www.wikidata.id-id.nina.az

Geometri aritmetika Dalam matematika geometri aritmetika secara kasar adalah penerapan teknik dari geometri aljabar terh

Geometri aritmetika

Dalam matematika, geometri aritmetika, secara kasar, adalah penerapan teknik dari geometri aljabar terhadap permasalahan pada teori bilangan. Geometri aritmetika berpusat di sekitar geometri Diophantus, ilmu yang mempelajari titik rasional dari varietas aljabar.

Kurva hipereliptik didefinisikan oleh hanya memiliki titik rasional yang banyaknya hingga (seperti titik dan ) menurut teorema Faltings.

Dalam istilah yang lebih abstrak, geometri aritmetika dapat didefinisikan sebagai ilmu yang mempelajari skema tipe hingga di atas spektrum gelanggang bilangan bulat.

Tinjauan luas sunting

Objek klasik yang menarik pada geometri aritmetika adalah titik rasional: himpunan penyelesaian sistem persamaan polinomial di atas medan bilangan, medan hingga, medan p-adic, atau medan fungsi, dengan kata lain adalah medan yang tidak tertutup secara aljabar kecuali bilangan real. Titik rasional dapat secara langsung dicirikan oleh fungsi tinggi yang mengukur kekompleksan aritmetika mereka.

Struktur varietas aljabar terdefinisi di atas medan tertutup tak secara aljabar telah menjadi pusat ketertarikan yang muncul dengan perkembangan abstrak modern dari geometri aljabar. Di atas bidang hingga, kohomologi étale menyediakan invarian topologis yang berkaitan dengan varietas aljabar. Teori p-adic Hodge memberikan sarana untuk memeriksa kapan sifat varietas kohomologis di atas bilangan kompleks meluas ke atas medan p-adic.

Sejarah sunting

Abad ke-19: awal geometri aritmetika sunting

Pada awal abad ke-19, Carl Friedrich Gauss mengamati bahwa solusi bilangan bulat tak nol pada persamaan polinomial homogen dengan koefisien rasional ada jika solusi rasional tak nol ada.

Pada 1850-an, Leopold Kronecker merumuskan teorema Kronecker–Weber, memperkenalkan teori pembagi, dan membuat banyak hubungan lainnya antara teori bilangan dan aljabar. Ia kemudian mengonjekturkan "liebster Jugendtraum"-nya ("mimpi muda yang tersayang"), sebuah generalisasi yang kemudian diajukan Hilbert dalam bentuk termodifikasi sebagai masalah keduabelasnya, yang menguraikan tujuan memiliki teori bilangan yang beroperasi hanya dengan gelanggang yang merupakan hasil bagi gelanggang polinomial di atas bilangan bulat.

Awal hingga pertengahan abad ke-20: perkembangan aljabar dan konjektur Weil sunting

Pada akhir 1920-an, André Weil mendemonstrasikan hubungan mendalam antara geometri aljabar dan teori bilangan dengan penelitian doktoralnya mengarah ke teorema Mordell–Weil yang mendemonstrasikan himpunan titik rasional dari ragam Abel merupakan grup Abel terbangkit hingga.

Dasar modern dari geometri aljabar dikembangkan berdasarkan pada aljabar komutatif kontemporer, termasuk teori penilaian dan teori ideal oleh Oscar Zariski dan matematikawan lainnya pada 1930-an hingga 1940-an.

Pada 1949, André Weil mengemukakan konjektur Weil mengenai fungsi zeta lokal dari varietas aljabar di atas medan hingga. Konjektur ini menawarkan kerangka antara geometri aljabar dan teori bilangan yang mendorong Alexander Grothendieck menyusun ulang dasar pembuatan penggunaan teori gemal (bersama dengan Jean-Pierre Serre), dan kemudian teori skema, pada 1950-an hingga 1960-an. Bernard Dwork membuktikan satu dari empat konjektur Weil (kerasionalan fungsi zeta lokal) pada 1960. Grothendieck mengembangkan teori kohomologi étale untuk membuktikan dua konjektur Weil (bersama dengan Michael Artin dan Jean-Louis Verdier) pada 1965. Konjektur Weil terakhir (analog dari hipotesis Riemann) akhirnya terbukti pada 1974 oleh Pierre Deligne.

Pertengahan hingga akhir abad ke-20: perkembangan dalam modularitas, metode p-adic, dan seterusnya sunting

Antara 1956 dan 1957, Yutaka Taniyama dan Goro Shimura mengemukakan konjektur Taniyama–Shimura (sekarang dikenal sebagai teorema modularitas) mengaitkan kurva eliptik dengan bentuk modular. Hubungan ini pada akhirnya mengarah ke pembuktian pertama Teorema Terakhir Fermat dalam teori bilangan melalui teknik geometri aljabar pengangkatan modularitas yang dikembangkan oleh Andrew Wiles pada 1995.

Pada 1960-an, Goro Shimura memperkenalkan varietas Shimura sebagai generalisasi kurva modular. Sejak 1979, varietas Shimura memainkan peran penting pada program Langlands sebagai dunai alami contoh untuk pengujian konjektur.

Pada makalah tahun 1977 dan 1978, Barry Mazur membuktikan konjektur torsi dengan memberikan daftar lengkap torsi subgrup kurva eliptik yang mungkin di atas bilangan rasional. Pembuktian pertama Mazur dari teorema ini bergantung pada analisis lengkap titik rasional pada sejumlah kurva modular. Pada 1996, pembuktian konjektur torsi diperluas ke semua medan bilangan oleh Loïc Merel.

Pada 1983, Gerd Faltings membuktikan konjektur Mordell, mendemonstrasikan kurva bergenus lebih besar dari 1 hanya memiliki banyak titik rasional hingga (teorema Mordell–Weil hanya mendemonstrasikan pembangkitan hingga himpunan titik rasional sebagai lawan keterhinggaan).

Pada 2001, pembuktian konjektur Langlands lokal untuk GLn berdasarkan pada geometri sejumlah varietas Shimura.

Pada 2010-an, Peter Scholze mengembangkan ruang perfektoid dan teori kohomologi baru pada geometri aritmetika di atas bidang p-adic dengan penerapan wakilan Galois dan sejumlah kasus konjektur bobot-monodromi.

Lihat pula sunting

  • Aritmetika varietas Abel
  • Teorema Siegel pada titik integral

Referensi sunting

  1. Sutherland, Andrew V. (September 5, 2013). "Introduction to Arithmetic Geometry" (PDF). (PDF) dari versi asli tanggal 2016-01-08. Diakses tanggal 22 Maret 2019. 
  2. Klarreich, Erica (28 Juni 2016). "Peter Scholze and the Future of Arithmetic Geometry". dari versi asli tanggal 2021-01-25. Diakses tanggal 22 Maret 2019. 
  3. Poonen, Bjorn (2009). "Introduction to Arithmetic Geometry" (PDF). (PDF) dari versi asli tanggal 2021-05-07. Diakses tanggal 22 Maret 2019. 
  4. Arithmetic geometry di nLab
  5. Lang, Serge (1997). Survey of Diophantine Geometry. Springer-Verlag. hlm. 43–67. ISBN 3-540-61223-8. Zbl 0869.11051. 
  6. ^ Grothendieck, Alexander (1960). "The cohomology theory of abstract algebraic varieties". Proc. Internat. Congress Math. (Edinburgh, 1958). Cambridge University Press. hlm. 103–118. MR 0130879. dari versi asli tanggal 2022-02-02. Diakses tanggal 2019-07-14. 
  7. Serre, Jean-Pierre (1967). "Résumé des cours, 1965–66". Annuaire du Collège de France. Paris: 49–58. 
  8. Mordell, Louis J. (1969). Diophantine Equations. Academic Press. hlm. 1. ISBN 978-0125062503. 
  9. Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (2008). The Princeton companion to mathematics. Princeton University Press. hlm. 773–774. ISBN 978-0-691-11880-2. 
  10. A. Weil, L'arithmétique sur les courbes algébriques, Acta Math 52, (1929) p. 281-315, reprinted in vol 1 of his collected papers ISBN 0-387-90330-5.
  11. Zariski, Oscar (2004) [1935]. Abhyankar, Shreeram S.; Lipman, Joseph; Mumford, David, ed. Algebraic surfaces. Classics in mathematics (edisi ke-second supplemented). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-58658-6. MR 0469915. 
  12. Weil, André (1949). "Numbers of solutions of equations in finite fields". Bulletin of the American Mathematical Society. 55 (5): 497–508. doi:10.1090/S0002-9904-1949-09219-4. ISSN 0002-9904. MR 0029393.  Reprinted in Oeuvres Scientifiques/Collected Papers by André Weil ISBN 0-387-90330-5
  13. Serre, Jean-Pierre (1955). "Faisceaux Algebriques Coherents". The Annals of Mathematics. 61 (2): 197–278. doi:10.2307/1969915. JSTOR 1969915. 
  14. Dwork, Bernard (1960). "On the rationality of the zeta function of an algebraic variety". American Journal of Mathematics. American Journal of Mathematics, Vol. 82, No. 3. 82 (3): 631–648. doi:10.2307/2372974. ISSN 0002-9327. JSTOR 2372974. MR 0140494. 
  15. Grothendieck, Alexander (1995) [1965]. "Formule de Lefschetz et rationalité des fonctions L". Séminaire Bourbaki. 9. Paris: Société Mathématique de France. hlm. 41–55. MR 1608788. dari versi asli tanggal 2022-02-08. Diakses tanggal 2019-07-14. 
  16. Deligne, Pierre (1974). "La conjecture de Weil. I". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 43 (43): 273–307. doi:10.1007/BF02684373. ISSN 1618-1913. MR 0340258. dari versi asli tanggal 2021-05-07. Diakses tanggal 2019-07-14. 
  17. Taniyama, Yutaka (1956). "Problem 12". Sugaku (dalam bahasa Japanese). 7: 269. 
  18. Shimura, Goro (1989). "Yutaka Taniyama and his time. Very personal recollections". The Bulletin of the London Mathematical Society. 21 (2): 186–196. doi:10.1112/blms/21.2.186. ISSN 0024-6093. MR 0976064. 
  19. Wiles, Andrew (1995). (PDF). Annals of Mathematics. 141 (3): 443–551. CiteSeerX 10.1.1.169.9076 . doi:10.2307/2118559. JSTOR 2118559. OCLC 37032255. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2011-05-10. Diakses tanggal 2019-07-14. 
  20. Shimura, Goro (2003). The Collected Works of Goro Shimura. Springer Nature. ISBN 978-0387954158. 
  21. Langlands, Robert (1979). "Automorphic Representations, Shimura Varieties, and Motives. Ein Märchen" (PDF). Dalam Borel, Armand; Casselman, William. Automorphic Forms, Representations, and L-Functions: Symposium in Pure Mathematics. XXXIII Part 1. Chelsea Publishing Company. hlm. 205–246. (PDF) dari versi asli tanggal 2023-03-14. Diakses tanggal 2019-07-14. 
  22. Mazur, Barry (1977). "Modular curves and the Eisenstein ideal". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 47 (1): 33–186. doi:10.1007/BF02684339. MR 0488287. dari versi asli tanggal 2020-02-18. Diakses tanggal 2019-07-14. 
  23. Mazur, Barry (1978). with appendix by Dorian Goldfeld. "Rational isogenies of prime degree". Inventiones Mathematicae. 44 (2): 129–162. Bibcode:1978InMat..44..129M. doi:10.1007/BF01390348. MR 0482230. 
  24. Merel, Loïc (1996). "Bornes pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres" [Bounds for the torsion of elliptic curves over number fields]. Inventiones Mathematicae (dalam bahasa French). 124 (1): 437–449. Bibcode:1996InMat.124..437M. doi:10.1007/s002220050059. MR 1369424. 
  25. Faltings, Gerd (1983). "Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern" [Finiteness theorems for abelian varieties over number fields]. Inventiones Mathematicae (dalam bahasa Jerman). 73 (3): 349–366. doi:10.1007/BF01388432. MR 0718935. 
  26. Faltings, Gerd (1984). "Erratum: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern". Inventiones Mathematicae (dalam bahasa Jerman). 75 (2): 381. doi:10.1007/BF01388572. MR 0732554. 
  27. Harris, Michael; Taylor, Richard (2001). The geometry and cohomology of some simple Shimura varieties. Annals of Mathematics Studies. 151. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-09090-0. MR 1876802. 
  28. "Fields Medals 2018". International Mathematical Union. dari versi asli tanggal 2018-08-05. Diakses tanggal 2 Agustus 2018. 
  29. Scholze, Peter. "Perfectoid spaces: A survey" (PDF). University of Bonn. (PDF) dari versi asli tanggal 2021-03-07. Diakses tanggal 4 November 2018. 
wikipedia, wiki, buku, buku, perpustakaan, artikel, baca, unduh, gratis, unduh gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, gambar, musik, lagu, film, buku, permainan, permainan.
Tanggal penerbitan:
Dalam matematika geometri aritmetika secara kasar adalah penerapan teknik dari geometri aljabar terhadap permasalahan pada teori bilangan 1 Geometri aritmetika berpusat di sekitar geometri Diophantus ilmu yang mempelajari titik rasional dari varietas aljabar 2 3 Kurva hipereliptik didefinisikan oleh y 2 x x 1 x 3 x 2 x 2 displaystyle y 2 x x 1 x 3 x 2 x 2 hanya memiliki titik rasional yang banyaknya hingga seperti titik 2 0 displaystyle 2 0 dan 1 0 displaystyle 1 0 menurut teorema Faltings Dalam istilah yang lebih abstrak geometri aritmetika dapat didefinisikan sebagai ilmu yang mempelajari skema tipe hingga di atas spektrum gelanggang bilangan bulat 4 Daftar isi 1 Tinjauan luas 2 Sejarah 2 1 Abad ke 19 awal geometri aritmetika 2 2 Awal hingga pertengahan abad ke 20 perkembangan aljabar dan konjektur Weil 2 3 Pertengahan hingga akhir abad ke 20 perkembangan dalam modularitas metode p adic dan seterusnya 3 Lihat pula 4 ReferensiTinjauan luas suntingObjek klasik yang menarik pada geometri aritmetika adalah titik rasional himpunan penyelesaian sistem persamaan polinomial di atas medan bilangan medan hingga medan p adic atau medan fungsi dengan kata lain adalah medan yang tidak tertutup secara aljabar kecuali bilangan real Titik rasional dapat secara langsung dicirikan oleh fungsi tinggi yang mengukur kekompleksan aritmetika mereka 5 Struktur varietas aljabar terdefinisi di atas medan tertutup tak secara aljabar telah menjadi pusat ketertarikan yang muncul dengan perkembangan abstrak modern dari geometri aljabar Di atas bidang hingga kohomologi etale menyediakan invarian topologis yang berkaitan dengan varietas aljabar 6 Teori p adic Hodge memberikan sarana untuk memeriksa kapan sifat varietas kohomologis di atas bilangan kompleks meluas ke atas medan p adic 7 Sejarah suntingAbad ke 19 awal geometri aritmetika sunting Pada awal abad ke 19 Carl Friedrich Gauss mengamati bahwa solusi bilangan bulat tak nol pada persamaan polinomial homogen dengan koefisien rasional ada jika solusi rasional tak nol ada 8 Pada 1850 an Leopold Kronecker merumuskan teorema Kronecker Weber memperkenalkan teori pembagi dan membuat banyak hubungan lainnya antara teori bilangan dan aljabar Ia kemudian mengonjekturkan liebster Jugendtraum nya mimpi muda yang tersayang sebuah generalisasi yang kemudian diajukan Hilbert dalam bentuk termodifikasi sebagai masalah keduabelasnya yang menguraikan tujuan memiliki teori bilangan yang beroperasi hanya dengan gelanggang yang merupakan hasil bagi gelanggang polinomial di atas bilangan bulat 9 Awal hingga pertengahan abad ke 20 perkembangan aljabar dan konjektur Weil sunting Pada akhir 1920 an Andre Weil mendemonstrasikan hubungan mendalam antara geometri aljabar dan teori bilangan dengan penelitian doktoralnya mengarah ke teorema Mordell Weil yang mendemonstrasikan himpunan titik rasional dari ragam Abel merupakan grup Abel terbangkit hingga 10 Dasar modern dari geometri aljabar dikembangkan berdasarkan pada aljabar komutatif kontemporer termasuk teori penilaian dan teori ideal oleh Oscar Zariski dan matematikawan lainnya pada 1930 an hingga 1940 an 11 Pada 1949 Andre Weil mengemukakan konjektur Weil mengenai fungsi zeta lokal dari varietas aljabar di atas medan hingga 12 Konjektur ini menawarkan kerangka antara geometri aljabar dan teori bilangan yang mendorong Alexander Grothendieck menyusun ulang dasar pembuatan penggunaan teori gemal bersama dengan Jean Pierre Serre dan kemudian teori skema pada 1950 an hingga 1960 an 13 Bernard Dwork membuktikan satu dari empat konjektur Weil kerasionalan fungsi zeta lokal pada 1960 14 Grothendieck mengembangkan teori kohomologi etale untuk membuktikan dua konjektur Weil bersama dengan Michael Artin dan Jean Louis Verdier pada 1965 6 15 Konjektur Weil terakhir analog dari hipotesis Riemann akhirnya terbukti pada 1974 oleh Pierre Deligne 16 Pertengahan hingga akhir abad ke 20 perkembangan dalam modularitas metode p adic dan seterusnya sunting Antara 1956 dan 1957 Yutaka Taniyama dan Goro Shimura mengemukakan konjektur Taniyama Shimura sekarang dikenal sebagai teorema modularitas mengaitkan kurva eliptik dengan bentuk modular 17 18 Hubungan ini pada akhirnya mengarah ke pembuktian pertama Teorema Terakhir Fermat dalam teori bilangan melalui teknik geometri aljabar pengangkatan modularitas yang dikembangkan oleh Andrew Wiles pada 1995 19 Pada 1960 an Goro Shimura memperkenalkan varietas Shimura sebagai generalisasi kurva modular 20 Sejak 1979 varietas Shimura memainkan peran penting pada program Langlands sebagai dunai alami contoh untuk pengujian konjektur 21 Pada makalah tahun 1977 dan 1978 Barry Mazur membuktikan konjektur torsi dengan memberikan daftar lengkap torsi subgrup kurva eliptik yang mungkin di atas bilangan rasional Pembuktian pertama Mazur dari teorema ini bergantung pada analisis lengkap titik rasional pada sejumlah kurva modular 22 23 Pada 1996 pembuktian konjektur torsi diperluas ke semua medan bilangan oleh Loic Merel 24 Pada 1983 Gerd Faltings membuktikan konjektur Mordell mendemonstrasikan kurva bergenus lebih besar dari 1 hanya memiliki banyak titik rasional hingga teorema Mordell Weil hanya mendemonstrasikan pembangkitan hingga himpunan titik rasional sebagai lawan keterhinggaan 25 26 Pada 2001 pembuktian konjektur Langlands lokal untuk GLn berdasarkan pada geometri sejumlah varietas Shimura 27 Pada 2010 an Peter Scholze mengembangkan ruang perfektoid dan teori kohomologi baru pada geometri aritmetika di atas bidang p adic dengan penerapan wakilan Galois dan sejumlah kasus konjektur bobot monodromi 28 29 Lihat pula suntingAritmetika varietas Abel Teorema Siegel pada titik integralReferensi sunting Sutherland Andrew V September 5 2013 Introduction to Arithmetic Geometry PDF Diarsipkan PDF dari versi asli tanggal 2016 01 08 Diakses tanggal 22 Maret 2019 Klarreich Erica 28 Juni 2016 Peter Scholze and the Future of Arithmetic Geometry Diarsipkan dari versi asli tanggal 2021 01 25 Diakses tanggal 22 Maret 2019 Poonen Bjorn 2009 Introduction to Arithmetic Geometry PDF Diarsipkan PDF dari versi asli tanggal 2021 05 07 Diakses tanggal 22 Maret 2019 Arithmetic geometry di nLab Lang Serge 1997 Survey of Diophantine Geometry Springer Verlag hlm 43 67 ISBN 3 540 61223 8 Zbl 0869 11051 a b Grothendieck Alexander 1960 The cohomology theory of abstract algebraic varieties Proc Internat Congress Math Edinburgh 1958 Cambridge University Press hlm 103 118 MR 0130879 Diarsipkan dari versi asli tanggal 2022 02 02 Diakses tanggal 2019 07 14 Serre Jean Pierre 1967 Resume des cours 1965 66 Annuaire du College de France Paris 49 58 Mordell Louis J 1969 Diophantine Equations Academic Press hlm 1 ISBN 978 0125062503 Gowers Timothy Barrow Green June Leader Imre 2008 The Princeton companion to mathematics Princeton University Press hlm 773 774 ISBN 978 0 691 11880 2 A Weil L arithmetique sur les courbes algebriques Acta Math 52 1929 p 281 315 reprinted in vol 1 of his collected papers ISBN 0 387 90330 5 Zariski Oscar 2004 1935 Abhyankar Shreeram S Lipman Joseph Mumford David ed Algebraic surfaces Classics in mathematics edisi ke second supplemented Berlin New York Springer Verlag ISBN 978 3 540 58658 6 MR 0469915 Weil Andre 1949 Numbers of solutions of equations in finite fields Bulletin of the American Mathematical Society 55 5 497 508 doi 10 1090 S0002 9904 1949 09219 4 ISSN 0002 9904 MR 0029393 Reprinted in Oeuvres Scientifiques Collected Papers by Andre Weil ISBN 0 387 90330 5 Serre Jean Pierre 1955 Faisceaux Algebriques Coherents The Annals of Mathematics 61 2 197 278 doi 10 2307 1969915 JSTOR 1969915 Dwork Bernard 1960 On the rationality of the zeta function of an algebraic variety American Journal of Mathematics American Journal of Mathematics Vol 82 No 3 82 3 631 648 doi 10 2307 2372974 ISSN 0002 9327 JSTOR 2372974 MR 0140494 Grothendieck Alexander 1995 1965 Formule de Lefschetz et rationalite des fonctions L Seminaire Bourbaki 9 Paris Societe Mathematique de France hlm 41 55 MR 1608788 Diarsipkan dari versi asli tanggal 2022 02 08 Diakses tanggal 2019 07 14 Deligne Pierre 1974 La conjecture de Weil I Publications Mathematiques de l IHES 43 43 273 307 doi 10 1007 BF02684373 ISSN 1618 1913 MR 0340258 Diarsipkan dari versi asli tanggal 2021 05 07 Diakses tanggal 2019 07 14 Taniyama Yutaka 1956 Problem 12 Sugaku dalam bahasa Japanese 7 269 Pemeliharaan CS1 Bahasa yang tidak diketahui link Shimura Goro 1989 Yutaka Taniyama and his time Very personal recollections The Bulletin of the London Mathematical Society 21 2 186 196 doi 10 1112 blms 21 2 186 ISSN 0024 6093 MR 0976064 Wiles Andrew 1995 Modular elliptic curves and Fermat s Last Theorem PDF Annals of Mathematics 141 3 443 551 CiteSeerX 10 1 1 169 9076 nbsp doi 10 2307 2118559 JSTOR 2118559 OCLC 37032255 Diarsipkan dari versi asli PDF tanggal 2011 05 10 Diakses tanggal 2019 07 14 Shimura Goro 2003 The Collected Works of Goro Shimura Springer Nature ISBN 978 0387954158 Langlands Robert 1979 Automorphic Representations Shimura Varieties and Motives Ein Marchen PDF Dalam Borel Armand Casselman William Automorphic Forms Representations and L Functions Symposium in Pure Mathematics XXXIII Part 1 Chelsea Publishing Company hlm 205 246 Diarsipkan PDF dari versi asli tanggal 2023 03 14 Diakses tanggal 2019 07 14 Mazur Barry 1977 Modular curves and the Eisenstein ideal Publications Mathematiques de l IHES 47 1 33 186 doi 10 1007 BF02684339 MR 0488287 Diarsipkan dari versi asli tanggal 2020 02 18 Diakses tanggal 2019 07 14 Mazur Barry 1978 with appendix by Dorian Goldfeld Rational isogenies of prime degree Inventiones Mathematicae 44 2 129 162 Bibcode 1978InMat 44 129M doi 10 1007 BF01390348 MR 0482230 Merel Loic 1996 Bornes pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres Bounds for the torsion of elliptic curves over number fields Inventiones Mathematicae dalam bahasa French 124 1 437 449 Bibcode 1996InMat 124 437M doi 10 1007 s002220050059 MR 1369424 Pemeliharaan CS1 Bahasa yang tidak diketahui link Faltings Gerd 1983 Endlichkeitssatze fur abelsche Varietaten uber Zahlkorpern Finiteness theorems for abelian varieties over number fields Inventiones Mathematicae dalam bahasa Jerman 73 3 349 366 doi 10 1007 BF01388432 MR 0718935 Faltings Gerd 1984 Erratum Endlichkeitssatze fur abelsche Varietaten uber Zahlkorpern Inventiones Mathematicae dalam bahasa Jerman 75 2 381 doi 10 1007 BF01388572 MR 0732554 Harris Michael Taylor Richard 2001 The geometry and cohomology of some simple Shimura varieties Annals of Mathematics Studies 151 Princeton University Press ISBN 978 0 691 09090 0 MR 1876802 Fields Medals 2018 International Mathematical Union Diarsipkan dari versi asli tanggal 2018 08 05 Diakses tanggal 2 Agustus 2018 Scholze Peter Perfectoid spaces A survey PDF University of Bonn Diarsipkan PDF dari versi asli tanggal 2021 03 07 Diakses tanggal 4 November 2018 Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Geometri aritmetika amp oldid 23938057