www.wikidata.id-id.nina.az

Deret pangkat atau Deret kuasa satu variabel dalam matematika adalah deret tak terhingga dalam bentuk f x n 0 a n x c n

Deret pangkat

Deret pangkat atau Deret kuasa (satu variabel) dalam matematika adalah deret tak terhingga dalam bentuk

dengan an melambangkan koefisien suku ke-n, c adalah konstanta dan x berubah-ubah di sekitar c (karena alasan ini kadang-kadang deret seperti ini dikatakan berpusat di c). Deret ini biasanya berupa deret Taylor dari suatu fungsi.

Pada banyak keadaan c sama dengan nol, contohnya pada deret Maclaurin. Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana:

Deret pangkat biasanya ditemukan dalam analisis matematika, tetapi juga dapat ditemukan pada kombinatorika (dengan nama fungsi pembangkit), dan pada teknik elektro (dengan nama transformasi Z).

Fungsi eksponensial (biru), dan jumlah n+1 elemen pertama dari deret pangkat Maclaurin (merah).

Contoh Sunting

Setiap polinomial dapat diekspresikan dengan mudah sebagai sebuah deret pangkat di sekitar pusat c, meskipun kebanyakan koefisien akan sama dengan nol karena suatu deret pangkat mempunyai elemen yang tak terhingga banyaknya menurut definisi. Misalnya, polinomial dapat ditulis sebagai suatu deret pangkat sekitar pusat sebagai

atau sekitar pusat sebagai

atau sesungguhnya sekitar pusat c manapun. Deret pangkat dapat dipandang seperti "polinomials dengan derajat tak terhingga," meskipun deret pangkat bukanlah polinomial.

Rumus deret geometri

valid untuk , merupakan salah satu contoh paling penting untuk deret pangkat, sebagaimana rumus fungsi eksponensial

dan rumus sinus

valid untuk semua bilangan real x.

Semua deret pangkat ini juga merupakan contoh untuk deret Taylor.

Pangkat negatif tidak diizinkan dalam deret pangkat, misalnya tidak dianggap sebagai suatu deret pangkat (meskipun merupakan suatu deret Laurent). Demikian pula, pangkat pecahan seperti tidak diizinkan (tetapi lihat deret Puiseux). Koefisien-koefisien tidak diizinkan untuk bergantung kepada , jadi misalnya:

Contoh 1 Sunting

Cari jari jari konvergensi dan interval konvergensi deret pangkat .

Pertama, lakukan uji rasio pada fungsi tersebut.

Untuk mengisolasi fungsi , kita dapat dengan mudah menghapusnya dari limit, karena tidak bergantung pada :

Mengingat bahwa agar rangkaian dapat bertemu, haruslah seperti itu saat menyatu. Ketika Anda memiliki ekspresi bentuk dengan Jari-jari konvergensi adalah nilai r. Jadi, radius konvergensi pada contoh tersebut adalah 1.

Interval konvergensi, di sisi lain, adalah himpunan dari semua nilai x yang rangkaiannya konvergen. Menggunakan ketidaksetaraan di atas, pasti begitu

Namun, ini tidak sesederhana yang terlihat pada pandangan pertama. Kita juga perlu memeriksa nilai batas interval untuk memeriksa apakah rangkaian tersebut menyatu untuk nilai-nilai ini. Sehingga untuk nilai , yaitu

yang, menggunakan uji seri bolak-balik, menyatu. Sekarang untuk ,

yang, sebagai hasil standar, tidak bertemu. Demikianlah Interval konvergensi untuk adalah

Jari-jari konvergensi Sunting

Deret pangkat akan bersifat konvergen untuk sejumlah nilai variabel x dan dapat bersifat divergen untuk yang lain. Semua deret pangkat f(x) dalam pangkat (x-c) akan bersifat konvergen pada x = c. (Nilai yang benar f(c) = a0 membutuhkan penafsiran ekspresi 00 sama dengan 1.) Jika c bukan satu-satunya titik konvergen, maka pasti ada satu bilangan r di mana 0 < r ≤ ∞ sedemikian sehingga deret itu menjadi konvergen kapan saja |x − c| < r dan divergen bilamana |x − c| > r. Bilangan r disebut "jari-jari konvergensi" ("radius of convergence") suatu deret pangkat; secara umum dihitung sebagai:

atau, secara ekuivalen,

Operasi pada deret pangkat Sunting

Penjumlahan dan pengurangan Sunting

Bilamana dua fungsi f dan g didekomposisi menjadi deret pangkat sekitar pusat c yang sama, deret pangkat dari jumlah atau selisih kedua fungsi itu dapat dihitung masing-masing dengan penjumlahan atau pengurangan. Yaitu, jika:

maka

Perkalian dan pembagian Sunting

Dengan definisi yang sama seperti di atas, hasil kali dan hasil bagi deret pangkat dari kedua fungsi itu dapat diperoleh sebagai berikut:

Urutan dikenal sebagai konvolusi urutan dan .

Untuk pembagian, perhatikan:

dan kemudian gunakan koefisien-koefisien pembanding di atas.

Diferensiasi dan integrasi Sunting

Bilamana suatu fungsi dinyatakan sebagai deret pangkat, maka fungsi itu dapat dihitung diferensialnya pada interior ranah konvergensi. Dapat dihitung diferensial dan integral dengan mudah dengan mengerjakan setiap elemen secara terpisah:

Kedua deret ini memiliki jari-jari konvergensi yang sama dengan deret asalnya.

Fungsi analitik Sunting

Sebuah fungsi f didefinisikan pada sejumlah subset terbuka U dari R atau C disebut analitik jika secara lokal dihitung sebagai deret pangkat konvergen. Ini berarti bahwa setiap a ∈ U mempunyai neighborhood terbuka V ⊆ U, sedemikian sehingga ada suatu deret pangkat dengan pusat a yang konvergen ke f(x) untuk setiap x ∈ V.

Deret pangkat formal Sunting

Dalam aljabar abstrak, diupayakan untuk menangkap makna deret pangkat tanpa dibatasi pada bidang bilangan real dan kompleks, serta tanpa membutuhkan pembicaraan mengenai konvergensi. Ini mengarah kepada konsep deret pangkat formal, suatu konsep yang sangat bermanfaat dalam kombinatorika aljabar.

Deret pangkat dalam beberapa variabel Sunting

Suatu kepanjangan teori ini dibutuhkan untuk tujuan kalkulus multivariabel. Deret pangkat di sini didefinisikan sebagai suatu deret tak terhingga dengan bentuk

di mana j = (j1, ..., jn) adalah vektor bilangan asli; koefisien a(j1,...,jn) biasanya adalah bilangan real atau kompleks, dan pusat c = (c1, ..., cn) serta argumen x = (x1, ..., xn) biasanya adalah vektor real atau kompleks. Notasi multi-index yang lebih sederhana dapat ditulis

Tingkatan deret pangkat Sunting

Misalkan α adalah suatu multi-indeks untuk deret pangkatf(x1, x2, …, xn). Tingkatan (order) dari deret pangkat f didefinisikan sebagai nilai terkecil |α| sedemikian sehingga aα ≠ 0, atau 0 jika f ≡ 0. Khususnya, untuk deret pangkat f(x) dalam variabel tunggal x, tingkatan f adalah pangkat terkecil dari x dengan koefisien bukan-nol. Definisi ini mudah dikembangkan ke deret Laurent.

Lihat pula Sunting

Referensi Sunting

  1. Howard Levi (1967). Polynomials, Power Series, and Calculus. Van Nostrand. hlm. 24. 

Pranala luar Sunting

wikipedia, wiki, buku, buku, perpustakaan, artikel, baca, unduh, gratis, unduh gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, gambar, musik, lagu, film, buku, permainan, permainan.
Tanggal penerbitan:
Deret pangkat atau Deret kuasa satu variabel dalam matematika adalah deret tak terhingga dalam bentuk f x n 0 a n x c n a 0 a 1 x c 1 a 2 x c 2 a 3 x c 3 displaystyle f x sum n 0 infty a n left x c right n a 0 a 1 x c 1 a 2 x c 2 a 3 x c 3 cdots dengan an melambangkan koefisien suku ke n c adalah konstanta dan x berubah ubah di sekitar c karena alasan ini kadang kadang deret seperti ini dikatakan berpusat di c Deret ini biasanya berupa deret Taylor dari suatu fungsi Pada banyak keadaan c sama dengan nol contohnya pada deret Maclaurin Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana f x n 0 a n x n a 0 a 1 x a 2 x 2 a 3 x 3 displaystyle f x sum n 0 infty a n x n a 0 a 1 x a 2 x 2 a 3 x 3 ldots dd Deret pangkat biasanya ditemukan dalam analisis matematika tetapi juga dapat ditemukan pada kombinatorika dengan nama fungsi pembangkit dan pada teknik elektro dengan nama transformasi Z Fungsi eksponensial biru dan jumlah n 1 elemen pertama dari deret pangkat Maclaurin merah Daftar isi 1 Contoh 1 1 Contoh 1 2 Jari jari konvergensi 3 Operasi pada deret pangkat 3 1 Penjumlahan dan pengurangan 3 2 Perkalian dan pembagian 3 3 Diferensiasi dan integrasi 4 Fungsi analitik 5 Deret pangkat formal 6 Deret pangkat dalam beberapa variabel 7 Tingkatan deret pangkat 8 Lihat pula 9 Referensi 10 Pranala luarContoh SuntingSetiap polinomial dapat diekspresikan dengan mudah sebagai sebuah deret pangkat di sekitar pusat c meskipun kebanyakan koefisien akan sama dengan nol karena suatu deret pangkat mempunyai elemen yang tak terhingga banyaknya menurut definisi Misalnya polinomial f x x 2 2 x 3 displaystyle f x x 2 2x 3 nbsp dapat ditulis sebagai suatu deret pangkat sekitar pusat c 0 displaystyle c 0 nbsp sebagai f x 3 2 x 1 x 2 0 x 3 0 x 4 displaystyle f x 3 2x 1x 2 0x 3 0x 4 cdots nbsp dd atau sekitar pusat c 1 displaystyle c 1 nbsp sebagai f x 6 4 x 1 1 x 1 2 displaystyle f x 6 4 x 1 1 x 1 2 nbsp 0 x 1 3 0 x 1 4 displaystyle 0 x 1 3 0 x 1 4 cdots nbsp dd atau sesungguhnya sekitar pusat c manapun 1 Deret pangkat dapat dipandang seperti polinomials dengan derajat tak terhingga meskipun deret pangkat bukanlah polinomial Rumus deret geometri 1 1 x n 0 x n 1 x x 2 x 3 displaystyle frac 1 1 x sum n 0 infty x n 1 x x 2 x 3 cdots nbsp dd valid untuk x lt 1 displaystyle x lt 1 nbsp merupakan salah satu contoh paling penting untuk deret pangkat sebagaimana rumus fungsi eksponensial e x n 0 x n n 1 x x 2 2 x 3 3 displaystyle e x sum n 0 infty frac x n n 1 x frac x 2 2 frac x 3 3 cdots nbsp dd dan rumus sinus sin x n 0 1 n x 2 n 1 2 n 1 x x 3 3 x 5 5 x 7 7 displaystyle sin x sum n 0 infty frac 1 n x 2n 1 2n 1 x frac x 3 3 frac x 5 5 frac x 7 7 cdots nbsp dd valid untuk semua bilangan real x Semua deret pangkat ini juga merupakan contoh untuk deret Taylor Pangkat negatif tidak diizinkan dalam deret pangkat misalnya 1 x 1 x 2 displaystyle 1 x 1 x 2 cdots nbsp tidak dianggap sebagai suatu deret pangkat meskipun merupakan suatu deret Laurent Demikian pula pangkat pecahan seperti x 1 2 displaystyle x 1 2 nbsp tidak diizinkan tetapi lihat deret Puiseux Koefisien koefisien a n displaystyle a n nbsp tidak diizinkan untuk bergantung kepada x displaystyle x nbsp jadi misalnya sin x x sin 2 x x 2 sin 3 x x 3 displaystyle sin x x sin 2x x 2 sin 3x x 3 cdots nbsp bukan suatu deret pangkat Contoh 1 Sunting Cari jari jari konvergensi dan interval konvergensi deret pangkat n 0 x 4 n n displaystyle displaystyle sum n 0 infty frac x 4 n n nbsp Pertama lakukan uji rasio pada fungsi tersebut L lim n f n 1 f n lim n x 4 n 1 n 1 x 4 n n lim n n x 4 n 1 displaystyle begin aligned L amp lim n to infty left frac f n 1 f n right amp lim n to infty left frac x 4 n 1 n 1 div frac x 4 n n right amp lim n to infty left frac n x 4 n 1 right end aligned nbsp Untuk mengisolasi fungsi x displaystyle x nbsp kita dapat dengan mudah menghapusnya dari limit karena tidak bergantung pada n displaystyle n nbsp L x 3 lim n n n 1 x 3 1 x 3 displaystyle begin aligned L amp left x 3 right times lim n to infty left frac n n 1 right amp left x 3 right times 1 amp left x 3 right end aligned nbsp Mengingat bahwa L lt 1 displaystyle L lt 1 nbsp agar rangkaian dapat bertemu haruslah seperti itu x 3 lt 1 displaystyle left x 3 right lt 1 nbsp saat menyatu Ketika Anda memiliki ekspresi bentuk x a lt r displaystyle left x a right lt r nbsp dengan a R a displaystyle a in mathbb R a nbsp Jari jari konvergensi adalah nilai r Jadi radius konvergensi pada contoh tersebut adalah 1 Interval konvergensi di sisi lain adalah himpunan dari semua nilai x yang rangkaiannya konvergen Menggunakan ketidaksetaraan di atas pasti begitu x 4 lt 1 1 lt x 4 lt 1 3 lt x lt 5 displaystyle begin aligned left x 4 right amp lt 1 1 lt x 4 amp lt 1 3 lt x amp lt 5 end aligned nbsp Namun ini tidak sesederhana yang terlihat pada pandangan pertama Kita juga perlu memeriksa nilai batas interval untuk memeriksa apakah rangkaian tersebut menyatu untuk nilai nilai ini Sehingga untuk nilai x 3 displaystyle x 3 nbsp yaitu n 0 3 4 n n n 0 1 n n displaystyle displaystyle sum n 0 infty frac 3 4 n n sum n 0 infty frac 1 n n nbsp yang menggunakan uji seri bolak balik menyatu Sekarang untuk x 5 displaystyle x 5 nbsp n 0 5 4 n n n 0 1 n n n 0 1 n displaystyle displaystyle sum n 0 infty frac 5 4 n n sum n 0 infty frac 1 n n sum n 0 infty frac 1 n nbsp yang sebagai hasil standar tidak bertemu Demikianlah Interval konvergensi untuk n 0 x 4 n n displaystyle displaystyle sum n 0 infty frac x 4 n n nbsp adalah 3 x lt 5 displaystyle 3 leq x lt 5 nbsp Jari jari konvergensi SuntingDeret pangkat akan bersifat konvergen untuk sejumlah nilai variabel x dan dapat bersifat divergen untuk yang lain Semua deret pangkat f x dalam pangkat x c akan bersifat konvergen pada x c Nilai yang benar f c a0 membutuhkan penafsiran ekspresi 00 sama dengan 1 Jika c bukan satu satunya titik konvergen maka pasti ada satu bilangan r di mana 0 lt r sedemikian sehingga deret itu menjadi konvergen kapan saja x c lt r dan divergen bilamana x c gt r Bilangan r disebut jari jari konvergensi radius of convergence suatu deret pangkat secara umum dihitung sebagai r lim inf n a n 1 n displaystyle r liminf n to infty left a n right frac 1 n nbsp atau secara ekuivalen r 1 lim sup n a n 1 n displaystyle r 1 limsup n to infty left a n right frac 1 n nbsp Operasi pada deret pangkat SuntingPenjumlahan dan pengurangan Sunting Bilamana dua fungsi f dan g didekomposisi menjadi deret pangkat sekitar pusat c yang sama deret pangkat dari jumlah atau selisih kedua fungsi itu dapat dihitung masing masing dengan penjumlahan atau pengurangan Yaitu jika f x n 0 a n x c n displaystyle f x sum n 0 infty a n x c n nbsp g x n 0 b n x c n displaystyle g x sum n 0 infty b n x c n nbsp maka f x g x n 0 a n b n x c n displaystyle f x pm g x sum n 0 infty a n pm b n x c n nbsp Perkalian dan pembagian Sunting Dengan definisi yang sama seperti di atas hasil kali dan hasil bagi deret pangkat dari kedua fungsi itu dapat diperoleh sebagai berikut f x g x n 0 a n x c n n 0 b n x c n displaystyle f x g x left sum n 0 infty a n x c n right left sum n 0 infty b n x c n right nbsp i 0 j 0 a i b j x c i j displaystyle sum i 0 infty sum j 0 infty a i b j x c i j nbsp n 0 i 0 n a i b n i x c n displaystyle sum n 0 infty left sum i 0 n a i b n i right x c n nbsp Urutan m n i 0 n a i b n i displaystyle m n sum i 0 n a i b n i nbsp dikenal sebagai konvolusi urutan a n displaystyle a n nbsp dan b n displaystyle b n nbsp Untuk pembagian perhatikan f x g x n 0 a n x c n n 0 b n x c n n 0 d n x c n displaystyle f x over g x sum n 0 infty a n x c n over sum n 0 infty b n x c n sum n 0 infty d n x c n nbsp f x n 0 b n x c n n 0 d n x c n displaystyle f x left sum n 0 infty b n x c n right left sum n 0 infty d n x c n right nbsp dan kemudian gunakan koefisien koefisien pembanding di atas Diferensiasi dan integrasi Sunting Bilamana suatu fungsi dinyatakan sebagai deret pangkat maka fungsi itu dapat dihitung diferensialnya pada interior ranah konvergensi Dapat dihitung diferensial dan integral dengan mudah dengan mengerjakan setiap elemen secara terpisah f x n 1 a n n x c n 1 n 0 a n 1 n 1 x c n displaystyle f prime x sum n 1 infty a n n left x c right n 1 sum n 0 infty a n 1 left n 1 right left x c right n nbsp dd f x d x n 0 a n x c n 1 n 1 k n 1 a n 1 x c n n k displaystyle int f x dx sum n 0 infty frac a n left x c right n 1 n 1 k sum n 1 infty frac a n 1 left x c right n n k nbsp dd Kedua deret ini memiliki jari jari konvergensi yang sama dengan deret asalnya Fungsi analitik SuntingSebuah fungsi f didefinisikan pada sejumlah subset terbuka U dari R atau C disebut analitik jika secara lokal dihitung sebagai deret pangkat konvergen Ini berarti bahwa setiap a U mempunyai neighborhood terbuka V U sedemikian sehingga ada suatu deret pangkat dengan pusat a yang konvergen ke f x untuk setiap x V Deret pangkat formal SuntingDalam aljabar abstrak diupayakan untuk menangkap makna deret pangkat tanpa dibatasi pada bidang bilangan real dan kompleks serta tanpa membutuhkan pembicaraan mengenai konvergensi Ini mengarah kepada konsep deret pangkat formal suatu konsep yang sangat bermanfaat dalam kombinatorika aljabar Deret pangkat dalam beberapa variabel SuntingSuatu kepanjangan teori ini dibutuhkan untuk tujuan kalkulus multivariabel Deret pangkat di sini didefinisikan sebagai suatu deret tak terhingga dengan bentuk f x 1 x n j 1 j n 0 a j 1 j n k 1 n x k c k j k displaystyle f x 1 dots x n sum j 1 dots j n 0 infty a j 1 dots j n prod k 1 n left x k c k right j k nbsp dd di mana j j1 jn adalah vektor bilangan asli koefisien a j1 jn biasanya adalah bilangan real atau kompleks dan pusat c c1 cn serta argumen x x1 xn biasanya adalah vektor real atau kompleks Notasi multi index yang lebih sederhana dapat ditulis f x a N n a a x c a displaystyle f x sum alpha in mathbb N n a alpha left x c right alpha nbsp dd Tingkatan deret pangkat SuntingMisalkan a adalah suatu multi indeks untuk deret pangkatf x1 x2 xn Tingkatan order dari deret pangkat f didefinisikan sebagai nilai terkecil a sedemikian sehingga aa 0 atau 0 jika f 0 Khususnya untuk deret pangkat f x dalam variabel tunggal x tingkatan f adalah pangkat terkecil dari x dengan koefisien bukan nol Definisi ini mudah dikembangkan ke deret Laurent Lihat pula SuntingDeret matematika Deret TaylorReferensi Sunting Howard Levi 1967 Polynomials Power Series and Calculus Van Nostrand hlm 24 Pranala luar SuntingSolomentsev E D 2001 1994 Power series dalam Hazewinkel Michiel Encyclopedia of Mathematics Springer Science Business Media B V Kluwer Academic Publishers ISBN 978 1 55608 010 4 Inggris Weisstein Eric W Formal Power Series MathWorld Inggris Weisstein Eric W Power Series MathWorld Inggris Modul deret pangkat kompleks oleh John H Mathews Inggris Pangkat bilangan kompleks oleh Michael Schreiber Wolfram Demonstrations Project Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Deret pangkat amp oldid 21982749