www.wikidata.id-id.nina.az

Luas lingkaran Dalam geometri luas lingkaran adalah daerah yang dilingkupi oleh kurva yang melengkung sehingga berupa li

Luas lingkaran

Dalam geometri, luas lingkaran adalah daerah yang dilingkupi oleh kurva yang melengkung sehingga berupa lingkaran, dan galibnya, luas lingkaran dapat dirumuskan sebagai berikut.

Pada rumus di atas, simbol adalah luas lingkaran, adalah jari-jari atau dikenal sebagai radius, dan (huruf Yunani yang dibaca pi) adalah konstanta Archimedes yang diaproksimasikan sebagai .

Sejarah Sunting

Matematika modern dapat memperoleh luas menggunakan metode kalkulus integral atau turunan yang lebih canggih, analisis riil. Namun luas cakram dipelajari oleh Yunani Kuno. Eudoxus dari Cnidus pada abad kelima SM, telah menemukan bahwa luas cakram sebanding dengan radius kuadratnya. Archimedes menggunakan perkakas geometri Euklides untuk menunjukkan bahwa luas di dalam lingkaran sama dengan luas segitiga siku-siku yang alasnya memiliki panjang keliling lingkaran dan yang tingginya sama dengan jari-jari lingkaran dalam bukunya Pengukuran Lingkaran. Kelilingnya , dan luas segitiga adalah setengah alas dikalikan tinggi, menghasilkan luas untuk cakram. Sebelum Archimedes, Hippocrates adalah orang pertama yang menunjukkan bahwa luas cakram sebanding dengan kuadrat diameternya, sebagai bagian dari kuadraturnya dalam bulan sabit Hippocrates, tetapi tidak mengidentifikasi konstanta proporsionalitas.

Bukti rumus luas lingkaran Sunting

Bukti melalui poligon Sunting

Selama lebih dari 2000 tahun yang silam, Archimedes menyediakan kunci untuk suatu penyelesaian.

Dengan memperhatikan poligon dalam yang mengaproksimasi daerah melengkung dan pendekatan geometris (anggap lingkaran berjari-jari 1), kita perhatikan poligon dalam beraturan dengan 4 sisi, 8 sisi, 16 sisi, dst. Luas lingkaran adalah limit ketika dari luas-luas . Misal menyatakan luas suatu daerah, maka

Hal yang serupa untuk pendekatan geometris terhadap poligon luar.

Bukti melalui semilingkaran Sunting

Semilingkaran dengan jari-jari .

Tinjau daerah dengan selang , maka kita bisa menghitung luas setengah lingkaran dengan .

Luas lingkaran, ialah dua kali dari luas semilingkaran, maka kita tuliskan

Bukti melalui estimasi dari luas persegi panjang Sunting

Bukti yang sederhana adalah melalui luas persegi panjang (sebagai estimasi saja). Dengan memotong lingkaran sehingga masing-masing luas juring adalah sama, serta transfigurasi melalui penyusunan luas juring tersebut (dengan warna putih dan kuning, lihat gambar) menjadi persegi panjang, maka kita dapat mengeksploitasi luas persegi panjang untuk mencari luas lingkaran.

Ilustrasi luas persegi dapat kita eksploitasikan sebagai pembuktian luas lingkaran.

Luas lingkaran yang diperoleh sama dengan luas persegi panjang, yaitu setengah keliling lingkaran dikali dengan jari-jari.

Bukti melalui segitiga Sunting

Visual animasi bagaimana luas segitiga siku-siku dapat membantu pemahaman bukti dari luas lingkaran.

Selain pembuktian melalui estimasi terhadap luas persegi panjang sebagai pencarian luas lingkaran, kita dapat membuktikannya melalui luas segitiga siku-siku. Dengan memperhatikan gambar bahwa luas lingkaran divisualisasikan melalui animasi, maka kita dapat memisalkan masing-masing jari-jari dan keliling lingkaran sebagai alas dan tinggi pada segitiga siku-siku.

Lihat pula Sunting

Referensi Sunting

  1. Stewart, James (2003). Variabel tunggal transendental awal kalkulus (edisi ke-5th.). Toronto ON: Brook/Cole. hlm. 3. ISBN 0-534-39330-6. However, by indirect reasoning, Eudoxus (fifth century B.C.) used exhaustion to prove the familiar formula for the area of a disk:  
  2. Heath, Thomas L. (2003), Manual Matematika Yunani, Courier Dover Publications, hlm. 121–132, ISBN 0-486-43231-9 .
  3. ^ Dale Varberg, Edward Purcell, Steve Rigdon (2006). Kalkulus Edisi Kesembilan, Jilid 1. hlm. 213. (Penerjemah: I Nyoman Susila, Ph. D, Penerbit Erlangga)
  4. Dale Varberg, Edward Purcell, Steve Rigdon (2006). Kalkulus Edisi Kesembilan, Jilid 2. hlm. 19. (Penerjemah: I Nyoman Susila, Ph. D, Penerbit Erlangga)
  5. ^ Salamah, Umi (2015). Berlogika dengan Matematika untuk Kelas VIII SMP dan MTs. hlm. 130. ISBN 978-979-018-702-3. 
wikipedia, wiki, buku, buku, perpustakaan, artikel, baca, unduh, gratis, unduh gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, gambar, musik, lagu, film, buku, permainan, permainan.
Tanggal penerbitan:
Dalam geometri luas lingkaran adalah daerah yang dilingkupi oleh kurva yang melengkung sehingga berupa lingkaran dan galibnya luas lingkaran dapat dirumuskan sebagai berikut A p r 2 displaystyle A pi r 2 Pada rumus di atas simbol A displaystyle A adalah luas lingkaran r displaystyle r adalah jari jari atau dikenal sebagai radius dan p displaystyle pi huruf Yunani yang dibaca pi adalah konstanta Archimedes yang diaproksimasikan sebagai 3 1415 displaystyle 3 1415 dots Daftar isi 1 Sejarah 2 Bukti rumus luas lingkaran 2 1 Bukti melalui poligon 2 2 Bukti melalui semilingkaran 2 3 Bukti melalui estimasi dari luas persegi panjang 2 4 Bukti melalui segitiga 3 Lihat pula 4 ReferensiSejarah SuntingMatematika modern dapat memperoleh luas menggunakan metode kalkulus integral atau turunan yang lebih canggih analisis riil Namun luas cakram dipelajari oleh Yunani Kuno Eudoxus dari Cnidus pada abad kelima SM telah menemukan bahwa luas cakram sebanding dengan radius kuadratnya 1 Archimedes menggunakan perkakas geometri Euklides untuk menunjukkan bahwa luas di dalam lingkaran sama dengan luas segitiga siku siku yang alasnya memiliki panjang keliling lingkaran dan yang tingginya sama dengan jari jari lingkaran dalam bukunya Pengukuran Lingkaran Kelilingnya 2 p r displaystyle 2 pi r nbsp dan luas segitiga adalah setengah alas dikalikan tinggi menghasilkan luas p r 2 displaystyle pi r 2 nbsp untuk cakram Sebelum Archimedes Hippocrates adalah orang pertama yang menunjukkan bahwa luas cakram sebanding dengan kuadrat diameternya sebagai bagian dari kuadraturnya dalam bulan sabit Hippocrates 2 tetapi tidak mengidentifikasi konstanta proporsionalitas Bukti rumus luas lingkaran SuntingBukti melalui poligon Sunting Selama lebih dari 2000 tahun yang silam Archimedes menyediakan kunci untuk suatu penyelesaian 3 Dengan memperhatikan poligon dalam yang mengaproksimasi daerah melengkung dan pendekatan geometris anggap lingkaran berjari jari 1 kita perhatikan poligon dalam beraturan P 1 P 2 P 3 displaystyle P 1 P 2 P 3 dots nbsp dengan 4 sisi 8 sisi 16 sisi dst Luas lingkaran adalah limit ketika n displaystyle n to infty nbsp dari luas luas P n displaystyle P n nbsp Misal A displaystyle A nbsp menyatakan luas suatu daerah maka A lingkaran lim n A P n displaystyle A text lingkaran lim n to infty A P n nbsp 3 Hal yang serupa untuk pendekatan geometris terhadap poligon luar Bukti melalui semilingkaran Sunting nbsp Semilingkaran dengan jari jari r displaystyle r nbsp Tinjau daerah dengan selang r r displaystyle r r nbsp maka kita bisa menghitung luas setengah lingkaran dengan y r 2 x 2 displaystyle y sqrt r 2 x 2 nbsp A setengah lingkaran r r r 2 x 2 d x r 2 2 arcsin x r x 2 r 2 x 2 r r r 2 2 p 2 p 2 p r 2 2 displaystyle A text setengah lingkaran int r r sqrt r 2 x 2 mathrm d x left frac r 2 2 arcsin frac x r frac x 2 sqrt r 2 x 2 right r r frac r 2 2 left frac pi 2 frac pi 2 right frac pi r 2 2 nbsp 4 Luas lingkaran ialah dua kali dari luas semilingkaran maka kita tuliskan A lingkaran 2 A setengah lingkaran p r 2 displaystyle A text lingkaran 2A text setengah lingkaran pi r 2 nbsp Bukti melalui estimasi dari luas persegi panjang Sunting Bukti yang sederhana adalah melalui luas persegi panjang sebagai estimasi saja Dengan memotong lingkaran sehingga masing masing luas juring adalah sama serta transfigurasi melalui penyusunan luas juring tersebut dengan warna putih dan kuning lihat gambar menjadi persegi panjang maka kita dapat mengeksploitasi luas persegi panjang untuk mencari luas lingkaran 5 nbsp Ilustrasi luas persegi dapat kita eksploitasikan sebagai pembuktian luas lingkaran Luas lingkaran yang diperoleh sama dengan luas persegi panjang yaitu setengah keliling lingkaran dikali dengan jari jari A 1 2 C r 1 2 2 p r r p r 2 displaystyle A frac 1 2 cdot C cdot r frac 1 2 cdot 2 pi r cdot r pi r 2 nbsp 5 Bukti melalui segitiga Sunting nbsp Visual animasi bagaimana luas segitiga siku siku dapat membantu pemahaman bukti dari luas lingkaran Selain pembuktian melalui estimasi terhadap luas persegi panjang sebagai pencarian luas lingkaran kita dapat membuktikannya melalui luas segitiga siku siku Dengan memperhatikan gambar bahwa luas lingkaran divisualisasikan melalui animasi maka kita dapat memisalkan masing masing jari jari dan keliling lingkaran sebagai alas dan tinggi pada segitiga siku siku A 1 2 C r 1 2 2 p r r p r 2 displaystyle A frac 1 2 cdot C cdot r frac 1 2 cdot 2 pi r cdot r pi r 2 nbsp Lihat pula SuntingDiameter dua kalinya jari jari Lingkaran Bulan sabit HippocratesReferensi Sunting Stewart James 2003 Variabel tunggal transendental awal kalkulus nbsp edisi ke 5th Toronto ON Brook Cole hlm 3 ISBN 0 534 39330 6 However by indirect reasoning Eudoxus fifth century B C used exhaustion to prove the familiar formula for the area of a disk A p r 2 displaystyle A pi r 2 nbsp Heath Thomas L 2003 Manual Matematika Yunani Courier Dover Publications hlm 121 132 ISBN 0 486 43231 9 a b Dale Varberg Edward Purcell Steve Rigdon 2006 Kalkulus Edisi Kesembilan Jilid 1 hlm 213 Penerjemah I Nyoman Susila Ph D Penerbit Erlangga Dale Varberg Edward Purcell Steve Rigdon 2006 Kalkulus Edisi Kesembilan Jilid 2 hlm 19 Penerjemah I Nyoman Susila Ph D Penerbit Erlangga a b Salamah Umi 2015 Berlogika dengan Matematika untuk Kelas VIII SMP dan MTs hlm 130 ISBN 978 979 018 702 3 Parameter url status yang tidak diketahui akan diabaikan bantuan Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Luas lingkaran amp oldid 22563160