Ekuivalensi massa energi Dalam teori relativitas umum persamaan medan Einstein bahasa Inggris Einstein s field equations disingkat EFE juga disebut persamaan Einstein menghubungkan geometri dari ruang waktu dengan distribusi materi di dalamnya 1 Persamaan ini pertama kali diterbitkan oleh Einstein pada tahun 1915 dalam bentuk persamaan tensor 2 yang menghubungkan lengkungan ruang waktu lokal diekspresikan dengan tensor Einstein dengan energi dan momentum lokal di dalam ruang waktu tersebut diekspresikan dengan tensor tegangan energi 3 Sebagaimana medan elektromagnetik ditentukan menggunakan muatan dan arus melalui persamaan Maxwell persamaan ini digunakan untuk menentukan geometri ruang waktu yang dihasilkan dari keberadaan massa energi dan momentum linear dengan kata lain mereka menentukan tensor metrik dari ruang waktu untuk suatu susunan tegangan energi dalam ruang waktu Hubungan antara tensor metrik dan tensor Einstein memungkinkan persamaan EFE ditulis sebagai sehimpunan persamaan diferensial parsial non linear apabila digunakan seperti ini Penyelesaian dari persamaan EFE adalah komponen dari tensor metrik Lintasan inersia dari partikel dan radiasi geodesik dalam geometri yang dihasilkan kemudian dihitung menggunakan persamaan geodesik Selain mematuhi kekekalan energi momentum lokal persamaan EFE bisa disederhanakan menjadi hukum gravitasi universal Newton apabila medan gravitasinya lemah dan kecepatannya jauh lebih kecil daripada laju cahaya 4 Penyelesaian eksak untuk EFE hanya bisa ditemukan menggunakan asumsi untuk menyederhanakannya misalnya simetri Kasus kasus khusus untuk penyelesaian penyelesaian eksak lebih sering dipelajari karena mereka memodelkan banyak fenomena gravitasi seperti lubang hitam yang berotasi dan perluasan alam semesta Penyederhanaan lebih lanjut diperoleh dengan menyerhanakan ruang waktu menjadi ruang waktu yang datar dengan sedikit penyimpangan menghasilkan EFE terlinear Persamaan persamaan ini digunakan untuk mempelajari fenomena fenomena seperti gelombang gravitasi Daftar isi 1 Bentuk matematis 1 1 Konvensi tanda 1 2 Perumusan ekuivalen 2 Lihat pula 3 Referensi 4 Pranala luarBentuk matematis SuntingPersamaan medan Einstein bisa ditulis dalam bentuk 1 5 R m n 1 2 R g m n L g m n 8 p G c 4 T m n displaystyle R mu nu tfrac 1 2 Rg mu nu Lambda g mu nu frac 8 pi G c 4 T mu nu nbsp nbsp Persamaan EFE di sebuah dinding di Leidendi mana Rmn adalah tensor lengkungan Ricci R adalah lengkungan skalar gmn adalah tensor metrik L adalah konstanta kosmologis G adalah konstanta gravitasi Newton c adalah laju cahaya dalam ruang hampa dan Tmn adalah tensor tegangan energi Persamaan EFE merupakan sebuah persamaan tensor yang menghubungkan sehimpunan tensor 4 4 yang simetris Masing masing tensor memiliki 10 komponen saling lepas Keempat identitas Bianchi mengurangi banyak persamaan saling lepas dari 10 menjadi 6 memberikan metrik empat derajat kebebasan yang menentukan gauge yang bersesuaian dengan kebebasan memilih sistem koordinat Meskipun persamaan medan Einstein awalnya dirumuskan dalam konteks teori empat dimensi beberapa teoretikus telah mencoba mencari tahu konsekuensi persamaan tersebut dalam n dimensi 6 Persamaan tersebut dalam konteks di luar relativitas umum tetap disebut sebagai persamaan medan Einstein Persamaan medan vakum didapatkan ketika T identik dengan nol mendefinisikan manifol Einstein Meskipun persamaannya tampak sederhana persamaan ini sebenarnya cukup rumit Jika diberikan distribusi materi dan energi dalam bentuk tensor tegangan energi maka persamaan EFE akan menjadi persamaan untuk tensor metrik gmn karena tensor Ricci dan lengkungan skalar bergantung pada metrik tersebut dalam cara nonlinear yang rumit Bahkan jika dituliskan sepenuhnya persamaan EFE merupakan sebuah sistem sepuluh persamaan diferensial parsial bertautan nonlinear dan hiperbolik eliptis 7 Persamaan EFE bisa ditulis dalam bentuk yang lebih pendek dengan mendefinisikan tensor Einstein G m n R m n 1 2 R g m n displaystyle G mu nu R mu nu tfrac 1 2 Rg mu nu nbsp yang merupakan sebuah tensor simetris rank dua yang merupakan fungsi dari metrik Setelah itu persamaan EFE bisa ditulis G m n L g m n 8 p G c 4 T m n displaystyle G mu nu Lambda g mu nu frac 8 pi G c 4 T mu nu nbsp Dalam satuan standar masing masing suku di sisi kiri memiliki satuan 1 panjang2 Jika konstanta Einstein dipilih sebagai 8pG c4 maka tensor tegangan energi di sisi kanan persamaan harus ditulis dengan setiap komponennya bersatuan kerapatan energi energi per volume Jika menggunakan satuan tergeometrisasi di mana G c 1 ini bisa ditulis ulang sebagai G m n L g m n 8 p T m n displaystyle G mu nu Lambda g mu nu 8 pi T mu nu nbsp Ekspresi di sisi kiri melambangkan kelengkungan ruang waktu sebagaimana ditentukan oleh metrik ekspresi di sisi kanan melambangkan isi materi energi dari ruang waktu Persamaan EFE bisa ditafsirkan sebagai sehimpunan persamaan yang mengatur bagaimana materi energi memengaruhi kelengkungan ruang waktu Persamaan ini bersama dengan persamaan geodesik 8 yang mengatur bagaimana materi yang jatuh bebas bergerak melalui ruang waktu membentuk inti dari perumusan matematis relativitas umum Konvensi tanda Sunting Bentuk EFE di atas adalah standar yang ditentukan olehy Misner Thorne dan Wheeler 9 Para penulis tersebut menganalisa semua konvensi yang ada dan mengelompokkan mereka berdasarkan tiga tanda S1 S2 S3 g m n S 1 diag 1 1 1 1 R m a b g S 2 G a g b m G a b g m G s b m G g a s G s g m G b a s G m n S 3 8 p G c 4 T m n displaystyle begin aligned g mu nu amp S1 times operatorname diag 1 1 1 1 6pt R mu alpha beta gamma amp S2 times left Gamma alpha gamma beta mu Gamma alpha beta gamma mu Gamma sigma beta mu Gamma gamma alpha sigma Gamma sigma gamma mu Gamma beta alpha sigma right 6pt G mu nu amp S3 times frac 8 pi G c 4 T mu nu end aligned nbsp Tanda ketiga di atas berkaitan dengan pilihan konvensi untuk tensor Ricci R m n S 2 S 3 R a m a n displaystyle R mu nu S2 times S3 times R alpha mu alpha nu nbsp Dengan definisi definisi di atas Misner Thorne dan Wheeler mengelompokkan diri mereka sebagai sedangkan Weinberg 1972 10 tergolong Peebles 1980 11 dan Efstathiou dll 1990 12 tergolong Collins Martin amp Squires 1989 13 dan Peacock 1999 14 tergolong Beberapa penulis seperti Einstein menggunakan tanda yang berbeda dalam definisi mereka untuk tensor Ricci yang menyebabkan tanda di sisi kanan menjadi negatif R m n 1 2 R g m n L g m n 8 p G c 4 T m n displaystyle R mu nu tfrac 1 2 Rg mu nu Lambda g mu nu frac 8 pi G c 4 T mu nu nbsp Tanda dari suku kosmologis yang sangat kecil akan berubah di kedua versi apabila konvensi tanda metrik digunakan bukannya konvensi tandam metrik MTW yang digunakan di sini Perumusan ekuivalen Sunting Jika diambil teras terhadap metrik dari kedua sisi EFE maka akan diperoleh R D 2 R D L 8 p G c 4 T displaystyle R frac D 2 R D Lambda frac 8 pi G c 4 T nbsp di mana D adalah dimensi ruang waktu Ekspresi ini juga bisa ditulis sebagai R D L D 2 1 8 p G c 4 T D 2 1 displaystyle R frac D Lambda frac D 2 1 frac 8 pi G c 4 frac T frac D 2 1 nbsp Jika ditambahkan 1 2 gmn dikali ini ke EFE maka akan diperoleh bentuk teras terbalik yang ekuivalen berikut R m n L g m n D 2 1 8 p G c 4 T m n 1 D 2 T g m n displaystyle R mu nu frac Lambda g mu nu frac D 2 1 frac 8 pi G c 4 left T mu nu frac 1 D 2 Tg mu nu right nbsp Contohnya dalam D 4 dimensi ini disederhanakan menjadi R m n L g m n 8 p G c 4 T m n 1 2 T g m n displaystyle R mu nu Lambda g mu nu frac 8 pi G c 4 left T mu nu tfrac 1 2 T g mu nu right nbsp Membalikkan terasnya lagi akan mengembalikan EFE yang awal Bentuk teras terbalik bisa jadi lebih nyaman digunakan dalam beberapa kasus contohnya ketika ingin membatasi untuk medan yang lemah dan bisa mengganti gmn dalam ekspresi di sisi kanan dengan metrik Minkowski tanpa kehilangan akurasi yang signifikan Lihat pula SuntingKalkulus Ricci Matematika relativitas umum Penyelesaian eksak dalam relativitas umum Persamaan Hamilton Jacobi Einstein Prinsip ekuivalensi Relativitas numerik Sejarah relativitas umum Tindakan Einstein HilbertReferensi Sunting a b Einstein Albert 1916 The Foundation of the General Theory of Relativity Annalen der Physik 354 7 769 Bibcode 1916AnP 354 769E doi 10 1002 andp 19163540702 Diarsipkan dari versi asli PDF tanggal 2012 02 06 Einstein Albert November 25 1915 Die Feldgleichungen der Gravitation Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 844 847 Diakses tanggal 2017 08 21 Misner Thorne amp Wheeler 1973 hlm 916 ch 34 Carroll Sean 2004 Spacetime and Geometry An Introduction to General Relativity hlm 151 159 ISBN 0 8053 8732 3 Gron Oyvind Hervik Sigbjorn 2007 Einstein s General Theory of Relativity With Modern Applications in Cosmology edisi ke illustrated Springer Science amp Business Media hlm 180 ISBN 978 0 387 69200 5 Stephani Hans Kramer D MacCallum M Hoenselaers C Herlt E 2003 Exact Solutions of Einstein s Field Equations Cambridge University Press ISBN 0 521 46136 7 Alan D Rendall Theorems on Existence and Global Dynamics for the Einstein Equations Living Rev Relativity 8 2005 6 Online Article cited 2019 12 10 http www livingreviews org lrr 2005 6 Weinberg Steven 1993 Dreams of a Final Theory the search for the fundamental laws of nature Vintage Press hlm 107 233 ISBN 0 09 922391 0 Misner Thorne amp Wheeler 1973 hlm 501ff Weinberg 1972 Peebles Phillip James Edwin 1980 The Large scale Structure of the Universe Princeton University Press ISBN 0 691 08239 1 Efstathiou G Sutherland W J Maddox S J 1990 The cosmological constant and cold dark matter Nature 348 6303 705 Bibcode 1990Natur 348 705E doi 10 1038 348705a0 Collins P D B Martin A D Squires E J 1989 Particle Physics and Cosmology New York Wiley ISBN 0 471 60088 1 Peacock 1999 Pranala luar SuntingHazewinkel Michiel ed 2001 1994 Einstein equations Encyclopedia of Mathematics Springer Science Business Media B V Kluwer Academic Publishers ISBN 978 1 55608 010 4 Caltech Tutorial on Relativity Pengantar sederhana kepada persamaan medan Einstein The Meaning of Einstein s Equation Penjalasan persamaan medan Einstein penurunannya dan beberapa konsekuensinya Video Lecture on Einstein s Field Equations oleh Profesor Fisika MIT Edmund Bertschinger Arch and scaffold How Einstein found his field equations Physics Today November 2015 History of the Development of the Field Equations Persamaan medan Einstein di dinding di Museum Boerhaave di Leiden Diarsipkan 2017 01 18 di Wayback Machine Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Persamaan medan Einstein amp oldid 22887897