Integral Gauss juga dikenal dengan nama integral Euler Poisson merupakan integral dari fungsi Gauss e x2 di sepanjang garis real Integral ini dinamai dari matematikawan Jerman Carl Friedrich Gauss yang dirumuskan sebagaiGrafik dari fungsi f x e x2 dan luas di antara fungsi tersebut dan sumbu x yakni di sepanjang garis sama dengan p displaystyle scriptstyle sqrt pi e x 2 d x p displaystyle int infty infty e x 2 dx sqrt pi Jenis integral ini awalnya ditemukan oleh Abraham de Moivre pada tahun 1733 tetapi Gauss menerbitkan integral yang tepat pada tahun 1809 1 Integral ini dapat diaplikasikan untuk berbagai macam hal Contohnya dengan sedikit perubahan dalam variabel integral ini digunakan untuk menghitung konstanta normalisasi dari distribusi normal Integral yang sama dengan limit yang terbatas sangat terkait dengan fungsi galat dan fungsi distribusi kumulatif dari distribusi normal Integral ini juga sering digunakan dalam ilmu fisika khususnya mekanika kuantum Daftar isi 1 Cara menghitung 1 1 Menggunakan koordinat polar 2 Kaitannya dengan fungsi gamma 3 Perumuman 3 1 Integral dari fungsi Gauss 3 2 Perumuman fungsional dan dimensi n 3 3 Perumuman dimensi n dengan bentuk linear 3 4 Integral dengan bentuk yang serupa 3 5 Polinomial tingkat tinggi 4 Lihat pula 5 Referensi 6 Daftar pustakaCara menghitung suntingMenggunakan koordinat polar sunting Cara standar untuk menghitung integral Gauss adalah dengan menggunakan koordinat polar e x 2 d x 2 e x 2 d x e y 2 d y e x 2 y 2 d x d y displaystyle left int infty infty e x 2 dx right 2 int infty infty e x 2 dx int infty infty e y 2 dy int infty infty int infty infty e x 2 y 2 dx dy nbsp Tinjau fungsi e x 2 y 2 e r 2 displaystyle e x 2 y 2 e r 2 nbsp di bidang R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp dan kemudian hitung integral melalui dua cara berikut Cara yang pertama adalah menggunakan integral lipat dalam sistem koordinat Kartesius yakni integralnya dikuadratkan e x 2 d x 2 displaystyle left int e x 2 dx right 2 nbsp Cara yang kedua adalah dengan menggunakan integral kulit tabung kasus integrasi ganda dalam sistem koordinat polar yang memberikan hasil integral sama dengan p Kedua perhitungan di atas memperoleh integral walaupun perhitungan ini melibatkan integral takwajar R 2 e x 2 y 2 d x y 0 2 p 0 e r 2 r d r d 8 2 p 0 r e r 2 d r 2 p 0 1 2 e s d s s r 2 p 0 e s d s p e 0 e p displaystyle begin aligned iint mathbf R 2 e x 2 y 2 d x y amp int 0 2 pi int 0 infty e r 2 r dr d theta amp 2 pi int 0 infty re r 2 dr amp 2 pi int infty 0 tfrac 1 2 e s ds amp amp s r 2 amp pi int infty 0 e s ds amp pi e 0 e infty amp pi end aligned nbsp dengan faktor r merupakan determinan Jacobi yang muncul karena transformasi ke koordinat polar dan juga karena melibatkan pengambilan s r2 sehingga ds 2r dr Dengan menggabungkannya akan menghasilkan e x 2 d x 2 p displaystyle left int infty infty e x 2 dx right 2 pi nbsp Jadi ketika kedua ruas diakarkuadratkan akan menghasilkan e x 2 d x p displaystyle int infty infty e x 2 dx sqrt pi nbsp Kaitannya dengan fungsi gamma suntingIntegran ini merupakan fungsi genap e x 2 d x 2 0 e x 2 d x displaystyle int infty infty e x 2 dx 2 int 0 infty e x 2 dx nbsp Jadi setelah variabel x displaystyle x nbsp diubah menjadi t displaystyle sqrt t nbsp maka integral di atas berubah menjadi integral Euler 2 0 e x 2 d x 2 0 1 2 e t t 1 2 d t G 1 2 p displaystyle 2 int 0 infty e x 2 dx 2 int 0 infty frac 1 2 e t t frac 1 2 dt Gamma left frac 1 2 right sqrt pi nbsp dengan G z 0 t z 1 e t d t textstyle Gamma z int 0 infty t z 1 e t dt nbsp adalah fungsi gamma Hal ini memperlihatkan mengapa faktorial dari setengah bilangan bulat adalah kelipatan rasional dari p displaystyle sqrt pi nbsp Secara lebih umum 0 x n e a x b d x G n 1 b b a n 1 b displaystyle int 0 infty x n e ax b dx frac Gamma left n 1 b right ba n 1 b nbsp yang dapat diperoleh dengan mengubah t a x b displaystyle t ax b nbsp di integan fungsi gamma agar memperoleh G z a z b 0 x b z 1 e a x b d x textstyle Gamma z a z b int 0 infty x bz 1 e ax b dx nbsp Perumuman suntingIntegral dari fungsi Gauss sunting Artikel utama Integral dari fungsi Gauss Integral dari fungsi Gauss adalah e a x b 2 d x p a displaystyle int infty infty e a x b 2 dx sqrt frac pi a nbsp Integral di atas mempunyai bentuk alternatif yaitu e a x 2 b x c d x p a e b 2 4 a c displaystyle int infty infty e ax 2 bx c dx sqrt frac pi a e frac b 2 4a c nbsp Bentuk tersebut berguna untuk menghitung perkiraan dari setiap distribusi probabilitas kontinu yang terkait dengan distribusi normal Contohnya seperti distribusi log normal Perumuman fungsional dan dimensi n sunting Artikel utama Distribusi normal multivariabel Misalkan A displaystyle A nbsp adalah matriks presisi n n definit positif simetri yang merupakan invers dari matriks peragam Maka exp 1 2 i j 1 n A i j x i x j d n x exp 1 2 x T A x d n x 2 p n det A 1 det A 2 p det 2 p A 1 displaystyle int infty infty exp left frac 1 2 sum limits i j 1 n A ij x i x j right d n x int infty infty exp left frac 1 2 x T Ax right d n x sqrt frac 2 pi n det A sqrt frac 1 det A 2 pi sqrt det 2 pi A 1 nbsp dengan integral dipahami di R n displaystyle mathbb R n nbsp Rumus di atas berlaku dalam studi tentang distribusi normal multivariat Selain itu terdapat integral dengan bentuk x k 1 x k 2 N exp 1 2 i j 1 n A i j x i x j d n x 2 p n det A 1 2 N N s S 2 N A 1 k s 1 k s 2 A 1 k s 2 N 1 k s 2 N displaystyle int x k 1 cdots x k 2N exp left frac 1 2 sum limits i j 1 n A ij x i x j right d n x sqrt frac 2 pi n det A frac 1 2 N N sum sigma in S 2N A 1 k sigma 1 k sigma 2 cdots A 1 k sigma 2N 1 k sigma 2N nbsp dengan s displaystyle sigma nbsp adalah permutasi dari 1 2 N displaystyle 1 dots 2N nbsp dan faktor tambahan di ruas kanan merupakan jumlah dari semua pasangan kombinatorial 1 2 N displaystyle 1 dots 2N nbsp untuk N displaystyle N nbsp salinan dari A 1 displaystyle A 1 nbsp Di sisi lain f x exp 1 2 i j 1 n A i j x i x j d n x 2 p n det A exp 1 2 i j 1 n A 1 i j x i x j f x x 0 displaystyle int f vec x exp left frac 1 2 sum limits i j 1 n A ij x i x j right d n x sqrt 2 pi n over det A left exp left 1 over 2 sum limits i j 1 n A 1 ij partial over partial x i partial over partial x j right f vec x right vec x 0 nbsp untuk setiap fungsi analitik f displaystyle f nbsp asalkan memenuhi beberapa batasan yang sesuai pada pertumbuhannya dan beberapa kriteria teknis lainnya Ini bekerja untuk setiap fungsi dan gagal untuk fungsi yang lain Polinomial juga bekerja untuk hal tersebut Eksponensial atas operator diferensial dipahami sebagai deret pangkat Perumuman dimensi n dengan bentuk linear sunting Jika A lagi lagi merupakan matriks definit positif simetri maka asumsi bahwa semuanya adalah vektor kolom e 1 2 i j 1 n A i j x i x j i 1 n B i x i d n x e 1 2 x T A x B T x d n x 2 p n det A e 1 2 B T A 1 B displaystyle int e frac 1 2 sum limits i j 1 n A ij x i x j sum limits i 1 n B i x i d n x int e frac 1 2 vec x T mathbf A vec x vec B T vec x d n x sqrt frac 2 pi n det A e frac 1 2 vec B T mathbf A 1 vec B nbsp Integral dengan bentuk yang serupa sunting 0 x 2 n e x 2 a 2 d x p a 2 n 1 2 n 1 2 n 1 displaystyle int 0 infty x 2n e frac x 2 a 2 dx sqrt pi frac a 2n 1 2n 1 2 n 1 nbsp 0 x 2 n 1 e x 2 a 2 d x n 2 a 2 n 2 displaystyle int 0 infty x 2n 1 e frac x 2 a 2 dx frac n 2 a 2n 2 nbsp 0 x 2 n e a x 2 d x 2 n 1 a n 2 n 1 p a displaystyle int 0 infty x 2n e ax 2 dx frac 2n 1 a n 2 n 1 sqrt frac pi a nbsp 0 x 2 n 1 e a x 2 d x n 2 a n 1 displaystyle int 0 infty x 2n 1 e ax 2 dx frac n 2a n 1 nbsp 0 x n e a x 2 d x G n 1 2 2 a n 1 2 displaystyle int 0 infty x n e ax 2 dx frac Gamma frac n 1 2 2a frac n 1 2 nbsp dengan n displaystyle n nbsp adalah bilangan bulat positif dan displaystyle nbsp menyatakan faktorial ganda Cara mudah untuk menurunkannya adalah dengan mendiferensialkannya terhadap simbol integral x 2 n e a x 2 d x 1 n n a n e a x 2 d x 1 n n a n e a x 2 d x p 1 n n a n a 1 2 p a 2 n 1 2 a n displaystyle begin aligned int infty infty x 2n e alpha x 2 dx amp left 1 right n int infty infty frac partial n partial alpha n e alpha x 2 dx left 1 right n frac partial n partial alpha n int infty infty e alpha x 2 dx 6pt amp sqrt pi left 1 right n frac partial n partial alpha n alpha frac 1 2 sqrt frac pi alpha frac 2n 1 left 2 alpha right n end aligned nbsp Cara lain untuk menghitungnya adalah dengan menggunakan integral parsial dan menemukan relasi pengulangan agar memperoleh solusinya Polinomial tingkat tinggi sunting Menerapkan perubahan basis linier memperlihatkan bahwa integral dari eksponensial dari polinomial homogen pada n variabel hanya dapat bergantung pada invarian SL n dari polinomial Salah satu invarian tersebut adalah diskriminan akar fungsi yang menandai singularitas integral Sayangnya integral tersebut juga dapat bergantung pada invarian lainnya 2 Lihat pula suntingDaftar integral dari fungsi Gauss Integral yang umum dalam teori medan kuantum Distribusi normal Daftar integral dari fungsi eksponensial Fungsi galat Integral BerezinReferensi sunting Stahl Saul April 2006 The Evolution of the Normal Distribution PDF MAA org Diakses tanggal May 25 2018 Morozov A Shakirove Sh 2009 Pengantar diskriminan integral Journal of High Energy Physics 12 002 arXiv 0903 2595 nbsp doi 10 1088 1126 6708 2009 12 002 Daftar pustaka sunting Inggris Weisstein Eric W Integral html Gaussian Integral Periksa nilai url bantuan MathWorld Griffiths David Pengantar Mekanika Kuantum edisi ke 2nd Abramowitz M Stegun I A Buku Pegangan Fungsi Matematika New York Dover Publications Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Integral Gauss amp oldid 25090784
